暑假預(yù)習(xí)專題12分式不等式與基本不等式

預(yù)習(xí)三步曲

第一步：導(dǎo)

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握

第二步：學(xué)

析教材學(xué)」教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

核心考點精準(zhǔn)練

第三步：測

與提升小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

@串知識?訊框架

蹩知識導(dǎo)圖慌理

實際應(yīng)用

砥析教材學(xué)知識

知識點1分式不等式與基本不等式重占

形如仁〉0(》0)或仁＜0(W0)(其中/(X)、g(x)為整式且g(x)不為0)的不等式稱為分

g(x)g(x)

式不等式.

解分式不等式先將分式不等式通過移項、通分把右邊化為零，左邊化為/"(/(x)、g(x)是

拓展

g(x)

關(guān)于X的表達(dá)式且g(x)H0)的形式，然后同解變形.分式不等式的同解變形如下表:

分式不等式同解不等式(組)

口〉0/?>0,f/(x)<0,

與＜g(x)〉。或/；c同解；與/(x)g(x)〉0同解

g(x)【g(x)<0

“0/(…或]/(x)<0,

與「、n同解；與/(x)g(x)<0同解

g(x)g(x)<0g(x)〉0

-0/(x)g(x)>0,

與＜,、c同解

g(x)[g(x)w0

y(x)g(x)<o,

與《/、c同解

g(x)g(x)w0

知識點2利用分式不等式求解實際問題重點難點

將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,在轉(zhuǎn)化的過程中注意實際問題的限制條件.

知識點3絕對值不等式

一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式.

例如，|x|＞3,|x-l|^2都是絕對值不等式.

代數(shù)意義：|x|=＜幾何意義：岡表示數(shù)軸上表示數(shù)X的點到原點的距離.

-x,x<0.

知識點4含絕對值不等式的解法重點難點

1.含絕對值的不等式|x|＜。與|x|〉a的解集

一般地，當(dāng)a>0時，有|x|<a=-a<x<a,因此，不等式|x|<a的解集是(-a,a)；

\x\>a<i^x<-a或x>a,因此，不等式|x|〉a的解集是(-oo,-a)u(a,+oo).

2.|ax+b\^c和|ax+b]2c型不等式的解法

(1)若c〉0,則|ax+6|Wc等價于-cWax+bWc」ax+b]2c等價于ax+b^c或ax+b^-c,

然后根據(jù)a、b的值求解即可.

⑵若c<0,則|ax+b|Wc的解集為0,\ax+b\^c的解集為R.

方法總結(jié)

類型伍〉0)數(shù)軸表示解集

>a{x|x<_Q或x〉Q}

-a0<i%

卜二a一{x\-a<x<a}

-Q0CIX

|x-b|>a■LJ■{x\x<b-?；騲>6+a}

b-abb+a%

{x\b-a<x<b-\-a}

|x-b|<a

Jb-aBb6L+ax

3.\x-a\+\x-b\^c(c>0)和|x-a|+11^c(c>0)型不等式的解法

法一:利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

法二:利用“分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；

法三:通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想

知識點5平均值不等式重點

1.算術(shù)平均值與幾何平均值

對于正數(shù)a、b，稱—是a、b的算術(shù)平均值，并稱J法是。、b的幾何平均值.

2.平均值不等式

定理(平均值不等式)兩個正數(shù)的算術(shù)平均值大于等于它們的幾何平均值，即對于任意的正數(shù)。、b,有

，且等號當(dāng)且僅當(dāng)。=b時成立

2

特別提醒

1.平均值不等式的常見變形：a+b洛標(biāo)（a>G,b>G）,abW伍/eR）.

2.平均值不等式的常用結(jié)論：

bahci

（1）—+—同號），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號；一+—W—2（。乃異號），當(dāng)且僅當(dāng)a=—b時

abab

ha

取等號.特別地，一+722（仍。0）,當(dāng)且僅當(dāng)\a\=\b\時取等號；

ab

（2）aH—22（?！?）,當(dāng)且僅當(dāng)a—\時取等號；QH—<—2（。<0）,當(dāng)且僅當(dāng)a時取等

aa

號.特別地，—22（。W0）,當(dāng)且僅當(dāng)|。|=1時取等號.

a

知識點6利用平均值不等式及常用不等式求代數(shù)式的最大（?。┲?/p>

1.最值定理

已知a>0?b>0,貝U

（1）若ab=p（常數(shù)），則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，a+b有最小值2）.簡記：積定和最小.

§2

（2）若a+b=s（常數(shù)），則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，ab有最大值—.簡記:和定積最大.

4

特別提醒

利用平均值不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件--正、二定、三相等

（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)。（2）“二定”就是要求和的最小值；必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值;

要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值，（3）“三相等”是利用平均值不等式求最值時，

必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易出錯的地方

2.重要不等式鏈

（1）若a^b>0,則以”立2b>。.

V22a+b

（2）若?！?,6〉0,則1T士貴,其中1T叫做a、b的調(diào)和平均值，

—+-2V2—+-

abab

2

a+b

叫做a、b的平方平均值.此不等式鏈常以ab^(a,Z)eR)的形式出現(xiàn).

2

螂知識延伸

平均值不等式的其他應(yīng)用形式

112

(1)一+丁》刀〒(。〉0)〉0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

ab7ab

114

(2)—+—2——(?！?1〉0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

aba+b

(3)(。+6)(—>0),當(dāng)且僅當(dāng)a-b時取等號.

\ab)

(4)(a,Z)eR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

知識點7三角不等式I重占

知識回顧

當(dāng)a、b兩數(shù)至少有一個為o時，可得\a\+\b\=\a+b\.當(dāng)。、b兩數(shù)所表示的點在原點的同側(cè)

時，可得\a\+\b\=^a+b\

當(dāng)a、b兩數(shù)所表示的點在原點的兩側(cè)時，可得伍|+他|〉必+回.

定理(三角不等式)兩個實數(shù)和的絕對值小于等于它們絕對值的和，即對于任意給定的實數(shù)。、b,有

|a+6|W|a|+|",且等號當(dāng)且僅當(dāng)/20時成立.

拓展

：k+&+…+。篦I+1&I+…+1"」.

推論2：如果a、b、c是實數(shù)，那么b|+|6—,當(dāng)且僅當(dāng)(a—6)(6—c)20時，等

號成立.

■練考點?展知識

題型一、分式不等式

例1(24-25高一上?上海嘉定?期末)不等式言>0的解集是.

1-1(24-25高一上?上海?期末)不等式上7>1的解集為________.

x-1

1-2(24-25高一上?上海?期中)關(guān)于x的不等式竺二140的解集為A.若3e4,4eN,則。的取值范圍是

x-a

1-3已知集合/=卜|卜-4<2}8

⑴若。=2,求A和8；

⑵若“xe8”是“xe/”的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

1-4(24-25高一上?上海青浦?期中)已知集合/=<05={x||x-l|<l},全集為R.

(1)求集合A和8；

(2)求陰影部分表示的集合.

題型二、基本不等式的內(nèi)容及辨析

例2(23-24高一上?江蘇?課前預(yù)習(xí))基本不等式的變形

(1)—ab(a,beR)(當(dāng)且僅當(dāng)a=6時等號成立)；

(2)(三)>ab(a,beR)(當(dāng)且僅當(dāng)—時等號成立).

2-1(2023?上海奉賢?一模)若兩個正數(shù)a6的幾何平均值是1,貝巾與6的算術(shù)平均值的最小值是.

2-2幾個重要不等式

(1)a2+b2>(a,b￡R)；

(2)^■之(a,beR,a,b>0)；

(3)—H—N__(同號)；

ba

(4)ab<或(a/wR)；

2

eR,q,b>0)

(5)>>>T~

—+—

ab

題型三、由基本不等式比較大小

7^例3（20-21高一?江蘇?課后作業(yè)）若a>0,b>0,且a邦，則（）

A.碗<后>B.而<一〈后尹

C.呼

3-1（24-25高一上?廣西南寧?階段練習(xí)）近來牛肉價格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周的牛肉價格分別為a

元/斤，6元/斤，aab,甲和乙購買牛肉的方式不同，甲每周購買30元錢的牛肉，乙每周購買6斤牛肉，

甲、乙這兩周購買牛肉的平均單價分別記為叫，嗎，則下列結(jié)論正確的是（）

A.m[=m2B.mx>m2C.mx<m2D.叫，m2的大小無法確定

32（23-24高一上?陜西西安?期中）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一顧客到店購買黃金

100g,售貨員先將50g祛碼放在天平左盤中，取出黃金放在右盤中使天平平衡；再將50g祛碼放在天平右

盤中，再取出黃金放在左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認(rèn)為顧客購得的黃金（）

A.小于100gB.等于100g

C.大于100gD.與左右臂的長度有關(guān)

題型四、由基本不等式證明不等關(guān)系

/+2Q+1

例4（23-24高一上?上海金山?期中）已知a為正數(shù)，比較大小:_____4.

a

4-1（22-23高一?全國?課堂例題）設(shè)。，b為正數(shù)，證明下列不等式:

⑴a+,2；

(2)-+y>2.

ab

4-2（22?23高一上?重慶九龍坡?期中）已知工,歹，z是正實數(shù)，證明:

---------1---------------------------1-------------<—1

x+2y+3z+3（x+l）（2y+l）（3z+l）12

題型五、基本不等式求積的最大值

/例5（24-25高一上?上海?期中）已知別>0,?>0,且加+〃=1,則加的最小值為

5-1（24-25高一上?上海?期中）已知實數(shù)〃，b滿足。+26=1,則必的最大值為.

5-2（24-25高一上?上海?期中）設(shè)x,y>0,若4x+'=l,則土的最大值為.

5-3若直角三角形斜邊長等于10cm,則直角三角形面積的最大值為一.

5-4設(shè)實數(shù)x、y滿足|x+〉|=l,則中的最大值是.

題型六、基本不等式求和的最小值

例6（24-25高一上?上海寶山?期中）已知x>0,則代數(shù)式的最小值是.

Q

6-1（24-25高一上?上海閔行?期中）函數(shù)了=1+2/+=的最小值是.

6-2（24-25高一上?上海閔行?期中）已知正實數(shù)'J滿足初=1,則工+歹的最小值是.

6-3（1）求y=2x+J（%>1）的最小值;

13

（2）已知％,JER+,%+>=1,求丁+一的最小值.

2x+yy+3

題型七、二次與二次（或一次）的商式的最值

且*1,則帆+〃|+占的最小值是

/例7（24-25高一上?上海浦東新?期中）已知加，幾ER,

7T若正數(shù)x,y滿足^^=4,則土的最大值為.

yy

2x

7-2函數(shù)〉=-的值域是________.

x2-x+44

7-3（24-25高一上?廣東江門?期末）若x>0,則生二■的最小值是.

28.（24-25高一上?甘肅蘭州?期中）求解下列各題:

（1）求了=二^±1（》<0）的最大值.

⑵求y=；#（x>l）的最小值.

（3）已知工>0,>>0且4%+丁=孫，若x+y>機(jī)之+8加恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

7-4(24-25高一上?四川瀘州?階段練習(xí))Vzf(x)=mx12+(l-m)x+m.

(1)若全稱量詞命題“VxeR,/(x)NO”是真命題，求實數(shù)加的取值范圍;

⑵在(1)的條件下，求二+2加+5的最小值;

m+1

⑶解關(guān)于X的不等式/(%)<加+1(機(jī)eR).

題型八、基本不等式“1”的妙用求最值

/例8(22-23高一上?上海松江?期末)設(shè)x,ye(0,+oo),且x+4y=l,則；的最小值為()

A.6B.7C.8D.9

19

8-1已知機(jī)，幾￡(0,+8),—+n=l,則加+一的最小值為()

mn

A.13B.16C.3D.6

12

8-2(2023?上海金山?二模)已知正實數(shù)用b滿足一+不=1,貝U2。+6的最小值為一.

ab

8-3(24?25高一上,上海?階段練習(xí))設(shè)x>-1/>。且x+3歹=1,則^+一的最小值為________.

x+1y

8-4(24?25高一上?上海?期中)設(shè)〃、b是正實數(shù).

(1)求證：并指出等號成立的條件；

12

(2)若。+6=2,求上+：的最小值，并指出等號成立的條件.

ab

1?

8-5(24-25高一上?上海?期中)問題：正實數(shù)服b滿足〃+6=1,求一+7的最小值.其中一種解法是：

ab

—+工=(—+1]([+6)=1^----1■—+2>3+2A/2,當(dāng)且僅當(dāng)2=學(xué)且Q+6=1時，即〃=收-1且6=2-0時

ab\abjabab

io

取等號，故而—+工的最小值是3+2后.學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問題：

ab

14

(1)已知。、b是正實數(shù)，且。+6=1,求^—+1的最小值.

2a+bb+2

22

(2)①已知實數(shù)4、b、X、y,滿足三一勺=1,求證/.

ab

②求代數(shù)式河=4三-標(biāo)二5的最小值，并求出使得〃最小的加的值.

題型九、條件等式求最值

7^例9（23-24高一上?安徽馬鞍山?階段練習(xí)）已知正實數(shù)X/滿足中-x-y=3,則2x+y的最小值

為.

9-1（22-23高一上?上海徐匯?期末）若實數(shù)x、y滿足刈=1,貝13x2+2/的最小值為.

9-2（22-23高一上?上海松江?期末）設(shè)》>。，>>1,且!+因=。，若x+V的最小值為4,則實數(shù)。的值

為_________

9-3（23-24高一上?上海浦東新?期中）設(shè)無、八z為互不相同的實數(shù)，對于4+必+3,

y—zz—xx-y

41+yzr1+xye___1+zx

⑴令Q=-------,b=-----,用Q、6表本-----

y-zx-yz-x

上1+yz1+zx1+xy,,_...

⑵求——+--的最小值.

y-zz-xx—y\

9-4（23-24高一上?上海普陀?期中）已知/+8〃=4.

⑴若。與6均為正數(shù)，求油的最大值，并指出取最大值時。與6的值;

12

⑵若。與b均為負(fù)數(shù)，求3+W的最小值.

ab

題型十、基本不等式的恒成立問題

例10（23-24高三上?上海黃浦?期中）若對任意的xe[1,2],不等式/+x>ax-2恒成立，則實數(shù)加

的取值范圍是（）

A.m<2A/2+1B.I-2V2</w<5

C.I-2V2<m<2V2+lD.m<4

10T當(dāng)x>l時，不等式無+一二2。恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是（

)

x-l

A.(一8,2]B.[2,+oo)C.[3,+8)D.(一00,3]

Y

10-2(24?25高一上?湖南衡陽?階段練習(xí))對于任意0<x<4,機(jī)〉??；恒成立，則()

x+1

2331

A.m>—B.m>—C.m>——D.m>—

55102

10-3已知,且2a+b=2,若產(chǎn)-3/V，+工恒成立,

則實數(shù)f的取值范圍是

ba

10-4（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）若不等式無2+2xyWa（，+/）對于一切正數(shù)X/恒成立，則實數(shù)。的最

小值為.

10-5求下列代數(shù)式的最值：

4

（1）已知X>1,求歹---7的最小值；

X-L

81

⑵已知x>0,y>0,且滿足—+—=1.求x+2y的最小值；

1y

（3）當(dāng)0<x<：時，不等式工+」一-加20恒成立，求實數(shù)機(jī)的最大值.

4x1-4%

題型十一、對勾函數(shù)求最值

/+1

7^例11函數(shù)/（X）=>0）的最小值為（）

A.-1B.0C.1D.2

11-1已知函數(shù)〃x）=x+：-4,關(guān)于x的不等式〃x絲/-加+2在區(qū)間1,3上總有解，則實數(shù)用的取值

范圍為?

11-2設(shè)x>0/>0,x+2y=2,則——叵——的最大值為

（x-2）（…+4

13

11-3（1）已知x,y是正實數(shù)，且％+>=4,求一+一的最小值；

xy

r24-2

(2)函數(shù)>=+"(x>l)的最小值為多少？

(3)已知0<x<l,則x(4-3x)取得最大值時x的值為多少?

題型十二、分類討論解絕對值不等式

例12(2024?上海楊浦一模)已知|x+3|+|x-5|=8,則實數(shù)x的取值范圍為

12-1(24-25高一上?上海?期中)己知xwR,則方程|尤-7|+|3-4司=仙-10|的解集為

12-2(24-25高一上?上海?期中)解關(guān)于x的不等式|2x-l|-|x+l|<l.

12-3(24-25高一上?上海?期中)(1)解關(guān)于x的不等式組x-6~

|3x-4|>l+2x

(2)設(shè)"eZ,證明：若/是奇數(shù)，貝產(chǎn)是奇數(shù).

12-4(24-25高一上?上海?期中)已知函數(shù)y=/(x)滿足卜2a+1]

(1)當(dāng)。=2時，求不等式7(x)24的解集；

(2)若4恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

題型十三、基本(均值)不等式的應(yīng)用

7^例13（24-25高一上?上海徐匯?期末）如圖所示，為宣傳2025年世界人工智能大會在上海召開，某

公益廣告公司擬在一張矩形海報紙上設(shè)計大小相等的左右兩個矩形宣傳欄，宣傳欄的面積之和為4.5mz,為

了美觀，要求海報上四周空白的寬度為01m,兩個宣傳欄之間的空隙的寬度為0.2m,設(shè)海報紙的長和寬分

別為xm,ym,為節(jié)約成本（即使用紙量最少），貝|長X=m.

13-1（24-25高一上?上海寶山?期中）如圖，嘉文計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩

形菜園.若菜園面積S為72m2,則所用籬笆總長C最小值是m.

y

13-2（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）現(xiàn)需要建造倉庫/和廠房2,已知建造倉庫/的所有費用〃？（萬元）

和與倉庫N、廠房8的距離x（千米）的關(guān)系為："，=一^（0<x<8）,若距離為1千米時，倉庫A建造

費用為80萬元，為了方便，倉庫N與廠房2之間還需修建一條道路，已知購置修路設(shè)備需5萬元，鋪設(shè)路

面每千米成本為3萬元，設(shè)了（X）為建造倉庫A與修路費用之和.

⑴求/（x）的表達(dá)式;

（2）當(dāng)倉庫/與廠房2距離多遠(yuǎn)時，可使得總費用/（x）最小？并求出最小值.

13-3（24-25高一上?上海浦東新?期中）某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元

/次，一年的總存儲費用為4x萬元.

（1）寫出一年的總運費y與x的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出x的取值范圍）；

（2）要使一年的總運費與總存儲費用之和最少，則每次購買多少噸？

（3）要使一年的總運費與總存儲費用之和不超過200萬元，則每次購買量在什么范圍內(nèi)？

13-4（24-25高一上?上海?期中）某學(xué)生社團(tuán)設(shè)計一張招新海報，要求紙張為長acm、寬6cm的矩形，面積

為60cm2.版面設(shè)計如圖所示：海報上下左右邊距均為2cm,文字宣傳區(qū)域分大小相等的三個矩形欄目，

欄目間中縫空白的寬度為1cm.三個欄目的文字宣傳區(qū)域面積和為S,

b

a

（1）用。、6表示文字宣傳區(qū)域面積和S；

（2）如何設(shè)計紙張的長和寬，使得文字宣傳區(qū)域面積和S最大？最大面積是多少？

題型十四,絕對值三角不等式

7^例14（24-25高一上?上海金山?期末）已知〃-2,若不等式,+耳+卜-6性加恒成立，則〃z的取值

范圍為.

14-1（24-25高一上?上海長寧?期末）若對任意XER,都有|x+l|+|2-乂之相，則實數(shù)機(jī)的最大值為一

14-2（24-25高一上?上海徐匯?期末）若關(guān)于x的不等式,+1|+|x-2|>/+a+1對于一切實數(shù)x都成立，則

實數(shù)。的取值范圍是

14-3（24-25高一上?上海?期中）已知區(qū)1,區(qū)2,?V2,則|必一以/|的最大值為

11

14-4（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）對任意的實數(shù)x,y（yw0）,+X——+卜++引+卜+川的最小值

y

為

14-5（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）存在xeR使不等式|2無-4<|20-1|-2國成立，則實數(shù)。的取值范圍

是

14-6（24-25高一上?上海?期中）設(shè)x￡R,方程段-2|+|1-x|=|2x-1|的解集是,

@過關(guān)測?德提升

A組夯實基礎(chǔ)

2x+1

1.（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）不等式的解集為______.

1-x

2.（24-25高一上?上海虹口?期末）設(shè)正實數(shù)九〃滿足根+〃=1,則下列結(jié)論不正確的是（

A.—I■—的最小值為4B.+的最大值為

mn'

c.y嬴的最大值為:D.加2十〃2的最小值為:

3.（24-25高一上?上海嘉定?期末）若（0,2）,則4+J-的最小值是____.

x2—x

4

4.（24-25高一上?上海?期中）將x+嚏-辦-6在區(qū)間1,4]上的最大值記為則的最小值

為.

----------<0

5.（24?25高一上?上海嘉定?期中）已知關(guān)于》的不等式組x-1+〃的整數(shù)解恰好有四個，則實數(shù)〃的取

x+3〃〉1

值范圍是.

6.（24-25高一上?上海?期中）已知aeR,集合/=卜|={x|x?+（2-a）x-2a<o}；

（1）當(dāng)a=g時，集合C={x|xe/且,求集合C；

（2）已知/U8=/,求實數(shù)。的取值范圍；

B組能力提升

7.（23-24高一上?上海徐匯?期中）定義min{%,電,為〃個實數(shù)?！背觯?，。”中的最小數(shù)，max

為"個實數(shù)外,電，…,％中的最大數(shù).

（1）設(shè)a,6都是正實數(shù)，且。+6=1,求max}6,；1；

⑵設(shè)0,6都是正實數(shù)，求max[a+[,2+b]