八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練(浙教版)

專題12正方形的性質(zhì)與判定

【考點一】正方形的性質(zhì)與判定綜合考

例題：(四川達州?九年級期末)如圖，在AABC中，。是3C的中點、E是4D中點，過點A作A尸〃3C交BE

的延長線于點F,連接CF.

B---------------------；

⑴求證：AF=DC；

(2)若ACLAB,試判斷四邊形4XT的形狀，并證明你的結(jié)論；

⑶直接回答：當滿足時，四邊形ADCV是正方形.

【答案】⑴見解析；

(2)四邊形ADb是菱形，見解析；

(3)AC=BC

【解析】

【分析】

(1)利用AF〃3C推出NOSE=NAPE,由此證明△廢人FEA(A4S),得到8￡>=AP,即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)直角三角形斜邊中線得到4D=CD,即可證得四邊形ADCP是菱形；

(3)當AABC滿足AC=BC時，理由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得到AOLBC,即可證得四邊形ADb是

正方形.

⑴

證明：???AF//BC,

：.ZDBE-Z.AFE,

■.E是AD中點，

AE=DEf

'：ZBED"AEF,

△BED工△FEA(AAS),

/.BD二AF,

。是5c的中點，

BD=CD,

：.CD=AF；

⑵

四邊形4X:尸是菱形，理由如下：

■：AFWCD,AF=CD,

四邊形ADCT是平行四邊形，

：AC±BC,點。是BC的中點，

AD-BD-CD,

四邊形》是菱形；

(3)

當△ABC滿足AC=8C時，四邊形ADCF是正方形，理由如下：

???N54C=90。，AC=BC,為中線，

:.ADA_BC,

菱形ADCF是正方形，

故答案為：AC=BC.

【點睛】

此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，證明四邊形是菱形，證明四邊形是正方形，等腰三角形三線合一的

性質(zhì)，熟記各定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(云南省個舊市第二中學(xué)八年級期中)如圖：已知：4。是的角平分線，DE〃AC交AB于E,

。尸〃交AC于E.

A

⑵當C滿足什么條件時，四邊形AED尸是正方形？

【答案】⑴見解析

（2）4AC=90°

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理：有兩組對邊相互平行的四邊形是平行四邊形，推知四邊形極加是平行

四邊形；然后由平行四邊形的對角相等、對角線平分對角的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)證得NEW=N￡ZM；

最后由等角對等邊推知DABCD的鄰邊AE=Z5E；

（2）由正方形的四個角都是直角的性質(zhì)知三角形ABC中ZBAC=90°.

（1）

解：證明：-.-DE/ZAC,DF//AB,

:.DE//AF,DF//AE,

，四邊形AEZ*是平行四邊形（有兩組對邊相互平行的四邊形是平行四邊形），

:.ZEAF=ZEDF（平行四邊形的對角相等）；

又AD是AABC的角平分線，

:.ZEAD-Z.FAD,

'：DEWAC,

ZEDA=NFAD,

:.ZEAD=ZEDA,

:.AE=DE（等角對等邊），

，四邊形AEDR是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；

⑵

解：由（1）知，四邊形AEDb是菱形,

???當四邊形AE7乃是正方形時，ZE4F=90°,即4c=90°,

.?.△45。的/%。=90。時，四邊形AED尸是正方形.

【點睛】

本題考查了正方形的判定、菱形的判定.解題的關(guān)鍵是注意：菱形是鄰邊相等的"平行四邊形"，而非鄰邊相

等的"四邊形".

2.(江蘇?南京外國語學(xué)校八年級階段練習(xí))如圖，在AABC中，ZACB=90°,是AB邊上的中線，E是

CD的中點，過點C作交AE的延長線于點居連接8尸.

⑴求證：四邊形BDb是菱形；

(2)當AABC滿足什么條件時，四邊形8OC尸是正方形？請說明理由.

【答案】⑴見解析；

{2}AC=BC,理由見解析

【解析】

【分析】

(1)由"44S"可證△<?￡皮△OEA,可得CP=A￡),由直角三角形的性質(zhì)可得CO=AD=BD=CF,由菱形

的判定可證四邊形BDCT是菱形；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)可得CDLAB,即可證四邊形2DCP是正方形.

(1)

證明：

ZCFA=NBAF,ZA￡)C=NFCD,

,；E是CO的中點，

CE=DE

△CEF^△DEA(A4S)

CF=AD,

■：CD是RdABC的中線

CD=AD=BD

：.CF=BD,

-：CF//AB

...四邊形BDCb是平行四邊形，

CD=BD

四邊形BOCb是菱形

(2)

當AC=BC時，四邊形是正方形，

理由如下：NACB=90°,AC=BC,

.1.△ABC是等腰直角三角形

C。是邊上的中線

CDrAB,

zBDC=90°

■■■四邊形8。。廠是菱形

二四邊形8DCB是正方形.

【點睛】

本題考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性

質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵.

3.(浙江杭州?一模)已知：如圖，邊長為4的菱形A8CD的對角線AC與的相交于點。，若/CAD=NDBC.

⑴求證：四邊形A3CD是正方形.

⑵E是。8上一點，BE=1,且垂足為?！ㄅc0C相交于點/，求線段O尸的長.

【答案】⑴見解析

(2)20-1

【解析】

【分析】

(1)由菱形的性質(zhì)得出AD//BC,ZBAD=2ZDAC,ZABC=2ZDBC,得出4W+NABC=180。，證出

ZBAD=ZABC,求出N&4￡>=90。，即可得出結(jié)論；

(2)由正方形的性質(zhì)得出ACJ_5D,AC=BD,CO=-AC,DO=-BD,得出NCQB=/OOC=90。，

22

CO=DO,證出NECO=/EDH,證明AECOV^FDO(ASA),即可得出結(jié)論.

⑴

證明：??,四邊形ABCD是菱形，

:.AD//BC,ZBAD=2ZDAC,ZABC=2ZDBC,

.'.ZBAD+ZABC=180°,

NCAD=NDBC,

:.ZBAD=ZABC,

:.2ZBAD=180°,

:.ZBAD=90°,

四邊形ABC。是正方形；

(2)

解：?四邊形"CD是正方形，AB=BC=4,

-AC±BD,AC=BD=4AB1+BC2=4A/2-

.-.OB=CO=-AC=2y/2,DO=-BD=2^2,

22

:.NCOB=NDOC=90°,CO=DO,

■.■DHICE,垂足為

NDHE=90°,NEDH+ZDEH=90°,

ZECO+ZDEH=90°,

.-.ZECO=ZEDH,

在&ECO和AEDO中，

ACOE=ZDOF=90°

，OC=OD,

ZECO=ZFDO

:.AECO蘭AFDO(ASA),

:.OE=OF.

-.BE=1,

：.OE=OF=OB-BE=2^-1.

【點睛】

本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握正方形的判定

與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.(廣東深圳?二模)如圖1,正方形中，AC為對角線，點尸在線段AC上運動，以。P為邊向右作

正方形QPFE,連接CE；

P

圖1圖2圖3

⑴【初步探究】

則AP與CE的數(shù)量關(guān)系是，AP與CE的夾角度數(shù)為；

⑵【探索發(fā)現(xiàn)】

點尸在線段AC及其延長線上運動時，如圖1,圖2,探究線段。C,PC和CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由；

(3)【拓展延伸】

點尸在對角線AC的延長線上時，如圖3,連接AE,若AB=26，AE=2屈,求四邊形。CPE的面積.

【答案】⑴AP=CE,90°

⑵CE=4iCD+PC，理由見解析

(3)12

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AD=CD,DP=DE,ZADC=ZDPE=90°,再根據(jù)同角的余角相等，可得

ZADP=ZCDE,再根據(jù)〃邊角邊〃證得△?!￡)?也△CDE,即可求解；

(2)跟(1)小題思路一樣，先證得△?!￡>尸且可得AP=CE,再根據(jù)△ADC是等腰直角三角形，

可得AC=V5C。，即可求解；

(3)由四邊形A5CO是正方形，可得”=26AC_L5D，再根據(jù)勾股定理,可求得CE=6,PE2=40，

進而可以求出％CDP=2,S△遁=10,即可求解.

(1)

解：??,四邊形ABCO和四邊形0PFE是正方形，

.\AD=CD,DP=DE,ZADC=ZDPE=90°,

/.ZADP+ZPDC=ZPDC+ZCDE=90°,

，ZADP=NCDE,

在△4DP和△€?￡中，

AD=CD

</ADP=ZCDE,

DP=DE

AADP^△CDE(SAS),

:.AP=CE,ZDAP=ADCE,

ZPCE=ZACD+ZDCE=ZACD-^-ZDAP=90°,

-AP與CE的夾角的度數(shù)是90°；

⑵

解：???四邊形ABC。和四邊形。尸尸E是正方形，

:.AD=CD,DP=DE,ZADC=ZDPE=90°,

ZADP+ZPDC=ZPDC+ZCDE=90°,

.?.ZADP=NCDE,

在△ADP和△CDE中，

AD=CD

<ZADP=ZCDE,

DP=DE

AADP^△CDE(SAS),

:.AP=CE,

???△ADC是等腰直角三角形，

AC=亞CD，

EC=AP=AC+CP=y/2CD+CP;

（3）

解：連接B。，CE,

?.?四邊形ABC。是正方形，

CD=AB=2A/2,AC±BD,

AB=2A/2,ZXABC是等腰直角三角形，

AC=V2AB=V2x2V2=4，

:.OD^-AC=2,

2

由（1）可知NACE=90。，

:.CE=^AE2-AC2=7（2A/13）2-42=6，

由（2）可知，CE=-j2CD+CP，

:.CP=CE-OCD=6-近x20=2,

S&CDP=]CP-OD=—x2x2=2,

在山△CPE中，PE2=CP2+CE2=22+62=40,

?.?△￡>/>￡1是等腰直角三角形，

,1,1

...Z）p2=—尸石2=—x40=20,

22

1,1

2

.■.SADPE=-DP=-X20=10,

S四邊形DCPE=S&PDE+SAPDC=]2.

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)和三角形的全等、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)以及割補法求圖形的面積.

【考點二】正方形的折疊問題

例題：（廣西南寧?八年級期中）如圖，AC是正方形ABC。的對角線，E是BC上的點，BE=l,將"BE沿

AE折疊，使點2落在AC上點B處，則42的長為（)

A.2B.3C.1+5/2D.1+73

【答案】C

【解析】

【分析】

由正方形的性質(zhì)得A2=3C,NBCD=NB=90。,NECF=gNBCD=45。,由折疊的性質(zhì)得NAFE=N2=

90°,FE=BE=1,證出ACEF是等腰直角三角形，則CE=拒FE=垃,進而得出答案.

【詳解】

解：：四邊形ABCO是正方形，

:.AB=BC,ZBCD=AB=90",NECF=gNBCD=45。,

由折疊的性質(zhì)得：NAFE=N8=90。，F(xiàn)E=BE=1,

ZCFE=90°,

△CEP是等腰直角三角形，

CE=y/2FE=72,

,BC=BE+CE=1+母,

AB=BC=]+y/2;

故選：C.

【點睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握翻折變換和

正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（山東青島?一模）如圖，在正方形ABC。中，AB=6,E是CD邊上的中點，尸是線段BC上的動點，將4ECF

沿所所在的直線折疊得到△EC'尸，連接AC',則的最小值是AC'

【答案】3厲-3##-3+3石

【解析】

【分析】

由題意可知EC'=EC=3,繼而可知點C'的運動軌跡是以E為圓心，以召C為半徑的圓弧，然后由點A,C,

E三點共線時AC'最小即可求得答案.

【詳解】

解：,??四邊形A2CD是正方形，

CD=AB=AD=6,

?「E是。。邊上的中點，

EC=-CD=3

2

???△ECT沿EF所在的直線折疊得到△ECR,

EC'=EC=3,

,當點A,C,E三點共線時，AC'最小，如圖，

在放"DE中，由勾股定理得：AE=yjAD2+DE2=A/62+32=375.

AE-EC=3亞-3,

AC'的最小值為3君-3.

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理和兩點之間線段最短等，根據(jù)已知條件確定點的運

動軌跡和利用兩點之間線段最短求最值是解題的關(guān)鍵.

2.（江蘇師范大學(xué)附屬實驗學(xué)校一模）如圖，將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊，使得點A落在邊。

的中點E處，折痕為FG,點RG分別在邊A。、8C上，則折痕FG的長度為.

【答案】2世

【解析】

【分析】

過點G作于H,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得G凡LAE,然后求出NGf7/=NO,再利用“角角邊"證明

△4￡足和46〃尸全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得GE=AE,再利用勾股定理列式求出AE,從而得解.

【詳解】

解：如圖，過點G作于則四邊形ABG8中，HG=AB,

由翻折變換的性質(zhì)得GFA.AE,

-：zAFG+ZDAE=90°,zAED+ZDAE=90°,

ZAFG=ZAED,

???四邊形ABC。是正方形,

AD=AB,

HG=AD,

在△ADE和△GH/中,

ZGHF=ZD

<NAFG=ZAED,

GH=AD

△ADE^△GHF(A4S),

GF=AEf

??,點E是CO的中點，

/.DE=—CD=2,

2

在RdADE中，由勾股定理得，AE=4AD?+DE，="=2小，

G尸的長為2君.

故答案為：2卮

【點睛】

本題考查翻折變換的問題，折疊問題其實質(zhì)是軸對稱，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，找到相應(yīng)的直角三角

形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵.

3.(廣東?普寧市紅領(lǐng)巾實驗學(xué)校九年級階段練習(xí))如圖，在正方形紙片ABC。中，E是C。的中點，將正

方形紙片折疊，點B落在線段AE上的點G處，折痕為AE若4c根，求CF的長

【答案】6-2舊

【解析】

【分析】

設(shè)則/G=x,CF=4-x,在放AGE尸中，利用勾股定理可得E乃=(2有一4/+/,在用△FCE

中，利用勾股定理可得￡產(chǎn)=(4-x)2+22,從而得到關(guān)于x的方程，求解x即可.

【詳解】

解：設(shè)8尸=尤，則則PG=x,CF=4-x.

是CD的中點，

DE=CE=LCD=2

2

在Rt^ADE中，利用勾股定理可得AE=S]AD2+DE2=A/42+22=2出■

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG=AB=4,BF=FG=x

GE=AE-AG=2y[5-4.

在RdGEF中，利用勾股定理可得由=(2^-4)2+/,

在放△小?￡中，利用勾股定理可得加=(4-%)2+22,

(275-4)2+-=(4-x)2+22,

解得x=2A/5-2,

BF=2下-2

FC=BC-BF=4-(2遙-2)=6-275.

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)及翻轉(zhuǎn)折疊的性質(zhì)，準確運用題目中的條件用兩種方法表示出￡尸，列出方程

式解題的關(guān)鍵.

4.（廣東深圳?八年級階段練習(xí)）把正方形紙片放在直角坐標系中，如圖所示，正方形紙片ABC。的邊長為

3,點E、F分別在3C、C。上，將A3、AD分別沿AE、AF折疊，點8、。恰好都落在點G處，已知38E

=BC.

備用圖

（1）請直接寫出。、E兩點的坐標，并求出直線EF的解析式；

（2）在直線所上是否存在點M,使得的面積是△4所的面積的一半，若存在，請求出點M的坐標,

若不存在，請說明理由.

（3）若點P、。分別是線段AG、上的動點，則EP+PQ的最小值是多少？并求出此時點。的坐標.

【答案】（1）。點坐標為（3,3）,E點坐標為（1,0）,直線EP的解析式為>=[彳-』；（2）當M的坐

44

39

標為（2,二）或（4,-）時，使得△AE0的面積是AAEF的面積的一半；（3）（2,2）

44

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到BC=CD=3,ZBCD=90°,則。點坐標為（3,3）,再由3BE=BC,得至BE=1,

則E點坐標為（1,0）,CE=BC-BE=2,由折疊的性質(zhì)可知，EF=BE=l,FG=DF,設(shè)CF=x,則GP=DF=3-x,

EF=EG+FG=4-x,由EF2=CE2+CF2,得至!j（4-x）~=2?+/，即可求出F的坐標為（3,-）,設(shè)直線EF

的解析式為>=爪+"把昆尸的坐標代入求解即可；

（2）由AAEF和△?!可等高，則^^警二；，從而得到所，然后分當M在線段上時，

即M為所的中點時，此時記作Mi,當M在所延長線上時，此時記作M2,則FMi=FM2,即此時F為MM

的中點，根據(jù)中點坐標公式求解即可；

（3）由EP+PQ2EQ,得到當。、P、E三點共線的時候EP+P。有最小值EQ,再由點到直線的距離垂線

段最短可知，當時，￡。有最小值，即EP+PQ有最小值，先用面積法求出QE=AG:-/FF=6r-,然

后求出直線AF的解析式為y=[x+3；設(shè)Q點坐標為。，-卜+3），則乎2=（-1）2+1]+3）=5,

由此求解即可.

【詳解】

解：（1）1?四邊形ABCD是邊長為3的正方形，

BC=CD=3,zBCD=90Q,

二。點坐標為（3,3）,

,/3BE=BC,

/.BE=1,

「.E點坐標為（1,0）,CE=BC-BE=2,

由折疊的性質(zhì)可知，EG=BE=lfFG二DF,

設(shè)CF=x,貝！]GF=DF=3-x,EF=EG+FJ-x,

EF2=CE2+CF2,

.（4-x）2=22+x2,

3

解得x=?

3

，尸的坐標為（3,

設(shè)直線E尸的解析式為V=區(qū)+萬，

k+b=O

「?<3，

3k+b=-

l2

f3

kz=—

4

-.3'

b=--

[4

33

A直線E尸的解析式為y=-x--；

44

（2）假設(shè)在直線石方上是否存在點使得△4根的面積是尸的面積的一半,

?/△AEF和△AElf等高，

.S&FM_FM_

-s"EFF

FM=-EF,

2

當M在線段歷上時，即M為EF的中點時，此時記作M,

3

點坐標為（1,0）,尸的坐標為（3,

2

%，一2一4

3

「?Mi的坐標為（2,-）；

4

當加在￡尸延長線上時，此時記作的，則方肘1=引明，即此時尸為必的中點,

。_2+x2

j-M

2

3，

5-^

X

M2=4

..<9,

J.

9

「?險的坐標為（4,-）；

3Q

綜上所述，當M的坐標為（2,二）或（4,-）時，使得△AFM的面積是△AM的面積的一半;

（3）如圖所示，連接E。，

?/EP+PQ>EQ,

.??當。、P、E三點共線的時候收+尸。有最小值E。，

再由點到直線的距離垂線段最短可知，當尸時，片。有最小值，即用+PQ有最小值，

35

由（1）得E/=EG+G/=—+1=—,有折疊的性質(zhì)可得AG=A3=3,NAGE=NAG/=NA5C=90。,

22

AF=VAG7+GF?=—,

2

■-S^EF=^AG-EF^AF-QE,

C"AGEFr-

..QE=-7--=y/5,

AF

設(shè)直線A尸的解析式為y=〃匹+”

3k+b=）

，<2,

b=3

1

2,

b=3

直線AF的解析式為y=-gx+3；

設(shè)。點坐標為（f,-卜+3）,

QE2=（?-l）2+^-1f+3^|=5,

解得f=2,

二。點坐標為（2,2）

【點睛】

本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，正方形的性質(zhì)，兩點距離公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握一次

函數(shù)的相關(guān)知識.

【考點三】正方形的動點問題

例題：（廣東?深圳市龍華區(qū)潛龍學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，已知四邊形A8CD為正方形，AB3,點、E

為對角線AC上一動點，連接DE,過點石作叱,小，交BC于點F,以DE、EP為鄰邊作矩形OEPG,

連接CG.

⑴求證：矩形D￡FG是正方形；

⑵探究：①CE與CG有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由.

?CE+CG的值為.

【答案】⑴見解析

(2)①CELCG,理由見解析；②2

【解析】

【分析】

(1)作￡M_LBC于ENLCD于N,得到EN=EM,然后證得NDEN=NFEM,得到AFEM,

則有￡)E=EF,根據(jù)正方形的判定即可證得矩形D￡FG是正方形；

(2)①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到DE=OG,AD=DC,根據(jù)余角的性質(zhì)得到NCDG=/AT電，根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得到/aM="CG,根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到=CG,根據(jù)線段的和差即可得的結(jié)論.

⑴

如圖，作￡M_L8C于〃，ENLCD千N,

A____________D

:./MEN=90°,

???點E是正方形ABCD對角線上的點,

EM=EN,

ZDEF=90。，

ADEN=ZMEF=9Q°-ZFEN,

?:/DNE=/FME=9U,

在△FEM中,

ZDNE=ZFME

EN=EM

ADEN=ZFEM

:ADENM△F￡M（ASA）,

:.EF=DE,

???四邊形O￡FG是矩形，

，矩形DEFG是正方形；

(2)

?CE1CG,理由如下：

正方形DEFG和正方形ABCD,

DE=DG,AD=DC,

???/CDG+/CDE=ZADE+/CDE=90°,

:.NCDG=ZADE,

在石和△CDG中，

AD=CD

</ADE=ZCDG,

DE二DG

:NADE^ACDG(SAS),

:.NCDA=NDCG,

?.-ZACD+ACAD+ZADC=180°,ZADC=90°,

ZACG=ZACD+ZDCG=ZACD+ACAD=90°,

:.CE1CG-,

②由①知，ACDG,

:.AE=CG,

:.CE+CG=CE+AE=AC=^AB=0^=2,

故答案為：2.

【點睛】

此題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定，三角形的全等的性質(zhì)和判定，勾股定理，解

本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，證得ADEN空.FEM.

【變式訓(xùn)練】

1.(北京大興?八年級期中)已知四邊形A8C。是正方形，點E為射線AC上一動點(點E不與A,C重合),

連接DE,過點E作跖，OE,交射線BC于點尸，過點。，尸分別作。E,所的垂線，兩垂線交于點G,連

接CG.

備用圖

(1)如圖，當點E在對角線AC上時，依題意補全圖形，并證明：四邊形DEFG是正方形；

⑵在(1)的條件下，猜想：CE,CG和AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

⑶當點E在對角線AC的延長線上時，直接用等式表示CE,CG和AC的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴見解析；

(2)CE+CG=AC,證明見解析；

(3)CE+AC=CG,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)過點E作EM_LBC,垂足為作EN_LCD,垂足N,然后先證明四邊形。EEG為矩形，再利用

△DEN蘭&FEM,得出ED=EF,最后得出結(jié)論；

(2)先證明NAOE=NCOG,再利用AAOE'ACOG,得出A￡=CG,即可證明結(jié)論；

(3)先證明NAD￡=NADC+NCDE=NGDE+NCDE=NGOC,再利用ACDG,即可得出結(jié)論.

⑴

過點E作EMLBC,垂足為M,作ENLCD,垂足N,

???四邊形ABCD為正方形，

ZBCD=90°,且NECN=45°

：.ZEMC=NENC=ZBCD^90°,NE=NC,

四邊形EMCN是正方形，

EM=EN,

,:EFIDE,DGYDE,FG工EF,

四邊形。EFG為矩形，

ZDEN+ZNEF=9Q°,ZMEF+NNEF=90°,

：.ZDEN=NMEF,

又,:ZDNE=ZFME=90°,

在△OEN和△尸EM中，

ZDNE=ZFME

<EN=EM,

ADEN=ZFEM

ADENM?FEM,

：.ED=EF,

「?四邊形OEbG是正方形;

A___________D

BMC\F

⑵

CE+CG=AC,

證明：,??四邊形DEFG是正方形,

DE=DG,ZEDC+CDG=90°f

四邊形ABC。是正方形，

/.AD=DC,ZADE+ZEDC=90°f

：.ZADENCDG,

在△ADE和△COG中，

AD=CD

<ZADE=ZCDG,

DE=DG

△CDG,

AE=CG,

/.CE+CG=CE+AE=AC；

(3)

CG^AC+CE,

如圖：

???四邊形ABC。為正方形，四邊形AEEG為正方形,

AD=CD,zADC=90",ED=GD,且NGDE=90°,

ZADE=NADC+ACDE=NGDE+NCDE=ZGDC,

在AAOE和ACDG中，

AD=CD

<NADE=NCDG,

DE=DG

AADE^ACDG,

AE-CG-AC+CE-,

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)和判定，三角形的全等的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線.

2.（山西陽泉?九年級期末）綜合與實踐：如圖（1）,已知點E為正方形ABCD對角線AC上一動點（不與

點C重合），連接8E.

E

⑴實踐與操作：在圖中，畫出以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將線段小逆時針旋轉(zhuǎn)90。的線段防，并且連接AF.

⑵觀察與猜想：

觀察圖(1),猜想并推理可以得到以下結(jié)論：

結(jié)論1,"和CE之間的位置關(guān)系是；

結(jié)論2,"和CE之間的數(shù)量關(guān)系是.

(3)探究與發(fā)現(xiàn)：

①如圖(2),若點E在C4延長線上時，(2)中的兩個結(jié)論是否仍然成立，說明理由.

②如圖(2),若AE=1,AF=6,請直接寫出A3的長.

【答案】⑴見解析

(2)AF±CE,AF=CE

(3)①成立，理由見解析；②述

2

【解析】

【分析】

(1)按題意直接作圖即可；

(2)先證AAB尸和ACBE,可得AB=CE,再證得NCAF=90。，即得AF_LCE；

(3)①先證得△ABb四△CBE,可得NBAF=ZBCE=45。,AF=CE,進一步得到

Z.CAF=ZBAC+ZBAF=45°+45°=90°.最后證得AF1CE；

②由△ABb名△CBE可得CE=A憶再由AE=1,AF=6可得AC的長，進而求得AB的長.

(1)

畫圖正確;

iD

(2)

AF1CE,AF=CE,

理由如下：

?「四邊形A3CO是正方形，

/.AB=BC,ZABC=90°,

???以點3為旋轉(zhuǎn)中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)的線段，

/.BE=BF,ZEBF=90°,

/.ZABC=4EBF=90°,

/.ZABF=4CBE,

在b和△CBE中，

AB=BC

</ABF=ZCBE

BE=BF

：.^ABF^^CBE(SAS),

AF=CE,匕BAF=4BCE,

*/ZBAC+ZBCE=90°,

：.ZBAC+ZBAF=90°,

/.ZCAF=90°,

即AF_LCE；

故答案為AF±CE-,AF=CE；

(3)

①當點E在。1的延長線上時(2)中的兩個結(jié)論仍然成立

理由：

由正方形"CD得A5=3C,/ABC=90°,ZACB=ABAC=45°.

?，-NEBF=90。,

：.ZABC+ZABE=ZEBF+ZABE.

即ZABF=Z.CBE.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知3￡=3尸.

在尸和△CBE中，

AB=BC,

，ZABF=ZCBE,

BF=BE,

AABF^ACB￡.(SAS)

ZBAF=NBCE=45°,AF=CE.

ZCAF=ZBAC+ZBAF=450+45°=9Q°.

即AF_LCE.

②A3的長為半.

理由：,「AAS尸名△CBE,

CE^AF,

AE=1,AF=6,

AC=5,

???四邊形ABC。是正方形，

：.AB=也.

2

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，關(guān)鍵是要作輔助線構(gòu)造全等的三角形，在正方形和三角

形中輔助線一般是垂線段，要牢記正方形的兩個性質(zhì)，即四邊相等，四個內(nèi)角都是90。.

3.(湖南岳陽?八年級期末)在中，N4CB為銳角，點。為射線8c上一動點，連接AD,以為一

邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.解答下列問題：

圖1圖2圖3

（D如果AB=AC,ABAC=90°,

①如圖1,當點。在線段BC上時（與點8不重合），線段CR8。之間的位置關(guān)系為；數(shù)量關(guān)系為；

②如圖2,當點。在線段BC的延長線上時，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；

（2）如圖3,如果AB<AC,/BAC<90。，點。在線段BC上運動（與點8不重合）.試探究：當N4CB=45。時，

（1）中的CF,8。之間的位置關(guān)系是否仍然成立，并說明理由.

【答案】⑴①CF=BD；②成立，理由見解析

⑵成立，理由見解析

【解析】

【分析】

（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NB4C=ND4/=90。，推出AZMB空△FAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得

到結(jié)論；

②由正方形AOEF的性質(zhì)可推出△D4B2△FAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到C/=3。，ZACF=ZABD,

根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）過點A作AGLAC交CB或CB的延長線于點G,于是得到NG4c=90。，可推出NACB=NAGC,證

得AC=AG,根據(jù)（1）的結(jié)論于是得到結(jié)果.

⑴

解:⑴@CFVBD,CF=BD；

理由：正方形ADE尸中，AD=AF,

■：zBAC=NDAF=90a,

：.ZBAD=NCAF,

在4DAB與4E4C中,

AD=AF

<ZBAD=ZCAF

AB=AC

△DAB空△FAC(SAS),

.?.CF=BD,ZB=NACFf

/AB=AC,ZBAC=90°,

ZB=AACB=45°,

：.ZACF=Z3=45°,

ZACB+AACF=90°,即CF±BD；

故答案為：CF工BD,CF=BD；

②成立.

理由：在等腰直角IBC中，AB=AC,ZBAC=90°f

在正方形ADE/中，AD=AF,ZDAF=90°,

ZBAC+ACAD=ADAF+ACAD,

.\ZBAD=ZCAF,

在△84。與VC4/中

AB=AC

<ZBAD=ZCAF

AD=AF

「.△84。二△△C4F(5AS),

:.BD=CF,

.\ZACF=ZB,

又在等腰直角△ABC中，ZB=ZACB=45°,

.\ZACF=ZB=45°f

"BCF=ZACB+ZACF=45°+45°=90°,

:.CF±BD；

⑵

解：成立.

理由：過點A作AG_LAC,交C3的延長線于點G,如圖所示:

圖4

?/NACB=45。，

/.AAGC是等腰直角三角形，

/.AG=AC,/G4c=90。，

ZGAD+ZDAC=90°,

在正方形ADM中，AD=AF,ZDAF=90°,

.\ZCAF^-ZCAD=90°,

.\ZGAD=ZCAF,

在△G4D與VC4尸中

AG=AC

</GAD=NCAF

AD=AF.

.'./^GAD=△△G4F'（SAS）,

ZACF=ZAGC=45°,

ZGCF=ZACB+ZACF=45°+45°=90°,

CF±BD.

【點睛】

本題考查了四邊形的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，過點A作AGLAC

交CB的延長線于點G構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【考點四】正方形的無刻度作圖問題

例題：（江西吉安?八年級期末）如圖所示的是由6個形狀、大小完全相同的小長方形組成的大長方形網(wǎng)格（每

個小長方形的寬都是1）,小長方形的頂點稱為這個長方形網(wǎng)格的格點，請僅用無刻度的直尺在長方形網(wǎng)格

中完成下列作圖.

⑴在圖1中作一個斜邊為5的直角三角形；

(2)在圖2中作一個面積為5的正方形；

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意可知AO=4,8=3,根據(jù)勾股定理可求AC=5,AC即所求；

(2)根據(jù)題意EP=FG=GH=HE=括，所以四邊形EFGH是面積為5的正方形.

(1)

解：如圖1,AC為所求線段;

由題意可知AD=4,CD=3,

由勾股定理可得AC="二？"=5，

線段4c即為所求；

⑵

解：如圖2,四邊形EPGH所求正方形;

由題意可知AF=1，EF=2,

根據(jù)勾股定理可得EF=爐百=后，

同理FG=GH=HE=V^,

四邊形EFGH是面積為5的正方形.

【點睛】

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，掌握勾股定理和正方形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(江蘇南京?八年級期末)已知正方形ABC。，P是CD的中點，請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖.(保

留畫圖痕跡，不寫畫法)

⑴在圖①中，畫尸垂足為2；

⑵在圖②中，畫3"_LAP,垂足為

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【解析】

【分析】

(1)連接點P與正方形的對角線的交點，并延長交A8于一點，即為點。；

(2)連接交AP于點憶連接CB并延長交AD于點E,連接BE交AP于一點即為點

(1)

解：如圖，尸。即為所求.

AD

Q

B

⑵

解：連接BD,交AP于點后連接CF并延長交A。于點E,連接8E交AP于一點即為點H,

四邊形ABC。是正方形，2。為對角線，

ZADB=Z.CDB,AD=CDf

?/DF=DF,

「.△ADF^△CDF,

：.ZDAF=Z.DCF,

??.ZADP=NCDE=90°,

△ADP^△CDE,

/.DE=DP,

AE=DP,

AB=AD,ZBAE=AAO尸=90°,

/.△ABE^△DAP,

/.ZABE=NDAP,

???ZBAH+N0Ap=90°,

ZABE+NBAH=90°,

/.ZAHB=90°f即BH_LAP

如圖，即為所求.

【點睛】

此題考查了利用正方形的性質(zhì)作垂線，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（江西?九年級期中）如圖所示的是正方形A8C7）和△笈!￡,點E,B,C在同一直線上，S.BC=2BE.請

僅用無刻度的直尺按要求作圖（保留作圖痕跡）.

（1）如圖1,尸是的中點，作于點

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答；

（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的判定解答即可.

【詳解】

解：（1）如圖1,CM即為所求.

連接AC,BD交于點0,則。為AC中點，

...尸為CD中點，

OPWAD,連接尸。并延長交于點。，AQPD為矩形，AQ=DP=^DC=^AB,

連接C。并延長交AE于M，貝以48正△CBQ,

/.ZE=Z1=Z2,

ZE+N3=90°,

/.Z2+Z3=90°,

/.ZAMC=90°,

CA/J_AE；

(2)如圖2,CN即為所求，

連接AC,8。交于O,連接E。并延長交A￡＞延長線于點N,連接CN,易證AEOBM△NOD,

：.EB=ND,

AN平行且相等，

四邊形AECN為平行四邊形，

CNWAE.

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用

這些性質(zhì).

3.(江西吉安?九年