第六節(jié)空間向量的概念及運(yùn)算高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

了解空間向量的概念，了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量

的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.

掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.

掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共

線和垂直.目錄CONTENTS知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類突破02.課時(shí)·跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識(shí)|課前自修

1.

空間向量及其有關(guān)概念概念語(yǔ)言描述共線向量（平行向量）表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于

?的向量同一個(gè)平面

概念語(yǔ)言描述共線向量定理對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b（b≠0），a∥b的充要條件是

存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b

，那么向量p與向量a，b

共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使p

＝xa＋yb不共線

概念語(yǔ)言描述空間向量基本定理及推論定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間

向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得p

＝

?.推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)平面ABC內(nèi)

任一點(diǎn)P都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使

＝

x

＋y

＋z

且x＋y＋z＝

?xa＋yb＋zc

1

2.

空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算（1）兩個(gè)非零空間向量的數(shù)量積①a·b＝

?；②a⊥b?a·b＝0；

｜a｜｜b｜c(diǎn)os＜a，b＞

（2）空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R向量和a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）向量差a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）數(shù)乘向量λa＝（λa1，λa2，λa3）數(shù)量積a·b＝

?a1b1＋a2b2＋a3b3

a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0）垂直a⊥b?

＝0（a≠0，b≠0）夾角公式cos＜a，b＞＝

a1b1＋a2b2＋a3b3

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）空間中任意兩個(gè)非零向量a，b共面.

（

√

）（2）若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向

量.

（

×

）（3）對(duì)于向量a，b，若a·b＝0，則一定有a＝0或b＝0.

（

×

）（4）空間直角坐標(biāo)系中，在Oyz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是（0，b，c），

b，c∈R.

（

√

）√××√

A.

a－

b－

cB.

a－

b－

cC.

a－

b－

cD.

a－

b－

c

√3.

已知點(diǎn)M在z軸上，且點(diǎn)M到點(diǎn)A（1，0，2）與到點(diǎn)B（1，－3，1）

的距離相等，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是

?.

（0，0，－3）4.

已知a＝（3，2，5），b＝（1，5，－1），則3a－b＝

?

，a·b＝

?.解析：因?yàn)閍＝（3，2，5），b＝（1，5，－1），所以3a－b＝（9，

6，15）－（1，5，－1）＝（8，1，16），a·b＝3＋10－5＝8.（8，1，

16）

8

PART02考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

空間向量的線性運(yùn)算（基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)）

（0，6，－20）

練后悟通空間向量線性運(yùn)算中的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)共線、共面向量定理的應(yīng)用（師生共研過(guò)關(guān)）

（2）判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).

解題技法證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較三點(diǎn)（P，A，B）共線空間四點(diǎn)（M，P，A，B）共面

＝λ

且同過(guò)點(diǎn)P

＝x

＋y

對(duì)空間任一點(diǎn)O，

＝

＋

t

對(duì)空間任一點(diǎn)O，

＝

＋x

＋

y

對(duì)空間任一點(diǎn)O，

＝x

＋

（1－x）

對(duì)空間任一點(diǎn)O，

＝x

＋y

＋

（1－x－y）

A.2B.

－2C.1D.

－1

√2.

若A（－1，2，3），B（2，1，4），C（m，n，1）三點(diǎn)共線，則m

＋n＝

?.

－3空間向量數(shù)量積的應(yīng)用（師生共研過(guò)關(guān)）

（人A選一P13例2、例3改編）如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.（1）求線段AC1的長(zhǎng)；

（2）求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；

（3）求證：AA1⊥BD.

PART03課時(shí)·跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

A.

－

a＋

b＋cB.

a＋

b＋cC.

－

a－

b＋cD.

a－

b＋c

√123456789101112131415161718192020222324252.

已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若

a，b，c共面，則λ＝（

）A.9B.

－9C.

－3D.3

√

A.30°B.60°C.120°D.150°

√

A.1B.2C.

D.

√

A.

[0，5]B.

[1，5]C.

（1，5）D.

[1，25]

√6.

〔多選〕下列說(shuō)法中正確的是（

）A.

｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共線的充要條件B.

若

，

共線，則AB∥CDC.

A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若

＝

＋

＋

，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D.

若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有

＝λ

＋μ

（

，

不

共線），則λ＋μ＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件√√

7.

已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三點(diǎn)共線，

則xy＝

?.

2

（2）求a與b夾角的余弦值；

（3）若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值.

A.

B.

C.

D.

√

11.

〔多選〕已知正方體ABCD-A1B1C1D1，則下列說(shuō)法中正確的是

（

）A.

（

＋

＋

）2＝3

B.

·（

－

）＝0C.

向量

與向量

的夾角是60°D.

正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為｜

·

·

｜√√

12.

〔多選〕（2025·梅州模擬）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1

＝3，點(diǎn)M，N分別在棱AB和BB1上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）.若D1M⊥MN，則

下列命題正確的是（

）A.

MN⊥A1MB.

MN⊥平面D1MCC.

線段BN長(zhǎng)度的最大值為

D.

三棱錐C1-A1D1M的體積不變√√√

[0，32]

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

15.

（創(chuàng)新設(shè)問）〔多選〕設(shè)向量u＝（a，b，0），v＝（c，d，1），

其中a2＋b2＝c2＋d2＝1，則下列判斷正確的是（

）A.

向