第12講圓錐的側(cè)面積

內(nèi)容導(dǎo)航預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

匕教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

R-思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

穩(wěn)提升〈小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識(shí)

?知識(shí)點(diǎn)1扇形的弧長(zhǎng)和面積計(jì)算

扇形：(1)弧長(zhǎng)公式：/=處4；(2)扇形面積公式：S=^-=-lR

1803602

〃：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑/：扇形弧長(zhǎng)S：扇形面積

注意：

(1)對(duì)于弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的-，即「=至；

360360180

(2)公式中的n表示1。圓心角的倍數(shù)，故n和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量：弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第

三個(gè)量.

(4)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，

360

即360360

(5)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就

可以求出第三個(gè)量.

8練習(xí)題講典例

教材習(xí)題01

解題方法

用本糙為30.11心角為120?。鼻渺小片H4一個(gè)BB*1圓錐側(cè)面積的運(yùn)算

而?求這個(gè)DO修的度而事申糖.

【答案】

解:設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓半徑為r

由題意，得照X30=2M,

180

解得r=10.

答：這個(gè)圓錐的底面圓半徑為10.

教材習(xí)題02

如圖.在RtA.v?'+*zc=9o%/V,=3.nr=i.

(i)分對(duì)以BC所住it線為軸.把4

△A8C液轉(zhuǎn)1周.得到兩個(gè)不同的解題方法

圓推.求這兩個(gè)圜慎的例面積./圓錐側(cè)面積和全面積的運(yùn)算

(2)以八”所點(diǎn).無(wú)線為軸.杞\BC殳?---------<

轉(zhuǎn)1網(wǎng).求所得幾何體的表面瓶.

【答案】

(1)???^C=90°,AC=3,BC=4,

AB=V/AC2+BC2=5,

所以以直線AC為軸，把AABC旋轉(zhuǎn)一周，得到的

圓錐的側(cè)面積=LX5X2TIX4=20TI;

2

以直線BC為軸，把AABC旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓錐

的側(cè)面積=LX5X2TP<3=15n;

上

(2)作CDJ_AB于D,如圖，

v-CD-AB—AC-BC,

2c,2

,-.CD=-=-^

55(

以直線BC為軸，把AABC旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何

體是以CD為底面半徑的兩個(gè)圓錐，則它的表面

積

=1x3x27rx昔+/x4x27rx普=華

練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)/練即型強(qiáng)知識(shí)

考點(diǎn)一求圓錐側(cè)面積

1.（2025?云南文山?模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)圓錐的高為4cm,母線長(zhǎng)為5cm,則圓錐的側(cè)面積為（）

A.207rcm2B.127rcm2C.257rcm2D.ISTTCRI2

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理，圓錐的側(cè)面積求解，掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)勾股定理求出底面半徑，再由圓錐的側(cè)面積公式S=（r為底面圓半徑，1為母線）求解即可.

【詳解】解：???高與底面垂直，

高，母線，半徑組成的三角形的是直角三角形，

二底面半徑為：—52-42=3,

圓錐的側(cè)面積為兀X3X5=15兀，

故選：D.

2.（2025?浙江杭州?一模）如圖，在RtANBC中，418c=90。，4B=2,BC=1,把△力BC繞直線AB旋轉(zhuǎn)

一周，所得幾何體的側(cè)面積為（）

A.nB.yJ^TtC.2乘itD.4兀

【答案】B

【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，點(diǎn)、線、面、體以及勾股定理，將A/IBC繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得

到的幾何體為圓錐，圓錐的底面圓的半徑為1,利用勾股定理計(jì)算母線長(zhǎng)，然后利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖

為一扇形和扇形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：將AZBC繞2B所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓錐，

圓錐的底面圓的半徑為1,母線長(zhǎng)=屬不于=逐，

所以圓錐的側(cè)面積=|X2TTX1XV5=V5TT.

故選：B.

3.（2025?浙江舟山?二模）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為6,圓心角為120。的扇形，則圓錐的側(cè)面積是.

【答案】12n

【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積計(jì)算即可.

【詳解】解：：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為6,圓心角為120。的扇形，

...圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積=I?。魯6。=12n.

故答案為：12TT.

考點(diǎn)二求圓錐底面半徑

1.（2025?湖北恩施?一模）已知一塊圓心角為300。的扇形鐵皮，用它做一個(gè)圓錐形的煙囪帽（接縫忽略不計(jì)），

圓錐的底面圓的直徑是80cm,則這塊扇形鐵皮的半徑是（）

A.12cmB.24cmC.48cmD.96cm

【答案】C

【分析】本題考查的是圓錐與其側(cè)面展開(kāi)圖之間的關(guān)系，利用底面周長(zhǎng)=展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)可得答案.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)扇形鐵皮的半徑為rem,由題意得等=nx80,

loO

解得r=48.

故這個(gè)扇形鐵皮的半徑為48cm,

故選C.

2.（2025?江蘇宿遷?二模）用一個(gè)半徑為4的半圓圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，該圓錐的底面圓的半徑為一.

【答案】2

【分析】本題主要考查了圓錐的計(jì)算.設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,根據(jù)半圓的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，

列出方程求解即可.

【詳解】解：「半徑為4的半圓的弧長(zhǎng)為：|X2兀x4=4兀，

.■.圍成的圓錐的底面圓的周長(zhǎng)為4兀，

設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,

貝l]27rr=4兀，

解得r=2,

故答案為：2.

3.（2025?山東臨沂?二模）如圖，正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為4,以4為圓心，以力B為半徑作弧BE,若用扇形

力BE圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為.

【答案】1.2

【分析】本題主要考查了正多邊形與圓，展開(kāi)圖折疊成幾何體，圓錐的計(jì)算，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是

解題關(guān)鍵.設(shè)該圓錐的底面半徑為r,根據(jù)正多邊形內(nèi)角和定理求出乙4=108。，再根據(jù)圓錐底面圓周

長(zhǎng)等于其側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的弧長(zhǎng)列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)該圓錐的底面半徑為r,

由題意得N4=%產(chǎn)=108%

???V—1.2,

二該圓錐的底面半徑為1.2,

故答案為：1.2.

4.（2025?寧夏銀川?二模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正六邊形4BCDEF中，以點(diǎn)尸為圓心，以FB的長(zhǎng)為半徑作弧BD,

剪下圖中陰影部分做一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為.

【答案】詈

【分析】本題考查正多邊形和圓，弧長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出陰影部分扇形的圓心角度數(shù),

再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出半徑，由弧長(zhǎng)的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作垂足為貝=

,/六邊形力BCDEF是正六邊形，

ABAF==32)X180°=oAB=AF=EF=DE=4,

6120；

-|ono_-inno

/.^ABF=乙AFB=乙DFE==30°,

2

AZ-BFD=120°-30°-30°=60°,

在&△ABM中，AB=4,乙48M=30。，

：.BM=—AB=2V3,

2

：.BF=2BM=4V3,

設(shè)這個(gè)圓錐的底面半徑為r,由題意可得，

c607TX4V3

2TCT=,

180

解得r=乎.

故答案為：竽

考點(diǎn)三求圓錐的高

1.（2025年黑龍江省齊齊哈爾市九年級(jí)中考數(shù)學(xué)調(diào)研模擬卷）一個(gè)圓錐體的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120。,

半徑為6的扇形，則這個(gè)圓錐體的高為.

【答案】4V2

【分析】本題主要考查了求圓錐的高，求圓錐底面圓半徑，勾股定理,，設(shè)這個(gè)圓錐體的底面圓半徑為

r,根據(jù)圓錐底面圓周長(zhǎng)等于其展開(kāi)圖得到的扇形弧長(zhǎng)建立方程求出r,再利用勾股定理即可求出圓錐

的高.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐體的底面圓半徑為r,

由題意得，也9=2仃,

180

?」=2,

...這個(gè)圓錐體的高為462-22=4企,

故答案為：4V2.

2.（2025?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）如圖，以正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，其邊長(zhǎng)6cm為半徑畫弧，得到陰影部

分的扇形，由這個(gè)扇形圍成的圓錐的高為cm.

【答案】2亞

【分析】本題考查圓錐的母線，高和底面圓半徑之間的關(guān)系,利用圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)

求出底面圓的半徑是解題的關(guān)鍵.

先求出扇形的弧長(zhǎng)，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)是圓錐的底面圓的周長(zhǎng),求出圓錐底面圓的半徑，再根據(jù)勾股定

理即可求出圓錐的高.

【詳解】解：如圖,

:六邊形2BCDEF為正六邊形，

.?.乙4=魚也幽=120。，

6

???扇形的弧長(zhǎng)為。xITX6=8ll,

1:80J

設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,圓錐的高為人

2nr=8ir,

r=4

22

h=7AB2-丫2=V6-4=2V5

故答案為：2曲.

3.（2025?廣東清遠(yuǎn)?二模）在數(shù)學(xué)課上，某同學(xué)用一張如圖所示的長(zhǎng)方形紙板制做了一個(gè)扇形，并由這個(gè)扇

形，圍成一個(gè)圓錐模型，若扇形的圓心角為120。，圓錐的底面半徑。8=2,則此圓錐的高為.

【答案】4V2

【分析】本題考查了圓錐的相關(guān)知識(shí)、弧長(zhǎng)的計(jì)算以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A錐的相關(guān)知識(shí)是

解題關(guān)鍵.

設(shè)此圓錐的母線長(zhǎng)為R,由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形

的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，則利用弧長(zhǎng)公式得到2兀X2="等絲，求解即可確定R的值，然后由勾

180

股定理計(jì)算圓錐的高即可.

【詳解】解：設(shè)此圓錐的母線長(zhǎng)為R,

根據(jù)題意得2兀x2=當(dāng)手，

180

解得R=6,即在RtAOAB中，2B=R=6,

/.由勾股定理，可得。4=7AB2一OB2=V62-22=4V2,

即此圓錐的高為4夜.

故答案為：4V2.

考點(diǎn)四求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角

1.（2025?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，A4BC是圓錐的軸截面圖形，4。是圓錐的高.若8C=6,4。=4,則

該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為（）

【答案】c

【分析】本題考查求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)，勾股定理求出母線長(zhǎng)，根據(jù)圓錐的底面圓周長(zhǎng)等于

側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由圖可知：0A18&08=0C=（BC=3,

：.AB=V32+42=5,

設(shè)展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為n。,則：6兀=言、5,

...幾=216；即：展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為216。；

故選：C.

2.（2025?黑龍江佳木斯?二模）已知圓錐的母線長(zhǎng)為8cm,底面圓的半徑為3cm,則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓

心角度數(shù)是.

【答案】135°

【分析】本題主要考查了求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)，設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是污，

根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖得到的扇形的弧長(zhǎng)等于其底面圓周長(zhǎng)建立方程求解即可.

【詳解】解；設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是沖，

由題意得，—=2X3TT,

180

解得n=135,

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是135。，

故答案為：135°.

3.（2025?山西朔州?三模）如圖，數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們從卡紙上剪下一個(gè)扇形，它可以折成一個(gè)底面半

徑r為3cm,高%為4cm的圓錐體，那么這個(gè)扇形的圓心角乙4OB的度數(shù)是.

▲

B

【答案】216。/216度

【分析】本題考查了圓錐與扇形之間的關(guān)系，扇形的弧長(zhǎng)，勾股定理；設(shè)圓錐的母線為由勾股定理

得/=府釬，由弧長(zhǎng)公式得黑=2仃，即可求解；理解圓錐與扇形之間的關(guān)系，掌握弧長(zhǎng)公式是解

180

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)圓錐的母線為I,這個(gè)扇形的圓心角N40B=n,

???I=，八2+丁2

=132+42

=5,

nnlQ

——=Z7rr,

180

717rx5

v-----=2TTX3,

180

解得：九=216,

故答案為:216。.

4.（24-25九年級(jí)上?山東臨沂?期末）如圖，要用一個(gè)半徑為24cm扇形紙片圍成一個(gè)無(wú)底蓋的圓錐（接縫處

忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓半徑長(zhǎng)為10cm,則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)為

【答案】150。/150度

【分析】本題考查的是求解圓錐展開(kāi)圖的圓心角，根據(jù)弧長(zhǎng)等于底面圓周長(zhǎng)列方程計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角為71。，

,圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20Ttem,母線長(zhǎng)為24cm,

.nil-24

..-----=20TI,

180

解得?i=150,

即扇形的圓心角為150。.

故答案為:150。.

考點(diǎn)五圓錐的實(shí)際問(wèn)題

1.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）湖南是全國(guó)13個(gè)糧食主產(chǎn)省之一，水稻播種面積、總產(chǎn)量均居全國(guó)第一.2024

年3月19日，習(xí)近平總書記來(lái)到常德市鼎城區(qū)謝家鋪鎮(zhèn)港中坪村，走進(jìn)當(dāng)?shù)丶Z食生產(chǎn)萬(wàn)畝綜合示范片

區(qū)，察看秧苗培育和春耕備耕進(jìn)展.如圖為某農(nóng)戶家的圓錐形糧倉(cāng)示意圖，已知其底面周長(zhǎng)為3兀米，

高度為3.6米，則此糧倉(cāng)的側(cè)面積為m2.（結(jié)果保留兀）

【答案】5.8511

【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積計(jì)算，先計(jì)算底面半徑和母線長(zhǎng)，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可.熟

知圓錐的側(cè)面是扇形以及扇形的面積計(jì)算方法是關(guān)鍵.

【詳解】解：:.底面周長(zhǎng)為3兀米

，底面半徑為：=1.5m

27r

母線長(zhǎng)為：V3.62+1.52=3.9m米

故糧倉(cāng)的側(cè)面積為：|X3irx3.9=5.85Tt（m2）,

故答案為：5.85TT.

2.（2025?云南曲靖?二模）某博物館修復(fù)一把古代銅鎖，鎖頭的裝飾部分為圓錐形（如圖）.已知裝飾部分

的底面圓的半徑為3厘米，母線長(zhǎng)為5厘米，則該圓錐形裝飾的面積為（）

A.5n平方厘米B.平方厘米C.30丘平方厘米D.45n平方厘米

【答案】B

【分析】本題考查了圓錐側(cè)面積的計(jì)算，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式計(jì)算即可得解，熟練掌握相關(guān)公式是解此

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可得：該圓錐形裝飾的面積為11X3x5=15TT（平方厘米），

故選：B.

3.（2025?云南昆明?二模）2025年3月9日，云南省首屆“云嶺石榴紅”陀螺邀請(qǐng)賽在玉溪市新平彝族傣族自

治縣正式開(kāi)幕.來(lái)自昆明、玉溪、普洱等省內(nèi)7個(gè)州市的68支隊(duì)伍齊聚一堂，展開(kāi)激烈角逐，以陀螺

為媒，共話民族團(tuán)結(jié)，共促文化交流.陀螺的底部是一個(gè)圓錐的造型.如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為10cm,

高力為8cm,則此圓錐的側(cè)面積為cm2.（結(jié)果保留it）

h

【答案】60n

【分析】本題考查了勾股定理，圓錐的側(cè)面積的求解，掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積為兀力(r,2分別為底面圓半徑

和母線長(zhǎng))是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)勾股定理求出半徑，再由圓錐側(cè)面積計(jì)算公式求解即可.

【詳解】解：由題意得，r=V102-82=6cm,

圓錐的側(cè)面積為兀x6x10=607r(cm?),

故答案為：60TT.

4.(22-23九年級(jí)下?河北承德?階段練習(xí))如圖漏斗，圓錐形內(nèi)壁的母線。8長(zhǎng)為6cm,開(kāi)口直徑為6cm.

(1)因直管部分堵塞，漏斗內(nèi)灌滿了水，則水深cm；

(2)若將貼在內(nèi)壁的濾紙(忽略漏斗管口處)展開(kāi)，則展開(kāi)濾紙的圓心角為.

【答案】38180。/180度

【分析】(1)勾股定理求出圓錐的高即可；

(1)利用圓錐底面周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，列式計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)由題意，得，圓錐的底面半徑為9=3cm,

???圓錐的高為戊2-32=3gcm；

即：水深3V^cm；

故答案為：3V3；

(2)由題意，得：――X6=6TT,

180

An=180,

工展開(kāi)濾紙的圓心角為180。；

故答案為：180°.

【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐的高，以及求扇形的圓心角.熟練掌握扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng),

是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)六圓錐側(cè)面上最短路徑問(wèn)題

1.（22-23八年級(jí)上?遼寧遼陽(yáng)?期末）今年9月23日是第五個(gè)中國(guó)農(nóng)民豐收節(jié)，小明用3D打印機(jī)制作了一

個(gè)底面周長(zhǎng)為12cm,高為8cm的圓柱糧倉(cāng)模型.如圖BC是底面直徑，4B是高.現(xiàn)要在此模型的側(cè)面貼

一圈彩色裝飾帶，使裝飾帶經(jīng)過(guò)4C兩點(diǎn)（接頭不計(jì)），則裝飾帶的長(zhǎng)度最短為（）

A.967rcmB.48cmC.4V13cmD.20cm

【答案】D

【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開(kāi)圖的特點(diǎn)解題.

【詳解】解：如圖，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，AC=A'C,且點(diǎn)C為8夕的中點(diǎn),

\'AB=8,BC=-x12=6,

2

裝飾帶的長(zhǎng)度=2AC=2yjAB2+BC2=2V82+62=20（cm）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)-最短路線問(wèn)題，以及學(xué)生的立體思維能力.解題關(guān)鍵是圓柱的側(cè)面

展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形.

2.（2025?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）已知某建筑物的頂端為圓錐形（如圖），為了美觀，要在圓錐形建筑上裝飾

一條燈帶，燈帶自B處開(kāi)始繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)8,若這個(gè)圓錐形建筑物的底面周長(zhǎng)為407tcm,母線4B的

長(zhǎng)為60cm,則這條燈帶的最短長(zhǎng)度是（）

A.40cmB.60cmD.60百cm

【答案】D

【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，首先求出圓錐底面的周長(zhǎng)，再求出圓錐側(cè)面的圓心角度數(shù)，最后運(yùn)用

勾股定理求出的長(zhǎng)即可.

【詳解】如圖，扇形為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，連接

AB=ABr,

=乙ABtB=30°,

過(guò)點(diǎn)/作/。IBB1于點(diǎn)。，

AADB=90°.

AB=60cm.

.'.AD—30cm,BD=30V3cm,

vAB=ABr,ZO垂直

i

BrD=BD=QBB],

BB]—60V3cm.

故這條燈帶的最短長(zhǎng)度為60百cm,

故選D.

3.（2025?廣東梅州?一模）綜合與實(shí)踐

【主題】制作圓錐形生日帽

【素材】①一張圓形紙板；②一條裝飾彩帶.

【實(shí)踐操作】

步驟1：如圖1,將一個(gè)底面半徑為r的圓錐側(cè)面展開(kāi)，可得到一個(gè)半徑為/、圓心角為九。的扇形.制作

圓錐形生日帽時(shí)，要先確定扇形的圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料.

步驟2：如圖2,把剪好的紙板粘合成圓錐形生日帽.

【實(shí)踐探索】在制作好的生日帽中，AB=8cm,I=8cm,C是PB的中點(diǎn)，現(xiàn)要從點(diǎn)A到點(diǎn)C再到點(diǎn)

A之間拉一條裝飾彩帶，求彩帶長(zhǎng)度的最小值.

8t

圖1圖2

【答案】84cm

【分析】本題考查了圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)，勾股定理求最值問(wèn)題，掌握以上知識(shí)是解題的

關(guān)鍵.根據(jù)條件得出圓錐的側(cè)面展開(kāi)后可得到的扇形圓心角為180。，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：???4B=8cm,

???r=4cm.

1r,nnl2

v-X2nrXI=----,

2360

360r360x4〃二八

???n=——=------=180.

I8

vPA'=PB=8cm,

“C=|PB=4cm.

在RtAA'PC中，由勾股定理，得AC=yJPA,2+PC2=V82+42=4^(cm).

???彩帶長(zhǎng)度的最小值為24C=8V5cm.

4.（24-25九年級(jí)上?安徽蕪湖?期末）如圖1,等腰三角形ABC中，當(dāng)頂角的大小確定時(shí)，它的對(duì)邊（即

底邊BC）與鄰邊（即腰4B或AC）的比值他就確定了，我們把這個(gè)比值記作7（4）,即TQ4）="%般）

第，當(dāng)乙4=60。時(shí)，如7（60。）=1.

A

（1）7（90。）=,7（120。）=,T（A）的取值范圍是;

⑵如圖2,圓錐的母線長(zhǎng)為18,底面直徑PQ=14,一只螞蟻從點(diǎn)P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)。，求

螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng).（精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：T（140°）?1.88,7（70。）=1.15,7（35。）=0.60）

【答案】⑴魚，V3,0<7（2）<2

⑵約為20.7

【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，

掌握相關(guān)性質(zhì)定理和7Q4）的定義是解本題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可;

（2）先根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的知識(shí)和扇形的弧長(zhǎng)公式計(jì)算，可求扇形的圓心角；再根據(jù)TQ4）的定義

即可解答.

【詳解】（1）解：如圖1,

圖1

由44=90°,AB=AC,得BC=&AB,

.--T(90°)=^=V2,

如圖2,

圖2

V/.BAC=120°,AB=AC,

.?.作AD18C于￡),貝4c=60。，BD=CD,

：.AB=30°,則4B=2。。,

BD=>JAB2-AD2=—AB

2

：.BC=2BD=43AB,

...7(120°)=—=V3；

AB

9CAB-AC<BC<AB+AC=2AB,

Z.O<—<2,

AB

/.0<T(i4)<2.

故答案為：V2,V3,0<T(/)V2；

(2)解：??,圓錐的底面直徑PQ=14,

???圓錐的底面周長(zhǎng)為14m即側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為14m

設(shè)扇形的圓心角為九°,

則“HX18=]4n，解得九=140,

180

???7(70。)?1.15,

二螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為18X1.15x20.7.

8串知識(shí)識(shí)框架

知識(shí)導(dǎo)圖記憶

?考向六：圓錐側(cè)面上最短路徑問(wèn)題

知識(shí)目標(biāo)復(fù)核

1.求圓錐的側(cè)面積

2.求圓錐的底面半徑

3.求圓錐的高

4.求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角

5.圓錐的實(shí)際問(wèn)題

6.圓錐側(cè)面上最短路徑問(wèn)題

一、單選題

1.（2025?安徽宣城?二模）一圓錐的高為1,母線長(zhǎng)為2,則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）

A.V3TTB.2兀C.2百兀D.4兀

【答案】C

【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算.首先根據(jù)勾股定理求得圓錐的底面半徑，從而得到底面周長(zhǎng)，然后利

用扇形的面積公式即可求解.

【詳解】解：圓錐的底面半徑是：&匚F=舊，

圓錐的底面周長(zhǎng)為2兀xV3=2V3TT,

則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是］x2V3;rx2=2V3;r.

故選：C

2.（2025九年級(jí)下?云南楚雄?學(xué)業(yè)考試）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為120。的扇形，且側(cè)面積為3兀，

該圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】本題考查了求圓錐的母線長(zhǎng)，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為Z,根

據(jù)扇形的面積公式列出方程，即可求解.

【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為Z,

由題意得，工誓=3兀，

360

解得:I=3,

???圓錐的母線長(zhǎng)為3.

故選：A.

3.（24-25九年級(jí)上?四川綿陽(yáng)?期末）如圖，圓錐的軸截面（過(guò)圓錐頂點(diǎn)和底面圓心的截面）是邊長(zhǎng)為6cm

的等邊三角形ABC,點(diǎn)。是母線AC的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)B出發(fā)沿圓錐的表面爬行到點(diǎn)。處，則這只

螞蟻爬行的最短距離是（）

A.3cmB.375cmC.3V5cmD.6cm

【答案】C

【分析】根據(jù)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形可知，展開(kāi)圖是半徑是4的半圓.點(diǎn)2是半圓

的一個(gè)端點(diǎn)，而點(diǎn)。是平分半圓的半徑的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理就可求出兩點(diǎn)2和。在展開(kāi)圖中的距離，

就是這只螞蟻爬行的最短距離.

正確判斷螞蟻爬行的路線，把曲面的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???圓錐的底面周長(zhǎng)是6兀，貝伯兀詈，

180

=180。即圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是180。，

在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中4。=3,AB=6,/.BAD=90°,

在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中BD=yjAB2+AD2=V45=3底

，這只螞蟻爬行的最短距離是3V^cm

故選：C.

4.（22-23九年級(jí)上?湖北黃岡?期末）如圖，冰淇淋蛋筒下部呈圓錐形，則蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫

忽略不計(jì)）是（）

-5cm-?

A.20cm2B.40cm2C.207TCH12D.407Tcm2

【答案】C

【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)X母線長(zhǎng)+2.

【詳解】解：由圖知，底面直徑為5,則底面周長(zhǎng)/為5兀，母線長(zhǎng)為8,

所以側(cè)面展開(kāi)圖的面積=|X5?rx8=207rcm2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解，比較簡(jiǎn)單.

二、填空題

5.（2025?江蘇徐州?一模）已知圓錐的底面半徑為5,母線長(zhǎng)為12,則其側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角的度數(shù)為一

O

【答案】150

【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)是解

題的關(guān)鍵.設(shè)圓心角的度數(shù)為九。，根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，列出方程解出n

的值即可.

【詳解】解：設(shè)圓心角的度數(shù)為滸，

由題意得，空士=2兀*5,

180

解得：n=150,

???扇形的圓心角的度數(shù)為150。.

故答案為：150.

6.若圓錐的底面半徑為4cm,母線長(zhǎng)為5cm,則圓錐的側(cè)面積為cm2.（結(jié)果保留兀）.

【答案】20兀

【分析】本題考查圓錐側(cè)面積的求法，掌握相應(yīng)公式是解題的關(guān)鍵.圓錐的側(cè)面積=7TX底面半徑X母

線長(zhǎng)，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解.

【詳解】解：：圓錐的底面半徑長(zhǎng)為4cm,母線長(zhǎng)為5cm,

圓錐的側(cè)面積=7TX4X5=207r（cm?）,

故答案為：207r.

7.（2024.廣東肇慶.一模）若圓錐的高為8cm,母線長(zhǎng)為10cm,則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)是

Cm.（結(jié)果保留7T）

【答案】127r

【分析】本題主要考查求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，根據(jù)圓錐的展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，先

由勾股定理求出底面半徑即求解.

【詳解】解：圓錐底面半徑=V102-82=6cm；

這個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)是127rcm

故答案為：127r.

8.（2024.江蘇徐州.一模）圓錐的側(cè)面積為24兀，底面半徑為3,則該圓錐的母線長(zhǎng)是.

【答案】8

【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積，根據(jù)圓錐的側(cè)面積=兀M，列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為Z,

???圓錐的側(cè)面積為24兀，底面半徑為3,

3nl=247r.

解得：1=8,

故答案為：8.

9.（2023?云南?模擬預(yù)測(cè)）某節(jié)活動(dòng)課上，安安用一張半徑為18cm的扇形紙板做了一個(gè)圓錐形帽子（如圖,

接縫處忽略不計(jì)）.若圓錐形帽子的半徑為10cm,則這張扇形紙板的面積為cm2.

【答案】180兀

【分析】本題主要考查圓錐的側(cè)面積，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：解：這張扇形紙板的面積為扣x2x10x18=180?rcm2,

故答案為：18071.

10.（2025?四川眉山?二模）有一直徑是1m的圓形鐵皮，要從中剪出圓心角是90。的扇形ABC（如圖），用剪

下的扇形鐵皮ABC圍成一個(gè)圓錐，該圓錐的底面圓的半徑是m.

【答案】名企

【分析】本題考查圓周角定理，求圓錐底面圓的半徑，連接BC,圓周角定理的推論得到BC為直徑，求

出力B的長(zhǎng)，進(jìn)而求出品的長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐底面圓的半徑即可.

【詳解】解：連接BC,由題意，得：ABAC=90°,AB=AC,

???8C為。。的直徑,

:,BC=1m,

：.AB=AC=—m,

2

邱的長(zhǎng)為；—x—=—m,

18024

...圓錐的底面圓的半徑為：亨+2;r=]m；

48

故答案為：

O

11.（24-25九年級(jí)上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）已知圓錐的底面半徑為2,母線長(zhǎng)S2=8,現(xiàn)有一只小蟲從圓錐底面

圓上A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓錐側(cè)面繞行到母線S4的中點(diǎn)8,則它所走的最短路程是_.

S

A

【答案】4V5

【分析】本題考查求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角，圓錐側(cè)面上最短路徑問(wèn)題，涉及弧長(zhǎng)公式，圓的周

長(zhǎng)公式，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，掌握?qǐng)A錐的底面周長(zhǎng)就是側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的弧長(zhǎng)

和兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵.根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)就是側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的弧長(zhǎng)求解圓心角；

再畫出展開(kāi)圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求解即可.

【詳解】解：設(shè)它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為n°,

根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)就是側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的弧長(zhǎng)得：

Cmil

2nr=——,

180

又???丁=2,1=8.

???2X2n=—,

180

解得：九=90.

它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是90。；

根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是90。，畫出展開(kāi)圖如下:

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知ZB為最短路徑，

???sa=8,2為S4的中點(diǎn)，

???SB=4

由⑴知NASA=90°

：.AB=7sA2+SB2=4V5

???它所走的最短路線長(zhǎng)是4花.

故答案為：4V5

12.（24-25九年級(jí)上?江蘇南京?期中）如圖，△力BC是一個(gè)圓錐的主視圖，若48=2C=5,BC=6,則該

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為。.

【答案】216

【分析】本題考查了圓錐側(cè)展開(kāi)圖的圓心角的計(jì)算，熟知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，扇形的弧長(zhǎng)等

于圓錐底面的周長(zhǎng)，半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)主視圖得到圓錐的母線長(zhǎng)和底面圓的

直徑，可得底面周長(zhǎng)，再由扇形弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意得可知：圓錐的母線長(zhǎng)為5,

圓錐的底面直徑為6,則圓錐的底面周長(zhǎng)為6m

由圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)可得：黑=6兀.

180

：.n=216°

故答案為：216.

13.（2024?四川德陽(yáng)二模）如圖，正六邊形2BCDEF的邊長(zhǎng)為6,連接4C,以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫弧CE,

得扇形4CE,將扇形4CE圍成一個(gè)圓錐，則圓錐底面圓的半徑為.

AF

【答案】V3

【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，含30度直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形

弧長(zhǎng)計(jì)算，圓的周長(zhǎng)公式等知識(shí)；涉及的知識(shí)點(diǎn)較多.過(guò)點(diǎn)8作8H14C于由正六邊形的性質(zhì)得

ABAC=AFAE=30°,ACAE=60°；在RtAABH中，由勾股定理求得4H,從而求得4C,則可求得CE

的長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐底面周長(zhǎng)等于扇形弧長(zhǎng)，即可求得圓錐底面圓的半徑.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作于"

:正六邊形力BCDEF,

Z.BAF=^ABC=(6-2)x180°+6=120°,

又；AB=BC,BH1AC

：.ABAC=|(180°-120°)=30°,AC=2AH；

同理可知NFAE=30°,

???乙CAE=60°,

在RtAABH中，/.BAH=30°,

則4B=3,由勾股定理得：AH=^-AB=3V3,

AC=6>/3,

緇的長(zhǎng)=如也1=2V3it,

180

...圓錐底面圓的半徑為等=百，

271

故答案為：V3.

14.（2023?湖北十堰?三模）黨的二十大提出“發(fā)展鄉(xiāng)村特色產(chǎn)業(yè)，拓寬農(nóng)民增收致富渠道.“王家莊村民李

興旺看到來(lái)村游客越來(lái)越多，民宿需求大增，就擴(kuò)大自己的農(nóng)家樂(lè)經(jīng)營(yíng)規(guī)模，在新建大廚房時(shí)，購(gòu)買

了規(guī)格為180cmxl20cm的長(zhǎng)方形不銹鋼鐵皮（如圖①）用來(lái)制作如圖②的煙囪帽（圓錐部分），他用

鐵皮裁下的最大扇形焊成的煙囪帽的高度為cm.

圖1圖2

【答案】80V2

【分析】先找到用鐵皮裁下的最大扇形，再根據(jù)圓錐的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖，扇形面積為:x兀x1202=36007r（cm2）,

4

如圖，CD=BD=120,貝必。=180-120=60,

在RtUBD中，Z4=90°,AD=60,BD=120,

COS/.ADB――=-,

BD2

：.Z.ADB=60°,

:'乙CDB=120°,,

扇形面積為I?。：,。=48007T（cm2）,

360

最大扇形的弧長(zhǎng)為筆了=8071,

180

圓錐的底面半徑為眄=40,母線長(zhǎng)為120,

27r

用鐵皮裁下的最大扇形焊成的煙囪帽的高度為41202—402=80V2（cm）.

故答案為：80V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，扇

形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).

三、解答題

15.（24-25九年級(jí)上?陜西渭南?期末）如圖，正六邊形力BCDEF的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)8,F在上，若圖中陰影

部分恰是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，求這個(gè)圓錐的高.

【答案】4V2

【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)與底面圓的關(guān)系，母線、底面圓的半

徑和圓錐的高構(gòu)成直角三角形的關(guān)系，弄清弧長(zhǎng)與圓錐的底面圓的周長(zhǎng)的關(guān)系及母線、底面圓的半徑

和高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和，即可求得內(nèi)角乙4的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)邊長(zhǎng)等于04的

半徑，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得弧FB的長(zhǎng)，再根據(jù)底面圓的周長(zhǎng)就是弧FB的長(zhǎng)，求得底面圓的半徑，進(jìn)而根

據(jù)母線、底面圓的半徑和圓錐的高構(gòu)成直角三角形，再求解即可.

【詳解】解：.??正六邊形4BCDEF的邊長(zhǎng)為6,

.?.乙4=180。一號(hào)=120°,4B=6,

...弧FB的長(zhǎng)為：幽個(gè)=4n,

180

?.?圖中陰影部分恰是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖.

...弧FB的長(zhǎng)即為圓錐底面的周長(zhǎng)，

設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,貝U271T=4n,

解得：r=2,

：.圓錐的高h(yuǎn)=762—22=4V2.

16.（2022.湖南邵陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）在一次科學(xué)探究實(shí)驗(yàn)中，小明將半徑為5cm的圓形濾紙片按圖1所示的步驟

進(jìn)行折疊，并圍成圓錐形.

（1）取一漏斗，上部的圓錐形內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）的母線OB長(zhǎng)為6cm,開(kāi)口圓的直徑為6cm.當(dāng)濾

紙片重疊部分三層，且每層為;圓時(shí)，濾紙圍成的圓錐形放入該漏斗中，能否緊貼此漏斗的內(nèi)壁（忽略

4

漏斗管口處），請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明；

(2)假設(shè)有一特殊規(guī)格的漏斗，其母線長(zhǎng)為6cm,開(kāi)口圓的直徑為7.2cm,現(xiàn)將同樣大小的濾紙圍成重疊

部分為三層的圓錐形，放入此漏斗中，且能緊貼漏斗內(nèi)壁.問(wèn)重疊部分每層的面積為多少？

【答案】(1)能，見(jiàn)解析

(2)5兀cm2

【分析】此題考查了圓錐側(cè)面積實(shí)際應(yīng)用.

(1)證明表面是否緊貼只需考慮展開(kāi)圖的圓心角是否相等.即可得到結(jié)論；

(2)求出扇形弧長(zhǎng)為7.2;rcm,則圓心角為7.2兀+6x幽=21