第2課時角的平分線的判定教師備課素材示例●類比導入(1)角的平分線的性質(zhì)定理是角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.(2)我們學過很多定理，比如平行線的性質(zhì)定理和判定定理，它們的題設和結論是互換的，你能說出將角的平分線的性質(zhì)定理的題設和結論互換得到的命題嗎？(3)你覺得這個新命題正確嗎？這節(jié)課我們將學習角的平分線的判定．【教學與建議】教學：通過對已知定理轉(zhuǎn)化命題的題設和結論的方式，得到新命題，是探索新知識的一種重要手段．建議：類比性質(zhì)定理得到判定定理，以知識為載體感受逆向思維與類比思想的重要意義．●懸念激趣某考古隊為了進行研究，尋找一座古城遺址，根據(jù)史料記載，該古城在森林附近，到兩條河岸的距離相等，到古塔的距離是3000m，如圖所示（比例尺為1∶200000）．根據(jù)這些資料，考古隊很快找到了這座古城的遺址．你能在圖中標出古城遺址的位置嗎？【教學與建議】教學：通過探秘古城遺址的方式，激發(fā)學生興趣，體現(xiàn)數(shù)學知識的實際應用．建議：根據(jù)圖示抽象出簡單的幾何圖形；要確定一個點的位置，通常利用兩條線（直線或弧線）的交點來確定，由“到古塔的距離是3000m”可知這個點一定在以古塔為圓心、以3000m（圖上距離是1.5cm）為半徑的圓（弧）上；另這個點“到兩條河岸的距離相等”如何確定呢？這就是我們本節(jié)課要學習的內(nèi)容．·命題角度1利用角的平分線的判定解決有關問題題目中如果要證明一條射線是角平分線，要根據(jù)該線上任意一點到角兩邊的距離相等來證明，也可以利用角平分線的定義來解決．【例1】如圖，已知DB⊥AE于點B，DC⊥AF于點C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，則∠DGF＝150°.【例2】如圖，以△ABC的兩邊AB，AC為邊分別向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接BE，CD交于點O，求證：OA平分∠DOE.證明：過點A分別作AM⊥DC于點M，AN⊥BE于點N.∵△ABD，△ACE是等邊三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴DC＝BE.又∵S△DAC＝S△BAE，即eq\f(1,2)DC·AM＝eq\f(1,2)BE·AN，∴AM＝AN.又∵AM⊥OD，AN⊥OE，∴OA平分∠DOE.·命題角度2綜合運用角的平分線的性質(zhì)和判定解決實際問題(1)在實際問題中，確定位置（如建貨物中轉(zhuǎn)站、建集市、建水庫等）的問題，常用角的平分線的性質(zhì)來解決；(2)運用角平分線的性質(zhì)和判定解決實際問題時，一定要把實際問題中道路、河流等抽象成數(shù)學圖形中的直線，并且要求的點是到兩線的距離相等，常常確定兩線夾角的平分線上的點．【例3】如圖，直線l，l′，l″表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)計劃建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有(D)A.1處B．2處C．3處D．4處高效課堂教學設計1．掌握角的平分線的判定．2．學會運用角平分線的性質(zhì)和判定解決幾何證明、計算與實際問題．▲重點角的平分線的判定．▲難點角的平分線的性質(zhì)與判定定理的靈活運用．◆活動1新課導入1．點到直線的距離，就是這一點到直線的垂線段的長度．2．角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.3．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的一個動點．若PA＝2，則PQ的最小值為(B)A．1B．2C．3D．4◆活動2探究新知1．教材P50練習下面部分．提出問題：(1)角的平分線的性質(zhì)是什么？(2)交換性質(zhì)的題設和結論，得到的命題還成立嗎？(3)到角兩邊距離相等的點一定在角的平分線上，理論依據(jù)是什么？學生完成并交流展示．2．教材P51例．提出問題：(1)點P在∠A的平分線上嗎？為什么？(2)這說明三角形的三條角平分線有什么關系？學生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.2．三角形的三條角平分線相交于一點，這一點到三角形三邊的距離相等.◆活動4例題與練習例1如圖，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，BE，CF相交于點D，BD＝CD.求證：AD平分∠BAC.證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF＝DE.又∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴AD平分∠BAC.例2如圖，∠ABC的平分線與△ABC的外角∠ACN的平分線相交于點D，連接AD.求證：AD是△ABC的外角∠CAH的平分線．證明：過點D分別作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，G，F(xiàn).∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF，∴DE＝DG，∴AD平分∠EAC，即AD是△ABC的外角∠CAH的平分線．例3如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC.(1)若連接AM，則AM是否平分∠BAD？請證明你的結論；(2)求證：CD＋AB＝AD；(3)若BC＝12，AD＝13，求S梯形ABCD.解：(1)AM平分∠BAD.證明如下：過點M作ME⊥AD于點E.又∵∠C＝90°，DM平分∠ADC，∴ME＝MC.∵M是BC的中點，∴MC＝MB，∴ME＝MB.又∵ME⊥AD，∠B＝90°，∴AM平分∠BAD；(2)易證Rt△MCD≌Rt△MED，Rt△MBA≌Rt△MEA，∴DE＝CD，AB＝AE.又∵AD＝AE＋DE，∴CD＋AB＝AD；(3)由(2)易得CD＋AB＝AD＝13，∴S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(CD＋AB)·BC＝eq\f(1,2)×13×12＝78.練習1．教材P51練習第1，2題．2．如圖，點P是∠MON內(nèi)一點，PA⊥ON于點A，PB⊥OM于點B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，C為OA上一點且∠OPC＝30°，則∠PCA的度數(shù)為(B)A．50°B．55°C．60°D．80°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))3．在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點應是(A)A．點MB．點NC．點PD．點Q4．如圖，B是∠CAF內(nèi)一點，點D在AC上，點E在AF上，且DC＝EF，△BCD與△BEF的面積相等．求證：AB平分∠CAF.證明：過點B作BM⊥AC于點M，BN⊥AF于點N.∵△BCD與△BEF的面積相等，∴eq