重難點(diǎn)培優(yōu)01復(fù)合函數(shù)及嵌套函數(shù)的應(yīng)用

目錄

01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基....................................................1

02題型精研?技巧通法提能力....................................................3

題型一復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及參數(shù)問題(★★★★★).......................................3

題型二復(fù)合函數(shù)的最值(值域)及參數(shù)問題(★★★★)..................................5

題型三復(fù)合函數(shù)的奇偶性及參數(shù)問題(★★★★).........................................9

題型四與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的不等式問題(★★★★★)......................................12

題型五內(nèi)外自復(fù)合型f(f(x))的零點(diǎn)問題(★★★★).......................................15

題型六內(nèi)外雙函數(shù)復(fù)合型f(g(x))的零點(diǎn)問題(★★★★)..................................22

題型七二次型因式分解型a[f(x)『+bf(x)+c的零點(diǎn)問題(★★★★★).....................26

03實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?分層突破驗(yàn)成效...................................................30

檢測(cè)I組重難知識(shí)鞏固.................................................................30

檢測(cè)n組創(chuàng)新能力提升.................................................................47

01

知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基

1、復(fù)合函數(shù)定義：兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本初等函數(shù)經(jīng)過嵌套式復(fù)合成一個(gè)函數(shù)叫做復(fù)合函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)形式：y=f[g(x)]，令：f=g(x),則y=/(g(x))轉(zhuǎn)化為y=y")/=g(x)其中/叫作中間變量.

g(x)叫作內(nèi)層函數(shù)，y=/“)叫作外層函數(shù).

2、求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟：

①確定函數(shù)的定義域

②將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)基本函數(shù)y=/[g(x)]分解成y=/?(4/=g(x)

③分別確定這兩個(gè)函數(shù)在定義域的單調(diào)性

④再利用復(fù)合函數(shù)的“同增異減”來確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。

丁=/(g(x))在(a,6)上的單調(diào)性如下表所示，簡記為“同增異減"

t=g(x)y=/(Oy=/(g(x))

增增增

增減減

3、常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(x)=加("人)(xw0)或函數(shù)/(%)=.

A-1a+1

②函數(shù)f(X)=土⑷"E).

③函數(shù)〃元)=log”壯絲=loga(1+心上)或函數(shù)/(X)=logaf=loga(1一-—)

x—mx—mx+mx+m

2

④函數(shù)/(x)=log”(，尤2+1+x)或函數(shù)/(x)=loga(>/x+1-x).

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)f(x)=〃7+2L(x*0)或函數(shù)/(x)=〃7-0L(meR).

a-1a+1

偶函數(shù)：①函數(shù)/5)=±(/+尸).

mx

②函數(shù)f(x)=\oga(a+l)-^.

③函數(shù)f(|x|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

4、奇偶性技巧

(1)若奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有意義，則有/XO)：。；

偶函數(shù)y=/(x)必滿足f(x)=/(|x|).

(2)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩

個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.

(3)若函數(shù)“X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)/(X)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.記

g(X)=g"(X)+，(一元)］，Kx)=g"(尤)一/(f)］，則/(X)=g(x)+h(x).

(4)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函

數(shù)，如/(%)+g(x),/(x)-g(x),/(x)xg(x),f{x}+g(x).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇士偶=非奇非偶；

奇義(土)奇=偶；奇x(十)偶=奇；偶x(+)偶=偶.

(5)復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

02

題型精研?技巧通法提能力

?題型一復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及參數(shù)問題?

【技巧通法?提分快招】

y=/（g（x））在（。/）上的單調(diào)性如下表所示，簡記為“同增異減”

t=g(x)y=f(t)y=/(g(x))

增增增

增減減

1.（23-24高三上.江蘇南通?月考）函數(shù)〃x）="萬的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.［-1，。］B.［0,1］C.［2,+oo）D.（-oo,2］

【答案】A

【分析】求得/'（x）的定義域，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可得答案.

【詳解】函數(shù)〃x）=J---2x中,一天2-2尤20,解得—2VX<0,

又>=—f—2%的開口向下，對(duì)稱軸方程為x=-l,

函數(shù)y=—%2—2x在［T,。］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又y=?在［0,1］上單調(diào)遞增,

因此函數(shù)Ax）=^-X2-2X在［-1,0］上單調(diào)遞減，在［-2,-1］上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/（x）=?7W的單調(diào)遞減區(qū)間是［T，。］.

故選：A

2.（2025?黑龍江哈爾濱?二模）函數(shù)〃x）=log2，-2x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（2,+oo）B.C.D.（-<?,0）

【答案】A

【分析】先求函數(shù)y=log2（f-2x）的定義域，再求函數(shù)y=/-2x在定義域上的增區(qū)間即可.

【詳解】解：由己知得尤2-2工>0,解得X<0或X>2,函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ唤?）3（2,+力），

因?yàn)閥=log2f總為增函數(shù)，要求函數(shù)/（%）=log2a2-2丈）的單調(diào)遞增區(qū)間，

由同增異減可得即求函數(shù)y=/-2x在（-e,0）口（2,+8）上的增區(qū)間

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得y=--2x在（-叫0）U（2,+8）上的增區(qū)間為（2,+。），

2

故函數(shù)f（力=log2（x-2.r）的單調(diào)遞增區(qū)間是（2,+功.

故選：A.

3.（23-24高三下.甘肅.開學(xué)考試）函數(shù)〃x）=2jcos：-3x的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

兀2左兀7T2人兀712kli5兀2kli

A.——+-——,一+(kGZ)B.一+，-----1------(keZ)

4312_12123

兀2E712fal712kn兀24兀

C.------+------,一十(丘Z)D.一十—1------(ZEZ)

12312~T__12,43

【答案】D

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，列式解得答案.

【詳解】/（x）=2^cos=2jcos13x-：）,

由題意y=cos卜-1單調(diào)遞減，且cos,-0,

則2E43x—工4巴+2加,&eZ,m~+-<x<-+—,keZ,

4212343

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是5+一，：+一（此Z）.

故選：D.

4.（2025?廣東茂名?一模）已知函數(shù)/（力=5/7^77?在區(qū)間（。,y）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍為（）

A.B.（-<?,3]C.[3,-KO）D.[5,+co）

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】由尤2-6X+5N0,可得xWl或x25,

即函數(shù)/（x）的定義域?yàn)椋╢,l]〔」5,+⑹，

又因?yàn)?尤2一6彳+5在[5,+s）上單調(diào)遞增，在（力,1]上單調(diào)遞減，

y=〃在[0,+◎上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知/（x）=_6彳+5在區(qū)間[5,+◎上單調(diào)遞增，

a>5.

故選：D.

5.（24-25高三上?河南?期中）若函數(shù)f（x）=In（尤z-6）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[0,+8）B.（0,1）C.（-8,0]D.（-8,0）

【答案】C

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則求解即可.

【詳解】函數(shù)y=ln尤在（0,+8）上單調(diào)遞增，

而函數(shù)/（X）=In1一辦）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增,

2

則有函數(shù)g（x）=x（x-a）=（x-^）2-?在區(qū)間（。,1）上恒為正數(shù)且單調(diào)遞增，

因此-<0,

2

解得a<0f

實(shí)數(shù)。的取值范圍是（-8,0].

故選：C.

6.（2025?江西?二模）若函數(shù)"力=2025*司在區(qū)間[2026,”）上單調(diào)遞增，則°的取值范圍為（）

A.[2026,y）B,（0,2026]C.（-oo,2026）D.（-8,2026]

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性計(jì)算求參即可.

【詳解】根據(jù)函數(shù)“同=2025但同在區(qū)間[2026,”）上單調(diào)遞增，且y=2025'單調(diào)遞增，

可得丁=卜一4在區(qū)間[2026,+oo）上單調(diào)遞增，所以a<2026.

故選:D.

?題型二復(fù)合函數(shù)的最值（值域）及參數(shù)問題?

【技巧通法?提分快招】

復(fù)合函數(shù)的值域求解

①指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法

（1）形如>=/（優(yōu)）（a>0,且awl）的函數(shù)求值域：令優(yōu)=/,將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求/⑺的值

域，但要注意“新元廣的范圍.

⑵形如y=〃⑺（a>0,且aw1）的函數(shù)求值域：令〃=/（%）,先求出〃=/（%）的值域，再利用y=a"

的單調(diào)性求出》=/（”的值域.

②對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法

（1）形如y=/（logq%）（〃>0,且awl）的函數(shù)求值域：令10g=先求出logaX=%的值域M,

再利用y=/?）在M上的單調(diào)性，再求出y=f（t）的值域.

（2）形如y=logq/（X）（〃>0,且awl）的函數(shù)的值域：令〃=/（x）,先求出〃=/（%）的值域，再

利用y=logfl〃的單調(diào)性求出y=log"/("的值域.

1.函數(shù)y=2丁-1的定義域、值域分別是()

A.R,(0,+oo)

B.{xlxwO},{yly>T}

C.{x\x^0},{y|y>-l,且"1}

D.{x|xH0},{y|y>-1,且尸0}

【答案】C

【分析】直接求出函數(shù)定義域，再求復(fù)合函數(shù)值域.

1_]X_1

【詳解】要使丫=2亍-1有意義，只需——有意義，即"0.

7x

Y—11

令"=---=1—,貝yw2i—1=1.

XX

x-1

X..y=2~-l>0-l=-l'

函數(shù),=2號(hào)-1的定義域?yàn)?x*0}，值域?yàn)閧引>>-1，且尸1}.

故選：c

2.若函數(shù)y=)仆2+2ax+3的值域?yàn)閇0,+8),則。的取值范圍是()

A.(3,+00)B.[3,-KO)

C.(^?,0]_[3,+oo)D.(-oo,0)[3,+oo)

【答案】B

【分析】由題意，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的值域得函數(shù)〃x)="2+2ox+3的最小值要小于等于0,進(jìn)而結(jié)合二次函

數(shù)性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：由題意：函數(shù),="加+2"+3是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，要使值域?yàn)椤?◎，

則函數(shù)/(力=酸2+2依+3的值域要包括0,即最小值要小于等于0.

當(dāng)。=0時(shí)，顯然不成立,

a>0

所以，當(dāng)4/0時(shí)，則有解得123,

A=4/—12a20

所以。的取值范圍是[3,+co).

故選：B.

3.(2024?四川成都?二模)已知函數(shù)〃X)=21+2…的值域?yàn)镸.若(l,+e)=M,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(fl)B.(-8,1]C.(L+s)D.[1,+<?)

【答案】B

2

【分析】化復(fù)合函數(shù)"x)=2,+2*+。為〃")=2",u=x+2x+a，根據(jù)已知條件。什⑹口加，確定〃的取值

范圍，再根據(jù)〃的取值范圍確定”的取值范圍即可.

【詳解】因?yàn)椤坝?=2*2+2，+〃，令"=尤2+2尤+-所以f(a)=2"；

令函數(shù)〃=爐+2彳+口的值域?yàn)镹,因?yàn)?1,+8)屋加，

所以(0,+e)屋N,所以三+2x+a必須能取到(0,+句上的所有值,

4xa_2-4a_4"，自

。=---=1—V。，解得。江

故選：B

4.(24-25高三上?河南焦作?月考)若函數(shù)/(力=1+w，則函數(shù)尸(x)=2[/⑼：/Oo]]的值域?yàn)?/p>

()

A.[1,16]B.[1,8]C.[2,16]D.[1,16]

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性可得/(x)e[0,3],再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】函數(shù)f(x)=l+lgx在^,100上單調(diào)遞增，

又(奈]=1+坨奈=°，/(100)=1+1§100=3'故/卜”[。,3],

令r=[/(X)了-/(丁)=[/(尤)了T-21gx=[“X)[一2〃x)+1=[/(x)一1]屋[0,4],

而函數(shù)>=，在[0,4]上單調(diào)遞增，貝U1V2Y16，

所以函數(shù)尸(幻=2"(初的值域?yàn)閇U6].

故選：D.

5.已知函數(shù)〃尤)=]+3?)函數(shù)g(x)=(log2X)2-21og2X+a,若任意的占eR,均存在9目1,8],使得

/(xj<g(%2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(4,+oo)B.[2,+oo)C.[-2,+oo)D.(-4,+<?)

【答案】C

【分析】分別計(jì)算出“X)在R上的值域及g(x)在[L8]上的值域，則可得1mxWg(x)1mx,計(jì)算即可得解.

i-y-3x-l+22

【詳解】/(%)=l

1+3”1+3，-1+3”-

由y=3，?0,y）,則〃耳=0_1€（-1,1）,

當(dāng)K[1,8]時(shí)，則log?3[0,3],

貝！Jg（x）-（log,尤一Ip+。_]w[q_],a+3],

由任意的占eR,均存在[1,8],使得了（xjvg（%）,

貝（I有l(wèi)Wa+3,即。，—2.

故選：C.

6.函數(shù)y=log2（x2-6x+17）的值域是.

【答案】[3,+e）

【分析】根據(jù)真數(shù)的取值范圍及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出值域.

【詳角軍】由尤2-6X+17=（X-3>+8N8,

可得y=log2（x2-6x+17/log28=3,

所以函數(shù)的值域?yàn)閇3,+8）,

故答案為：[3,包）

7.函數(shù)y=4,-2m+3的值域是.

【答案】[2,.）

【分析】應(yīng)用換元法結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域及二次函數(shù)求值域即可.

【詳解】令2，=中>0）,則丫=產(chǎn)―2/+3=（/—11+2N2,

當(dāng)且僅當(dāng)“尤=0”取等號(hào)，即原函數(shù)的值域?yàn)閇2,-）.

故答案為：[2,+8）.

8.（2025?江蘇泰州?二模）已知函數(shù)/（尤）=1限（產(chǎn)-2辦+3）的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】（-8,-6]3五+8）

【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)函數(shù)值域確定真數(shù)取值集合，再利用二次函數(shù)求出范圍.

【詳解】由函數(shù)/（對(duì)=1臉，-2ax+3）的值域?yàn)镽,得函數(shù)y=x2-2ax+3的值域包含（0,+9）,

因it匕△=4〃一1220,解得aW-6或百,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為（-8,+8）.

故答案為：（-8,-7§']36,+00）

題型三復(fù)合函數(shù)的奇偶性及參數(shù)問題

【技巧通法?提分快招】

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/(-兀)=/(兀)，

偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱

那么函數(shù)/(%)就叫做偶函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有/(-X)=-f(x),

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)

7

1.(2025?山東濟(jì)寧?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(力=鼻，則下列是奇函數(shù)的是()

3-3

A./(x+2)+；B./(x+1)-^

C.f(x+2)+3D.f(x+1)—3

【答案】B

【分析】分別求得定義域，由定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可判斷AC；BD定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而令

17

g(x)=〃％+l)-9利用奇函數(shù)的定義計(jì)算可判斷B,令=3,利用奇函數(shù)的定義計(jì)算可判斷

33—3

D.

7

【詳解】因?yàn)?(%)=「M"l),

3—3

171

對(duì)于A,/(%+2)+二=―+1),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

33—33

所以〃x+2)+；不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,所以〃x+l)=^^^，)(尤力。)，則/@+1)-3=口詈)，

令g(x)="x+1)-：=U(x/0),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

53(1—3)

g(-x)=T=一8(力，所以B正確；

313—1J

2

對(duì)于C,4》+2)+3=T不+3(尤w-1),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

3-3

所以f(x+2)+3不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

29

對(duì)于D，所以〃x+l)=獲F(X-O)，則〃尤+1)-3=二產(chǎn)一3,

7

令g(無)=丁?-3,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

3-3

2-3工_3=2+」36

g(f)=T~g⑺，

3-3-x+13x-33x-33x-3

所以/(x+l)-3不是奇函數(shù)，所以D不正確;

故選：B.

2.(2025?湖北黃岡?二模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是()

A./(x)=ln---B.〃x)=ln(e"+l)-x

C.〃尤D./1(x)=ln(Jx。+1+x)

【答案】D

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,由題意可得。+耳(1-司>0,所以定義域?yàn)?-U),

，、

又八/.匚l+1x七—(1+x「)—(1—x)=▼—2’所以為減函數(shù)’故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,/(-無)=ln(e⑶+l)+x=ln下丁+尤,一/(無)=Tne2j+1)+元=In-----Fx

>e2l+l

二者不相等，所以不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,定義域需滿足1-b工>0,即x>0,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,定義域?yàn)镽,

/(-x)=In(Vx2+1-x)=In-j==-=—/(%),為奇函數(shù)；

\+l+xj

f'(x)=1xf-^^+lLo,為增函數(shù)，故D正確.

VX+1+xWX+1/

故選：D

3.(2025?河北?模擬預(yù)測(cè))若/'⑺=(市一L)log2(+1+時(shí)(其中a>0)是偶函數(shù)，則”(

A.2B.1C.—D.一

22

【答案】A

【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

xv2

【詳解】由題意知：/(-%)-(e--e)log2(A/4X+1-ax^^f(x),

則-log2+1-axj=log2（A/4]2+1+叫，

化簡為logJ（4-a2）x2+“=。，則4_/=o,解得4=2.

故選：A.

4.（2025?山東?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〃尤）=（|尤2-5卜5阿4-目的圖象大致為（）

【答案】A

【分析】采用排除法進(jìn)行判斷，先根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行排除，再結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行選擇.

【詳解】首先：/（-x）=（|（-x）2-5|-5）ln[4-（-x）2]=（|x2-5|-5）ln（4-x2）=f（x）,

所以函數(shù)/（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于＞軸對(duì)稱，故排除CD.

又/（1）=一ln3＜0,故排除B.

故選：A

1丫

5.（24-25高三下?天津南開?月考）關(guān)于函數(shù)/'（HMln;—，下列說法正確的是（）

A.”X）在（-U）上單調(diào)遞增，且曲線y=〃尤）存在對(duì)稱軸

B.“*）在（-M）上單調(diào)遞增，且曲線y=f（尤）存在對(duì)稱中心

C.“X）在（-1,1）上單調(diào)遞減，且曲線y=〃x）存在對(duì)稱軸

D.在（-M）上單調(diào)遞減，且曲線y=/（尤）存在對(duì)稱中心

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】令寧＞0,得（％+1乂彳-1）＜0,解得一1＜》＜1,可知的定義域是（一口），

L-X

因?yàn)椤▁）=lnF=ln2（x）=]?占

且＞=匕-1在（-M）上單調(diào)遞增，＞=1舊在（0,+8）上單調(diào)遞增，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知/（X）在（-1,1）上是增函數(shù)，

又因?yàn)椤▁）+〃-尤）=lnF+ln￡=lnl=0,即/（力=一〃—%），

所以“X）是奇函數(shù)，曲線y=/（x）存在對(duì)稱中心，即B選項(xiàng)正確.

故選：B.

?題型四與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的不等式問題?

l-2x

1.已知集合人={尤Ilog3（3尤-2）＜1},B=■尤II<3>，則A5=()

5

A.B.(fl)C.—00—D.

3

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式求出集合A8,利用交集的運(yùn)算求出結(jié)果.

25

【詳解】A={x|log(3x-2)<l)={x|log(3x-2)<log3}={x|0<3x-2<3}=

333393

1-2%7l-2x-I

I<3>={川元)-

B=vXI1-21}=(-8,1)

AcB=

故選：A.

2.（2025?浙江嘉興?三模）關(guān)于犬的不等式e夠工＞1的解集為（）

A.°4B.(0,1)C.2，+C°D.(l,+oo)

【答案】D

【分析】利用y=e，在R上為增函數(shù)，由9喻工＞1=6°得1。4?。?,再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】因?yàn)?x=e*在R上為增函數(shù)，由8喻x＞l=e。有l(wèi)og?*〉。，

又y=log2X在(0,+oo)上為增函數(shù)，Iog2x>0=log21=>x>l,XG(1,+<?),

故選：D.

3

——ax

3.若不等式2?+YI；2對(duì)任意的xe[3,41恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

55

A.(-<x),2]B.[2,+co)C.—,+00D.—00,—

22

【答案】C

X7

【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及不等式恒成立，將問題化為。之]+噎在無目3,4]上恒成立，即可求參數(shù)范圍.

【詳解】由題設(shè)2辦1?一3,即爐+142以—3,貝!J2以+4＜0對(duì)任意工￡[3,4卜恒成立,

所以+2在xe[3,4]上恒成立，只需

2x2x

對(duì)于"*，其在xe[3,4]上單調(diào)遞增，則d+2）I，所以心"

2x2x22

故選：C

4.（2025?山西臨汾三模）已知〃x）=log20+4T）+x,則滿足〃2m-3）＜〃m）的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

（）

A.（1,3）B.CC.（一8,3）D.（3,+co）

【答案】A

【分析】由函數(shù)解析式明確定義域，判其奇偶性，整理函數(shù)解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)以及復(fù)合函

數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的單調(diào)性，簡化不等式，可得答案.

【詳解】由"X）=lOg20+4r）+X,易知其定義域?yàn)镽,

由尤）=log2（l+4"）-x-log2（l+4-x）-x

X

=log2]+47-2x=log24-2x=2x-2x=0,則函數(shù)〃元）為偶函數(shù)，

r

/（x）=log2（l+4、）+x=log2（l+2"）+log22=log2（2、+2T）,

由y=2,在R上單調(diào)遞增，y=x+：在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+e）上單調(diào)遞增，

則y=2,+*在（-8,0）上單調(diào)遞減，在（0,+力）上單調(diào)遞增，

即函數(shù)/（尤）在（。,+力）上單調(diào)遞增，在（-叫。）上單調(diào)遞減，

由/（2加一,IU!||2m-3|＜|m|,即（2加一3了＜＞，

整理可得3/—12機(jī)+9＜0,分解因式可得0,

解得1＜相＜3.

故選：A

5.（2025?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/⑺二監(jiān)一相一sin2x,若對(duì)Vx?2,+8）,f（hix）+f（-ax）＜0,則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是（）

【答案】D

【分析】利用定義法證明）（x）為奇函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和基本不等式的應(yīng)用證明/（%）在R上單調(diào)遞增，由函

數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式并分離參數(shù)可得。＞In/X=g（X）,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出g（x）M即可.

【詳解】因?yàn)?（-x）=er—e'+sin2x=—/⑺，/（0）=0,所以為奇函數(shù).

又/'（X）=e*+e~x-2cos2x>2y/ex-e~x-2cos2x=2—2cos2x>0>

當(dāng)且僅當(dāng)e，=b即x=0時(shí)等號(hào)成立，所以〃》）在R上單調(diào)遞增.

由/（lnx）+/（-依）<0,所以/（inx）<-/（-依）=/（依），所以lnx<ox.

對(duì)任意無目2,a），由lnx<oc,<?>—,所以只需。>（也）即可.

X\%Jmav

/xInx，/、1-lnx

令A(yù)g(x)=——，貝1g(x)=——,

XX

令gr(x)>0=>2<x<e,g‘(尤)<0=>x>e,

所以g(x)在(2,e)上單調(diào)遞增，在(e,+。)上單調(diào)遞減.

所以g（x）ma*=g（e）=:，所以

故選：D.

6.（24-25高三下?江蘇南京?開學(xué)考試）定義在R上的奇函數(shù)/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，且/⑴=0,則不

等式一>0的解集為（）

4AM+1-"17".2%+4

A.（-2,-1]u（2,+oo）B.（-oo,-2）。[-1,0）2）

C.（-2,-1]u｛。｝<J（2,+OO）D.（-2,-U（2,+CO）

【答案】D

【分析】由題意可得在區(qū)間（0,1）上/⑺<。，在區(qū)間（1,+e）上/⑺>0,在區(qū)間（-1,0）上/⑴>。,在區(qū)

間s，T上?。?lt;0,可得c或[小）：。求解即可.

''''[4A+1-17-2X+4>0[4X+1-17-2'+4<0

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則/（。）=0,

又由“X）在（0,+。）上單調(diào)遞增，且/⑴=0,

則〃x）在（-力,0）上為增函數(shù)，且〃T）=0,

則在區(qū)間（。,1）上/（x）<0,在區(qū)間（1,+。）上〃”>0,

在區(qū)間（TO）上/（x）>0,在區(qū)間（一。,一1）上〃x）<0,

對(duì)匕空：4>0或小°

不等式4薊一172+4

一[4A+1-17-2Y+4<0

-1<X<0S￡X>1x<-1或0<x<l

所以1*Sv2

*')172.*0>'4)1?2.⑷■(k

-l<x<0或x>1x<-l^cO<x<l

所以或［(期3?*4)8

(@?x小卜4?

-l<x<Og!<x>lx<-1或0<x<l

所以21；或2)4或，

-<2X<4

14

解得：％>2或一2<工(一1或OWxWL

即不等式的解集為(-2,-1]5。,1]32,+8).

故選：D.

?題型五內(nèi)外自復(fù)合型―乃)的零點(diǎn)問題?

x__%>0

1.已知函數(shù)〃x)=2'-5則函數(shù)y=f(/(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

ln(-x),x<0,

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】將函數(shù)y=/(/(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程/(/(司)=。的解的個(gè)數(shù)，解方程即可.

【詳解】對(duì)于/(〃尤))=0,令"x)=t，由/⑺=0得__L=0或《17)=0,解得或t=-L

所以"x)=g或〃x)=T,

x>0Ix<0

當(dāng)/時(shí)，11或<In(一九)=!解得％=1或尤__2.

X——=人一ec

22

當(dāng)/(力=一1時(shí)，1，或、，，解得尤=-!(舍)或彳=-廠.

x——=-1ln(-x)=-12

I2

所以函數(shù)y=/(〃x))的零點(diǎn)為x=i或》=_1或》=一「，

故選：C.

2.已知函數(shù)〃x)=『+2:3,彳：0,則方程々⑺『的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)至多是()

[log2x-2,x>0

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)合方程問題，換元/=/(%),作函數(shù)圖象分別看內(nèi)外層分別討論方程了(/(》))=左根的個(gè)數(shù)

情況，即可得答案.

【詳解】設(shè)f=/(x),則/(/(司)=左化為般

x2+2x-3,x<0

又“x)=

log2x-2,x>0

所以〃0)=-3=〃-2)=/,/(-1)=-4=/

作出函數(shù)的大致圖象，如圖

由圖可得，當(dāng)左>一3時(shí)，/?)=上有兩個(gè)根％<-2,

即r=/(x)<-2或,=〃尤)>；,此時(shí)方程/(〃x))=々最多有5個(gè)根；

當(dāng)3時(shí)，/(1)=%有三個(gè)根一24%<—1,-1<勻40,；</343，

即-2Wf=/(x)<—1或—l<f=/(x)WO或*=/(x)q,

此時(shí)方程/(〃力)=人最多有6個(gè)根；

當(dāng)左=T時(shí)，/?)=%有兩個(gè)根％=-1也=；，即/(力=一1或〃引=；,

此時(shí)方程/(〃尤))=上有4個(gè)根;

當(dāng)左<Y時(shí)，/?)=上有一個(gè)根即

此時(shí)方程/(〃X))=上有2個(gè)根；

綜上，方程/(/(x))=A的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)至多是6個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

3.設(shè)aeR,函數(shù)=[若函數(shù)>=/(/(切恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

I—X+CLX,X"C0,

A.(-2,0)B.(0,1)C.[-1,0)D.(0,2)

【答案】A

【分析】〃司=-/+就的對(duì)稱軸為.(分類討論當(dāng)與20時(shí)和當(dāng)■!<()時(shí)，分別作出函數(shù)的圖象,

借助圖象判斷了(〃力)=0根的個(gè)數(shù)，或列出了(/(*))=0恰有三個(gè)根的條件即可求解.

【詳解】由題意知，/(耳=一/+依的對(duì)稱軸為五=￡,

當(dāng)■|2。即.20時(shí)，“X)的圖象如圖1,此時(shí)令/(〃切=0,可得〃力=1,

觀察圖象可解得x=0或x=2,即方程有兩個(gè)根，則此時(shí)y=f(/(x))只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)]<0即。<0時(shí)，/⑺的圖象如圖2,此時(shí)令/(〃x))=0,可得〃x)=l或〃x)=a,

因?yàn)閤=0和x=2均為〃x)=l的根，

所以要使函數(shù)y=f(〃x))恰有三個(gè)零點(diǎn)則需滿足〃司=。只有一個(gè)根，且。<0,當(dāng)x<0時(shí)，/(%)_<1.

當(dāng)x<0時(shí)，/(加-/+儀的對(duì)稱軸為工二｝。，

則〃x)a=U!<l，解得一2<"2,

力攵一2vav0.

綜上，。的取值范圍為(-2,0).

故選：A.

兀

2sin—x,0<x<2__

4.已知函數(shù)〃x)=2,則方程/[/(*)]=2的根的個(gè)數(shù)是().

|log3(x-2)|,x>2

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，可求出所有的根.

【詳解】設(shè)/(%)",由方程/(。=2.

JT

若0</<2,則2sin—f=2=>r=l.

2

再由/(x)=l,若0<x<2,貝1]2$m5%=1=>彳=；或彳=3；若x>2,則|log3(x-2)|=l=>尤=(或x=5.

若t>2,則|log3(r-2)1=2=>/=孩或f=ii.

再由〃x)=T，若0<x<2,則2singx=B，無解；若x>2,則隧3(無一2)|=T=尤=2+32或彳=2+3號(hào)；

由/(x)=ll,若0<x<2,則2sin]x=ll,無解；若x>2,則/嗎(》一2)|=11n*=2+3”或x=2+3-".

綜上可知，方程/[/(司]=2有8個(gè)根.

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分段函數(shù)的問題一般要分段解決.

5.已知函數(shù)〃x)=,,,函數(shù)g(x)=/(〃x))-〃*)一1,則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)

1TLX,X>U2

數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)曲線y=i皿在點(diǎn)(1,0)處的切線方程判斷曲線y=inf和+1的交點(diǎn)情況，求方程〃r)=t+l

的根，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理判斷該根的大致范圍，判斷了(X)的圖象與直線y=%,\<t0<-

4e

的交點(diǎn)情況

【詳解】函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程一(〃力--1=0的根的個(gè)數(shù).令/=/(江貝I]方程

/(〃⑼一〃同一1=。等價(jià)于

求曲線y=在點(diǎn)(1,0)處的切線方程，得曲線y=lm和y=r+l的交點(diǎn)情況

對(duì)于函數(shù)>=1必，易知當(dāng)x=l時(shí)y=0,y=-,/I,=1,

X'XT

故曲線y=l皿在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為

因此曲線y=lnt和y=f+l無交點(diǎn).(技巧：通過研究曲線y=向在點(diǎn)(1,0)處的切線，

數(shù)形結(jié)合判斷曲線，=1川和、=-1的交點(diǎn)情況)

求方程/(f)=r+l的根，并判斷該根的大致范圍：

將y=%+i代入y=―y—2at,得，之+(1+2〃)/+1=0,

13

貝UA=4〃+4々-3,令△=(),得〃=大或〃=一大，

22

故當(dāng)0<。<；時(shí)，A<0,y=-/一2ar與y=r+l無交點(diǎn)，

作出函數(shù)y=/(。和y=t+i的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，

方程有且僅有1個(gè)解，且此解就是方程lnr+f+l=0的解.

易知函數(shù)Mx)=lnx+x+l是增函數(shù)，且=^Q]=-21n2+|<0(點(diǎn)撥：因?yàn)?/p>

44=256>243=35>e5,所以公』，故21n2>。)因此方程lnf+r+l=0的解為e1.

又當(dāng)xWO時(shí)，-尤<；,所以-尤2-2or=fo無解，顯然|lnx|=臺(tái)有2個(gè)解，

所以函數(shù)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，

故選：B.

6.若函數(shù)y(x)=f-26+3,且關(guān)于無的方程/■(/(力)=3恰有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，貝心=.

【答案】g或-3

【分析】分類討論△的符號(hào)，討論一元一.次方程根的個(gè)數(shù).

【詳解】設(shè)/=/(%).

則t2—2at+3=3,故)=0或1=2〃.

因?yàn)榉匠?(〃x))=3恰有3個(gè)根，就是方程“X)=0和“X)=2a共有3個(gè)根.

/、a=J3a=—v3

當(dāng)/(x)=0只有1個(gè)根，即/一26+3=0只有1個(gè)根，貝葉廠或廠.

元=，3[x=-y/3

若a=g,貝IJ方程〃x)=2。即d-