第01講空間向量及其線性運算

目錄

第01講空間向量及其線性運算.................................................................1

一、空間向量概念..............................................................................2

基礎(chǔ)知識...................................................................................2

考點1空間向量相關(guān)概念...................................................................2

二、空間向量線性運算..........................................................................4

基礎(chǔ)知識...................................................................................4

考點2空間向量加減運算...................................................................4

考點3空間向量線性運算...................................................................5

考點4由空間向量的線性運算求參數(shù)........................................................6

三、共線、共面向量............................................................................9

基礎(chǔ)知識...................................................................................9

考點5向量共線的判定....................................................................10

考點6向量共面的判定....................................................................11

考點7由空間向量共線、共面求參數(shù).......................................................12

四、課后作業(yè).................................................................................13

單選題....................................................................................13

多選題....................................................................................14

填空題....................................................................................15

解答題....................................................................................15

一、空間向量概念

基礎(chǔ)知識

1.空間向量概念

(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量.

(2)長度或模：向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；

②字母表示法：用字母a,b,c,...表示；若向量a的起點是A,終點是B,也可記作魂，其模記為同或|施

(4)幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為一a

共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么

(平行向量)這些向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定：對于任意向量a,都有0〃a

相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量

【注】

(1)空間中點的一個平移就是一個向量；

(2)數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空

間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量.

考點1空間向量相關(guān)概念

【例1.1](23-24高二上?山東日照?階段練習(xí))下列命題中為真命題的是()

A.向量方與瓦?的長度相等

B.將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓

C.空間非零向量就是空間中的一條有向線段

D.不相等的兩個空間向量的模必不相等

【例1.2]（23-24高二上?山東聊城?階段練習(xí)）給出下列命題：

①空間向量就是空間中的一條有向線段；

②在正方體力BCD-4/1的。1中，必有左=&C；；

③同=同是向量彼=1的必要不充分條件；

④若空間向量沅，五幣滿足范瓦，nllp,貝餌I肪

其中正確的命題的個數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.0

：一已知正方體ABCD-力R'C'D'的中心為。，則在下列各結(jié)論中正

確的共有（）

--?>

①耐+而與。B'+0C'是一對相反向量；

-->>

②話-而與。力'-。。'是一對相反向量；

-->-->-->--->

③力？+4+沆+礪與。4'+0Br+0C'+。?！且粚ο喾聪蛄?；

->--?

④。A'-a與反-0C'是一對相反向量.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1.2]（23-24高二上?全國?課后作業(yè)）給出下列命題：

①零向量沒有方向；

②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；

③若空間向量或刃滿足同=\b\,則五=%；

④若空間向量沅，五萬滿足記=元了=萬，則記=萬；

⑤空間中任意兩個單位向量必相等.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.4B.3

C.2D.1

二、空間向量線性運算

基礎(chǔ)知識

1.空間向量的線性運算

加法a+b=oA+AS

空間向減法a-b=6A-ot=cA0aA

量的線

當(dāng)X>0時，

F!M

性運算/A

數(shù)乘//Aa(A>0)Aa(A<O)

當(dāng)九<0時，Xa=?c6A=M^；a

OP

當(dāng)九=0時，Xa=0

交換律：a+b=b+a；

運算律結(jié)合律：a+(b+c)=(a+b)+c,X(ga)=(X|i)a；

分配律：(X+|i)a=Xa+|ia,X(a+b)=Xa+Xb.

【注】

(1)空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則，

而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運算，可以將向量合并.

(2)向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則.

(3)空間向量加法的運算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，因此，求空間若干向量

之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量.

考點2空間向量加減運算

【例1.1】(23-24高二F-北開試已知平行六面體ABCD-TB'C'D'，則下列四式中錯誤的是()

A.AB-CB=AC

B.AC=AB+BC'+CC

C.44'="'

—>—>—>

D.AB+BB'+JC+C'C=AC'

'「：已知E,F分別是空間四邊形2BCD的對角線力C,BD的中點，點G

是線段EF的中點，P為空間中任意一點，則方+而+而+方=()

C.3PGD.4PG

在空間四邊形0aBe中，化簡小？+荏一荏=()

A.0AB.0C

C.ACD.0B

在三棱錐P—ABC中，M為AC的中點，則由=()

A.-BA+-BC+BPB.-BA+-BC-~BP

2222

C.-BA+-BC--BPD.-BA+-BC+-BP

222222

考點3空間向量線性運算

在三棱柱力BC—A181cl中，E是BC的中點，前=2謂，貝!］密=

()

A.-AB--AC+AA^B.-AB+-AC+AA1

331331

C.--AB+-AC+AA^D.--AB+-AC-AA^

331331

如圖，在四面體4BCD中，E,尸分別為BC,HE的中點，G為AACD

的重心，則而=()

A.--AB+—AC+-AD

3124

B.--AB+—AC+-AD

4123

C.-AB--AC+-AD

4123

D.-AB+—AC--AD

3124

「四面體中，￡為棱的中點，則而+：（而+反）=

（）

A.ABB.ACC.AED.DE

【變式2.2]（23-24高二上?河南南陽?階段練習(xí)）求0+2”3丹+3*斜—/+葡—0—2工+?）為

（）

a-*q->

A.2aH—b—2cB.2aH—b—2c

22

e—>Q—>

C.2?！猙—2cD.2a—b—2c

22

考點4由空間向量的線性運算求參數(shù)

1m二T「；；「已知四面體。ABC中,01=,而=石，瓦=己而=4加(4>0),N

為BC中點，若麗=—/+與+二，則4=()

4ZZ

o

如圖，平行六面體4BCD-4中?/中，點M在BB1上，點N在DD1

上，且=D[N=；%D,若麗=%荏+、而+2丙，則x+y+z=（）

【變式3.1]（23-24高二上?福建泉州?階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體力BCD-&B1QD1中，點E為上

底面對角線41的的中點，若說=砧+%費+%W,則（）

A.%=--,y=-B.x=-,y=-

C.x=—,y=—D-x=：，y=：

如圖所示，平行六面體/BCD-//SGD中，E,尸分別在氏3

和。曲上，旦BE=^BBi，DF=|o。/.若前=%費++z砧，則x+y+z等于（）

A.-1B.0cID.1

三、共線、共面向量

基礎(chǔ)知識

1.共線向量

(1)空間兩個向量共線的充要條件

對于空間任意兩個向量“，伙厚0),的充要條件是存在實數(shù)九使。=肪.

(2)直線的方向向量

在直線/上取非零向量m我們把與向量"平行的非零向量稱為直線I的方向向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量。，都有0//a.

(3)共線向量定理的用途：

①判定兩條直線平行；

②證明三點共線.

【注】：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，

進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利

用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點.

2.共面向量

(1)共面向量

如圖，如果表示向量。的有向線段勿所在的直線。/與直線/平行或重合，那么稱向量。平行于直線/.如果

直線CU平行于平面a或在平面a內(nèi)，那么稱向量。平行于平面a.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量.

a

"OV

dI

(2)向量共面的充要條件

如果兩個向量a,8不共線，那么向量p與向量0,8共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,夕)，使p

=xa-\-yb.

⑶共面向量定理的用途：

①證明四點共面；

②證明線面平行.

考點5向量共線的判定

[例I.](2324高湖百課后彳已知向量3,b,下不共面,AB=^a+5b+3c,AC=2a+3b+-c,

AD6a+7b+5c.求證：B,C,。三點共線.

「訓(xùn)i:,4門,；一四棱柱ZBCD—AR'C'D'的六個面都是平行四邊形，點M在對角線

A’B上，且%=；|MB|,點N在對角線a'c上，且%'N|=g|NC|.

(1)設(shè)向量AB=方，AD—b,AA=~c,用/、6、E表小向量DM、DN；

(2)求證：M、N、D'三點共線.

【變式1](23-24高預(yù)習(xí))已知4BP三點共線，。為直線外空間任意一點，若加=al+

0OB,求證：a+p—1.

【變式1.2](23-24高二上?湖南長沙?階段練習(xí))如圖，已知0,48,。,。,￡吃&"為空間的9個點，且灰=

kOA,OF=kOB,OH—kOD,AC-AD+mAB,EG—EH+mEF,k0,m0.

求證：(1)AC//EG-,

(2)OG=kOC.

考點6向量共面的判定

【例-2324/W1二后作業(yè))如圖，四邊形/BCD是平行四邊形，過平面/C外一點。作射線

OA,OB,OC,OD,在四條射線上分別取點E,F,G,H,并且使哈=黑=骼=黑=k.求證：E,F,G,

UAUDUCUD

〃四點共面.

「"『一：「"芭已知4B,M三點不共線，對于平面A8M外的任意一點。，判斷在

下列各條件下的點P與點4B,M是否共面.

(1)OB+W=30P-0A；

(2)0P=40A-OB-~0M.

如圖，已知。、4反。、。、反工《8為空間的9個點，且反=人瓦?,

OF^kOB,OH=kOD,AC^AD+mAB,EG=￡77+mEF,k,meR.求證：4氏CD四點共面，E、F、G、

X四點共面；

如圖，已知。，A,B,C,D,E,F,G,"為空間的9個點，且

0E=kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k0,mKO.

(1)求證：A,B,C,。四點共面，E,F,G,"四點共面;

(2)求證：平面力BCD〃平面EFCH；

(3)求證：OG=kOC.

考點7由空間向量共線、共面求參數(shù)

【例3.1】(23-24:上?遼寧?期中)設(shè)向量瓦，甌互不共面，已知同=-3瓦一心+2匹前=瓦+4蔽-6瓦,

麗=4瓦+劉+8瓦，若4C,D三點共線，則4=()

A.0B.1C.2D.3

。為空間任意一點，若Q=-工就+工赤+t反，若A,B,

48

c,P四點共面，貝n=()

911

A.1B.-C”D.-

884

、"福建龍巖?期中)設(shè)向量耳,4可不共面，已知荏=可+要+瓦,前=可+貶；+

可，麗=4瓦+8要+4可，若4,C,。三點共線，則2=()

A.1B.2C.3D.4

.?全國?課后作業(yè))已知。為空間任意一點，45&尸滿足任意三點不共線，但四點

共面，且前=血耐+而+方，則m的值為()

A.-1B.2C.-2D.-3

四、課后作業(yè)

單選題

1.（23-24高二上?新疆?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.若同〈同，則方＜1B.若1互為相反向量，則7+1=0

C.空間中兩平行向量相等D.在四邊形N5CD中，AB-AD=DB

2.（23-24高一」,隔建泉州?期中）在正方體48。。-力道心。1中，與向量河相反的向量是（）

A.B.跖C.D.AB[

3.（2024高一全國？，笆已知空間四邊形48CD,連接/C,BD,N為CD中點，如圖所示，則屈+

g面+前)=()

A.ANB.CN

C.~BCD.-BC

2

如圖，在平行六面體力BCD-&B1C1D1中，M為4的與的交點.若方=

甚而=了,標(biāo)=3則下列向量中與前相等的是（）

A.1a+16+cB?-軟+頡+三

C.——b+7D.—ci—b

2222

已知加，麗是空間兩個不共線的向量，MC=SMA-3MB,那么必有（）

A.拓?，標(biāo)共線B.麗，祈?共線

C.麗,流共面D.涼，麗，而不共面

6.（22-23高二上?福建福州?階段練習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.若力，B,C,。是空間任意四點，貝I有四+阮+而+萬?=6

B.同一同=忖+同是石共線的充要條件

C.若屈，而共線，則力B〃CD

D.對空間任意一點。不共線的三點A,B,C,若行=拓1+曠麗+z泥（其中x,y,z€R）,則P,A,B,

C四點共面

，已知久、石、瓦為空間三個不共面的向量，向量方=瓦+〃石+4石，石=

3百+9電+4瓦，若方與刃共線，則4+〃=（）

A.-3B.3C.-15D.15

8（2224高爾鹽城?期末）已知點。在△ABC確定的平面內(nèi)，。是平面力BC外任意一點，若正實數(shù)居y

滿足命=x^5+2y南-泥，則沙的最小值為（）

孫

59

A.-B.-C.2D.4

22

多選題

9.（23-24高二下?江蘇連云港?階段練習(xí)）下列選項中正確的是（）

A.若存在實數(shù)x,y,使加=x豆？+y而，則點P,M,A,8共面；

B.若萬與萬花共面，則存在實數(shù)x,力使萬二切+y石；

c.若向量a石所在的直線是異面直線，則向量a石一定不共線；

D.若,、%、下是空間三個向量，則對空間任一向量亦總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組Q,y,z）,使力=歷+證+

ZC.