上海市2024屆高三年級第二學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（復(fù)興高級中學(xué)，松江二中，奉賢中學(xué)，金山中學(xué)）2024.03.14考試時間：120分鐘滿分：150分一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）只要求直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則求出，再寫出復(fù)數(shù)的虛部即可.【詳解】∵，∴，故答案為：.2.______.【答案】【解析】【詳解】．試題分析：考點：倍角的正切．3.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)建立恒等式求解參數(shù)即可.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，所以，故答案為：14.中國古典數(shù)學(xué)的代表作有《算數(shù)書》《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》等.學(xué)校圖書館計劃將這四本書借給名學(xué)生閱讀，要求每人至少讀一本，則不同的借閱方式有_______種(用數(shù)字作答).【答案】36【解析】【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①從4本書中選出2本，分配給三人中的1人；②剩下的2本安排給剩下的2人；由分步計數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①從4本書中選出2本，分配給三人中的1人，有種；②剩下的2本安排給剩下的2人，有種；則有18×2=36種.故答案為：36.5.已知數(shù)列的前項和，，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)求出，再根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得.【詳解】因為數(shù)列的前項和，所以，所以.故答案為：6.對于獨立事件A、B，若，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件和對立事件的概率計算即可求解.【詳解】因為，所以，又因為，所以，因為，為獨立事件，所以與相互獨立，則有，故答案為：.7.在的二項展開式中，的系數(shù)為______.【答案】2000【解析】【分析】寫出二項展開式的通項公式，令求出答案.【詳解】的二項展開式通項公式，令得，所以的系數(shù)為2000故答案為：20008.已知向量，滿足，，，則等于____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算律和坐標(biāo)運算求解.【詳解】因為向量，滿足，，，所以，解得，所以，故答案為:.9.已知點在圓C：（）內(nèi)，過點M的直線被圓C截得的弦長最小值為8，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過圓內(nèi)一點最短的弦，結(jié)合弦長公式可得到關(guān)于r的方程，求解即可.【詳解】由點在圓C：內(nèi)，且所以，又，解得過圓內(nèi)一點最短的弦，應(yīng)垂直于該定點與圓心的連線，即圓心到直線的距離為又，所以，解得故答案為：10.已知x，y的對應(yīng)值如下表所示：02468113若y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為，則______．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點直接計算即可.【詳解】根據(jù)表格可知，，，因為y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為，所以，得，解得.故答案為：111.若不等式對任意的恒成立，則的最小值為_____________．【答案】4【解析】【分析】首先分析出，再得到，最后利用基本不等式即可得到答案.【詳解】時，有，所以，令，的零點是，在上，在上，的零點是，在上，在上，若不等式對任意的恒成立，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：4.12.如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由一個正四棱錐和一個正四棱柱貫穿構(gòu)成，正四棱柱的側(cè)棱平行于正四棱錐的底面，正四棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為6，正四棱柱的底面邊長為是正四棱錐的側(cè)棱和正四棱柱的側(cè)棱的交點，則__________.【答案】2【解析】【分析】先作出截面，再由截面分析出各三角形的邊長，利用相似三角形求解即可.【詳解】過作垂直于四棱錐底面的截面，如圖所示，由條件可知，為底面正方形的對角線，所以，所以,長度為正四棱柱底面正方形的對角線，所以，長度為正四棱柱底面正方形的對角線的一半，所以，由可得，解得，由可得，所以，故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點睛：作出截面把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，然后應(yīng)用相似三角形求解.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分）每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，13-14選對得4分，15-16選對得5分，否則一律得零分.13.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式以及分式不等式的解法，求出，即可得出答案.詳解】解可得，，所以.解可得或，所以不等式的解集，即的解集為或，即或.所以，.故選：A.14.已知拋物線方程，過點的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（）A.0條 B.1條 C.2條 D.3條【答案】C【解析】【分析】考慮直線斜率存在，和不存在三種情況，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)得到答案.【詳解】點在拋物線上，易知當(dāng)直線斜率不存在時不滿足；當(dāng)直線斜率時，易知滿足條件；當(dāng)直線斜率存在且時，設(shè)直線方程為，即，，整理得到，，，解得，直線方程為.綜上所述：滿足條件的直線有2條.故選：C15.以下四個命題：①函數(shù)最小值為；②方程沒有整數(shù)解；③若，則；④不等式的解集為.其中真命題的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對于①，直接求函數(shù)的解析式的范圍即可判斷，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷③，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和特殊值，即可判斷②④.【詳解】對于①，函數(shù)中，由得，所以，①錯；對于②，由得，設(shè)，因為和是增函數(shù)，所以為遞增函數(shù)，又時，，時，，所以的解，②正確；對于③，，設(shè)，則是增函數(shù)，則，所以，③正確；對于④，由得，又時，，時，，所以時，，④錯.故選：B16.已知農(nóng)歷每月的第天的月相外邊緣近似為橢圓的一半，方程為，其中為常數(shù)．根據(jù)以上信息，下列說法中正確的有（）①農(nóng)歷每月第天和第天的月相外邊緣形狀相同；②月相外邊緣上點到橢圓焦點的距離的最大值為；③月相外邊緣的離心率第8天時取最大值；④農(nóng)歷初六至初八的月相外邊緣離心率在區(qū)間內(nèi)．A.①③ B.②④ C.①② D.③④【答案】D【解析】【分析】利用已知條件求出第天和第天的方程即可判斷A，根據(jù)橢圓上點到焦點的距離的最大值為，求出的范圍即可判斷B，求出離心率的表達式判斷C，利用離心率的表達式，求出農(nóng)歷初六至初八時的的范圍即可判斷D.【詳解】由方程知：A：當(dāng)時，橢圓方程為，當(dāng)時，橢圓方程為，化簡為，即，所以①錯誤；B：月相外邊緣上的點到橢圓焦點的距離的最大值為：，因為，所以，所以，所以②錯誤；C：月相外邊緣的離心率為：，而，所以當(dāng)時，最大，即月相外邊緣的離心率第8天時取最大值，所以③正確；D：農(nóng)歷初六至初八，即時，即，此時月相外邊緣離心率：，即，因為，，所以，，所以，故④正確.綜上所述，正確的有③④.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷C選項關(guān)鍵是求得，由此即可順利得解.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．17.在如圖所示的圓錐中，是頂點，是底面的圓心，、是圓周上兩點，且，．（1）若圓錐側(cè)面積為，求圓錐的體積；（2）設(shè)圓錐的高為2，是線段上一點，且滿足，求直線與平面所成角的正切值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圓錐側(cè)面積公式求得母線長，可得圓錐的高，進而由圓錐的體積公式計算即可；（2）由條件得點是線段中點，取中點，則，又，所以平面，從而是直線與平面所成的角，計算即可.【小問1詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，，則側(cè)面積，解得，于是圓錐的高，圓錐的體積．【小問2詳解】中，，，則點是線段中點，取中點，連接，，則，又，則，由直線平面，平面，得，結(jié)合，且，平面，所以平面，因此直線是在平面內(nèi)的射影，從而是直線與平面所成的角，∵，∴，又，得，即直線與平面所成的角的正切值為18.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)由題意可知分布列為二項分布，結(jié)合二項分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；(Ⅱ)由題意結(jié)合獨立事件概率公式計算可得滿足題意的概率值.【詳解】(Ⅰ)因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數(shù)學(xué)期望.(Ⅱ)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨立，從而由(Ⅰ)知：.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎(chǔ)知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.19.如圖，某城市小區(qū)有一個矩形休閑廣場，米，廣場的一角是半徑為16米的扇形BCE綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場休閑放松，現(xiàn)決定在廣場上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場的雙人靠背直排椅MN（寬度不計），點M在線段AD上，并且與曲線CE相切；另一排為單人弧形椅沿曲線CN（寬度不計）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價每米為2a元，單人弧形椅的造價每米為a元，記銳角，總造價為W元．（1）試將W表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）問當(dāng)AM的長為多少時，能使總造價W最?。敬鸢浮浚?），（2）米【解析】【分析】（1）總造價由兩部分組成，根據(jù)弧長公式可求得，而切線長需構(gòu)造直角三角形或借助坐標(biāo)求解，最后由線段長為正，可得的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，先求導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)零點，分析函數(shù)單調(diào)性，確定極值點，即最值點即可得答案【小問1詳解】解：過N作AB的垂線，垂足為F，過M作NF的垂線，垂足為G，在中，，則，在中，，則，由題意易得，所以，；【小問2詳解】解：，令，得，又，所以，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，總造價W最小，最小值為，此時，，，所以當(dāng)米時，能使總造價W最?。?0.在中，已知，，設(shè)分別是的重心、垂心、外心，且存在使.（1）求點的軌跡的方程；（2）求的外心的縱坐標(biāo)的取值范圍；（3）設(shè)直線與的另一個交點為，記與的面積分別為，是否存在實數(shù)使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)重心坐標(biāo)公式以及向量共線可得，即可根據(jù)垂直的坐標(biāo)運算求解，（2）根據(jù)外心的性質(zhì)得，與橢圓方程聯(lián)立可得，即可根據(jù)橢圓的有界性求解，（3）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達定理，即可根據(jù)共線關(guān)系以及面積的表達，代入化簡求解即可.【小問1詳解】設(shè)，則的重心.，，則，為垂心，故因為存在使，故，所以，，而，由垂心定義得，即，整理得，所以點的軌跡的方程為.【小問2詳解】由外心的定義知點在軸上，則，的中點，，所以，整理得.與的方程為聯(lián)立，得.因為，所以.【小問3詳解】由對稱性，不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)，，直線：，聯(lián)立方程得，，整理得；，又，所以.由條件知，，，所以三點共線且所在直線平行于軸，由，知，所以.令，解得（舍去）.又點在直線：上，所以，即，所以.又，聯(lián)立得，所以.又，所以，即，所以.所以，當(dāng)點在第一、四象限時，；當(dāng)點在第二、三象限時，.故存在實數(shù)使.【點睛】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.21.固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時，就是雙曲余弦函數(shù)，懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：；②兩角和公式：，③導(dǎo)數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．（1）直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；（2）當(dāng)時，雙曲正弦函數(shù)的圖像總在直線的上方，求直線斜率的取值范圍；（3）無窮數(shù)列滿足，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）類比，寫出平方關(guān)系，和角關(guān)系和導(dǎo)數(shù)關(guān)系，并進行證明；（2）構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合基本不等式，隱零點，得到函數(shù)單調(diào)性，進而得到答案；（3）當(dāng)時，利用數(shù)學(xué)歸納法證得排除該可能；當(dāng)，同理證得，從而利用換元法即可得解.【小問1詳解】平方關(guān)系：；和角公式：；導(dǎo)數(shù)：．理由如下：平方關(guān)系，；和角公式：，故；導(dǎo)數(shù)：，；【小問2詳解】構(gòu)造函數(shù)，，由（1）可知，①當(dāng)時，由，又因為，故，等號不成立，所以，故為嚴(yán)格增函數(shù)，此時，故對任意，恒成立，滿足題意；②當(dāng)時，令，則，可知是嚴(yán)格增函數(shù)，由與可知，存在唯一，使得，故當(dāng)時，，則在上