2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市商河縣九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖所示的幾何體的主視圖是()

2.如圖，在&A48C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,貝！|乙4的正切值是()

3.如圖，點(diǎn)4、B、C都在O0上，如果乙4cB=50。，那么乙4OB的度數(shù)是()

A.25°

B.50°

C.100°

D.130°

4.將一元二次方程(x+a)?=匕，化成/一8%-5=0的形式，貝!]a,b的值分別是()

A.-4,21B.-4,11C.4,21D.-8,69

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△力。B與△COD是以原點(diǎn)為位似中心的

位似圖形，若。C=2Q4,點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,3),則點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.(2,6)

B.(-2,-6)

C.(3,9)

D.(-3,-9)

D

6.如圖所示是小明的一張書法練習(xí)紙，練習(xí)紙中的豎格線都平行，且相鄰兩

條豎格線間的距離都相等，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)4B,C都在豎格線上.若

線段AB=3.2cm,則線段的長(zhǎng)為（）

A.6.4cmB.8cmC.9.6cmD.12.8cm

7.某校舉行以伙國(guó)重器》為主題的演講比賽，其中一個(gè)環(huán)節(jié)是即興演講，該環(huán)節(jié)共有三個(gè)題目，由電腦

隨機(jī)給每位參賽選手派發(fā)一個(gè)題目，選手根據(jù)題目對(duì)應(yīng)的內(nèi)容進(jìn)行90秒演講，小亮和小敏都參加了即興演

講，則電腦給他們派發(fā)的是同一個(gè)題目的概率是（）

1111

A-3B6C4D2

8.如圖，某購(gòu)物廣場(chǎng)要修建一個(gè)地下停車場(chǎng)，停車場(chǎng)的入口設(shè)計(jì)示意圖如圖所示，其中斜坡2。與水平方向

的夾角為a（0。<a<90。），地下停車場(chǎng)層高CD=3米，則在停車場(chǎng)的入口處，可通過汽車的最大高度是（）

A.3B.—C.3sinaD.3cosa

cosa

9.如圖，正方形A8CD中，點(diǎn)M、N、P分別在4B、CD、BD上,乙MPN=90°,經(jīng)過對(duì)角AMB

線BD的中點(diǎn)。，若乙PMN=a,則乙4Mp一定等于（）

DNC

A.2aB.45°+aC.90-gaD.135°-a

10.函數(shù)y=/一旬用一2的自變量x的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，其中久20部分的圖象如圖所示，對(duì)于此函數(shù)

有下列結(jié)論：

①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

②函數(shù)既有最大值，也有最小值；

③當(dāng)久<一2時(shí)，y隨x的增大而減??；

④當(dāng)一6<a<一2時(shí)，關(guān)于工的方程/一4|x|-2=a有4個(gè)實(shí)數(shù)根.

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.如果也=|,那么^

y3y

12.已知一元二次方程/+kx-6=0有一個(gè)根是2,則另一個(gè)根是.

13.已知反比例函數(shù)y="的圖象在每一個(gè)象限內(nèi)，y都隨x的增大而減小，貝丸的取值范圍是—

14.如圖所示，要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻，如果用60nl長(zhǎng)的籬

笆圍成中間有一道籬笆的養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為xm,當(dāng)％=小時(shí)，養(yǎng)雞場(chǎng)

的面積最大.

15.我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在仇章算術(shù)注》中提到了著名的割圓術(shù)：“割之彌細(xì),

所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”.“割圓術(shù)”孕育

了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率兀的近似值為3.1416.如圖，。。的半徑為

1,運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)O。的面積，可得兀的估計(jì)值為

苧，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得兀的估計(jì)值為.

16.如圖⑴是一張菱形紙片，其中N4=135°,AB=點(diǎn)E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn).如圖(2),將紙片沿4E翻折，

點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'；如圖(3),將紙片再沿2B'折疊，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E'.當(dāng)4E'與菱形的邊CB垂直時(shí)，BE的長(zhǎng)

為______

三、解答題：本題共10小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題6分)

計(jì)算：2sin30°+tan4E>°+cos2300-sin245°.

18.(本小題6分)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a*0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

(2)當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減?。?/p>

(3)不等式a/+6%+c>。的解集為.

19.(本小題6分)

如圖，口ABCD,BE平分NABC,CE平分乙BCD.BF//CE,CF//BE,求證：四邊形BECF是矩形.

20.(本小題8分)

如圖，在AABC中，D,E分另！J是邊AB,4c上的點(diǎn)，連接DE,且MADE=N4CB.

(1)求證：XADEs^ACB；

(2)若AD=2DB,AE=4,AC=9,求BD的長(zhǎng).

21.(本小題8分)

己知關(guān)于工的一元二次方程/-3x+2m=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)求加的取值范圍；

(2)當(dāng)小取最大整數(shù)時(shí)，求方程的兩個(gè)根.

22.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，AB=AC,以4B為直徑的。。交于點(diǎn)D,過點(diǎn)。的切線交4C于點(diǎn)E,交4B的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)F.

(1)求證：EF1AC；

(2)當(dāng)月B=5,BC=6時(shí)，求DE的長(zhǎng).

23.(本小題10分)

我校的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動(dòng)程序，開機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升1(TC,加熱到100汽，停止加熱，水溫開始

下降，此時(shí)水溫(冤)與開機(jī)后用時(shí)(根譏)成反比例關(guān)系.直至水溫降至20K時(shí)自動(dòng)開機(jī)加熱，重復(fù)上述自動(dòng)

程序.若在水溫為20汽時(shí)，接通電源后，水溫y，C)和時(shí)間久0n譏)的關(guān)系如圖所示.

(1)<2—,b—.

(2)直接寫出圖中y關(guān)于％的函數(shù)表達(dá)式.

(3)飲水機(jī)有多少時(shí)間能使水溫保持在50。(：及以上?

（4）若某天上午7：00飲水機(jī)自動(dòng)接通電源，開機(jī)溫度正好是20。（：，問學(xué)生上午第一節(jié)下課時(shí)（8：40）能喝到

50久以上的水嗎？請(qǐng)說明理由.

24.（本小題10分）

（1）測(cè)量坡角

如圖1,后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡4B,BC,CD,山的高度即為三段坡面的垂直高度BH,CQ,DR之

和，坡面的長(zhǎng)度可以直接測(cè)量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大小.

如圖2,同學(xué)們將兩根直桿MN,MP的一端放在坡面起始端4處，直桿MP沿坡面48方向放置，在直桿MN另

一端N用細(xì)線系小重物G,當(dāng)直桿MN與鉛垂線NG重合時(shí)，測(cè)得兩桿夾角a的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角的

度數(shù).請(qǐng)直接寫出a,￡之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）測(cè)量山高

同學(xué)們測(cè)得山坡48,BC,CD的坡長(zhǎng)依次為40米，50米，40米，坡角依次為24。，30°,45°；為求小

熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個(gè)含24。角的RMTKS（如圖3）,量得K7~5cm,TS-2cm.求山高。尸.（方?1.41,

結(jié)果精確到1米）

（3）測(cè)量改進(jìn)

由于測(cè)量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測(cè)量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測(cè)量方法.

圖5

如圖4,5,在學(xué)校操場(chǎng)上，將直桿NP置于MN的頂端，當(dāng)MN與鉛垂線NG重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)直桿NP,使點(diǎn)N,P,

D共線，測(cè)得NMNP的度數(shù)，從而得到山頂仰角的，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測(cè)得山頂仰角傷；

畫一個(gè)含片的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為的厘米,九厘米，再畫一個(gè)含的的直角三角形，

量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為a2厘米，⑦厘米,已知桿高M(jìn)N為1.6米，求山高DF.(結(jié)果用不含自，傷的

字母表示)

25.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=(1/+版+式￡1大0)與力軸交于點(diǎn)力(-3,0)和點(diǎn)8(2,0)兩點(diǎn)，且與y軸

交于點(diǎn)C(0,6),連接AC,BC,P為拋物線在第二象限內(nèi)一點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,連接P4PC,拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得SAP.：S四邊形ABCP=1：3?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由;

⑶如圖2,連接P4PB,過點(diǎn)P作PD//BC交4C于點(diǎn)。，連接BD.若弱蜉=今求點(diǎn)P坐標(biāo).

26.(本小題12分)

如圖(1),在矩形A8CD中，AD-nAB,點(diǎn)M,P分別在邊A8,4。上(均不與端點(diǎn)重合)，且4P=以4P

和AM為鄰邊作矩形4MNP,連接AN,CN.

圖⑴圖(2)圖(3)

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖(2),當(dāng)n=l時(shí)，BM與PD的數(shù)量關(guān)系為,CN與PD的數(shù)量關(guān)系為.

【類比探究】

(2)如圖(3),當(dāng)n=2時(shí)，矩形4MNP繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接PD,貝|CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？

若不變，請(qǐng)就圖(3)給出證明；若變化，請(qǐng)寫出數(shù)量關(guān)系，并就圖(3)說明理由.

【拓展延伸】

(3)在(2)的條件下，已知4。=4,AP=2,當(dāng)矩形AMNP旋轉(zhuǎn)至C,N,M三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CN的

長(zhǎng).

答案和解析

1.C

2.C

3.C

4.A

5.B

6.C

1.A

8.D

9.B

10.C

11-

3

12.-3

13.fc>1

14.30

15.3

16守

17.解：原式=2x|+l+（苧）2_的2

=1+1+|-1

42

9

=4'

18.（3,0）>1-1<x<3

解：（1）由圖象可知，4、B到直線x=1的距離相等，

???4（—1,0），

??.B點(diǎn)坐標(biāo)為：（3,0）,

故答案為：（3,0）；

（2）由圖象可知，y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍是：x>1；

故答案為：>1；

(3)由圖象可知，不等式a/+bx+c>0的解集是：一1<%<3；

故答案為：

19.證明：BF//CE,CF//BE,

???四邊形BECF是平行四邊形，

平分乙48C,CE平分N8CD,

乙EBC=^/-ABC,/.ECB=義乙BCD,

???四邊形A8CD是平行四邊形，

AB//CD,

：.AABC+乙BCD=180°,

11

???乙EBC+Z.ECB=^^Z.ABC+乙BCD)=1X180°=90°,

???乙BEC=180°-(乙EBC+乙ECB)=180°-90°=90°,

???平行四邊形BE"是矩形.

20.(1)證明：???4ADE=NAC8,

??.△ADEs^ACB；

(2)解：由(1)可知：

tAD__AE_

^~AC~ABf

設(shè)=x,貝IJZ。=2x,AB=3%,

AE=4,AC=9,

2x4

~9=3xf

解得：x=，后(負(fù)值舍去)，

BD的長(zhǎng)是混.

21.解：⑴根據(jù)題意得/=(-3>-4x2m>0,

解得m<I，

即m的取值范圍為TH<

(2)機(jī)的最大整數(shù)為1,

此時(shí)方程為%2—3%+2=0,

(x-2)(%-1)=0,

%—2=0或%—1=0,

所以％i=2,g=1.

22.(1)證明：連接。D,

???AB=AC,

???Z-C=Z.OBD,

OD=OB,

z.1=Z-OBD,

???z.1=zC,

??.OD//AC,

??,EF是切線，

???EF1OD,

???EF1AC；

(2)連接2D,

???AB為。。的直徑，

???乙ADB=90°,

XvAB=",且BC=6,

1

???CD=BD=^BC=3,

在RtAACD中，AC=AB=5,CD=3,

根據(jù)勾股定理得：AD=<AC2-CD2=4,

1

又

a2-

CD

11

即X5XEDX4X3

2--2-

23.840

解：(1),?,開機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升10℃,

二.從20K至5]100久需要8分鐘,

設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為：y=krx+b,

將(0,20),(8,100)代入y=krx+b,得/q=10,b=20.

y=lOx+20(0<%<8),

設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：y=K,

JX

將(8,100)代入，得k=800,

800

y=----,

'x

當(dāng)y=20時(shí)，代入關(guān)系式可得％=40；

故答案為：8；40.

「10%+20(0<%<8)

(2)由⑴中計(jì)算可得,>=?8<』。)-

(3)在y=10%+20(0<久W8)中，

令y=50,解得x=3；

反比例函數(shù)y=號(hào)中，令y=50,解得：%=16,

學(xué)生在每次溫度升降過程中能喝到50T以上水的時(shí)間有16-3=13分鐘.

(4)由題意可知，飲水機(jī)工作時(shí)40分鐘為一個(gè)循環(huán)，

上午七點(diǎn)到下午第一節(jié)下課時(shí)(8：40)的時(shí)間是100分鐘，是2個(gè)40分鐘多20分鐘,

.?卷=40"),

??.學(xué)生上午第一節(jié)下課時(shí)(8：40)不能喝到超過50。(：的水.

24.解：(l)a+°=90。；

(2)在中，

vAB=40米，4BAH=24°,

smZ-BAH—舞，

AD

.c1cBH

???sm247°=—,

40

在RtATKS中,

KT?5cm,TS?2cm,乙TKS=24°,

sin乙TKS=仁，

A1

2

???sin240=

BH2

：*40=5?

解得=16米,

在中，

VBC=50米，乙CBQ=30°,

1

???CQ=/B=25米，

在出△OCR中，

CD=40米，Z.DCR=45°,

sin乙DCR=器

???DR=CD-sinzOCR=40?s譏45°=20A<1（米），

???DF=BH+CQ+DR16+25+20/2-69（米）,

答：山高OF約為69米；

⑶由題意，得tcm.i=魯，tcm°2=等，

°102

在RtADNL中,

tanBi=—,

.DL_a-y

,?麗―彳

NL=%DL,

在RtADN'L中,

"tan%=近，

DL_Q

而=而，

N'L="DL,

。2

???NL-N'L=NN'=40（米）,

敢

解得DL=40al

比上一力2a1’

山高DF=DL+LF=J。"詈一+L6（米）,

b1a2-b2a1'/

答：山高DF為（J°笠2+1.6）米.

、比。2-匕2al

25.解：(1)分別將4(-3,0)、3(2,0)、C(0,6)代入y=十"十。中得,

9a—3/?+c=0

4。+2b+c=0,

c=6

，a=—1

解得b=-1,

c=6

?,?拋物線的解析式為y=-x2-%+6；

(2)不存在點(diǎn)P,使得SMZC：S四邊形ABCP='??3,理由如下:

■:SAPAC：S四邊形ABCP=3，

???S^PAC：S^ABC=1：2,

11115

,*?SNAC=2s△ABC=2乂5乂(3+2)x6=—?

設(shè)直線4c的解析式為y=kx+m,

f-3/c+m=Oj解得V

???直線AC的解析式為y=2X+6,

過點(diǎn)P作尸Hl%軸于“，交AC于Q,

設(shè)P(p,-p2-p+6),則Q(p,2p+6),

???PQ=—p2_p+6—2p—6=—p2—3p,

11q

SAP4c=2J。？-3p)X3=y，

整理得p2+3p+5=0,

Vj=32-4x1x5=-11<0,

???原方程無解，

???不存在點(diǎn)尸，使得S^pac：S四邊形ABCP=1：3；

(3)連接PC,

???PD//BC,

?*,S"CD=S^PDB，

...S&PDA_1

SgDBE'

???CD=SAD,

過。作DM1%軸于M,

???DM〃y軸，

.AM_AD_1

：'~0M~'CD~3"

???OA=3,

9

??.OM=7，

4

???直線AC的解析式為y=2%+6,

???0(-Q113),

???B(2,0)、C(0,6),

.??直線BC的解析式為y=-3%+6,

vPD//BC,

.??設(shè)直線PD的解析式為y