專題19四邊形中的動(dòng)圖問題（解析版）

類型一平行四邊形及特殊平行四邊形的存在性問題

1.如圖，平行四邊形0ABe的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)在X軸正半軸上，ZCOA=60",OA=Wcm,OC=4cm,

點(diǎn)尸從C點(diǎn)出發(fā)沿方向，以1c機(jī)/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從A點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿A。方向，以3aMs的速度向

原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

（1）求點(diǎn)C,B的坐標(biāo)（結(jié)果用根號(hào)表示）

（2）從運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過多少時(shí)間，四邊形OCP。是平行四邊形；

（3）在點(diǎn)P、。運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形OCP。有可能成為菱形嗎？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能，請說明理由.

思路引領(lǐng)：（1）過C作于E,過8作BfUOA于尸，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)算出OE的長，再利用勾股

定理即可求出CE的長，從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)平行線間的距離相等可知CE=2/=2次，再證明RtZXCOE四

RtABAF,從而得到AF的長，即可得到2點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知CP=。。，設(shè)時(shí)間為x秒，表示出CP的長，可得到方程10-3x=x,解

方程即可；

（3）如果四邊形。CPQ菱形，則CO=QO=CP=4c處根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度，算出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，計(jì)算可發(fā)現(xiàn)不能成為菱

形.

解：（1）過C作CE_LOA于E,過2作2尸_1。4于R

VZCOA=60°,

.-.Zl=30°,

1

0E=臟O=2cm,

在RtACOE中,CE=y/CO2-EO2=V16-4=28，

；.C點(diǎn)坐標(biāo)是（2,2V3）,

；四邊形OABC是平行四邊形，

C.CO^AB,CO//AB,

'：CE±OA,過2作2F_L0A,

:.CE=BF=2用（平行線之間的距離相等），

RtACOE^RtABAF,

：.AF=EO=2,

：.OF^OA+AF^12（cm）,

.,??B點(diǎn)坐標(biāo)是（12,2V3）；

(2)設(shè)從運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過x秒，四邊形OCP。是平行四邊形,

10-3尤=%,

解得：x~2.5,

故運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過2.5秒，四邊形OCP。是平行四邊形；

(3)不能成為菱形，

如果四邊形OCP。菱形，則CO=QO=CP=4cm,

OA—10cm,

,'.AQ=10-4=6(.cm),

則。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是：6+3=2(秒)，

這時(shí)CP=2X1=2(cm)

VCP^Acm,

...四邊形OCPQ不能成為菱形.

總結(jié)提升：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，是一道綜合題，關(guān)

鍵是需要同學(xué)們熟練掌握各種特殊四邊形的性質(zhì)，并能熟練應(yīng)用.

2.(2022春?廣信區(qū)期末)如圖，在矩形A8CD中，AB=Scm,8C=16cm點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)A停止，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P、Q的速度都是\cmls.連接PQ.AQ,

CP.設(shè)點(diǎn)P、。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為相

（1）當(dāng)r為何值時(shí)，四邊形A3。尸是矩形；

（2）當(dāng)f為何值時(shí)，四邊形AQCP是菱形；

（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積.

思路引領(lǐng)：（1）當(dāng)四邊形ABQP是矩形時(shí)，BQ=AP,據(jù)此求得，的值；

（2）當(dāng)四邊形AQCP是菱形時(shí)，AQ^CQ,列方程求得運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；

（3）菱形的四條邊相等，則菱形的周長=4義10,根據(jù)菱形的面積求出面積即可.

解：（1）:在矩形ABC。中，AB=Scm,BC=\6cm,

BC=AD=16cm,AB=CD=Scm,

由已知可得，BQ—DP—tcm,AP—CQ—（16-f）cm,

在矩形ABCD中，ZB=90°,AD//BC,

當(dāng)20=AP時(shí)，四邊形AB。尸為矩形，

.".t=16-t,得f=8,

故當(dāng)f=8s時(shí)，四邊形A2QP為矩形；

（2）'：AP=CQ,AP//CQ,

...四邊形A。”為平行四邊形，

...當(dāng)AQ=C。時(shí)，四邊形AQCP為菱形

即我2+/=16一時(shí),四邊形AQC尸為菱形，解得t=6,

故當(dāng)f=6s時(shí)，四邊形4QCP為菱形；

（3）當(dāng)f=6s時(shí)，AQ=CQ=CP=AP=16-6=10cm,

則周長為4X1OCMI=40cm；

面積為10cmXScm=80cm2.

總結(jié)提升：本題考查了菱形、矩形的判定與性質(zhì).解決此題注意結(jié)合方程的思想解題.

3.（2021春?睢縣期中）如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm,射線AG〃與C,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以1cm/s

的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2CHI/S的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f（s）.

（1）連結(jié)EF,當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)。時(shí)，求證：AADE咨ACDF；

（2）當(dāng)f為多少時(shí)，以A、C、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

思路引領(lǐng)：(1)由題意得到AD=C￡>,再由AG與2C平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對角相等，利用

A4s即可得證；

(2)分別從當(dāng)點(diǎn)尸在C的左側(cè)時(shí)與當(dāng)點(diǎn)尸在C的右側(cè)時(shí)去分析，由當(dāng)AE=CE時(shí)，以A、C、E、產(chǎn)為頂點(diǎn)四

邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案.

(1)證明：'.'AG//BC,

：.ZEAD=ZDCF,ZAED=ZDFC,

為AC的中點(diǎn)，

：.AD=CD,

在△ADE和△CD/中，

/LEAD=乙FCD

/.AED=乙CFD,

.AD=CD

：.^ADE^ACDF(A4S)；

(2)解：當(dāng)f=2或6時(shí)，A、C、E、/為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)/在C的左側(cè)時(shí)，

根據(jù)題意，得AE=fcm,BF=2tcm,

則CF=BC-BF=(6-2/)cm,

\'AG//BC,

當(dāng)AE=CT時(shí)，四邊形AECT是平行四邊形，

即t—6-2t,

解得r=2；

②當(dāng)點(diǎn)尸在C的右側(cè)時(shí)，根據(jù)題意，得AE=fa〃，BF=2tcm,

貝ijCF=BF-BC=(2?-6)cm,

,JAG//BC,當(dāng)AE=C/時(shí)，四邊形AEFC為平行四邊形，

即t=2t-6,

解得t=6,

綜上可得：當(dāng)f=2或6時(shí)，A、C、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

總結(jié)提升：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是注意掌握分類討

論思想、數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

類型二動(dòng)點(diǎn)最值問題

4.(2021春?灌云縣期末)如圖，在矩形ABC。中，AB=10,AD=6,動(dòng)點(diǎn)P滿足S△以B=恭矩形ABCD,則點(diǎn)尸到A、

B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為()

A.10V2B.2V41C.2V34D.8/

思路引領(lǐng)：過尸點(diǎn)作MN//AB,交于〃，交BC于M作A點(diǎn)關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A',連接A'B交MN于點(diǎn)、P,

2

AP+PB^A'B即為所求，由面積關(guān)系可得40=14￡)=4,在Rt^ABA中求出A,B即可.

解：過P點(diǎn)作MN〃AB,交AO于M,交8C于N,作A點(diǎn)關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A,連接AB交MN于點(diǎn)P,

：.AP+PB=A'P+PB=A'B,此時(shí)PA+PB的值最小，

S/\PAB=gS矩形ABC。,

11

xABXAM=4xBAXAD,

23

：.AM=^AD,

\"AD=6,

：.AM=4,

.■.A4'=8,

'：AB=10,

在RtZXABA'中，A'B=2V41,

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查軸對稱求最短距離，通過面積關(guān)系，能確定尸點(diǎn)所在直線是解題的關(guān)鍵.

5.（自貢中考）如圖，在△ABC中，AC=BC=2,AB=l,將它沿AB翻折得到△A8。，則四邊形AOBC的形狀是

形，點(diǎn)P、E、F分別為線段A3、AD.DB的任意點(diǎn)，貝UPE+P尸的最小值是.

D

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意證明四邊相等即可得出菱形；作出尸關(guān)于A2的對稱點(diǎn)再過M作MELA，交AB于點(diǎn)

P,此時(shí)PE+PF最小，求出ME即可.

解：:△ABC沿AB翻折得到

：.AC=AD,BC=BD,

\"AC=BC,

：.AC^AD^BC^BD,

四邊形ADBC是菱形，

故答案為菱；

如圖

c

作出尸關(guān)于A3的對稱點(diǎn)再過M作MELLA。，交A3于點(diǎn)尸，此時(shí)PE+尸尸最小，此時(shí)尸E+尸尸=ME,

過點(diǎn)A作ANLBC,

■:AD〃BC,

：.ME=AN,

作CH工AB,

'：AC=BCf

1

：.AH=當(dāng)

由勾股定理可得，CH=乎，

11

V-xABxCH=-xBCxAN,

22

可得，AN=^-,

:.ME=AN=/,

,V15

PE+PF最=〃、為，

4

故答案為Ym.

4

總結(jié)提升：此題主要考查路徑和最短問題，會(huì)結(jié)合軸對稱的知識(shí)和“垂線段最短”的基本事實(shí)分析出最短路徑是

解題的關(guān)鍵.

6.（2020?錦州模擬）如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB=BC,BC=10,ZBCD=60°,兩頂點(diǎn)8、。分別在平

面直角坐標(biāo)系的y軸、x軸的正半軸上滑動(dòng)，連接04則OA的長的最小值是.

思路引領(lǐng)：利用菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)得出A點(diǎn)位置，進(jìn)而求出A。的長.

解：如圖所示：過點(diǎn)A作AELBD于點(diǎn)

當(dāng)點(diǎn)4,O,E在一條直線上，此時(shí)A。最短，

???平行四邊形ABCO中，AB=BC,BC=10,ZBCD=60°,

：.AB=AD=CD=BC=\O,NBAD=/BCD=60°,

***/\ABD是等邊三角形，

???AE過點(diǎn)O,E為BD中點(diǎn),

'：ZBOD=90°,30=10,

:?EO=5,

-1

故A。的最小值為：AO^AE-EO=ABsin60°—^xBD=5用—5.

故答案為：5V3-5.

總結(jié)提升：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，得出當(dāng)點(diǎn)4,。，E在一條直線上，此時(shí)

AO最短是解題關(guān)鍵.

7.（2022?利州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1,尸為AB邊上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為（）

A.0.5B.2.5C.V2D.1

思路引領(lǐng)：由題意分析可知，點(diǎn)歹為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的

運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值.

解：由題意可知，點(diǎn)廠是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在線段軌跡上運(yùn)動(dòng)

將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60。，使EF與EG重合，得到△EHG,連接8”,得到AEFB咨AEHG

從而可知△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線上，

延長交CD于點(diǎn)N.

則△EFBgAEHG,

：.HE=BE=1,ZBEH=60°,ZGHE=ZFBE=90°,

.?.△班8為等邊三角形.

:四邊形A8C￡＞是矩形，

：.ZFBE=90°,

：.ZGHE=ZFBE=90a,

/.點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，

作由垂線段最短可知，CM即為CG的最小值，

作EP上CM,連接5",EH,

則四邊形HEPM為矩形，

：.MP=HE=lf/HEP=90°,

：.ZPEC=30°.

?；EC=BC-BE=3,

13

CP=*EC=I，

35

；.CM=MP+CP=1+1=邑

即CG的最小值為U

2

方法二：以CE為邊作等邊三角形CE8,連接切,

則△CEG絲

：.CG=FH,

當(dāng)產(chǎn)兒LAB時(shí)，切最小=1+授=±

總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段極值問題，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)G

的運(yùn)動(dòng)軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形計(jì)算，是極值問題中比較典型的類型.

8.（2022秋?射陽縣月考）如圖，ZkAPB中，AB=4,ZAPB=90°,在A8的同側(cè)作正正和正△BPC,

則四邊形PCDE面積的最大值是.

思路引領(lǐng)：先延長EP交8c于點(diǎn)F得出尸F(xiàn)LBC,再判定四邊形尸。E平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)

得出：四邊形C時(shí)的面積=切—海我，最后根據(jù)小2=8,判斷、的最大值即可.

解：如圖，延長￡尸交BC于點(diǎn)R

D

VZAPB=90°,ZAPE=ZBPC=60°,

：.ZEPC=150°,

：.ZCPF=1SO°-150°=30°,

；?PF平分/BPC,

又?：PB=PC,

：.PFLBC,

設(shè)RMXA3P中，AP=a,BP=b,

則CF=1CP=9，6ZW=42=16,

???AAPE和△A5O都是等邊三角形，

：.AE=AP,AD=ABfZEAP=ZDAB=60°,

：.ZEAD=ZPABf

在△￡4￡>和中，

AE=AP

/LEAD=乙PAB,

AD=AB

：./\EAD^^XPAB(SAS),

：.ED=PB=CP,

同理可得：4APB?4DCB(SAS),

工EP=AP=CD,

???四邊形PCDE是平行四邊形，

四邊形PCDE的面積=EPXC尸=〃x9=界,

又，:(a-b)2=a2-2ab+b2^0,

2ab^a2+b2=16,

1

...一abW4,

2

即四邊形PCDE面積的最大值為4.

故答案為：4.

總結(jié)提升：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問

題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造平行四邊形的高線.

9.（2022春?番禺區(qū)校級(jí)期中）如圖，菱形A8CD的邊長為1,NABC=60°,點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），

線段CE的垂直平分線交8。，CE分別于點(diǎn)尸，C,AE,EF的中點(diǎn)分別為M,N.

（1）求證：AF=EF；

（2）求MN+NG的最小值.

D

思路引領(lǐng)：(1)連接CR根據(jù)FG垂直平分CE和菱形的對稱性即可得到CF^AF,從而求證結(jié)論.

(2)利用M和N分別是AE和所的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CE中點(diǎn)，即可得至(JMN+NG=*G4F+CP),當(dāng)點(diǎn)尸與菱形

ABCZ)對角線交點(diǎn)。重合時(shí)，AF+CF最小，即此時(shí)MN+NG最小，結(jié)合已知推斷△ABC為等邊三角形，即可求

解.

解：(1)證明：連接CR

：PG垂直平分CE,

：.CF=EF,

?.?四邊形ABC。為菱形，

和C關(guān)于對角線2。對稱，

CF=AF,

(2)連接AC,

和N分別是AE和的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CE中點(diǎn),

:.MN=%F,NG=|CF,BPMN+NG=1(AF+CF),

當(dāng)點(diǎn)F與菱形ABCD對角線交點(diǎn)。重合時(shí)，

AF+CF最小，即此時(shí)MN+NG最小，

:菱形A8CD邊長為1,ZABC=60°,

.,.△ABC為等邊三角形，AC=AB=l,

總結(jié)提升：本題考查了菱形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)的知識(shí)，關(guān)鍵在于熟悉各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在本題的

靈活運(yùn)用.屬于拔高題.

類型三求運(yùn)動(dòng)路徑的長

10.（2022?虞城縣二模）如圖，矩形A8CD中.AB=痘,4。=1,點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)勻速沿￡>-A

-B運(yùn)動(dòng),連接PE,點(diǎn)。關(guān)于尸E的對稱點(diǎn)為0,連接尸。EQ,當(dāng)點(diǎn)。恰好落在矩形ABCQ的對角線上時(shí)（不

包括對角線端點(diǎn)），點(diǎn)尸走過的路徑長為三或1+:.

—2-----6——

思路引領(lǐng)：當(dāng)點(diǎn)Q恰好落在矩形ABCD的對角線上時(shí)存在兩種情況：①如圖1,點(diǎn)P在上，點(diǎn)。在AC上，

連接證明AP=P?？傻媒Y(jié)論；②如圖2,點(diǎn)尸在AB上，連接PD,根據(jù)30°角的三角函數(shù)列式可得AP的

長，從而計(jì)算結(jié)論.

解：如圖1,點(diǎn)尸在4D上，點(diǎn)。在AC上，連接。。，

E

圖1

為CD的中點(diǎn)，

：.DE=CE,

1/點(diǎn)D關(guān)于PE的對稱點(diǎn)為Q,

J.PELDQ,DE=EQ=EC,

：.ZDQC=9Q°,

：.DQ±AC,

J.PE//AC,

：.PD=AP^%￡）=I，

1

即點(diǎn)p走過的路徑長為；；

2

如圖2,點(diǎn)尸在A3上，連接PZ）,

PB

圖2

為CD的中點(diǎn)，且C￡）=W,

:.DE=CE=5,

"：ZDFE=9Q°,

DF

cosZEDF=cos30°=京,

.".DF=^x^=|,

,:BD=Jl2+（V3）2=2,

35

???8尸=2-4=4，

BF

cosAABD=cos30°=而，

-op_i_5V3

,,BP-左—y，

~2

，AP=百—等=夠，

此時(shí)點(diǎn)尸走過的路徑長為1+4；

綜上，點(diǎn)P走過的路徑長為:或1+縝.

26

故答案為:工或1+q.

26

總結(jié)提升：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，掌握矩形的性質(zhì)，勾股

定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵，并注意運(yùn)用分類討論的思想.

11.如圖，有一張矩形紙條ABC。，AB=5cm,BC=2cm,點(diǎn)、M,N分別在邊AB,C￡）上，CN=lcm.現(xiàn)將四邊形

8CNM沿MN折疊，使點(diǎn)2,C分別落在點(diǎn)夕，。上.

（1）當(dāng)點(diǎn)B恰好落在邊C。上時(shí)，線段的長為cm；

（2）點(diǎn)〃從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8的過程中，若邊MB'與邊CO交于點(diǎn)E,求點(diǎn)E相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長度.

（3）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B距離最短時(shí)，求AM的長.

思路引領(lǐng)：（1）運(yùn)用矩形性質(zhì)和翻折性質(zhì)得出：MB'=NB',再利用勾股定理即可求得答案；

（2）探究點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，尋找特殊位置解決問題即可.

（3）如圖5中，連接AN,當(dāng)點(diǎn)次落在4V上時(shí)，AB'的值最小，此時(shí)平分NAiVB.利用面積法求出AM：

BM=2,可得結(jié)論.

解：（1）如圖1中，

圖1

:四邊形A2CD是矩形，

：.AB//CD,

.?.N1=N3,

由翻折的性質(zhì)可知：Z1=Z2,BM=MB',

/.Z2=Z3,

：.MB'=NB',

?：NB'=y/B'C'2+C'N2=V22+l2=V5(cm),

：.BM=NB'=V5(cm).

故答案為：V5；

(2)如圖1中，點(diǎn)切合好落在邊CO上時(shí)，BM=NB'=V5(cm).

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，AE=EN,遜AE=EN=xcm,

圖2

在RtZ\A￡>E中，則有/=2?+(4-%)2,解得x=?,

；?DE=4—2=2(。加)，

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到MB，_LAB時(shí)，DE'的值最大，DE'=5-1-2=2(cm),

B'

圖3

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8'落在CD時(shí)，DB'(BPDE")=5-1-時(shí)=(4-V5)(cm),

圖4

.??點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡E-E'-E",運(yùn)動(dòng)路徑=止'+E'B'=2-1+2-(4-V5)=(V5-|)(cm).

(3)如圖5中，連接AN,當(dāng)點(diǎn)2,落在AN上時(shí)，AB'的值最小，此時(shí)MN平分NA7VB.

過點(diǎn)M作〃PLATV于點(diǎn)尸，于點(diǎn)Q.

在Rt/\ADN中，AN=<AD2+DN2=V22+42=2V5,

..S^AMN_AM_14MMp2V5

?——-1-I——z，

S〉MNBBMQBN,MQV5

.2.10

??DAM=-^AB=

總結(jié)提升：本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理，軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

尋找特殊位置解決問題，屬于中考常考題型.

類型四平移、翻折及旋轉(zhuǎn)問題

12.(2019春?江北區(qū)期中)如圖，在菱形ABC。中，NA=60°,AD=8,尸是AB的中點(diǎn).過點(diǎn)尸作BELA。，垂

足為E.將△AM沿點(diǎn)A到點(diǎn)8的方向平移，得到E'F.設(shè)P、P，分別是ERE'F'的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A'

與點(diǎn)8重合時(shí)，四邊形PP'F'尸的面積為()

DC

A.8V3B.4V3C.12V3D.8V3-8

思路引領(lǐng)：如圖，連接BDDF,。尸交PP于H.首先證明四邊形PPCD是平行四邊形，再證明。尸_LPP,

求出切即可解決問題.

解：如圖，連接B。，DF,DF交PP'于H.

由題意PP'=A4'=AB=CD,PP'//AA'//CD,

四邊形PPCO是平行四邊形，

:四邊形A2C￡＞是菱形，ZA=6Q°,

...△ABD是等邊三角形，

"：AF=FB,

C.DFLAB,DFLPP',

在RtZXAEF中，VZA￡F=90°,ZA=60°,AF=4,

.-2,EF=2?

:.PE=PF=A/3,

在RtZ\PHF中，VZFP//=30°,PF=V3,

：.HF=^PF=亨，

平行四邊形PPFF'的面積=^X8=4百.

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

13.（2021?海南模擬）如圖，正方形ABC。的邊長為1；將其繞頂點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度到CEFG的位置，

使得點(diǎn)8落在對角線CF上，則陰影部分的面積是（）

G

11

A.-B.2-V2C.V2-1D.-

42

思路引領(lǐng)：依據(jù)△3"、△(?斯為等腰直角三角形，即可得到陰影部分的面積.

解：正方形4BCQ的邊長為1,將其繞頂點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度到CEFG位置，使得點(diǎn)8落在對角線

CF±,

：.EF=CE=\,

：.CF=V2,

V2-1,

:/BFE=45°,

：.BH=BF=V2-1,

???陰影部分的面積=4xlX1—ax(V2-1)V2—1,

故選：c.

總結(jié)提升：本題考查了正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是利用△2口、尸為等腰直角三角形求解線

段的長.

14.(2020?湘西州)在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，點(diǎn)