三大極限高數(shù)題目及答案一、選擇題（共30分）1.（6分）極限的定義是：如果對(duì)于任意的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)0<|x-a|<δ時(shí)，有|f(x)-L|<ε，則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x趨近于a時(shí)的極限為L(zhǎng)。以下哪個(gè)選項(xiàng)正確地描述了極限的定義？A.當(dāng)x趨近于a時(shí)，f(x)趨近于LB.當(dāng)x趨近于a時(shí)，f(x)等于LC.當(dāng)x趨近于a時(shí)，f(x)無(wú)限接近LD.當(dāng)x趨近于a時(shí)，f(x)和L之間的差距可以任意小正確答案：D2.（6分）以下哪個(gè)函數(shù)的極限不存在？A.f(x)=x^2B.f(x)=sin(x)C.f(x)=1/xD.f(x)=e^x正確答案：C3.（6分）函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在x趨近于2時(shí)的極限值是多少？A.0B.1C.2D.3正確答案：B4.（6分）如果函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，那么以下哪個(gè)陳述是正確的？A.f(a)=0B.f(a)=aC.f(a)=lim(x->a)f(x)D.f(a)=a^2正確答案：C5.（6分）以下哪個(gè)函數(shù)在x趨近于無(wú)窮大時(shí)的極限是無(wú)窮大？A.f(x)=1/xB.f(x)=x^2C.f(x)=sin(x)D.f(x)=e^(-x)正確答案：B二、填空題（共30分）1.（6分）計(jì)算極限lim(x->0)(1/x-1/(x+1))=______。答案：12.（6分）計(jì)算極限lim(x->∞)(x^2-3x+2)/(x^2+2x-3)=______。答案：13.（6分）計(jì)算極限lim(x->1)(x^3-1)/(x-1)=______。答案：34.（6分）計(jì)算極限lim(x->0)(sin(x)/x)=______。答案：15.（6分）計(jì)算極限lim(x->∞)(1-1/x)^x=______。答案：e^(-1)三、計(jì)算題（共40分）1.（10分）計(jì)算極限lim(x->2)(x^2-4)/(x-2)。解：首先對(duì)分子進(jìn)行因式分解，得到(x^2-4)=(x-2)(x+2)。因此，極限可以簡(jiǎn)化為：lim(x->2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x->2)(x-2)(x+2)/(x-2)=lim(x->2)(x+2)=2+2=4。答案：42.（10分）計(jì)算極限lim(x->0)(tan(x)/x)。解：利用洛必達(dá)法則，對(duì)分子和分母分別求導(dǎo)：lim(x->0)(tan(x)/x)=lim(x->0)(sec^2(x)/1)=1。答案：13.（10分）計(jì)算極限lim(x->∞)(x^2-6x+9)/(x^2+4x+4)。解：將分子和分母同時(shí)除以x^2：lim(x->∞)(x^2-6x+9)/(x^2+4x+4)=lim(x->∞)(1-6/x+9/x^2)/(1+4/x+4/x^2)=1。答案：14.（10分）計(jì)算極限lim(x->1)(x^3-3x^2+3x-1)/(x-1)。解：首先對(duì)分子進(jìn)行因式分解，得到(x^3-3x^2+3x-1)=(x-1)^3。因此，極限可以簡(jiǎn)化為：lim(x->1)(x^3-3x^2+3x-1)/(x-1)=lim(x->1)(x-1)^3/(x-1)=lim(x->1)(x-1)^2=0。答案：0四、證明題（共50分）1.（25分）證明lim(x->0)(sin(x))/x=1。證明：根據(jù)夾逼定理，我們知道對(duì)于任意x∈(-π/2,π/2)，有：-1≤sin(x)/x≤1當(dāng)x趨近于0時(shí)，-1和1都趨近于0，因此根據(jù)夾逼定理，我們有：lim(x->0)(sin(x))/x=12.（25分）證明lim(x->∞)(1+1/x)^x=e。證明：令y=(1+1/x)^x，對(duì)y取自然對(duì)數(shù)，得到：ln(y)=xln(1+1/x)當(dāng)x趨近于無(wú)窮大時(shí)，1/x趨近于0，因此ln(1+1