易錯(cuò)易混01集合、常用邏輯用語(yǔ)

目錄

01錯(cuò)點(diǎn)掃描?易錯(cuò)建模夯基石....................................................1

02易錯(cuò)歸納?查漏補(bǔ)缺避陷阱.....................................................3

易錯(cuò)歸納01數(shù)集與點(diǎn)集....................................................................3

易錯(cuò)歸納02忽略集合中元素的互異性.......................................................5

易錯(cuò)歸納03忽視空集......................................................................7

易錯(cuò)歸納04充分、必要條件判斷顛倒......................................................10

易錯(cuò)歸納05根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍.............................................13

03實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?易錯(cuò)通關(guān)驗(yàn)成效...................................................15

01.

錯(cuò)點(diǎn)掃描?易錯(cuò)建模夯基石

1、集合中元素的三大特性

（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的.也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在

這個(gè)集合中就確定了.簡(jiǎn)記為“確定性”.

（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的.也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.簡(jiǎn)記為“互

異性”.

（3）無(wú)序性：給定集合中的元素是不分先后，沒(méi)有順序的.簡(jiǎn)記為“無(wú)序性”.

2、集合的表示方法

（1）自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问奖硎黾系姆椒?。如小?0的所有的自然數(shù)組成的集合.N+

（2）列舉法：把集合的所有元素——列舉出來(lái)，并用花括號(hào)"｛『'括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.

（3）描述法：一般地，設(shè)A表示一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示

為｛xGA|P（x）｝,這種表示集合的方法稱為描述法.有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線.

注：用描述法表示集合時(shí)，注意區(qū)分是數(shù)集還是點(diǎn)集.區(qū)分的關(guān)鍵在于代表元素.

（4）圖示法（Venn圖法）：用平面上封閉曲線的內(nèi)部表示集合的方法。

3、根據(jù)集合間的基本關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍

對(duì)于兩個(gè)集合A和3,A或B中含有待定的參數(shù)（字母），常采用分類討論或數(shù)形結(jié)合的方法：

(1)分類討論：若在未指明A非空時(shí)，應(yīng)分為4=0和兩種情況來(lái)討論.

(2)數(shù)形結(jié)合：對(duì)這種情況，在確定參數(shù)時(shí)，需要借助數(shù)軸來(lái)完成，將兩個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來(lái),

分清端點(diǎn)處是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn)，確定兩個(gè)集合間的包含關(guān)系，列不等式(組)求解.

4、利用交、并、補(bǔ)求參數(shù)范圍的解題思路

(1)根據(jù)并集求參數(shù)范圍：A\JB^B^A^B

若A有參數(shù)，則需要討論A是否為空集；若3有參數(shù)，則320；

(2)根據(jù)交集求參數(shù)范圍：AnB=A=>AcJB

若A有參數(shù)，則需要討論A是否為空集；

若B有參數(shù),則3x0

5、條件關(guān)系判定的常用結(jié)論

。與。的關(guān)系結(jié)論

pnq，但q%P。是q的充分不必要條件

q=p，但？％qp是q的必要不充分條件

pnq旦qnp,即poq〃是4的充要條件

PL且〃Pp是q的既不充分也不必要條件

6、命題的否定：

(1)定義：一般的，對(duì)一個(gè)命題進(jìn)行否定，就可以的到一個(gè)新的命題，這一新命題就成為原命題的否定.命

題〃的否定可用“T>”來(lái)表示，讀作"非"'或P的否定.

(2)命題的否定與原命題的真假關(guān)系：p的否定與p“一真一假”

命題P~P

真假

假真

7、含量詞的命1題的否定

命題類型全稱量詞命題存在量詞命題

形式

否定形式

結(jié)論全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題

8、判斷全彳和存在量詞命題真假

(1)判斷全稱量詞命題真假：若為真命題，必須對(duì)限定的集合M中的每一個(gè)元素x,驗(yàn)證0(x)成立；

若為假命題，只要能舉出集合加中的一個(gè)x=x0,使°(不)不成立即可.

(2)判斷存在量詞命題真假：只要在限定集合M中，至少能找到一個(gè)x=x0,使p(x0)成立，則這個(gè)命題

為真，否則為假.

02

易錯(cuò)歸納?查漏補(bǔ)缺避陷阱

?易錯(cuò)歸納01數(shù)集與點(diǎn)集?

【易錯(cuò)陷阱?避錯(cuò)攻略】

學(xué)會(huì)先觀察研究對(duì)象，確定研究對(duì)象是點(diǎn)集還是數(shù)集，對(duì)其本質(zhì)進(jìn)行剖析，明確集合中的代表元素類型及

代表元素的含義.

1.（24-25高三上?河南?月考）函數(shù)y=tanx的值域可以表示為（）

A.{x|y=tanx}B.{y|j=tanx}

C.{（x,y）|y=tanx}D.{y=tanx}

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的值域是指函數(shù)值組成的集合，即可判斷.

【詳解】因函數(shù)的值域是指函數(shù)值組成的集合，

故對(duì)于函數(shù)V=tanx,其值域可表示為：{y[y=tanx}.

故選：B.

2.（24-25高三上四川南充?月考）已知集合4={（工,切y=/+l},8={（x,y）|y=x+l},則Ac3中的元

素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)條件，直接求得AcB={（O,l）,（l,2）},即可求解.

【詳解】由廣1，消y整理得到*—l=0,解得％=o或％=i,

[y=%+1

當(dāng)x=0時(shí)，y=l,當(dāng)x=l時(shí)，y=2,所以Ac8={（O,l）,（l,2）},

故選：C.

3.（24-25高三下?云南昭通?開(kāi)學(xué)考試）已知集合4={（%,〉）1x,yeN*,xNy},3={（x,y）|x+y=6},則AcB

中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由兩集合元素特點(diǎn)，逐個(gè)判斷即可;

【詳解】由A={(x,y)lx,yeN*,xNy},3={(x,y)|x+y=6],

當(dāng)x=l,y=5,當(dāng)x=2,y=4,當(dāng)x=3,y=3,當(dāng)x=4,y=2,當(dāng)x=5,y=1,

所以AC8={(3,3),(4,2),(5,1)},所以AcB中有3個(gè)元素，

故選：B.

4.(24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中)已知集合”={Ny=f-2》-2},^=|^|y=-^=j,則

()

A.[-3,1)B.L-1,1)C.(1,3)D.[1,4]

【答案】A

【分析】先化簡(jiǎn)集合M，N,再利用交集定義即可求得McN.

22

[詳解]M=[y\y=x-2x-2]=[y\y=(x-1)-3)={y|y>-3}

故McN={y|y>-3}n{x|x<l}=[-3,l)

故選：A

5.已知集合”={。,0)},則下列與M相等的集合個(gè)數(shù)為()

①小”"I

②{(%，?y=>/尤一1+，1一%}

③“公罟二…]

④{尤|-1<尤<2,xeN}

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】解方程組可化簡(jiǎn)①，由偶次根式有意義可計(jì)算②，分別研究w為奇數(shù)、w為偶數(shù)可計(jì)算③，由N定

義可得④，依次判斷即可求得結(jié)果.

【詳解】對(duì)于①，==

對(duì)于②，{(x,y)|y=+中,;解得尤=1,故{(x,y)|y=Jx-l+Jl-x}={(1,。)}=A7；

對(duì)于③，當(dāng)w為奇數(shù)時(shí)，x=-l；當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，x=0,

所以料x(chóng)=,〃eN}={TO}wM；

2

對(duì)于④，{xl-l<x<2,xeN}={0,l}w〃.

所以與M相等的集合個(gè)數(shù)有2個(gè).

故選：C.

?易錯(cuò)歸納02忽略集合中元素的互異性?

【易錯(cuò)陷阱?避錯(cuò)攻略】

集合中元素的三個(gè)性質(zhì)

(1)確定性：判斷對(duì)象能否構(gòu)成集合的依據(jù).

(2)互異性：常用于檢驗(yàn)解的合理性，如求解集合中元素含有參數(shù)的問(wèn)題，先根據(jù)其確定性列方程，求出值

后，再根據(jù)其互異性檢驗(yàn).

(3)無(wú)序性：常用于判斷集合相等.

1.(2025?黑龍江齊齊哈爾?二模)已知集合4={0,。},B={l,a-l,2a\,若4=3,則。=()

A.0B.yC.1D.0或1

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，分類討論，即可求解。的值.

【詳解】因?yàn)榧?={。,。}，B={l,a-1,2a},A^B,

所以0e3,所以a-1=0或2a=0,

若a-l=0,貝躇=1,此時(shí)A={0,l},B={l,0,2},滿足題意；

若2a=0,則a=0,此時(shí)集合A不滿足集合元素的互異性，舍去.

綜上，<3=1.

故選：C.

2.已知集合A={“,/={24+6,1,3},若A=B,貝!Ja-6=()

A.-2B.2C.-6D.6

【答案】A

【分析】由已知結(jié)合集合相等的條件及集合元素的互異性即可求解.

【詳解】因?yàn)榧?={°,/一2。,1},3={2。+6,1,3},

fa=2a+l>[a=3

右A=8,貝”2a或|2-

[a-2a=3[a-2a=2a+b

解得"Tb=l或a=3*=-3,

當(dāng)o=3,b=-3時(shí)，A={3,3,1),與集合元素的互異性矛盾，舍去，

故a=_l,b=l,A={-1,3,1},B={-1,1,3},符合題意，此時(shí)a-b=-2.

故選：A.

3.已知aeR,bwR,若集合卜,：,"={/,a+b,o},貝I]產(chǎn)9+網(wǎng)9的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

[|=0

【解析】本題可根據(jù)卜1:={/,a+6,0}得出＜a=0+6,然后通過(guò)計(jì)算以及元素的互異性得出。、匕的值,

即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椴?/p>

a,缶=0fb=Q

所以{a=a+b,解得I1或《,

°a=1\a=—l

a2=111

當(dāng)a=l時(shí)，不滿足集合元素的互異性，

故a=—1,b=0,^019+z,2019=（_ip+02019=_1）

故選：B.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：通過(guò)集合相等求參數(shù)時(shí)，要注意求出參數(shù)后，檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性，考

查計(jì)算能力，是中檔題.

4.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）已知集合A={尤忖V3,無(wú)eN},B=,C={3,/n,3加一2},若8=C,

則Ac8的子集個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.7D.8

【答案】B

【分析】本題根據(jù)從C兩集合相等，則元素相同，然后分類討論求出參數(shù)相，進(jìn)而求出兩個(gè)集合，再求集

合A、8的交集，然后可求子集的個(gè)數(shù).

【詳解】由題意得，A={0,l,2,3},又集合8=c,

若2機(jī)-1=3,則zn=2,此時(shí)3={2,3,4},

則418={2,3},故AcB子集個(gè)數(shù)為22=4;

若2"?-1=%，則"2=1,此時(shí)顯然用C集合不成立，舍去;

若27〃-1=3帆-2,m=l,同理舍去.

綜上得：，〃=2時(shí)，AcB子集個(gè)數(shù)為4個(gè)；

故選：B.

5.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）已知集合2={〃忖=2左一1,左eN*#W10},。={2,3,5},則集合

T={p|xeP,yeQ}中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.30B.28C.26D.24

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意得到尸={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19},再結(jié)合7={孫eQ}求解即可.

【詳解】P=例"=2左一1,左eN*,左V10}={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19},g={2,3,5},

因?yàn)槎〈▽O代《尸，"。}，

當(dāng)xeP,y=2時(shí)，孫為偶數(shù)，共有10個(gè)元素.

當(dāng)xeP,y=3時(shí)，孫為奇數(shù)，

此時(shí)孫=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,共有10個(gè)元素.

當(dāng)xeP,y=5時(shí)，移為奇數(shù)，

此時(shí)盯=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,有重復(fù)數(shù)字15,45,去掉，共有8個(gè)元素.

綜上T={町ye。}中元素的個(gè)數(shù)為10+10+8=28個(gè).

故選：B

?易錯(cuò)歸納03忽視空集?

【易錯(cuò)陷阱?避錯(cuò)攻略】

1、當(dāng)已知A=瓦人口3=0求參數(shù)時(shí)，一定要分析集合為空集的情況;

2、若集合為不等式的解集，往往借助于數(shù)軸進(jìn)行分析；

1.集合A={#2-2尤-320},B={x|ar+l<0},若8=4,,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（）

A.

3

D.-1,0ju(0,l)

C.(-0o,-l)U[0,+oo)

【答案】A

【分析】討論是否為空集，參照子集問(wèn)題模板求解即可.

【詳解】因?yàn)锳=卜產(chǎn)一2%—3N0}=(―a?,—l]u[3,+8),5=|x|ox+l<0},且6=

一?①當(dāng)3=0時(shí)，即辦+1WO無(wú)解，止匕時(shí)。=0,滿足題意.

②當(dāng)3H。時(shí)，即6+1WO有解，當(dāng)。>0時(shí)，可得XW-L

a

〃>0

要使則需要(1,解得0<a41.

、a

[a<0

當(dāng)。<0時(shí)，可得XZ-L要使B=則需要11,解得-：Wa<0,

a——>33

、a

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是-%1.

故選：A.

2.已知集合A={x|2a+lWxW3"-5},B=(x|5<x<16),且4=8,則。的取值范圍為()

A.1<a<lB.6<?<7C.a<7D.a<6

【答案】C

【分析】分情況討論集合A是否為空集，再根據(jù)集合間的包含關(guān)系列出不等式組求解，最后綜合兩種情況

得出。的取值范圍.

【詳解】當(dāng)A為空集時(shí)，3a-5<2a+l時(shí).解不等式3a-5<2a+l,可得a<6.

因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?，所以?dāng)。<6時(shí)，A=0^B.

當(dāng)A不為空集時(shí)，3a-522a+l時(shí)，解不等式3a-522。+1,可得。26.

此時(shí)AW0,要使Aa3,那么集合A中的元素都要滿足集合5的范圍.

—11/1」__>

5為+13a-516x

f3tz-5<16

已知A={x|2a+lW%<3a-5},B={x|5<x<16},所以需?兩足<.

[2a+125

解不等式3。-5?16,可得。22.

綜合可得2?。47,又因?yàn)榍疤崾恰?6,所以取交集得6WaW7.

綜合兩種情況，將a<6和6WaK7兩種情況綜合起來(lái)，取并集可得a47.

能使A^B成立的所有a組成的集合為{a\a<l},

故選：C.

x+3

3.已知集合人=%>0>,B=^x\3p-2<x<2p—i^,B^dRA,則的取值范圍是()

1^2P

A.[-(,1)

D.(-1,+<?)

【答案】D

【分析】根據(jù)分式不等式求解集合A及二A,然后按照8和分類討論，根據(jù)集合的關(guān)系列不等式

組求解即可.

【詳解】因?yàn)檠?所以匕一可一所以』3或一2,

所以A=-3或%>2},所以={x\-3<x<2^,

當(dāng)3時(shí)，3p—2>2p—l,解得，>1,滿足3=

3p-2V2〃-1

當(dāng)Bw。時(shí)，要使5=貝叫2p-l<2,解得

3P-2>-3'、'

綜上，P>-§，即P的取值范圍是（-§,+°°）.

故選：D

4.（24-25高三上?河北承德?月考）已知集合4={尤|-24%410},B^[x\[-m<x<l+m）.若3c&A）=0,

則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.（一8,3]B.（-℃,9]C.（-co,3]U[9,+00）D.[3,9]

【答案】A

【分析】根據(jù)3c（々A）=0得到3=4,當(dāng)5=0時(shí)滿足，求出加的取值范圍，當(dāng)時(shí)，列出不等式

組求出機(jī)的取值范圍，結(jié)合兩種情況求出加的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?c（QA）=0,所以

因?yàn)锽={x|l-機(jī)+根},且滿足BoA,A={x\-2<x<i0]9

所以當(dāng)3=0時(shí)滿足

此時(shí)1一機(jī)>1+機(jī)，解得加<0,

m>0,

當(dāng)5W0時(shí)，則有<1—相之—2,,

1+m<10,

角軍得04機(jī)?3,綜上，m<3,

即實(shí)數(shù)加的取值范圍為（-8,3].

故選：A.

易錯(cuò)歸納04充分、必要條件判斷顛倒

【易錯(cuò)陷阱?避錯(cuò)攻略】

1、條件關(guān)系判定的常用結(jié)論

。與4的關(guān)系結(jié)論

pnq,但〃P夕是"的充分不必要條件

qnp,但paq。是。的必要不充分條件

Pnq且qnP,即poq。是。的充要條件

PL且aP。是q的既不充分也不必要條件

2、判斷充分條件與必要條件的基本思路

（1）分清楚條件是什么，結(jié)論是什么；

（2）嘗試用條件推結(jié)論，或用結(jié)論推條件（舉反例說(shuō)明不成立是常用的推理方法）；

（3）指出條件是結(jié)論的什么條件.

3、判斷充分條件、必要條件、充要條件的幾種方法

（1）定義法：直接判斷“若）,則若q,則p”的真假，并注意和圖示相結(jié)合，例如若pnq,則p是q的

充分條件.

（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化法：將原命題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的命題再進(jìn)行判斷.

（3）集合法：利用集合間的關(guān)系進(jìn)行判斷，如果條件p和結(jié)論q都是集合，那么若則p是q的充分

條件；若則p是q的必要條件；若p=q,則p與q互為充要條件.

4、小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個(gè)集

合范圍一樣，就是充要條件的關(guān)系；

1.（2025?廣東?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)/（X）是定義在實(shí)數(shù)集上的周期函數(shù),貝『"（x）的最小周期為1”是“/⑼="2）”

的（）

A.既不充分也不必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.充分必要條件

【答案】B

【分析】利用周期的定義即可得充分性，當(dāng)/（x）=sin（7ix）時(shí)，即可驗(yàn)證必要性.

【詳解】由/⑺的最小周期為1可得〃尤+1）=/（力，即〃0）=/⑴=*2）,

所以‘"（X）的最小周期為1"=>/（（））=/⑵，

當(dāng)〃x）=sin（7ix）時(shí)，/（0）=/（2）,但〃x）的最小正周期是2,

所以〃0）=〃2）推不出“/⑺的最小周期為1"，所以“/⑺的最小周期為「'是"〃0）=/⑵”的充分不必

要條件，

故選：B.

2.（2025?天津和平?二模）若aeR,直線4：元+2沖一1=0,直線：（3a—l）x—ay—1=0,貝『'a=0"是"4//小

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，結(jié)合充分條件、必要條件的概念即可求解.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，Z1；x-l=0,/2：-^-l=0,則

若〃4，貝口x（-a）=2a（3a-l）,解得。=（）或

6

所以“。=0”是“〃/4”的充分不必要條件.

故選：A

3.（2025?福建寧德?三模）設(shè)。，尸是兩個(gè)不同平面，人"是平面夕內(nèi)的兩條不同直線.甲：m//a,n//a,

乙：a//夕，貝U（）

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合面面平行的判定和性質(zhì)分析判斷即可.

【詳解】由加//%〃//a,相，〃是平面夕內(nèi)的兩條不同直線，得不到a///7,

因?yàn)閍與夕可能相交，只要加，”和。，4的交線平行即可得到加//a,nua.

反過(guò)來(lái)，若。//夕，牡〃是平面夕內(nèi)的兩條不同直線，則加，"和a沒(méi)有公共點(diǎn)，

所以由a//夕能得到加//?,?//a,

故甲是乙的必要不充分條件.

故選：B.

4.（2025?安徽?三模）“回是"3+/21”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)基本不等式和充分條件和必要條件證明過(guò)程，求結(jié)果.

【詳解】同21時(shí)，結(jié)合基本不等式，^+/>|xy|>l,充分性成立；

當(dāng)x=0,y=2時(shí)，滿足二十,221,但此時(shí)悶=0,必要性不成立，

4

所以“回I>「是“5+1的充分不必要條件.

故選:A.

22

5.（2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè)）曲線C:2:+二-=l,則是，曲線C表示橢圓”的（）

m-13-m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，曲線C表示橢圓求解加的取值范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件進(jìn)行判斷

即可.

m-1>0

22

【詳解】若曲線C:二一+^^=1表示橢圓，貝IJ3-m>。，解得1〈機(jī)<2或2<〃?<3,

m-13-m.c

m-13-m

則“1<相<3”是“曲線C表示橢圓”的必要不充分條件.

故選：B.

6.（2025?遼寧沈陽(yáng)?三模）等比數(shù)列也）中，q>0,貝產(chǎn)是“/<4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛。“｝的公比為q,根據(jù)q<。4、出<4分別求出q的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系判

斷可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為4,

由q<4可得因?yàn)?>。，則43>1,解得夕>1,

由的<%可得，因?yàn)?>0,則/-q=q（q-l）（q+l）>。，解得-l<q<0或4>1,

因?yàn)椋鹮|g>i｝是｛q|-i<q<o或4>1｝的真子集，

因此，“生<%”是“<%”的充分不必要條件.

故選：A.

易錯(cuò)歸納05根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍

【易錯(cuò)陷阱?避錯(cuò)攻略】

存在量詞命題求參數(shù)范圍的問(wèn)題中常出現(xiàn)“存在”等詞語(yǔ)，對(duì)于此類問(wèn)題，通常是假設(shè)存在滿足條件的參數(shù),

然后利用條件求參數(shù)范圍，若能求出參數(shù)范圍，則假設(shè)成立；否則，假設(shè)不成立.解決有關(guān)存在量詞命題

的參數(shù)的取值范圍問(wèn)題時(shí)，應(yīng)盡量分離參數(shù).

1.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知命題“Vx￡[l,4]d——加>0”為真命題，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

x

A.（v,e—2]B.^-oo,e4C.[e-2,+co）D.e4-p+ooj

【答案】A

【分析】分離參數(shù)次求函數(shù)/（力=d-1工41,4]的最小值即可求解.

7?

【詳解】因?yàn)槊}“以￡[1,4],e"------相之0”為真命題，所以￡[1,4],加Ve"——.

犬x

令/（尤）=3-：/41,4],尸^與〉=-：在[1.4]上均為增函數(shù)，

故/⑺為增函數(shù)，當(dāng)x=l時(shí)，〃x）有最小值e-2,即機(jī)Ve-2,

故選：A.

2.（23-24高三上?黑龍江哈爾濱?期末）已知命題“玉°eR,竭+2曲-1?0”為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是（）

A.（-8,-1）"0,+8）B.（-1,0）C.[-1,0]D.（-1,0]

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得命題：“VxeR,依2+2以_1<（），，為真命題，討論。是否為0,解不等式，即可求得

答案.

【詳解】由題意知命題“*0eR,渥+2%-1>0”為假命題，

則命題“VxeR，加+2G-1<0”為真命題，

故當(dāng)。=0時(shí)，ax2+2ax-l<0>即為T<0,符合題意；

當(dāng)QW0時(shí)，需滿足L/2/八解得

[△=4。+4。<0,

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-1,0].

故選：D.

3.（2025?河南南陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知aeR,若“女eR,a=2，+l”為假命題，貝心的取值范圍是（）

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(-oo,l]D.[1,+co)

【答案】C

【分析】利用存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，再利用恒成立問(wèn)題求解.

【詳解】命題“3xeR,a=2*+1”是存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，

其否定為：VxeR,a^21+1,而函數(shù)y=2*+1的值域?yàn)?l,+oo),

由“HxeR,“=2*+1'為假命題，得“VxeR,aw2*+l”為真命題，則aWl,

所以。的取值范圍是(f』.

故選：C

4.(2025?寧夏銀川?二模)若命題："VoleR,都有a_cosb>6-cosa”為真命題，則。涉的大小關(guān)系為()

A.a<bB.a>bC.a<bD.a>b

【答案】B

【分析】根據(jù)題目條件可得出：命題：“V.,6eR,都有a+cosa>b+cosb”為真命題；再構(gòu)造函數(shù)

/(x)=x+cosx,利用導(dǎo)數(shù)判斷其為增函數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槊}："V。力eR,都有a]cos6>6-cosa”為真命題,

所以命題：,都有〃+cosa>b+cosb”為真命題.

令/(A：)=x+cosx,XGR.

則/'(x)=l一sinx.

因?yàn)椴穒n.Kl,

所以/'(%)=l—sinxN。，

所以函數(shù)/(%)=%+cos%為增函數(shù).

又因?yàn)閍+cosa>Z?+cosZ?，

所以a>b.

故選：B.

5.(24-25高三上?吉林?期中)已知集合4={]|04%《〃},集合笈={%|m2+3〈尤工/+4},如果命題

為假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.{a|av4}B.{a\a<3}C.{Q|3<Q<4}D.{a|0vav4}

【答案】B

【分析】先根據(jù)題意得到命題“▼相￡R4<^6=0"為真命題，討論A=0和AW0兩種情況可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槊}為假命題，

所以，命題“▼相￡電入門6=0”為真命題，

因?yàn)榧螦={X|04xWa},集合N={x|帆？+3<%工加2+司,

所以，當(dāng)人={%|。0%《々}=0時(shí)，即〃<0時(shí)，=0成立，

當(dāng)A={x|OW%K〃}w0時(shí)，

由“Vm￡R,Ac6=0，^〈解得a￡|0,3）,

[?<m+3L7

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為（-g3）.

故選：B.

/、51g3。

6.若“上?0,相），使得尤>Q"為假命題，則機(jī)的最大值為（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

qlg30clg30

【分析】根據(jù)條件，先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“Vxe（O,m），然后通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)并計(jì)算出■的

值，由此可求加的最大值.

【詳解】因?yàn)椤按髝（0,冽），使得x>Q”為假命題，

clg30

所以“Vxe（O,m）,如再一為真命題；

<lg30SlglO+lg3Sl+lg3

因?yàn)槲?予廠=產(chǎn)=5'5原x3ig"

設(shè)5*=/>0,所以logs"曇=坨3,所以粵=lg5,

1g5lg3

所以log3f=lg5,所以廣3%所以51g3=335,

4g30

所以■=5x3gx31g2=5x3,g5+,g2=15,

即Vxe（O,間，x<15,所以0<冽《15,所以機(jī)的最大值為15,故選：B.

51g30

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是：化簡(jiǎn)■時(shí)要注意到5妒=39.

03

實(shí)戰(zhàn)檢濾?易錯(cuò)通關(guān)驗(yàn)成效

1.（2025?內(nèi)蒙古赤峰?三模）已知集合人={（兌、）卜=丫},8={5門卜=打，則ACB中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】將集合A與集合8所代表方程的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)立求解，利用代入法得到一個(gè)關(guān)于y的方程，求解y的

值后再得到對(duì)應(yīng)的x值，從而確定兩個(gè)集合的交集.

【詳解】將x=y代入X=y3,得y=y3,解得y=±i或0,

所以Ac8={(-!,-1),(0,0),(1,1)}.則AcB中元素的個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選：C

2.已知集合A={x|y=VT^},3={y|y=2/—4x+3},則4口3=()

A.(2,+oo)B.[2,+8)C.[l,+8)D.(l,+8)

【答案】B

【詳解】由x—220得%22,即A=[2,+oo),由丁=2/一4X+3=2(X—1)2+1N1,得6=[L+QO),所以

Ac6=[2,+8).

3.(2025.山東?二模)已知集合4={#2V3},B={y|j=2\x<1},則4nB=()

A.[->/3,2]B.[-8,0]C.(0,2]D.(0,V3]

【答案】D

【分析】先由一元二次不等式解法和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出集合A和集合8即可根據(jù)交集定義求解.

【詳解】由題集合4=卜.43}={幻一石4尤《有}=[一后0],

集合2={y|y=2，,無(wú)Wl}={y|0<y<2}=(0,2],

故選：D

4.(2025?湖北?模擬預(yù)測(cè))已知集合4={。。*，B={a-1,3a-2},?eR,則AU3中的元素個(gè)數(shù)至少

為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由集合A可得awO且“W1,再由/一。+1>0可得。一1與0,。,/均互異，結(jié)合特例可得正確的選

項(xiàng).

【詳解】由A中元素的互異性，得”即qwO且awl,

13

而礦一a+l=(a—)2H—>0,則當(dāng)aW0且a工1時(shí)，a—1與0,均互異，

24

因此AUB中至少有4元素，取a=2,此時(shí)A={0,2,4},3={1,4},AU^有4個(gè)元素，

AU2中的元素個(gè)數(shù)至少為4個(gè).

故選：C

5.已知加eR,〃eR,若集合4,'/[={〃/，機(jī)+小。},則小。23+〃2。23的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由集合相等列出方程，即可求得“a九,代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?,'』}={療,m+w,。},

3=0

m

?=0n=0

所以m=m+n,解得31或

m=-l

m2=1

當(dāng)加=1時(shí)，不滿足集合元素的互異性，

2023202320232023

故m=_1,九=o,m+n=（-l）+0=-l.

故選：B.

6.已知集合A={x|x=27?,〃eZ},3={y[y="2+1,7"eN},則Ap|B=（）

A.{1}B,{x^x=2n,neNjC.=2n,neN|D.^x|x|x=2n,nezj

【答案】C

【分析】本題可先分別分析集合A與集合5所代表的元素特征，再根據(jù)交集的定義求出Ac及

【詳解】已知集合4="|彳=2","€刁，其中Z表示整數(shù)集.

當(dāng)”取遍所有整數(shù)時(shí)，x=2〃表示所有的偶數(shù)，即集合A是由所有偶數(shù)組成的集合.

已知集合3={yly=m+l,mwN},其中N表示自然數(shù)集（包括0）.

當(dāng)"7=0時(shí)，y=O+l=l；當(dāng)"2=1時(shí)，y=l+l=2；當(dāng)機(jī)=2時(shí)，＞=2+1=3；以此類推.

所以集合B是由所有大于等于1的自然數(shù)組成的集合.

由于集合A是所有偶數(shù)組成的集合，集合5是所有大于等于1的自然數(shù)組成的集合，那么Ac8就是所有大

于等于1的偶數(shù)組成的集合.

大于等于1的偶數(shù)可以表示為X=2〃（〃eN*）,其中N*表示正整數(shù)集.

所以AcB={x|x=2n,"rN*}.

故選：C.

7.（2025?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知{4,6}={-1,0,1,2,3,4},（°,人）€{（龍,?。﹟丁+必＜4},則（aC）可能的取值

的個(gè)數(shù)為（）

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，分。=-1,。=0和。=1,三種情況討論，結(jié)合犬+y2V4,得至US,方）得情況，即可得

到答案.

【詳解】當(dāng)。=一1時(shí)，由（a,b）e{（x,刈/+V<4},可得匕e{0』},所以（。,6）為（T。）或（-11）；當(dāng)。=0時(shí),

由（a,6）e{（x,y）|犬+V<4},可得be{-1,1,2},

所以3切為（。,—1）或（0,1）或（0,2）；

當(dāng)a=l時(shí)，由（46）e{（尤,y）|尤2+必《4}知，be{-1,0},

所以（°,3為（1,-1）或（1,0）；

當(dāng)a=2,則6=0,所以（。,人）為（2,0）綜上，共有8種取值.

故選：D.

8.設(shè)集合U=R,集合4={刀|一2<%<5},3={尤|〃2-64％<2機(jī)一1},若4口2=。，則實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍為

()

(11

A.-GO,--B.(11,-Hx))D.—00,----1--1(11,+°0)

I2.2

【答案】D

【分析】結(jié)合6是否為空集進(jìn)行分類討論可求用的范圍.

【詳解】當(dāng)8=0時(shí)，AP|B=0,貝ij加一622%一1,即機(jī)工一5,

m—6<2m—1工\m—6<2m—1

當(dāng)5W0時(shí)，若4口3=0,則2m-1<-2或(加一6>5

解得-5<m<--或相>11,

2

綜上，實(shí)數(shù)加的取值范圍為,哈-；u（n，H.

故選：D.

9.（23-24高三上?江蘇蘇州?期中）滿足{X〃2<xW〃}={y|y=x2,mMx。}的實(shí)數(shù)對(duì)加，”構(gòu)成的點(diǎn)（加,〃）共

有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【答案】C

【分析】結(jié)合集合相等及二次函數(shù)的單調(diào)性即可求.

【詳解】由{刀卜九4彳4〃}={，?=彳2,根?了<九},Xy=%2>0,

貝!J〃z20,所以y=/在單調(diào)遞增，

故值域?yàn)?（"）,/（〃）］,

即帆，〃是一=》的兩根，解得玉=0,超=1,

當(dāng)根=〃=0時(shí)，點(diǎn)O,〃）為（0,0）,

當(dāng)m="=1時(shí)，點(diǎn)（加,〃）為（1,1）,

當(dāng)加=0,〃=1時(shí),點(diǎn)（九〃）為（0,1）.

故選：C

10.設(shè)集合A={巾2-8了+15=。},集合3=卜卬-1=0},若31A=3,則實(shí)數(shù)。取值集合的真子集的個(gè)

數(shù)為（）

A.2B.3C.7D.8

【答案】C

【分析】先解方程得集合4再根據(jù)8=4,結(jié)合包含關(guān)系求實(shí)數(shù)。，即得結(jié)果.

【詳解】A={X|X2-8X+15=0}={3,5},

因?yàn)?三A,

當(dāng)3=0時(shí)，a=0,

當(dāng)時(shí)，即awO時(shí)，令依一1=0,解得x二工，

a

則，=3或工=5,則對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)。的值為：，!，

aa35

則實(shí)數(shù)a組成的集合的元素有3個(gè)，

所以實(shí)數(shù)a組成的集合的真子集個(gè)數(shù)有23-1=7,

故選：C.

11.（2025?北京延慶?一模）“A=；”是“直線>=履+2與拋物線V=以只有一個(gè)公共點(diǎn)”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】求出直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)的等價(jià)條件結(jié)合充分條件和必要條件的定義，即可得出結(jié)論.

［詳解］由，zU；2,得上2f_4（Ll）尤+4=0,

因?yàn)橹本€丫=丘+2與拋物線V=4尤只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以當(dāng)左=0時(shí)，交點(diǎn)為。,2）只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；

21

當(dāng)左wO時(shí)，A=-4xk2x4=0,:.k=—,

所以直線、=履+2與拋物線丁=4尤只有一個(gè)公共點(diǎn)的充要條件是％=0或A=

所以4=；”能推出“直線丫=立+2與拋物線產(chǎn)二人只有一個(gè)公共點(diǎn)，

直線>=履+2與拋物線必=人只有一個(gè)公共點(diǎn)不能推出A=1,

“k=（”是“直線、=履+2與拋物線丫2=4》只有一個(gè)公共點(diǎn)，，的充分而不必要條件，

故選：A

12.（2025?北京朝陽(yáng)?二模）設(shè)aeR,則“sin2a=?'’是"tana=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系化弦為切，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即

可得解.

■、*心、A.C2sinorcoscr2tanaJ3

【詳角軍】由sin2a=----------=--------=」一，

sina+cosatana+12

得百tan2a_4tana+6=。，解得tana=8或tana=^~,

3

由ta