第03講空間向量基本定理

目錄

第03講空間向量基本定理.....................................................................1

一、空間向量基本定理..........................................................................2

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................2

考點(diǎn)1空間向量基底概念...................................................................2

考點(diǎn)2空間基底表示向量...................................................................3

考點(diǎn)3由空間向量基本定理求參數(shù)..........................................................4

二、空間向量正交分解..........................................................................6

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................6

考點(diǎn)4正交分解...........................................................................6

三、空間向量基本定理解決相關(guān)問(wèn)題.............................................................8

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................8

考點(diǎn)5證明平行、共線(xiàn)、共面問(wèn)題..........................................................8

考點(diǎn)6夾角、垂直問(wèn)題.....................................................................9

考點(diǎn)7求距離問(wèn)題........................................................................11

四、課后作業(yè).................................................................................13

單選題....................................................................................13

多選題....................................................................................14

填空題....................................................................................15

解答題....................................................................................15

一、空間向量基本定理

基礎(chǔ)知識(shí)

1.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使得p=xa

+yb+zc.

我們把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c都叫做基向量.

2.用基底表示向量的步驟

（1）定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

（2）找目標(biāo)：用確定的基底（或已知基底）表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合

相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果.

（3）下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底色，b,2}可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結(jié)果中只能含

有短b，c,不能含有其他形式的向量.

考點(diǎn)1空間向量基底概念

【例1.1］（23-24高二上?廣東東莞?期末）若何］?構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間的一

個(gè)基底的是（）

A.{a+/?,b+~c,~c+a}B.{a,b,~a+b+c）

C.{a+K+G?}D.{a—~b,~b—~c,~c—a］

【例1.2］（23-24高二上?陜西西安?階段練習(xí)）已知佰B可是空間的一個(gè)基底，則可以和方1+下構(gòu)成空間的

另一個(gè)基底的向量為（）

A.a+b+cB.a—b—cC.a+2b+cD.2a+b+c

【變式1.1］（23-24高一上?上海?期末）在以下命題中，正確的命題其中真命題是（）

A.若萬(wàn)＜0,則〈方?石〉是鈍角

B.若力小,則存在唯一的實(shí)數(shù)4,使方=石

C.對(duì)空間任意一點(diǎn)。和不共線(xiàn)的三點(diǎn)1,B,C,若而=2瓦I+2時(shí)一3瓦，則尸、4、B、C四點(diǎn)共

面

D.但是，可為空間一個(gè)基底，則值+另,1+芯7+可不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底

【變式1.21(23-24高二上?廣東東莞?期中喏｛西，幅砌是空間的一個(gè)基底，且向量工=可*+弓了=/-瓦,

下=瓦+1瓦不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，貝(Jt=()

A.-1B.1C.0D.-2

考點(diǎn)2空間基底表示向量

【例2.1】平行六面體ABCD—4/1的小中，E為的小的中點(diǎn)，設(shè)法=五,

AD-b,AA1-~C,用6,6,"?表示南，貝U()

A.5E=-1a+h+cB.或=_靛+的+Z

C.BE=a+|b-cD.BE=a-b+^c

【例2.2】(22-23高二上?北京?階段練習(xí))如圖，在平行六面體A8CD-4/1的小中，M為公的與當(dāng)小的

交點(diǎn)，若CDa,CB^b,CCi=c,則下列向量中與前相等的向量是()

G

A

An1-IT.

--1?+^+cB,-1a-1fe+cCD.—CL—b+c

-++c22

如圖，在平行六面體力BCD-4當(dāng)?shù)男≈?，AB=a,AD=b,

麻=己點(diǎn)P在&C上，且中=3麗，則布=()

n1^,171-

AA.-3a—d—3MbH.—17cBD.-3aTd—IVbH.—17cCc.—1a-dI—3MbH?—37cD.-a+-D——c

444444444444

【變式2.2］（23?24高二下?安徽淮北?開(kāi)學(xué)考試）在四棱錐P-ABCD中，底面ZBCD是正方形，E是PD的中

點(diǎn)，若PZ=甚尸8=b,PC=7,則BE=()

1—3r11

B.-a——b——c

222

1-3-

D.-a——b+-c

222

考點(diǎn)3由空間向量基本定理求參數(shù)

【例3.1］（23-24高二上?山東聊城?期末）在三棱錐S-4BC中，D,MF分別為48,BC,C4的中點(diǎn)，若襦=

xSD+ySE+zSF,則X—y+z=（）.

A.-1B.1C.2D.3

【例3.2］（23-24高二上?貴州畢節(jié)?期末）如圖1,在四面體。Z8C中，點(diǎn)M,N分別為線(xiàn)段。48c的中點(diǎn),

若麗=%H?+y話(huà)+zU?,則％+y-z的值為（）

BNC

A.—B.—C.—D.1

242

如圖，在四面體力BCD中，點(diǎn)M是棱BC上的點(diǎn)，且BM=2MC,

點(diǎn)N是棱4。的中點(diǎn).若麗=乂而+丫而+z前，其中x,y,z為實(shí)數(shù)，則x+y+z的值是（）

(23-24高一上?北京?期中)平行六面體的所有棱長(zhǎng)都是1,。為41cl中點(diǎn),

NBA。=NBA41=NDAA1=60°,AO=AA[+xAB+yAD,貝!]()

1

A.x=1,y=1B.%=1,y=-

C.x=-,y=-D.x=-,y=1

2y22/

二、空間向量正交分解

基礎(chǔ)知識(shí)

1.空間向量的正交分解

(1)單位正交基底

如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都是1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用｛i,

j，k｝表示.

(2)向量的正交分解

由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量a,均可以分解為三個(gè)向量xi,yj,zk使得a=xi+yj+zk.像這

樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

考點(diǎn)4正交分解

已知BD_L平面ABC,AB1BC,BD=1,ZB=2,BC=3,則空間

的一個(gè)單位正交基底可以為()

A.^BC.BD^AD\B.^BC,BD^BA]

C.｛或，麗砌D.｛成麗，:網(wǎng)

已知信而，引是空間的一個(gè)單位正交基底，向量下=工+21+3巳

區(qū)+石方-了團(tuán)是空間的另一個(gè)基底，向量冰E基底值+及方一六?｝下的坐標(biāo)為()

A-(I1-?3)B.(-1,，3)C.&-1，3)D.(一*|,3)

式i】(22-23高Ji因臺(tái)?階段練習(xí))設(shè)｛7J,%｝是單位正交基底，已知小4+亦=>+匕1=志+7,

若向量萬(wàn)在基底｛乙方同下的坐標(biāo)為(8,6,4),則向量力在基底｛7J,%｝下的坐標(biāo)是()

A.(10,12,14)B.(14,12,10)

C.(12,14,10)D.(4,3,2)

【變式1.2](23-24高二上?河北保定?期中)定義：設(shè)｛用,辦方3｝是空間的一個(gè)基底，若向量3=/1+近2+

za3,則稱(chēng)實(shí)數(shù)組Qy,z)為向量萬(wàn)在基底｛逛五2,%｝下的坐標(biāo).已知色而正｝是空間的單位正交基底，(2(a-

務(wù)”,27-。是空間的另一個(gè)基底.若向量不在基底｛20-石)22萬(wàn)一碼下的坐標(biāo)為(1,-2,1),則向量力在基底

何用可下的模長(zhǎng)為（）

A.3B.V6C.9D.6

三、空間向量基本定理解決相關(guān)問(wèn)題

基礎(chǔ)知識(shí)

1.證明平行、共線(xiàn)、共面問(wèn)題

(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,b(b#O),a〃b的充要條件是存在實(shí)數(shù)九，使a=汕.

(2)如果兩個(gè)向量a,b不共線(xiàn)，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使

p=xa+yb.

2.求夾角、證明垂直問(wèn)題

(1)9為a,b的夾角，則cos0=總.

|a||b|

(2)若a,b是非零向量，貝!]aJ_b<=>a-b=0.

3.求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題

|a|=A/a^a(|A6|=^A§-A&).

4.利用空間向量基本定理解決幾何問(wèn)題的思路：

(1)平行和點(diǎn)共線(xiàn)都可以轉(zhuǎn)化為向量共線(xiàn)問(wèn)題；點(diǎn)線(xiàn)共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問(wèn)題；

(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題，解題中要注意角的范圍；

(3)幾何中求距離(長(zhǎng)度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得.

【知識(shí)技巧與總結(jié)】用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始

點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.

(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.

考點(diǎn)5證明平行、共線(xiàn)、共面問(wèn)題

已知4B,C三點(diǎn)不共線(xiàn)，對(duì)平面力BC外的任一點(diǎn)0,下列條件中

能確定點(diǎn)共面的是()

A.0M=20A+-0B-0C

3

B.0M=30A-20B-20C

C.7）M^-OA+-OB+-0C

243

D.OM=-OA+-OB--0C

333

在空間四點(diǎn)0,A,B,C中，若｛DX萌，沆｝是空間的一個(gè)基底，則

下列命題不正確的是（）.

A.0,A,B,C四點(diǎn)不共線(xiàn)B.0,A,B,C四點(diǎn)共面，但不共線(xiàn)

C.0,A,B,C四點(diǎn)不共面D.0,A,B,C點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)

【變式1.1]（22-23高二上?山東棗莊?期中）空間4B,C,D四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，若P為該平面外

一點(diǎn)且=|而-xPC-|PD,則實(shí)數(shù)x的值為（）

A.--B.--C.-D.-

3333

H?課后作業(yè)）有以下命題:①若力=垃+仍,貝歷與優(yōu)石共面；②若力與亂石共

面，則力=初+仍；③若而=xMA+yMB,則P、M、4B四點(diǎn)共面；④若P、M、4B四點(diǎn)共面，則而=xMA+

yMB；⑤若存在％、HER,使然+而=。,貝U=〃=0；⑥若乙萬(wàn)不共線(xiàn)，則空間任一向量方=Aa+而（4、〃￡

R）.其中真命題是（）

A.①②B.①③C.②③④D.③④⑥

考點(diǎn)6夾角、垂直問(wèn)題

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體。力BC中，M,N分別是邊。4

BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，且MG=2GN,設(shè)Dl=OB=b,OC=~c.

（1）試用向量~b,下表示向量說(shuō);

（2）求cos<OG,BA>.

【例2.2]（23-24高二上?天津靜海?階段練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形NBCD的每條邊和對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)都等

于1,點(diǎn)￡,F,G分別是/瓦AD,CD的中點(diǎn).設(shè)荏=H,AC^b,而=道

(1)求證EGUB；

(2)求異面直線(xiàn)AG和CE所成角的余弦值.

已知四面體中三組相對(duì)棱的中點(diǎn)間的距離都相等，求證：這個(gè)

四面體相對(duì)的棱兩兩垂直.

己知：如圖，四面體力BCD,E,F,G,H,K,M分別為棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中點(diǎn)，且|EG|=

\FH\=|KM|求證AB1CD,AC1BD,AD1BC.

如圖，在底面力BCD為菱形的平行六面體ABCD-中,

M,N分別在棱CCi上，且=1A41，CN=iccv且NA遇。=^AB=^DAB=60°.

⑴用向量標(biāo)，AD,方表示向量而；

(2)求證：D,M,Bi，N共面；

(3)當(dāng)空為何值時(shí)，4cli&B.

AD

考點(diǎn)7求距離問(wèn)題

【例3.1](23-24高一下?江蘇常州?階段練習(xí))如圖所示,平行六面體4BCD—4B1C1D1中，AB=AD=

1,AAj,=2,/.BAD=NBAAi=ADAAT=

⑴用向量屈，前，標(biāo)表示向量西，并求|西卜

(2)求cos(BD1；AC).

:前]；)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A8CD是邊長(zhǎng)為3的菱形，PC=

4,^ABC=乙BCP=乙DCP=120".

(1)利用空間向量證明P41BD；

(2)求力P的長(zhǎng).

如圖，空間四邊形OABC中，OA=OB=OC=2,NAOC=ZBOC=p

ZAOB=p點(diǎn)M,N分別在OA,BC上，且。M=2MA,BN=CN.

o

⑴以｛5X,而，玩｝為一組基底表示向量而;

(2)求MN的長(zhǎng)度.

，式3.2](23-24高二上?廣東梅州?階段練習(xí))如圖，在四棱錐尸―ABCD中，底面/BCD是邊長(zhǎng)為1的

正方形，側(cè)棱為的長(zhǎng)為2,且以與的夾角都等于60。，M是尸C的中點(diǎn)，設(shè)荏=五,而=￡麗=工

（1）求證BM'=—1a+|b+jt；

(2)求BM的長(zhǎng).

四、課后作業(yè)

單選題

p-.a,b,正是三個(gè)不共面的單位向量，q-色范，可可為空間的一個(gè)基底,

則p是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（23-24高匚重慶?期末）正方體A8CD-4中?。1中的有向線(xiàn)段，不能作為空間中的基底的是（）

A.｛AB,AC,AD]B.（AB,AD,AA^｝C.｛相畫(huà)，砧｝D.｛函,石河｝

（23-24高二下?廿肅?期中）在四棱錐P—4BCD中，底面力BCD是平行四邊形，E為PD的中點(diǎn)，若用=

a,PB=b,PC=^,則用基底怎是,初表示向量配為（）

.1-IV,1-「1-3￡?1-

A.-a——D+-cB.-a——b+-c

222222

1-1M1一「一

C.-a——b——cD.-1-a——3Mb+l-3c

222222

若值是，司構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）

A.~a—~c,b+~c,~a—2bB.a+2b—c,b—c,CL-b

C.2b—~c,~d+b,Za+cD.~a—b—~c,~a+Gb+c

5（23-24高蘇，巷?期中）已知值了同是空間的一個(gè)基底，值+瓦方-瓦班是空間的另T基底,

一向量萬(wàn)在基底低5司下的坐標(biāo)為（4,2,3）,則向量乃在基底值+5方-5引下的坐標(biāo)是（）

A.（4,0,3）B.（3,1,3）C.（1,2,3）D.（2,1,3）

6,二；，4高；G『末）如圖，在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)。滿(mǎn)足麗=4萬(wàn)，麗=x^+y前+z而,

則％—y+z=()

a

一

137

A.5B,-C.2D.-

己知色,石,可是空間的一組基底，其中方=2彼-3瓦AC=a--c,

前=21+72.若/,B,C,。四點(diǎn)共面，則人()

3344

A.-JB-4C-3D--3

，1階段「刀)如圖，空間四邊形。力8c中，。4=2,。8=3,。。=4,且立《蘇,反

任意兩個(gè)之間的夾角均為60。，OM=2MA,W=2NC,則|麗|=()

多選題

■已知向量方,石工能構(gòu)成空間的一組基底，則能與向量而=方—5元=1一W

構(gòu)成空間另一組基底的向量是()

A.~a—~cB.~a+c

C.a4-/)D.a+/?+c