第1講圓錐曲線第一定義與焦點三角形

選擇題（共8小題）

1.已知橢圓C的焦點為￡（-1,0）,耳（1,0）,過點后的直線與橢圓C交于A,3兩點.若

\AF2\=2\F2B\,\AB\=\BFl\,則C的方程為（）

A.目+丁=1B.工+其=1C,t+其=1D.反+f=1

2-324354

【解答】解：YAg|=2|夜『[,.」AB|=3|%|,

又|AB|=|B片：\BFl|=3|B^|,

又|3￡|+|3"|=2a,:]BF2\=~,

3

.[AF21=aJ|BFX|=-6/>

AFX|+1AF21=2a，.[AF1|=a，

：\AF1|=|AF21,「.A在y軸上.

在鳥。中，cosNA用。=1，

4+（w）~

在工中，由余弦定理可得cos/BEK=——乜----—,

2x2x—

2

14-2片l

cosAAFO+cosZ.BFF=0,可得—l-------=0,解得/=3,a-v3.

22Xa2a

b2-c2=3-1=2.

22

所以橢圓C的方程為：?『L

故選：B.

2.若橢圓二+當=1（4>匕>0）和雙曲線二-馬=1（加,”0）有相同的焦點耳，艮,P是兩

abmn

條曲線的一個交點，則P居?尸鳥的值是（）

A.4a—B.~（a2~m）C.a2—mD.a2—m2

【解答】解：設(shè)P在第一象限，|/V"=s,|%|=八

由橢圓的定義可得s+r=2a,

由雙曲線的定義可得s-r=2〃z,

解得s=a+m,t-a—m,

則st=a2—zn2,

故選：D.

22

3.已知耳，F(xiàn),分別是雙曲線=-2r=l（a>0,b>0）的左、右焦點，M是雙曲線右支上一

ab

點，ZFtMF2=60°,△肱?；工的面積為羊片，則雙曲線的離心率為（）

.5口25小屈「2713

217213

【解答】解：由Af是雙曲線右支上一點，所以|-|加工|=2°,

22

在^MF用中，由余弦定理有|弛『=|MF,\+\MF2\-2\MFl\-\MF2\cosZfJMf；,

所以（2cy=（24+|/耳尸I，所以|幽|[MF|=4加，

所以SMFF=—X4/?2Xsin60°==^^-a2,

為24

2

所以A勺=?9,

a24

所以離心率

故選：C.

4.已知耳，居分別是雙曲線C:j-當=1（。>0,6>0）的左、右焦點，以￡耳為直徑的圓與

aZr

此雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為P,且|P/"+2|P居|=2|片耳|,則此雙曲線的離心率是（

)

A.應(yīng)B.2C.4D.5

【解答】解：由題意可得：|PGI+21P工|=2|斗耳|幽|-|桃|=2°,

解得|用|=4『,

\PF2\=^^

又|尸耳F+|尸乙『=4°2,

代入化簡可得5a2+4。。-/=0,e=->l,

a

所以4—4e—5=0,解得e=5.

故選：D.

22

5.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線的三-二=1（。>0,6>0）右支與焦點為歹的拋物線

ab

無2=2py（p>0）交于A,3兩點，若|4/|+|3尸|=4|。尸|,則該雙曲線的漸近線方程為（

J2Lx/3L

A.y=±-^-xB.y=±y/2xC.y=±—xD.y=±v3x

22

【解答】解：把尤2=2py(p>0)代入雙曲線工-斗=l(a>0,b>0),

ab

可得：a2y2-2pb2y+a2b2=0,

2Pb2

?二%+%=-。2

-.]AF\+\BF\=4\OF\,.?.%+為+2x^=4x],

,2Pb2

..——-p,

a

a2

J?

.??該雙曲線的漸近線方程為：y=±—x.

2

故選：A.

2

/v2

6.已知雙曲線G:=-==1（。>08〉0）的右支與焦點為F的拋物線C2:X=2py（p〉0）交

ab

于A,B兩點，若|AF|+|B刊=6|O/I，則雙曲線G的漸近線方程為（）

A.y=~~xB.y=±xC.y=±^-xD.y=

22

【解答】解：把爐=2處（p>0）代入雙曲線雙曲線￡:=-馬=1（°>0/>0）,可得：

ab

a2y2-2pb2y+a2b2=0,

%=2夕二?

a

-.]AF\+\BF\=6\OF\,.-.yA+yB+2x^=6x^-.

Z?2b

2p--=2p,/.—=1,

aa

則雙曲線G的漸近線方程為產(chǎn)±2尤=土尤，

a

故選：B.

7.將兩個頂點在拋物線J=2px(p>())上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記

為〃，貝IJ()

A.n=0B.n=lC.n=2D..3

【解答】解：>2=2/(2>0)的焦點/皮，0)

等邊三角形的一個頂點位于拋物線y2=2px(P>0)的焦點，另外兩個頂點在拋物線上，則等

邊三角形關(guān)于x軸軸對稱

兩個邊的斜率々=±tan30o=土且，其方程為：y=±迫(x-K),

332

每條直線與拋物線均有兩個交點，焦點兩側(cè)的兩交點連接，分別構(gòu)成一個等邊三角形.

故〃=2,

故選：C.

22

8.在平面直角坐標系尤Oy中，雙曲線C:斗=1(。>0,6>0)的右支與焦點為尸的拋物線

ab

f=2py(p>0)交于A,B兩點，己知雙曲線C的一條漸近線方程為y=,且

\AF\+\BF\=m\OF\,則實數(shù)"的值為()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由題意可知2=受，

a2

R匚1

聯(lián)立方程組片戶一，消去X可得：/y2_2g2y+a2b2=0,

J?=2py

Q72

設(shè)，M)，B(X2，y2)，則%+%=，2=P'

???IAF\+\BF\=yl+y2+p=2pf

又|OW=￡,\AF\+\BF\=m\OF\,

1

:.m=4.

故選：D.

二.多選題（共2小題）

9.過拋物線V=4x的焦點/作直線交拋物線于A,3兩點，"為的中點，貝|（）

A.以線段為直徑的圓與y軸相切

B.當AF=2FB時，|A8|==

2

C.以線段AB為直徑的圓與直線彳=-』相離

2

D.|AB|的最小值為3

【解答】解：當直線A5的斜率不存在時，以線段為直徑的圓與y軸相切；

當直線AB的斜率存在且不為0,可設(shè)直線鉆的方程為>=日-左，聯(lián)立J=4x,可得

?2X2-(2F+4)X+F=0,

設(shè)A(x「％),B(X2,%)，

4

可得%+%=2+后"\x2=1,設(shè)X]=3+20,x2=3-2A/2,

717\BM\=yll+k2\x-l-^\,

可得M的橫坐標為1+正，MB的中點的橫坐標為耳（1+淳+九2）2

當k=1時，MB的中點的橫坐標為g-應(yīng)，^\MB\=2,得以線段氏0為直徑的圓與y軸相

交，故A錯；

以廠為極點，x軸的正半軸為極軸的拋物線的極坐標方程為Q=—-—,

1-cos0

,22

設(shè)AS-6>),8(02，萬+6)，可得/7]=■1----------A=--------------—>

1-cos61-cos(萬+，)

可得----+----=-------+-------=1,又AF=2F6,可得AF=3,\FB\=-,

\AF\\BF\222

o

則IAB|=|AF|+|EB|=3，故3正確；

4尤的焦點廠(1,0),準線方程為x=—l,

設(shè)A,B,M在準線上的射影為A,B',M',

由|AF|=|?U'|,IBF1=1BB'\,\MM'\=-(\AA：\+\BB'\)=-(\AF\+\FB\)=-\AB\,

222

可得線段AB為直徑的圓與準線相切，與直線y軸相交，故C正確;

當直線至垂直于X軸，可得|筋|為通徑，取得最小值4,故。錯誤.

故選：BC.

10.已知拋物線C:y=；尤"過焦點F的直線交拋物線C于4(%,%),B(x°,%)兩點，

直線AO,30分別于直線〃?：y=-2相交于M,N兩點.則下列說法正確的是()

A.焦點尸的坐標為(0,2)

B.yty2=1

C.|而||而|的最小值為4

D.AAOB與AMON的面積之比為定值

【解答】解：拋物線的方程整理可得：x12=4y,所以焦點歹(0,1),所以A不正確；

由橢圓的焦點在y軸可得，直線BC的斜率一點存在，設(shè)直線3C的方程為：y=kx+l,

聯(lián)立卜「"+1,整理可得：/一4入一4=0,所以玉x,=Y,所以％%=以量=1,故3

[x=4y16

正確；

所以4=16左2+16>0,再+%2=4左，

當AB//x軸時|旃川西|最小，這時直線AB的方程為y=l,代入拋物線的方程可得，無2=4,

所以無=±2,所以I福|一|旃I最小值為4；所以C正確;

由題意可得直線AO,30的方程分別為：y=2x,y=匹無，與丁=-2的交點分別為A/U組,

演工2%

-2),N(-三,

-2),

12尤22x1111%+%)2-4尤］__A/FT

所以S.ON一|--------|-Z'|---------------------1—------------------------------------------------------------

演

2y2%4X2421x{x2\2

O到直線AB的距離d=.12

弦長IAB|=Jl+L,yl（xl+x2）-4^=451+r.Jl+42,

J1+產(chǎn)

122

所以SAAOB=-\AB\-d=~-.-4^/1+k-y/l+k=2,1+%2,

22也+公

Jl+E

所以逼也=/=),

SIMON2yl+k~4

所以AAO3與AMON的面積之比為定值，故。正確；

故選：BCD.

三.填空題(共7小題)

11.已知橢圓C的兩個焦點為￡(-1,0),6(1,0),過耳的直線與橢圓C交于A、3兩點，

V2

若[3￡|=3|A片|,AB±BF2,則C的方程為—萬+9=1_.

【解答】解：由題意可得c=l,設(shè)：|A4|=x,由|不|=3|四|可得|班|=3x,

由橢圓的定義可得|8工|=2a-3x,|隹|=2a-x,|AB|=4x,

又因為所以在△明工中，IEg|2=IW『+|BgF=(2a-3x)2+(3x)2,即

4=18x~—12,cix+4/,(T)

在AA38中，|A8|2|+|BE|2=|AgF，即脂/+（2.-3x）2=（2a,整理可得了=3，②

將②代入①中可得4=2,所以廿=。2一°2=2_j=i,

所以橢圓的方程為：y+y2=l；

22

12.已知橢圓C:「+當=1(。>6>0)的左、右焦點分別為耳，工，尸為橢圓上一點，且滿

ab

足兩.(西+麗)=0(0為坐標原點).若|尸月|=也|桃1，則橢圓的離心率為—m-6

【解答】解：取P片的中點N,連接ON,

所以可得的+麗=2?西，

又因為麗?（砥+而）=0,所以西'—2兩=0,

即ON_L尸耳，而。為耳耳的中點，所以O(shè)N//尸工,

可得尸耳±PF2,

因為|尸片|=0|尸居而|尸片|+|尸乙|=2a,所以可得：|PKI=d-,|尸耳|=普巴，

12+1v2+1

222

在用△Pg中，由勾股定理可得\FlF21=|PFt\+\PF21,

7

即4c+)2]-a2,

V2+1

揚

可得力123(3-2

返近=9-6A/2,

3+2+3+21

所以￡=y/6—y/3,

a

F2,過F?的通徑AS（過焦點垂直于

長軸的弦叫做通徑），則AAm的內(nèi)切圓方程為（X-與4+丁=一4

13廠

【解答】解：設(shè)AAB耳內(nèi)切圓的半徑為r,

22

橢圓C:土+—=1,

62

其中a=b=c=,6—2=2,則|月入|=2(?=4,

AB與x軸垂直,

則有瑞『=16,|4巧|+|4月|=2°=2#,

解得：|4外|=乎，|A4|=￥，

10#2屈

AAB居的周長/=||+|34|+|A3|=----------1--------=

33

I^|x|^^l=|x^x4=—

其面積S=—x

23

由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，有工廠義4面=勺尼，解得r=2.

233

744

圓心橫坐標為2-4=上,即圓心坐標為仁，0),

333

則AA班;的內(nèi)切圓方程是(x-：)2+丁=1,

故答案為：(尤—3)2+,2=3.

39

14.過拋物線無2=2py(p>0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A,3兩點，A,B

在x軸上的正射影分別為。，C.若梯形MCD的面積為120,則P=2.

【解答】解：拋物線的焦點坐標為尸(0,^),則過焦點斜率為1的直線方程為y=x+5,

設(shè)％),B(X2,y2)(%2>^),由題意可知%>0,y2>0

_￡

由尤+2，消去y得Y-2px-p2=0,

寸=2py

2

由韋達定理得，X[+%=2p，xtx2--p

所以梯形ABCD的面積為

22

s=g(y+%)(/-占)=^(占+々+p)(x2-X1)=y3-4.^X2=3A/2P

所以3&p2=12攻，又p>0,所以p=2

故答案為2.

15.過拋物線丁=2px(°>0)的焦點作斜率為由的直線與該拋物線交于A,3兩點，A,

5在y軸上的正射影分別為。，C,若梯形ABCD的面積為106，則"=3.

【解答】解：拋物線方程為丁=2px,設(shè)A,3點坐標分別為(占，yl,),(x2,%),

二焦點尸坐標為g,0),

直線鉆的方程為y=-,

代入拋物線方程得3/-5P無+亞=0,

…q…2=(,

-I\~%l=J5+/)2-4%%2=~~，

則梯形ABCD的面積為g-(AO+8C>CD=ga+%)lx—%|=g?日?生普=106,

..p—3?

故答案為：3

16.過拋物線丁=2/（°>0）的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A,B兩點，又過A,

3兩點作x軸的垂線，垂足分別為C,若梯形ABCD的面積為6五，則〃=—夜

【解答】解：拋物線的焦點坐標為尸（0,孑），則過焦點斜率為1的直線方程為y=x+光,

設(shè)A（玉，％）,B（X2,%）（*2>玉），由題意可知%>0，丁2>。.

_p_

由<‘"2，消去y得f—2px—p?=o,

f=2py

2

由韋達定理得，%+々=2〃，x1x2=-p

/.梯形ABCD的面積為：S=g（y+y2）（x2一%）=；（玉+9+P）（%2-%）

=T（X1+%2）2-4%1%2-3&p2=6A/2,

又p>0,p=^f2.

故答案為叵.

17.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線I-斗=l（〃〉0.Z?〉0）的右支與焦點為方的拋物

ab

線_?=2/5>0）交于A,3兩點，已知雙曲線的離心率為母，若

\AF\+\BF\=t\OF\.則f=4

【解答】解：雙曲線的離心率為手，即為八會》

22

即有1+勺b=三3，即b勺=上1

a22a22

設(shè)4（玉，%），B（X2，%）‘

拋物線x2=2py（p>0）的焦點F（0,與，準線為y=，，

可得|A尸|+13尸|=y+%+P=11。尸1=日r，

22

聯(lián)立拋物線方程無2=和雙曲線方程「一斗=1可得：

ab

2pb2y—a2y2-a2b2=0,BPa2y2—2pb2y+a2b2=0,

日2P廿

—可r/倚/+%=差—，

a

即有繳二0=4，BPr=4xl+2=4.

a222

故答案為：4.

四.解答題（共1小題）

18.已知橢圓+過點（點-亭，（-1,|）,橢圓C與X軸交于A,C

兩點