一次函數(shù)綜合題（一）

選擇題（共10小題）

1.如圖，直線/1與X軸、y軸分別交于A（-2,0）,B（0,6）,直線八經(jīng)過(guò)點(diǎn)8且與x軸負(fù)半軸

交于點(diǎn)C,ZABC=45°.若線段8c上存在一點(diǎn)P,使aAB尸是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角

形，則尸點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(8,2)B.(-6,2)C.(-8,2)D.(6,-2)

2.已知直線A：>=爪+匕與直線/2：y=—上+機(jī)都經(jīng)過(guò)C(—直線/i交y軸于點(diǎn)8(0,4),

交X軸于點(diǎn)A,直線/2交y軸于點(diǎn)Q,尸為y軸上任意一點(diǎn)，連接B4,PC,有以下說(shuō)法:

6

y=kx+bx——

①方程組5

y=--^x+m8

1y=B

②△BCQ為直角三角形;

@5AABD=6；

④當(dāng)B4+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,1）.

其中正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.八個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線/將這八個(gè)正方形分

成面積相等的兩部分，則該直線/的解析式為（）

y

A.>=尹B.y=-^xC.）=而式D.y=x

4.八個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的一條直線/將這八個(gè)正方形分

成面積相等的兩部分，則該直線/的解析式為（）

5.已知直線Zi：y=kx+b與直線fa：y=—^x+m都經(jīng)過(guò)C（―稱，-）,直線交y軸于點(diǎn)B（0,4）,

交x軸于點(diǎn)A,直線/2交y軸于點(diǎn)D尸為y軸上任意一點(diǎn)，連接B4、PC,有以下說(shuō)法：

y—kx+b

①方程組1的解為

y―—尹+m

②△BCD為直角三角形；

③&ABD=6；

④當(dāng)以+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,1）.

其中正確的說(shuō)法是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

6.如圖，直線k-全+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、8,點(diǎn)C在線段OA上，線段QB沿8c翻折,

點(diǎn)。落在48邊上的點(diǎn)D處.以下結(jié)論：

①42=10；

②直線BC的解析式為y=-2x+6；

2412

③點(diǎn)D(―,—);

9

④若線段8c上存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、。、C、。為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是g,

7.如圖，直線>=一%+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、8,點(diǎn)C在線段OA上，線段OB沿8c翻折,

點(diǎn)。落在A8邊上的點(diǎn)。處，以下結(jié)論：

①AB=10；

②直線BC的解析式為y=-2x+6；

③點(diǎn)D(4.6,2.4)；

④若線段BC上存在一點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)P、。、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1.5,

2.4),

8.如圖，已知直線MN：>=爭(zhēng)+2交無(wú)軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)8,點(diǎn)C是無(wú)軸上的一點(diǎn)，且

0c=2,則的度數(shù)為()

y

N，

A.45°或135°B.30°或150°C.60°或120°D.75°或165°

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，半徑為2的O。與左軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是OO上一動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)C為弦的中點(diǎn)，直線y=,x-3與無(wú)軸、y軸分別交于點(diǎn)。、E,則點(diǎn)C到直線。E的最

小距離為（）

10.如圖，直線？=-箏+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),把△AQB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后

得到△AO'B',則點(diǎn)V的坐標(biāo)是（）

A.(4,2V3)B.(2V3,4)

C.(V3,3)D.(2V3+2,2V3)

二.填空題（共10小題）

11.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)A（cz,b'）,B（c,d）,若點(diǎn)T（尤，y）滿足x=3y—與士

則稱點(diǎn)T是點(diǎn)A,B的“和諧點(diǎn)”.如圖，點(diǎn)、D（3,0）,點(diǎn)E是直線/：y=2x+3上任意一點(diǎn)，

若點(diǎn)T是點(diǎn)。，E的“和諧點(diǎn)”，直線ET交x軸于點(diǎn)H,當(dāng)NTDH為直角時(shí)，則點(diǎn)H到直線I

的距離為

12.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，OP經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8,0),。(0,0),8(0,6),點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對(duì)

稱點(diǎn)是P,點(diǎn)。是G)P上的一點(diǎn).

(1)NADB=°；

(2)當(dāng)點(diǎn)D到弦OB的距離最大時(shí)，直線DP1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段48的端點(diǎn)為A(1,0),B(5,8).

(1)直線AB的函數(shù)解析式為;

(2)某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)畫：在函數(shù)y=-2x+6中，輸入6。＞0)的值，得到直線CD,其中

點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。在y軸上.

①當(dāng)△OCO的面積為6時(shí)，直線8就會(huì)發(fā)藍(lán)光，則此時(shí)輸入的b的值為;

②當(dāng)直線CD與線段AB有交點(diǎn)時(shí)，直線CD就會(huì)發(fā)紅光，則此時(shí)輸入的b的取值范圍

是_____________.

14.如圖，一次函數(shù)丫=一彳x+2的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A,B,以線段為邊在第一象限

內(nèi)作等腰RtZXABC,/BAC=90°.

(1)AAOB的面積是；

(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)是；

(3)過(guò)8,C兩點(diǎn)直線的函數(shù)表達(dá)式為.

15.如圖，已知一次函數(shù)>=丘+2的圖象與y軸，x軸分別交于點(diǎn)A、B.

(1)若點(diǎn)(1,1)在函數(shù)圖象上，則左=;

(2)若SAOAB=3,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為；

(3)一次函數(shù)>=履+2的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象交于點(diǎn)C(m,3.點(diǎn)尸在x軸上，當(dāng)^

P3C為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=/x+6交x軸于點(diǎn)A、交y軸于點(diǎn)3,C點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于y

軸對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)P、。分別在線段AC、AB1.(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合)，滿足當(dāng)

17.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)>=尤+4的圖象分別與x軸，y軸交于點(diǎn)48,點(diǎn)尸在一次函數(shù)

y=x的圖象上，則當(dāng)為直角三角形時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是.

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于P、。兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)尸到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于點(diǎn)

。到兩坐標(biāo)軸的距離之和，則稱尸、。兩點(diǎn)為''友好點(diǎn)”.如圖中的P,0兩點(diǎn)即為''友好點(diǎn)”.己

知點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-3,1).

4

6

5

4

3

2

1

0...........

-6-5-4^3-2-1123456

-1

-2

-3

-4

-5

-6

(1)請(qǐng)?jiān)趚軸上提供一個(gè)點(diǎn)A的“友好點(diǎn)”，它的坐標(biāo)為；

(2)在點(diǎn)R(0,4),S(2,2),T(2,-3)中，為點(diǎn)4的“友好點(diǎn)”的是；

(3)直線/：y=x-5,與x軸相交于點(diǎn)C,與y軸相交于點(diǎn)。，M為線段CD上一點(diǎn)，若第二象

限存在點(diǎn)N,使得M,N兩點(diǎn)為“友好點(diǎn)”，請(qǐng)你提供一個(gè)符合題意的點(diǎn)N,N的坐標(biāo)

為.

19.如圖，直線y=&+2與無(wú)軸，y軸分別交于A,C兩點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，連接3C,BC

=2有，點(diǎn)M,N分別是線段A8,AC上的動(dòng)點(diǎn)(M不與A,2重合),且滿足NCMN=NCBA.當(dāng)

△CMN為等腰三角形時(shí)，M的坐標(biāo)為.

20.如圖，直線y=-分+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A,B,與直線y=x交于點(diǎn)C,線段04上的點(diǎn)。以

每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，連結(jié)CQ.

(1)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)若△?！媸堑妊苯侨切?，貝卜的值為.

三.解答題(共10小題)

21.如圖1,已知直線/i：y=Aa:+b交x軸于A(6,0),交y軸于8(0,6).

(1)求直線/的表達(dá)式；

(2)如圖2,直線CP的表達(dá)式為y=gx+c，點(diǎn)尸為線段的中點(diǎn)，在直線CP上找一點(diǎn)Q,

使得。。+4。最小，并求出最小值；

(3)如圖3,已知點(diǎn)M(-2,0),點(diǎn)、N(m,2m-6)為直線AB右側(cè)一點(diǎn)，且滿足

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線A：>=如什6與x軸、y軸分別交于A、8兩點(diǎn)，且。B=百。力，

直線/2：經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(百，1),與直線交于點(diǎn)D

(1)求直線人的解析式；

(2)如圖2,連接CB、AC,求△ABC的面積；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)。，使△QC。是以。為底邊

的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)0的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P,。和圖形W,若圖形W上存在點(diǎn)K使得NPQK=a(0°

<a<180°),則稱圖形W與P?！癮關(guān)聯(lián)”.

(1)已知尸(0,0),Q(1,0),以下列各點(diǎn)為中心，作邊長(zhǎng)為1的正方形W,若W與尸。“45

關(guān)聯(lián)”，則這個(gè)中心可能是

①（1,-1）；②（2,0）；③（0,1）.

(2)如圖，已知直線y=^-x+3.

①已知尸，。在直線y=-2上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)尸在點(diǎn)。左側(cè).設(shè)直線/與x軸，y軸分別交于N

兩點(diǎn)，若線段MN與尸?！癮關(guān)聯(lián)”，其中60°<a<90°,求。點(diǎn)橫坐標(biāo)r的取值范圍；

②已知尸(-1,0),Q(0,0).長(zhǎng)度為1的線段ST在/上，以ST上任意一點(diǎn)為圓心作半徑為

7■的圓，對(duì)每一個(gè)圓總存在a使之與P。既是“a關(guān)聯(lián)”又是“a+60。關(guān)聯(lián)”但不是“a+90°關(guān)聯(lián)”,

直接寫出r的取值范圍.

24.如圖1,一次函數(shù)〉=小什》的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)2(0,4),與正比例函數(shù)y

=—的圖象交于點(diǎn)C(6,12).

(1)直接寫出正比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)如圖2,點(diǎn)E是直線8C上的一動(dòng)點(diǎn)(與B,C點(diǎn)不重合)，過(guò)點(diǎn)E作無(wú)軸于點(diǎn)P,交

直線OC于點(diǎn)尸，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a,用含a的式子表示環(huán)的長(zhǎng)，并求出當(dāng)EF=2QB時(shí)，。的

值;

(3)如圖3,在(2)的條件下，若E是線段8c上一動(dòng)點(diǎn)(與8,C點(diǎn)不重合)，連接“，直

線OC能否把分成面積之比為1：3的兩部分？若能，請(qǐng)求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

25.如圖①，直線y=2x+b與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)8,與直線y=-2無(wú)交于點(diǎn)C(a,

-4).

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P在y軸上，若△P2C的面積為6,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖②，過(guò)x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)。",0)作直線軸，點(diǎn)。在直線/上，若以8c為腰

的△BC。是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)m的值.

線y=fcr+?的圖象與x軸交于C.直線八與直線/2交于點(diǎn)A(a,3).

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線/2的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)E在直線/2上，且△AOE的面積為士求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

4

(3)在無(wú)軸上是否存在點(diǎn)尸，使得NACB=2NAPC,若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)>=丘葉6的圖象與無(wú)軸交于點(diǎn)A(-3,0),與y軸交于

點(diǎn)B,且與正比例函數(shù)y=3?的圖象交于點(diǎn)C(3,4).

(1)求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求△OBC的面積；

(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)E使△BCE周長(zhǎng)最小，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(4)若點(diǎn)。在第二象限，△D4B是以A3為直角邊的等腰直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

(5)在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使△POC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐

28.如圖，將正比例函數(shù)y=-2x的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的一次函數(shù)圖象與x軸、y軸

分別交于A、B兩點(diǎn),P(m,n)是線段AB(不含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△A0尸的面積是S.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求S關(guān)于根的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量機(jī)的取值范圍；

(3)當(dāng)S=★時(shí)，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得PQ+BQ的值最小？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);

29.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,AB=2CD=6,AD=5,ZDCB=90°,連接2D點(diǎn)P從

點(diǎn)A出發(fā)，以每秒一個(gè)單位的速度沿折線&-8一。運(yùn)動(dòng)，到達(dá)。點(diǎn)停止.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x

秒(0<x<ll),尸的面積為y.

(1)請(qǐng)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量尤的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出y的函數(shù)圖象，并寫出關(guān)于函數(shù)y的一條性

質(zhì);

(3)若該函數(shù)圖象與直線y=x+A恰好有一個(gè)交點(diǎn)，則常數(shù)上的取值范圍是.

30.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞=2尤+4與無(wú)軸，y軸分別交于點(diǎn)A,C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線與x

(2)當(dāng)點(diǎn)。在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某時(shí)刻，使得△O3C為直角三角形且NCBZ)=90°,請(qǐng)求

出此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如備用圖所示，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到線段AC的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，在直線BC上是否存在點(diǎn)P,使得

/D4P=45°,若存在，請(qǐng)求出尸點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

一次函數(shù)綜合題(一)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.如圖，直線與x軸、y軸分別交于A(-2,0),B(0,6),直線〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)2且與無(wú)軸負(fù)半軸

交于點(diǎn)C,45°.若線段BC上存在一點(diǎn)尸，使aAB尸是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角

形，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(8,2)B.(-6,2)C.(-8,2)D.(6,-2)

【分析】過(guò)A作AP_LAB交BC于P,過(guò)尸作PMJ_AC,可得△外有AM=B。，MP

=A。，即可得出結(jié)論.

【解答】解：過(guò)A作交BC于尸，過(guò)尸作PM_LAC,如圖：

VA(-2,0),B(0,6),

：.BO=6,AO=2,

,/△A2P是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三危形,

：.AP=AB,ZPAB=90°,

ZBAO=90°-APAM^ZMPA,

VZPMA=90°=ZBOA,

：./\ABO^/\PAM(AAS),

：.AM=BO=6,MP=AO=2,

；.OM=8,

：.P(-8,2).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定與旋轉(zhuǎn)，一次函數(shù)圖象

上點(diǎn)坐標(biāo)的特征等，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

-1Z2O

2.已知直線/1：＞=丘+。與直線/2：y=—/+機(jī)都經(jīng)過(guò)。（一耳，耳），直線/1交y軸于點(diǎn)5（0,4）,

交工軸于點(diǎn)A,直線/2交y軸于點(diǎn)尸為y軸上任意一點(diǎn)，連接B4,PC,有以下說(shuō)法：

y=kx+b（X=

①方程組1的解為《口；

y=-yX+m￡

乙V-5

②△BCD為直角三角形；

③&ABD=6；

④當(dāng)B4+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,1）.

其中正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與二元一次方程的關(guān)系，利用交點(diǎn)坐標(biāo)可得方程組的解即可判斷①；

根據(jù)一次函數(shù)的解析式求得交點(diǎn)坐標(biāo)，求得2。和4。的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，即可得到

的面積，即可判斷③；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷②；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之

間，線段最短，即可得到當(dāng)力+PC的值最小時(shí)，求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)即可判斷④，逐一判斷即可得出

答案.

【解答】解：：直線dy=fcc+b與直線％：y=—聶+巾都經(jīng)過(guò)C（*,|）,

y^kx+b（x=-f

方程組1的解為：4口￡故①正確；

y=~2X+血[y=-

把C（一（,當(dāng)代入直線y=-^%+m,可得機(jī)=1,

?「

??y=_-21+1，

令I(lǐng)=0,貝ljy=l,

：.D(0,1),

BD=4-1=3,

?只(4=b

把5(0,4),C(—耳，耳)代入直線/i：y=fcv+b,可得,_6卜+y

解得:皆可,

丁?直線A：y=2x+4,

令y=0,則x=-2,

AA(-2,0),

：.OA=2,

???S-BD=jx3x2=3,故③錯(cuò)誤；

；B(0,4),C(-|,|),D(0,1),

：.BC2=(0+1)2+(4-1)2=等,CD2=(O+射+(1-1)2=I，BD2=(1-4)2=9/.BC2+Cr>2

=BDr,

.?.△BCD為直角三角形，故②正確；

點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為A(2,0),

f0=2a+n

設(shè)過(guò)點(diǎn)C,A的直線為貝386,

'l5=~5a+n

解得：卜=一2,

tn=1

.*.y=—/+1,

令％=0,貝力=1,

當(dāng)以+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,1),故④正確，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象與性質(zhì)、勾股定理，三角形面積以及最短距離問(wèn)題，凡是涉及

最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某

直線的對(duì)稱點(diǎn).

3.八個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線/將這八個(gè)正方形分

成面積相等的兩部分，則該直線/的解析式為()

A.B.y=[Xc.y=mD.y=x

【分析】設(shè)直線/和八個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A,過(guò)A作A8J_O8于8,過(guò)A作ACLOC于C,

易知。3=3,利用三角形的面積公式和已知條件求出A的坐標(biāo)即可得到該直線I的解析式.

【解答】解：設(shè)直線/和八個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A,過(guò)A作于8,過(guò)4作ACJ_OC

于C,

???正方形的邊長(zhǎng)為1,

：.0B=3,

?..經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線/將這八個(gè)正方形分成面積相等的兩部分,

兩邊分別是4,

，三角形AB。面積是5,

1

.".-0B'AB=5,

2

由此可知直線/經(jīng)過(guò)（一，3）,

3

設(shè)直線方程為y=fcv,

則3=*

k-2.

直線/解析式為y-4x,

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了面積相等問(wèn)題、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及正方形的性質(zhì)，此題

難度較大，解題的關(guān)鍵是作ABLy軸，作AC,尤軸，根據(jù)題意即得到：直角三角形A8。，利用三

角形的面積公式求出的長(zhǎng).

4.八個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)尸點(diǎn)的一條直線/將這八個(gè)正方形分

成面積相等的兩部分，則該直線/的解析式為（）

A.尸3+±B.y=g%+C.尸設(shè)+*D.y=^x+

【分析】直線l和八個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為P,過(guò)P作PBLOB于B,過(guò)P作PCLOC于C,

易知。2=3,利用三角形的面積公式和已知條件求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可得到該直

線/的解析式.

【解答】解：直線/和八個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為尸，過(guò)尸作尸2，。2于B,過(guò)產(chǎn)作PCUOC于C,

???正方形的邊長(zhǎng)為1,

：.0B=3,

???經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的一條直線/將這八個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，

三角形ABP面積是8+2+1=5,

1

：.-BP-AB^5,

2

48=2.5,

；.0A=3-2.5=05

由此可知直線/經(jīng)過(guò)(0,0.5),(4,3)

設(shè)直線方程為y=fcv+b,則｛:J+°j=3'

k=3

解得II

\b=wz

直線l解析式為y=|x+1.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了面積相等問(wèn)題、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及正方形的性質(zhì)，此題

難度較大，解題的關(guān)鍵是作尸軸，作軸，根據(jù)題意即得到：直角三角形A2P面積是5,

利用三角形的面積公式求出AB的長(zhǎng).

5.已知直線A：與直線/2：y=-匕+M都經(jīng)過(guò)C（―得，-）,直線/i交y軸于點(diǎn)8（0,4）,

交x軸于點(diǎn)A,直線/2交y軸于點(diǎn)D尸為y軸上任意一點(diǎn)，連接B4、PC,有以下說(shuō)法：

y-kx+b（-

①方程組1的解為《x口；

y--^x+mly_0

②△BCD為直角三角形；

③SZ\ABD=6；

④當(dāng)必+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,1）.

其中正確的說(shuō)法是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象與二元一次方程的關(guān)系，利用交點(diǎn)坐標(biāo)可得方程組的解；根據(jù)兩直線

的系數(shù)的積為-1,可知兩直線互相垂直；求得2。和A。的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，即可

得到△A3。的面積；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間，線段最短，即可得到當(dāng)PA+PC的值最小時(shí),

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,1）.

【解答】解：①:,直線/1：與直線/2：y=—都經(jīng)過(guò)C（一提，

■y=kx+b（x--f

?.方程組1的解為《a5,

y=-^x+m￡

故①正確，符合題意;

4-b

ff-2

Ao86解得c

②把代入直線：可得-fl-

B(0,4),C(—￡,-)/iy^kx+b,---c+b4

3555

二?直線/1：y=2x+4,

又,直線/2：y=-2x+m，

...直線/i與直線/2互相垂直，即/BCD=90°,

...△BCO為直角三角形，

故②正確，符合題意;

③把C(―-)代入直線/2：y=—ix+m,可得m=1,

*5/

1

>=一/+1中，令x=0,則y=l,

：.D(0,1),

：.BD=4-1=3,

在直線/i：y=2x+4中，令y=0,則x=-2,

AA(-2,0),

：.AO=2f

1一一

??S/\ABD=2x3義2=3,

故③錯(cuò)誤，不符合題意；

④點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為A(2,0),

由點(diǎn)C、A'的坐標(biāo)得，直線CA'的表達(dá)式為：y=

令x=0,貝ljy=l,

當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),

故④正確，符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題為一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)圖象與性質(zhì)，三角形面積以及最短距離問(wèn)

題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況

要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn).

6.如圖，直線y=-,x+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)C在線段。4上，線段。2沿2C翻折，

點(diǎn)。落在邊上的點(diǎn)。處.以下結(jié)論：

①48=10；

②直線BC的解析式為y=-2x+6；

^2412

③點(diǎn)D(―,—)；

9

④若線段8C上存在一點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)尸、0、C、。為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)是？

以上所有結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()

y

0|CAx

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】先求出點(diǎn)A，點(diǎn)2坐標(biāo)，由勾股定理可求A2的長(zhǎng)，可判斷①；由折疊的性質(zhì)可得。2=

BD=6,OC=CD,/BOC=/BDC=90°,由勾股定理可求0c的長(zhǎng)，可得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定

系數(shù)法可求解析式，可判斷②；由面積公式可求的長(zhǎng)，代入解析式可求點(diǎn)。坐標(biāo)，可判

12

斷③；由菱形的性質(zhì)可得尸o〃oc,可得點(diǎn)P縱坐標(biāo)為E，可判斷④，即可求解.

【解答】解：：直線y=—全+6分別與x、y軸交于點(diǎn)4B,

.?.點(diǎn)A(8,0),點(diǎn)、B(0,6),

.,.OA—8,OB—6,

：.AB=VOB2+0A2=V64+36=10,故①正確；

;線段OB沿2C翻折，點(diǎn)。落在AB邊上的點(diǎn)。處，

：.OB=BD=6,OC=CD,ZBOC=ZBDC=90°,

：.AD=AB-BD=4,

VAC^^AD^CD2,

：.(8-OC)2=16+OC2,

：.OC=3,

.?.點(diǎn)C(3,0),

設(shè)直線8c解析式為：y=kx+6,

.?.0=3k+6,

:.k=-2,

直線8C解析式為：y=-2x+6,故②正確；

*：CD=OC=3,

：.CA=5,

11

VSAACD=^ACXDH=jCDXAD,

：.DH=^=^,

，當(dāng)廠音時(shí),Y=一|尤+6,

._24

?.X-號(hào)，

2412

，點(diǎn)。(—,—),故③正確；

??,線段BC上存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)尸、0、。、。為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，且0C=CD,

J.PD//0C,PD=0C=3,

一12

二?點(diǎn)P縱坐標(biāo)為w，

,2412、

。??點(diǎn)D(―,—),

-912、

'??點(diǎn)P(-,—),

9

???點(diǎn)尸橫坐標(biāo)為？故④正確，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求解析式，折疊的性質(zhì)，面積法，菱形

的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

7.如圖，直線y=-%+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)C在線段。4上，線段沿BC翻折，

點(diǎn)。落在A2邊上的點(diǎn)。處，以下結(jié)論：

①48=10；

②直線BC的解析式為y=-2x+6；

③點(diǎn)D(4.6,2.4)；

④若線段BC上存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、。、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1.5,

2.4),

其中正確的結(jié)論是()

y

0|CAx

A.①②B.①②③C.①③④D.①②④

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)以及勾股定理，菱形的性質(zhì)對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析后再

作出選擇.

【解答】解：令y=0,貝|0=-*+6,

.,.尤=8,

：.OA=S,

令尤=0,得y=6,

：.OB=6,B(0,6),

在RtZ^AOB中，AB=V82+62=10,

故①正確；

:線段OB沿2C翻折，點(diǎn)。落在AB邊上的點(diǎn)。處，

：.BD=BO=6,ZADC=90°,DC=OC,

二4。=4,

設(shè)OC=OC=x,則AC=8-尤，

在RtZ\ACD中，Ab1+CD1=AC2,

即4?+/=(8-%)2,

解得：x=3,

.?.點(diǎn)C(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為y—kx+b,

把點(diǎn)8(0,6)和C(3,0)分別代入y=fcc+6,得：

(b=6

IO=3k+b'

解得：［J=

3=6

直線BC的解析式為y=-2x+6,

故②正確；

如圖1,過(guò)。作。E_LOA于E,

y

D

CE

圖1

根據(jù)三角形面積可得：。苫=嗎/=等=2.4,

ziC3

在RtZ^CDE中，CE=VCO2-￡?E2=J32-2.42=1.8,

,>.OE=3+1.8=4.8,

...點(diǎn)。坐標(biāo)為(4.8,2.4),

故③不正確；

如圖2,

當(dāng)以點(diǎn)P、O、C、。為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí)，尸?！▁軸，

點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相等，

把y=2.4代入直線y=-2x+6中，得x=1.8,

.?.點(diǎn)P(1.8,2.4),

故④不正確；

綜上，正確的結(jié)論有①②，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，菱形的性

質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，深入理解題意是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

8.如圖，已知直線MN：>=爭(zhēng)+2交無(wú)軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)8,點(diǎn)C是無(wú)軸上的一點(diǎn)，且

0c=2,則的度數(shù)為()

y

yLM

N/。|北

A.45°或135°B.30°或150°C.60°或120°D.75°或165°

【分析】令y=0,可得A(-2V3,0),令x=0,可得8(0,2),利用勾股定理求出AB=4,

可得/K4O=30°,分兩種情況考慮：①C點(diǎn)在x軸正半軸；②C點(diǎn)在無(wú)軸負(fù)半軸.分別計(jì)算出

AMBO,N03C度數(shù)，兩個(gè)角的和差即為所求度數(shù).

【解答】解：：直線MN：>=程葉2交尤軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,

令y=O,則0=當(dāng)。+2,解得x=-2V3,

.*.A(-2V3,0),

令X=0,則y=2,

：.B(0,2),

：.AB=J(2V3)2+22=4,

：.AB=2OB,

VZAOB=90°,

AZMAO=30°,

AZABO=60°,ZMBO=120°.

?：B(0,2),OC=2,

???OB=OC,

：.ZCBO=45°,

如圖，分兩種情況考慮：

①當(dāng)點(diǎn)。在x軸正半軸上時(shí)，

NC出0=45°,

AZMBC\=120°-45°=75°；

②當(dāng)點(diǎn)。在了軸負(fù)半軸上時(shí)，

ZMBC2=120°+45°=165°.

y

/bc20c.X

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、含30度角的直角三角形、

等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì).分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，半徑為2的與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B是O。上一動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=1x-3與尤軸、y軸分別交于點(diǎn)。、E,則點(diǎn)C到直線。E的最

小距離為（）

D.-

4

【分析】連接0C,由垂徑定理得OCLAB,再由圓周角定理得點(diǎn)C在以0A為直徑的圓上（點(diǎn)0、

A除外），以為直徑作。P,過(guò)尸點(diǎn)作直線于“，交。尸于M、N,利用一次函數(shù)解

析式確定E（0,-3）,D（4,0）,則。E=5,然后證ADPHSADEO,利用相似比求出力?的

長(zhǎng)，得MH、N”的長(zhǎng)，即可求解.

【解答】解：連接0C,如圖，

:點(diǎn)C為弦A8的中點(diǎn),

???OC±ABf

：.ZACO=90°,

?,?點(diǎn)。在以QA為直徑的圓上(點(diǎn)0、A除外)，

以04為直徑作。尸，過(guò)尸點(diǎn)作直線于交。尸于M、N,

當(dāng)x=0時(shí)，y=.X-3=-3,則E(0,-3),

3

當(dāng)y=0時(shí)，~r-3=0,

4

解得x=4,則。(4,0),

；.0D=4,

；.DE=M32+42=5,

VOO的半徑為2,

.*.A(2,0),

：.P(1,0),

：.OP=1,

:.PD=OD-OP=3,

*.?ZPDH=ZEDO,ZPHD=ZEOD=90°,

△DPHS^DEO,

:.PH：OE=DP：DE,

即PH：3=3：5,

解得PH=I，

144

:.MH=PH+1=若，NH=PH-1=

4

點(diǎn)C到直線DE的最小距離為3

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所

對(duì)的兩條弧.也考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

正確尋找點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

10.如圖，直線尸—圣+2與X軸、y軸分別交于A、2兩點(diǎn)，把△AOB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后

得到△A。'B',則點(diǎn)夕的坐標(biāo)是()

A.(4,2V3)B.(2V3,4)

C.(V3,3)D.(2V3+2,2V3)

【分析】求得直角△ABO的兩條直角邊的長(zhǎng)，即可利用解直角三角形的方法求得A8,以及

的度數(shù)，則NO44是直角，據(jù)此即可求解.

【解答】解：在y=—孚%+2中令x=0,解得：y=2；

令y=0,解得：x=2V3.

貝。4=2必，02=2.

在直角△AB。中，42=，。42+。5=%/54。=30°,

又；/BAB'=60°,

：.ZOAB'=90°,

.?.2,的坐標(biāo)是(2V3,4).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與解直角三角形，正確證明=90°是關(guān)鍵.

二.填空題(共10小題)

11.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)A(?,b),B(c,d),若點(diǎn)T(x,y)滿足x=3y—與士

則稱點(diǎn)T是點(diǎn)A,B的''和諧點(diǎn)”.如圖，點(diǎn)。(3,0),點(diǎn)E是直線/：y=2x+3上任意一點(diǎn)，

若點(diǎn)T是點(diǎn)DE的“和諧點(diǎn)”，直線ET交x軸于點(diǎn)H,當(dāng)/ID”為直角時(shí)，則點(diǎn)H到直線/

的距離為7^5.

-5-

【分析】設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,2x+3)，根據(jù)點(diǎn)T是點(diǎn)。，E的“和諧點(diǎn)”，表示出點(diǎn)T的坐標(biāo),

進(jìn)而根據(jù)為直角可得點(diǎn)T和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)相同得到x的值，即可求得點(diǎn)E和點(diǎn)T的坐標(biāo);

求得直線ET的解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)X的坐標(biāo)；作碗，/于點(diǎn)M,求得AE和A8的長(zhǎng)度，根據(jù)

△AEH的面積的不同表示方法求出點(diǎn)H到直線/的距離.

【解答】解：設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x,2x+3）,

:點(diǎn)D（3,0）,點(diǎn)T是點(diǎn)。，E的“和諧點(diǎn)”，

3+x2x+3

.??點(diǎn)T的坐標(biāo)為（――）.

?；NTDH=90°,

點(diǎn)T的橫坐標(biāo)和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)相同,

3+x

---=3.

3

解得：x=6.

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（6,15）,點(diǎn)T的坐標(biāo)為（3,5）.

設(shè)直線ET的解析式為（ANO）.

.(6k+n=15

**l3fc+九=5

710

解得:k=3,

n=-5

直線ET的解析式為y=金-5.

當(dāng)y=0時(shí)，x=1.5.

.?.點(diǎn)"的坐標(biāo)為（1.5,0）.

3

OH=

作于點(diǎn)

由題意得：y=2無(wú)+3與x軸的交點(diǎn)A為（-1.5,0）,

點(diǎn)的，橫坐標(biāo)為6+1,5=75

：.AE=".52+152=學(xué)逐，AH=3.

11

9：S^AHE=^AHX15=]AE?MH.

6

-

：.MH=5

故答案為：-Vs.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí).理解新定義的意義并靈活應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵.

12.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，0P經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8,0),。(0,0),8(0,6),點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)

稱點(diǎn)是尸1,點(diǎn)。是OP上的一點(diǎn).

(1)ZADB=90°；

(2)當(dāng)點(diǎn)D到弦OB的距離最大時(shí)，直線DPi與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)(芋,0)_.

【分析】(1)連接AB.AD.BD,利用圓周角定理：90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑，即可得到

答案；

(2)由題意，先求出點(diǎn)。和點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出解析式，令