四川省南充市普通高中2024-2025學年高二下學期期末學業(yè)質量監(jiān)測

數(shù)學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結束后，將答題卡交回.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.用1,3,5,7這4個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)是()

A.12B.24C.36D.48

【答案】B

【詳解】可知4個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)是A：=4x3x2xl=24,

故選：B.

2.若隨機變量X~N(2,b2),且尸(X>3)=O.3,則P(1<X<3)=()

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，隨機變量X~N(2,cy2),且p(X>3)=0.3,

則則P(1<X<3)=2P(2<X<3)=2(0.5—P(X>3))=2x0.2=0.4.

故選：A

3.若則lim/(2+常一/⑵=()

Ax.oAx

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【詳解】根據(jù)題意,fM=x2,

./(2+Ax)-/(2)「(2+AX)2-22r4Ax+Ax2八人、“

則mil1hm—..........J''=hm----------------=hm-------------=lim(4+Ax)=4.

Axf0Ax->0/\yAr->0'/

故選：D

4.二項式（x-〒-的展開式中常數(shù)項為

\Jx

A.-15B.15C,-20D.20

【答案】B

1七6-九

6kk2

【詳解】二項式展開式的通項公式：Tk+l=。口64.（_）k=c^x--（-l）-x=2.要使其

y/x

為常數(shù)，則6-。，即k=」，常數(shù)項為工--D'Ui：==15.

5.若隨機變量X的分布列為

X012

P0.30.4m

則E（3X+1）=（）

A.0.3B.1C.3D.4

【答案】D

【詳解】因為分布列得出0.3+0.4+m=1,所以牝=0.3,

所以E（X）=0x0.3+lx0.4+2xm=2m+0.4=1,

所以E（3X+l）=3E（X）+l=3xl+l=4.

故選：D.

6.現(xiàn)有5本不同的書《天工開物》、《夢溪筆談》、《齊民要術》、《本草綱目》、《九章算術》，則下列說法正

確的是（）

A.將全部的書放到6個不同的抽屜里，一個抽屜可放多本書，有56種不同的放法

B.將全部的書放在同一層書架上，要求《本草綱目》和《九章算術》相鄰，有96種不同的放法

C.將書分給3位不同的學生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90種不同的分法

D.現(xiàn)將五本書并排成一排，則《天工開物》、《夢溪筆談》按從左到右（可以不相鄰）的順序排列的不同的

排法有120種

【答案】C

【詳解】對于A,將全部的書放到6個不同的抽屜里，一個抽屜可放多本書,

每本書均有6種不同的放法，根據(jù)分步計數(shù)乘法原理，共有6,種放法，所以A不正確;

對于B,將全部的書放在同一層書架上，要求《水滸傳》和《西游記》相鄰，

可得把《水滸傳》和《西游記》看成一個元素，共有A；A：=48種放法，所以B不正確;

對于C,將書分給3位不同的學生，其中一人1本，一人2本，一人2本，

4x3、］

有c?C=義=15種分組方法，再將其分給三人，

方2x1

5xx]

共有x=2x1x3x2xl=90種分法，所以C正確;

￡3-2x1—

對于D中，現(xiàn)將五本書并排成一排，=5x4x3x2x1=120,

則《天工開物》、《夢溪筆談》按從左到右（可以不相鄰）的順序排列的排法有

A5120

二年二—丁=6。種，所以D錯誤.

A；2

故選：C.

-11114n

7.若數(shù)列｛4｝滿足*+玄+彳++嬴=5=,且不等式4成“叫+37對一切正整數(shù)，恒成

立，則力的最大值（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

11114〃

【詳解】——十——+——+...+——=--------

%2a236nan2n+l

143

當〃=1時，-=3-即4=“

1114〃一4

當心2時，*+罰+…+?二

2n-l

4n

2n+l

14〃4/7-441

以上兩式相減可得7=1—7，得％=葭----，上式對〃=1也成立，

nan2/1+12/7-14n-14n

9

所以<4”區(qū),+37恒成立即為4<九+—恒成立，

n

9I~99

因為〃+‘22/小'=6,當且僅當"=—,即〃=3時等號成立，

nVnn

所以X的最大值為6.

故選：A

8.函數(shù)/(x)=e*—gox2+2025(aeR)有兩個極值點斗,％2滿足%<々<2%,則西+%的取值范圍為

()

A.(1,2In2]B.(2,3In2]C.(2,4In2]D.(0,3In2]

【答案】B

【詳解】由題意得尸(x)=e*-ax,當函數(shù)/(%)有兩個極值點玉,/時，即e-依=0有兩個不相等的根,

令g(x)=eX-or,則g，(x)=e，-a,

可知當aWO時，g'(x)20,g(x)在R上單調遞增，至多只有一個解，不符合題意；

當。>0時，令g'(x)=e*-a=O,解得x=lna,

可知當尤<Ina時，g'(x)<0,g(x)(T)。,Ina)上單調遞減，

當x>lna時，g'M>0,g(x)在(lna,+c。)上單調遞增，

當g(lna)<0時，有兩個零點，符合題意，即e111“—alna<0，解得。>e時，有兩個零點七,與；

x,x21

可得e-axx=0,e-ax2=0,即e-'=ax1,e*=ax2,

作商得Vne芻f=強，令三=/，因為％</<2石，即0<西<%<2石，所以1</W2,變形得

e為王芯

x2=txi9

可得=r，即再=---，則%+%2=(1+0-^1—(1+0---,E(1,2],

[/+1

人7/、(1+。In%InH----"AC,jin/,

左h(D=—，h'(t)=

令p(t)=t2-1-2/ln/,則p'(t)=2t—2]nt—2,

設4?）=2f—21nf—2,則q（）=2二=2（I）,

tt

因為fe（l,2］,所以/⑺>。，所以q?）在（1,2］上單調遞增，即"?）在（1,2］上單調遞增，

因為。'（1）=2—2=0,所以在（1,2］上p⑺〉0,所以p⑺在（1,2］上單調遞增，

因為以1）=0,所以在（1,2］上夕⑺>0,即在（1,21上”"）>0,則為t）在=2］上單調遞增,

所以丸（1）<h（t）<h（2）,可知/z（2）=-y-=3In2,

當/—>1時，即石=工2=k1。，%；+x2=21na,因為?！礶,所以菁+々〉2,

綜上所述：2<%j+x2<31n2；

故選：B.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.關于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列選項中說法正確的是（）

A.若等比數(shù)列｛%｝的前〃項和S“=2"+冽，則實數(shù)m=1

B.若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且為%+。3。6=6,則。1%。3。8=81

C.若等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為s“，則S〃，S2“—S〃,S3“—$2“，成等差數(shù)列

D.若等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為=10,公差』=—2,則S“的最大值為30

【答案】BCD

【詳解】由S“=2"+加，可得〃之2,“cN時，S〃T=2"T+根，

作差得S,-邑_1=/=2"+*Q"T+/n）=2"T,當〃=1時，q=2°=2i+m,解得加=—1,所以A

錯誤；

由等比數(shù)列性質可知出%=a3a6，因為出%+。3a6=6,所以。2%==3,

。陷2。3%=（。2%）4=81,所以B正確；

由等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和可知，Sn9S2n-Sn.S3n-S2n,-成等差數(shù)列，所以C正確;

等差數(shù)列｛%｝中q=10,公差d=—2,貝uS”=10"+DX(—2)=f2+15,

當〃=5或〃=6時，前〃項和取得最大值，最大值Ss=-52+11x5=30,所以D正確.

故選：BCD.

10.己知，(x)=(3x-2)"("wN*)展開式的二項式系數(shù)和為512,/(%)=4+。逮+。2/+下

列選項正確的是()

9

A.。()+。1+。2++q=lB.|a0|+|<21|+.?+1??1=3

C.%+2a2+3/++nan=27D./(3)被8整除的余數(shù)為1

【答案】AC

【詳解】由題意〃x)=(3x—2)”(〃eN*)展開式的二項式系數(shù)和為512,即2〃=512,解得"=9；

A:由/(%)=(3x-2)"=%+q無+++。9/，

令1=1,則(3x1-2)=%+4+%+,+%=1,故A正確；

B：(3%—2)9=(—2+3%)9的二項展開式為n+]=《(一2片(34=《(一2)9一匕晨3左=0,1...9,

a

則ak=⑶”(-2)9',則⑷+同+同++㈤=~o+q-42+%—4+%，

99

所以令x=-l,/(-1)=^0-^+^2-+a9=(-3-2)=-54>1,

令％=1,/⑴=%+6+%++%=19=1.2,

]+59

?2—*1得2(%+/+%+%+%)=1+5，即％+%+〃5+%+〃9=，

]_§9

?2+*1得2(4+〃2+。4+。6+/)=1-5。，即〃0+〃2+〃4+〃6+〃8=一~一，

所以|佝|+&I+=_(4+%+%+。6+用)+(%+/+。5+%+佝)=59,故B錯誤；

8

C：由/(%)=%+.%+%%2++%x9,兩邊同時求導得了,(%)=27(3x—2)8=4+2。2%++9?9%,

令x=l,則27x(3xl—2)8=q+2w++9%=27,故C正確；

D：/(3)=(3x3—2)9=79=(8—1)"則

(8-1)9=C°89+C；88T+扇7(-1)2++C；8(-L『+U(-1)9

=8^C°88+C^87(-1)'+C；86(-1)2++C^(-1)8]-1=8^C°88+C^87(-1)'+C；86(-1)2++C^(-1)8-1J+7

所以了(3)被8整除的余數(shù)為7,故D錯誤；

故選：AC.

11.己知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx,g(x)=x(e*+l),則()

A.函數(shù)/(%)在(0,+8)上無極值點

B.函數(shù)g(x)在R上單調遞增

C.若對任意x>0,不等式g(ox)之g(ln/卜亙成立，則實數(shù)a的最小值為，

D.若8(%)=/'(9)=1?>0),則Inf—內(nèi)(%+1)的最大值為一1

【答案】ABD

1V+1

【詳解】由/'(無)=O+l)lnx,得/''(%)=lnx+l+—=lnx+----,

%%

....X+1r,,/、11X—1

令q(x)=lnx+----,貝!|q(x)=-----7=——>

XXXX

令(7'(x)=±J=0,解得X=1,

當0<x<l時，p'M<0,p(x)在(0,1)上單調遞減，

當x>l時，P'M>0,p(x)在(1,+s)上單調遞增，

在％=1處取得極小值，也是最小值，q(l)=2>0,

所以在(0,+。)上q(x)>0,則函數(shù)/(%)在(0,+。)上單調遞增，無極值點；所以A正確；

由g(尤)=x(e*+l),得g'(x)=e*+l+xeX=e*(x+l)+l,

令p(x)=e*(x+l)+l,則p'(jr)=ex(x+2),

令p'(x)=e*(x+2)=0,解得x=-2,

當x<—2時，p'(x)<0,p(x)在(一8,-2)上單調遞減，

當1>-2時，p\x)>0,0(x)在(—2,+oo)上單調遞增，

在x=—2處取得極小值，也是最小值，p(-2)=e-2(-2+l)+l=l-e-2>0,

所以在R上p(x)>0,則函數(shù)g(x)在R上單調遞增；所以B正確；

因為g(x)在R上單調遞增，g(6)2g(lnf)在％>0時恒成立，即依21nx2在％>0時恒成立,

、Inx2,,?日、21n九

則nila2----，化間傳a2,

x九

人一、21nx、2(1-Inx)

令h(x)=-----，貝1J〃(％)==一-—J

XX

令/z'(x)=2(lTnx)=0,解得％=e,

當0<x<e時，〃'(x)>0,〃(%)在(O,e)上單調遞增，

當％〉e時，h\x)<0,/z(x)在(e,+8)上單調遞減，

在％=e處取得極大值，也是最大值，/2(e)=」￡=一,

ee

22

所以〃之一，所以〃最小值為一，所以C錯誤；

ee

當g(玉)=時,可知(9+1)1n9=%(e*+1)=，，

因為〃1)=。,冢。)=。，/(%),雙尤)在定義域上均單調增函數(shù)，所以再

玉(e^+l)=lne*(e*+lj=(x2+l)lnx2,所以超二爐，

則\nt-Xy(%+1)=ln[%(e巧+1)]—玉(d+1),

令左=哲9~+1),因為玉>0,所以左>0,

X1

ln[x^+l)]-x1(e+l)=ln左一左(左>0),

4-r(k)=］nk-k,則左)=!一1,

k

當/(左)=_1-1=0時，解得左=1,

k

在0<女<1時，rW>0,NQ在(0,1)上單調遞增，

當左>1時，r'(k)<0,r(Q在(1,+8)上單調遞減，

在左=1處取得極大值，也是最大值，最大值為?l)=lnl-1=-1,所以D正確；

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且%+%=12,則凡］=.

【答案】66

［詳解］%=6+61=12,所以~(［+"1J==66.

故答案為：66

13.已知函數(shù)/(幻及其導函數(shù)尸(x)的定義域均為R,若/(2)=3,且f(x)+4，(x)>。，則不等式

(X2-X)/(X2-X)<6的解集為.

【答案】(T,2)

【詳解】構造函數(shù)g(x)=4(x)，貝！lg'(x)=/(x)+/(x)>。，，g(x)在R上增函數(shù)，

g(2)=2"2)=2x3=6,

.-.(%2-x^f^x-x)<6,轉化為g(%2-%)<g(2),

?g(九)在R上是增函數(shù)，

x2-x<2>解得：-l<x<2,

故答案為：(T,2).

14.某校開學后，食堂從開學第一天起，每天中午只推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?已知某同學每天

中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?,如果第1天選擇米飯?zhí)撞?

3

31

那么第2天選擇面食套餐的概率為一；如果第1天選擇面食套餐，第2天選擇米飯?zhí)撞透怕蕿?，如此往

43

復.設該同學第〃天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿樨癳N*),則Pn=.

【答案】

39I12J13

【詳解】設第九天選擇米飯?zhí)撞蜑槭录?,則第〃天選擇面食套餐為紇，則尸(4,)=月”0(4,)=1一月,

由題意可知PG。N)=國)=g,

由全概率公式得匕+1=尸(心)=尸(4)網(wǎng)4/4)+。(為)。(4/紇)=；匕+#1-〃),

11414

化簡得匕討=—匕+變形得匕目―二一(匕一)，

A.J..LJ.

42414

因為勺——=------=一/0,

1331339

414

所以數(shù)列《月-萬)是以石為首項,以為公比的等比數(shù)列,

3912

4141n-l141n-14

所以F二——x,則片二——x+一?

3912391213

141n-l4

故答案為：Pn=——x+一?

391213

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,且%+i

(1)求證：是等差數(shù)列，并求｛%｝的通項公式;

(2)令d=工+2%，求數(shù)列也｝的前〃項和

an

【答案】(1)證明見解析，a=-

nn

(2)S,=2n+1+-+--2

n22

【小問1詳解】

a11

由％+i=——，可得%+0+4+1=%,化簡得--------=1,

%+14+1an

所以1-是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，

所以」-=l+("_l)xl=〃，所以4=工；

ann

【小問2詳解】

1—

由2=—+2°"可得a=77+2",

an

則=4+2++2=1+2+2+2?++〃+2",

2

根據(jù)分組求和可得s“=(1+2++//)+(2+2++2")=(1+；)附+2(：-；)=2"+；+~|_2.

16.已知函數(shù)/(x)=x3-(a-3)%2-ax+1,(?eR).

(1)當a=l時，求曲線/(%)在(1,/⑴)處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(%)的單調性.

【答案】(1)4x-y-2=0.(2)答案見解析

【小問1詳解】

當a=l時，函數(shù)/(x)=x3+f-x+i,所以r(x)=3f+2x-l,

所以/'(1)=3+2—1=4,/(1)=1+1-1+1=2,

所以曲線/⑴在(1,2)處的切線方程為y—2=4(x—1),即得4x—y—2=0；

【小問2詳解】

函數(shù)/(x)=X，—3)x~—tzx+1,所以/'(%)=3無2—(a_3)x—a=(3x—a)(x+l).

當。=一3時，xe(-oo,+co),/,(x)=3(x+l)-20"(x)單調遞增；

當。<一3時，xe[],T]"'(x)<O"(x)單調遞減；xe1—co,'|}/'(x)>04(x)單調遞增;

xe(-l,-K?),/,(x)>O,/(x)單調遞增；

當a>—3時，xe1—l,￡|"'(x)<O"(x)單調遞減；xw(",—1)"'(%)>0"(x)單調遞增;

xe1|>+co)/'(x)〉0"(x)單調遞增；

綜上，當。=—3時，/(%)在(-8,”)上單調遞增；

當a<—3時，"％)遞減區(qū)間是1；"%)遞增區(qū)間是(-L+S)]—%￡|；

當a>—3時，"％)遞減區(qū)間是[—I,1]；"%)遞增區(qū)間是(一%―1),仁,+81

17.有2臺車床加工同一型號的零件，第一臺加工的合格品率為94%,第二臺加工的合格品率為98%；若

將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為96%.

(1)設第一臺車床加工的零件有。件，第二臺車床加工的零件有b件，求證：b=a；

(2)從混合放在一起的零件中隨機抽取4個零件，用頻率估計概率，記這4個零件中來自第二臺車床的個

數(shù)為X,求X的分布列、數(shù)學期望和方差.

【答案】(1)證明見解析

(2)分布列見解析，E(X)=2,D(X)=1

【小問1詳解】

己知第一臺車床加工的零件有。件，合格品有0.94。件，

第二臺車床加工的零件有b件，合格品有0.98。件，

混合后的合格率為0-94"+。9勸=0.96,解得

a+b

【小問2詳解】

b1

由。=人可知，一個零件來自第二臺車床概率為一-=

a+b2

隨機變量X可能取值有0,1,2,3,4,來自第二臺車床零件的個數(shù)X服從二項分布,

則X

可得尸（x=o）=0

p（x=1）=q口出二,

p(x=2)=qm[mw

23）=明］/二

唳=4?出［口4

隨機變量X分布列為：

X01234

13j_1

P

1648416

根據(jù)二項分布，E(X)=4x^=2,￡>(X)=4x-x--l

222

18.己知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且2a〃=S〃+2("wN*).

(1)求數(shù)列｛%｝通項公式;

（、7lOgo、

(2)數(shù)列也｝滿足b"=，求數(shù)列也｝的前〃項和I；；

an

1,、

(3)設c“=一,求證：數(shù)列｛。"｝中任意不同的三項都不能構成等差數(shù)列.

【答案】（1）an=T

⑵

（3）證明見解析

【小問1詳解】

由題意得S“=2a”-2,

當“?2,〃eN時，=2an_Y-2,

T

作差得Sn-S〃=an=2a?-2-(2a?_1-2),化簡得&=2,

an-\

可知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，當〃=1時，Si=q=2%—2,解得％=2,

所以為=2x2"i=2".

小問2詳解】

n

可f知匕,=log2an=—log9—2=n一,

，l

an2"T

?,7123n

則雹=4+偽+&++〃=Q+A+占++三，

1j23+金n

則萬看=齊+了+m+H---T,

2"2"1

1

1-吩

1n25，化簡得7；=2-牙

H----r

作差得/”4+?+.2"

【小問3詳解】

11/、1

己知。"=一=9，可知5，c“)在函數(shù)/(x)=不上,

%」2

設等差數(shù)列4=P〃+9,是一個首項為P+9,公差為P的等差數(shù)歹U,

則(〃，4)在函數(shù)g(x)=px+q上，

可知y=/(x)是指數(shù)函數(shù)，y=g(x)是一次函數(shù)，

易知指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)至多只有兩個交點，所以不存在三個點即在，=/(%)上，又在y=g(x)上,

即數(shù)列｛cn｝中任意不同三項都不能構成等差數(shù)列.

19.已知函數(shù)/'(x)=eXsinx(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=ln(x+l).

(1)求函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,兀］上的最值;

(2)若對Vx￡1O,1J,求證：f(%)>e^g(x)；

(3)求證：sin—+sin—++sin—>—ln(n+l)(nGN*

242n21

【答案】⑴最大值為走酒，最小值為0；

2

(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【小問1詳解】

對函數(shù)/(%)求導可得了'(x)=e"(sinx+cos%),

令/z(x)=sinx+cosx,則/z(x)=V2sin^x+^,

,「八r??！肛?兀1

當無￡[0,兀]時，X+-G,

4144J

由正弦函數(shù)性質可知，當％+兀J,即X￡(O，Tj,/Z(%)>0,

,71(5711c1r(371

當％+]￡]兀,I,即九￡1,71,/z(x)<0,

因為e*>0,所以％時,/(x)>