限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間:一月一日天氣:

寒假作業(yè)14相似三角形的基本模型

相似三角形是初中幾何中的重要內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是

中考的?？碱}型.本課時(shí)就相似三角形的基本模型：（雙）A字模型、（雙）8（X）字模型、母子模型（共

邊共角模型）、“手拉手”模型（旋轉(zhuǎn)模型）、一線三等角（K字）模型、半角模型、對(duì)角互補(bǔ)模型等進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)

訓(xùn)練，方便同學(xué)們熟練掌握.

wa鞏固提升練

1.如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與3。相交于點(diǎn)E,

連接AB,C￡>,則ZWE與△CDE的周長(zhǎng)比為（）

【答案】D

【解析】如圖，由題意可知，DM=3,BC=3,；.DM=BC,而

:.四邊形DCBM為平行四邊形，AB〃DC,

ZBAE=ZDCE,ZABE=ZCDE,_ABEs_CDE,

2.如圖，相交于點(diǎn)E,且AC〃EF〃。臺(tái)，點(diǎn)在同一條直線上.已知AC=，EP=r,O3=q,

則。應(yīng)/之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（）

D

【答案】C

【解析】?/ACHEF//DB,Z\BEF^Z\BAC,^CEF^CDB,

EFBFEFCFEFEFBFCF,

**ACBC'BDBC"**ACBDBCBC'

rr111

*.*AC=p,EF=r,DB—q,/.—I—=1,即—I—,故選C.

pqpqr

3.如圖，在/XABC中，ADLBC,垂足為O,AD=5,BC=10,四邊形￡FG”和四邊形HGMW均為正方

形，且點(diǎn)E、F、G、H、N、M都在&ABC的邊上，那么與四邊形BCME的面積比為.

【答案】1:3

【解析】：四邊形EFGH和四邊形"GM0均為正方形，

?.設(shè)四邊形EFGH和四邊形HGNM的邊長(zhǎng)為x,

則EM=2x,EF=x,EF1BC,EM//BC,'：AD±BC,：.PD=EF=x,

VAD=5,：.AP^AD-PD^5-x,

APFJVfS—Y'Y

\'EM//BC,：.AEM^ABC,：.——=——，——=—,解得x=2.5,

ADBC510

：.AP=2.5,EM=5,：.s^.=-EM-AP=—>

1.2575

乂,^/\ABC~2BC.AD—25，??S四邊形5cME=S^ABC-S￡\AEM=25——,

2575

??S/^AEM,S四邊形c5ME=1=1?3，故答案為：1?3.

4.如圖，點(diǎn)。是△ABD邊AZ)上一點(diǎn)，且滿足NCBD=NA.

⑴證明：BCDsABD；

(2)若5C:AB=3:5,AC=16f求3。的長(zhǎng).

B

【解析】(1)在△BCD與△ABD中，

NCBD=ZA,ZD=ZD,：.BCD^ABD.

BCCDBDnnCDBD3

(2)BCDsABD,：——,P?N———

ABBDADBDAD5

3333

ABD=-AD,CD=-BD,：CD=—x—AD,

5555

33

XVAD=AC+CD,AC=16,???CD=-x-x(16+CD),

3

解得8=9,：.AD=AC+CD=25,■-BD=-AD=15.

5.在RtaABC中，NB4c=90。，AD是斜邊8C上的高.

⑴證明：△ABD^ZXCBA；

(2)若AB=6,BC=10,求8。的長(zhǎng).

【解析】(1)ZBAC=90SAD是斜邊8C上的高,

AZADB=90°,ZB+ZC=90°,：.ZB+ZBAD=90°,：.ZBAD=ZC.

又,：ZB=ZB,，AABD^/XCBA.

/八,ABBD

(2).△ABEX^/XCBA,??-----=------

CBABf

又AB=6,5c=10,ABD=^-=—=—

CB105

6.如圖，C4，AO,ED，A。，點(diǎn)8是線段AD上的一點(diǎn)，且CF_LBE.已知A3=8,AC=6,DE=4.

⑴證明：AABCs^DEB.

(2)求線段3。的長(zhǎng).

C

【解析】(1)VAC±AD,ED±AD,：.ZA=ZD=90°,ZC+ZABC=90°,

VCB1BE,，ZABC+NEBD=90。，AZC=ZEBD,：.AABC^ADEB.

(2)?:AABCs/xDEB,：.一=一,

DEBD

VAB=8,AC=6,DE=4,解得30=3.

4BD

7.如圖，點(diǎn)C為線段4?上一點(diǎn)，分別以AC,BC為等腰三角形的底邊，在4?的同側(cè)作等腰,ACD和等腰

BCE,且NA=NCBE.在線段EC上取一點(diǎn)尸，使EF=AD,連接BRDE.

春八

.4CBACB

mi圖2

(1)如圖1,求證：DE=BF；

(2汝口圖2,若AD=2,班'的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)G,求郎的長(zhǎng).

【解析】(1)由題知‘ACD和3CE均為等腰三角形，且AZ)=CD,EC=EB,ZA^ZDCA,

又：ZA=/CBE,:.NDCA=NCBE,：.CD//BE,:.NDCE=NBEF,

CD=EF

VEF=AD,：.EF=CD,在LDCE和.FEB中，＜/DCE=/FEB,

EC=EB

：.ADCE^AFEB(SAS),Z.DE=BF.

(2)如圖，取CE的中點(diǎn)H,連接G”，

xA

ica

??,點(diǎn)G是。石的中點(diǎn)，???GH是-ECD的中位線，

：.GH=-CD=-AD=\,GH//CD,^BE=a,貝ijCH=E"=’。石=,35=!〃，

22222

?：EF=AD=2,：.FH=-a-2-：CD//BE,J.GH//BE,:?AFGHs^FBE,

2f

?望F，即L二，整理得―=。，解得7+2攻(負(fù)值己舍)，

a2

經(jīng)檢驗(yàn)a=2+20是所列方程的解，且符合題意，.?.BE=2+2夜.

8.(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1,AABC和△ADE都是等邊三角形，連接8。，CE.求證：BD=CE.

(2)【類(lèi)比探究】如圖2,AA8C和AAOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.連接8。，CE.請(qǐng)直

接寫(xiě)出名的值.

CE

ADAJJ3

(3)【拓展提升】如圖3,"5。和母4。石都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°且====：.連接

9BCDE4

BD,CE.求也的值.

【解析】和AADE都是等邊三角形，：.AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=60°,

：.ZDAE-ZBAE=ZBAC-/BAE,

：.ZBAD^ZCAE,：.ABAD^/\CAE(SAS),:.BD=CE.

處=正理由如下：

CE2

AABC和LADE都是等腰直角三角形，

ADAB1

-=-7=,NDAE=ZBAC=45°,；.ZDAE-/BAE=ZBAC-ZBAE,

AEACJ2

AZBAD=ZCAE,.'.△BAD^ACAE,—=4==—-

CEAC62

(3)V—=—=ZABC=ZADE^90°,

BCDE4

ABAD3

ZkABCs△ADE",.,*/BAC=NDAE,-——,

ACAE5

NCAE=NBAD,△CA￡"s△BAZ),-----=------=—.

CEAE5

9.如圖，在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,過(guò)點(diǎn)。作射線CP〃A8,。為射線。尸上一點(diǎn)，E

在邊BC上(不與8、。重合)且NDAE=45。，AC與。￡交于點(diǎn)。

A

(1)求證：AADESAACB；

(2)如果。D=CE,求證：CD2=CO-CA.

【解析】(1)???Z\A3C是等腰直角三角形，???NB4C=N5=45。，

VZ￡)AE=45°,：.ZDAE=ZBAC=45°,

AZDAC+ACAE=ABAE+ACAE,:?/DAC=/EAB,

9

：PC//ABf：.ZACD=ZBAC=ZB=45°,:,△ADCs^AEB,

4nAC

：.——=——,又:/DAE=/BAC=45。,AAADE^AACB.

AEAB

(2)VZACD=45°,ZACB=90°,：.ZCZ)E+ZCEZ)=180o-90o-45o=45o,

VCD=CE,：.ZCDE=ZCED=22.5°,VAADE^AACB,AZADE=ZACB=90°,

：.ZCAD=180°-AADE-ZCDE-ZACD=180°-90o-22.5o-45o=22.5°,ZCAD=ZCDE,

OCCD

又,：/OCD=/DCA,.?.△OCDSADCA,——=——,J.C^CO-CA,

CDCA

能力培優(yōu)練

10.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=8,點(diǎn)E,尸分別在BC,CD±..若BE=2,NE4尸=45。，則

。尸的長(zhǎng)是.

【答案】|

【解析】如圖，取AD，BC的中點(diǎn)M,N,連接MN,交AF于H,延長(zhǎng)CB至G,使BG=MH,連接AG,

???點(diǎn)點(diǎn)N是AO,8C的中點(diǎn)，：.AM=MD=BN=NC=4,

???四邊形ABC。為矩形，J四邊形A3NM是正方形，:.MN=AB=BN=4,ZAMH=90°,

VAB=AM,ZABG=ZAMH=90°,BG=MH,

：.aABGQ■AMH(SAS),ZBAG=NMAH,AG=AH,

VZEAF=45°,ZMAH+ZBAE=45°,：.ZGAB+ZBAE=ZGAE=ZEAH=45°,

5i'：AG=AH,AE=AE,：.^AEG^^AEH(SAS),：.EH=EG,EH=BE+BG=BE+MH=2+MH,

4

22222

在RtHEN中,EH=NH-^NE9：.(2+MH)=(4-MH)+4,

AA/fMH4QQO

■:MN//CD,：..AHM^AFD,：.——=——，：.DF=-x-=-,故答案為：—.

sADDF3433

11.(1)如圖1,在△ABC中，D,E,尸分別為AB,AC,BC上的點(diǎn)，DE〃BC,BF=CF,AF交DE于點(diǎn)、G,

求證：DG=EG.

DF

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接C0CG.^CG±DE,CD=6,AE=3,求學(xué)的值.

BC

(3)如圖3,在，ABCD中，ZADC=45。,AC與8。交于點(diǎn)0,E為A0上一點(diǎn),EG〃BD交AD于點(diǎn)G,EF±EG

交3C于點(diǎn)況若NEG尸=40。,尸G平分NEFC,尸G=10,求3F的長(zhǎng).

B-------------p--------------CBFc0FC

圖1圖2圖3

【解析】(1)：少石〃^。，AADGAABF,AAEGAACF,

，吧=2跑=2吧=里:BF=CF,：.DG=EG.

BFAFCFAFBFCF

(2)由(1)得。0二屆，VCG±DE,：.CE=CD=6.

t_AE_1

V=AAC=AE+CE=9.VDE//BC,：.ADEABC.A—

BC7"AC-3,

(3)如圖，延長(zhǎng)G￡交AB于點(diǎn)M,連接月飲，作垂足為N.

AG一D

7

BNFC

在，/^。中，BO=DO,ZABC=ZADC=45°.

VEG//BD,.?.由（1）得ME=GE,

VEFl.EG,：.FM=FG=10,：.ZEFM=ZEFG.

VZEGF=40°,：,ZEMF=40°,：,ZEFG=50°.

,/PG平分NEFC,：.ZEFG=ZCFG=50°,

ZBFM=1800-ZEFM-ZEFG-ZCFG=30°.

：..在RfFMN中,MN=FMsin30°=5,FN=FMcos30°=573.

:NMBN=45。,MNLBN,：.BN=MN=5,

：.BF=BN+FN=5+5^.

12.【問(wèn)題呈現(xiàn)】（1）如圖1,在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，點(diǎn)A

為公共頂點(diǎn)，ZBAC=ZG^90°,若一ABC固定不動(dòng)，將AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),邊AF,AG與邊BC分別交于

點(diǎn)、D,E（點(diǎn)。不與點(diǎn)8重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），則結(jié)論3￡CD=AB2是否成立______（填“成立”或“不

成立”）；

【類(lèi)比引申】（2）如圖2,在正方形ABCD中，ZE4尸為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)角，兩邊分別與BD,BC交于

點(diǎn)E,F,且滿足NE4產(chǎn)=NADB,求證：ADE^ACF；

【拓展延伸】（3）如圖3,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm,ZBAD=120°,—E4廣的兩邊分別與5D,BC相交

于點(diǎn)E,F,且滿足NEAF=NADB,若3尸=9cm,則線段DE的長(zhǎng)為cm.

【解析】（1）結(jié)論BECD=鉆2成立.

理由：如圖1,,/..ABC和..AFG都是等腰直角三角形，:.ZB=/C=ZFAG=45°.

A

圖1

VZZMC=ZG4E+45°,ZA￡B=ZC4E+45°,ZDAC=ZAEB.

BEAB

又?：/B=NC,：.ABEASACAD,

''~\C~~CD'

VAC=AB,：?BECD=AB2,故答案為：成立.

(2)如圖2,??,四邊形ABCD是正方形,

AD

E

EM

8Fc

圖2

：.ZCAD=ZACB=ZADB=45°f

?；ZEAF=ZADB,：.ZEAF=ZCAD=45°9

：.AFCA+ACAE=ZDAE+ACAE,：.ZCAF=ZDAEf

又,:?ACB?ADB,???一ADE^_ACF.

(3)線段DE的長(zhǎng)為5j§cm.

理由：如圖3,在DE上取一點(diǎn)M,使/M4Q=30。，過(guò)M作肱VLAD于N,

??,四邊形ABC。為菱形，且NBA。=120。，

ZCAD=ZACB=ZADC=60°,ZMDA=-ZADC=30°,

2

AZMAD=ZMDA=3G°,：.ZAME=60°,：.ZAME=ZACB=60°,

VZCAD=60°,ZMAD=30°,：.ZCAM=30°9

?；ZEAF=ZADB,：.ZEAF=ZCAM=30°,

：.ZCAF=ZMAE,：.AACFCOAAME,

MEAM

VAN=\AD,A?/=AMCOS30°=—AM,

22

???2AN=ADf2AN=y/3AM,：.MA=MD=—AD,

3

1?*AD=AC,AC=——=-777=^3，

MEAM

,/菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm,3C=AD=12cm,

VBF=9cm,/.CF=^ME=3cm,:.ME=^cm,

4*12=4V3(cm),

VMD=—AD,/.MD

3

/.DE=ME+MD=^3+^=5V3(cm),...線段DE的長(zhǎng)為5限m.故答案為5G.

W3拓展突破練

13.請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

梅涅勞斯是公元1世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書(shū)籍.梅涅勞斯發(fā)現(xiàn),

若一條直線與三角形的三邊或其延長(zhǎng)線相交（交點(diǎn)不能是三角形的頂點(diǎn)），可以得到六條線段，三條不連續(xù)

線段的乘積等于剩下三條線段的乘積.該定理被稱(chēng)為梅涅勞斯定理，簡(jiǎn)稱(chēng)梅氏定理.

如圖1,FB,

EA,EC,DC,DB,則這六條線段滿足率=

下面是該定理的一部分證明過(guò)程:

證明：如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AP〃FD,交3C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,

月APD

則有而=而（依據(jù)）,…

⑴上述過(guò)程中的依據(jù)指的是；（2）請(qǐng)將該定理的證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

Ap

⑶在圖1中’若點(diǎn)尸是神的中點(diǎn)，BC=2CD,則灰的值為

FA

(4)在圖1中，若FE=mED,BC=nCD,則一的值為

FB

【解析】（1）上述過(guò)程中的依據(jù)指的是：平行線分線段成比例.

⑵該定理的證明過(guò)程補(bǔ)充完整如下：”〃皿

CEPDCD.FACE

.理=——，^FABDCE=FBCDAE.

"FBAE~BDDP".FBAEBD

(3).點(diǎn)/是A5的中點(diǎn)，??FA=FB,

BC+CD=BD,BC=2CD,A2CD+CD=BD^3CD=BD,

AEFABD.AEBD3CD

FABDCE=FBCD.AE故答案為3.

CE~FBCDCE~CD~CD

(4)如圖，過(guò)點(diǎn)。作OG〃鉆交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

EFBC

FE=mEDBC=nCD,「.---=m,——=〃，

EDCD

DG//AB,..ZEFA=NEDG,/EAF=/EGD,/.AEAF^AEGD,

EFAF

...—=—=m,:.AF=mDG,DG//AB,：.NCAB=/CGD,ZCBA=ZCDG

DEDGf

BeA5

ACABS￡\CGD,—=——=n,AB=nDG.

CDDG

,、FAmDGm

FB=AB-FA=nDG-mDG=(n-m)DG,,=1-----、=----故答案為-----

\7FB[n—mjDCrn—mn-m

14.請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù):

塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn).塞瓦是意大利偉大

的水利工程師，數(shù)學(xué)家.

定理內(nèi)容：如圖1,塞瓦定理是指在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)。，延長(zhǎng)A。，BO,C。分別交對(duì)邊于點(diǎn)。，E,F,

.BDCEAF,

貝n!|——x——x——=1.

DCEABF

數(shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來(lái)進(jìn)行三點(diǎn)共線、三

線共點(diǎn)等問(wèn)題的判定，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用.

A

任務(wù)解決：

（1）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。，E分別為邊8C,AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)廠為48的中點(diǎn)；

（2）若為等邊三角形（圖3）,AB=U,AE=4,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，求2尸的長(zhǎng)，并直接寫(xiě)出，30匹

的面積.

【解析】（1）在一ABC中，：點(diǎn)。，E分別為邊BC,AC的中點(diǎn)，5D=CD,CE=AE.

RDCFAFAF

由賽瓦定理可得：而而=1，?.?加=1，二爪斯，即點(diǎn)尸為的中點(diǎn);

(2)ABC為等邊二角形，AB=12,BC=AC=12.

;點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，:.BD=DC=6,

AE=4,：.CE=8.由賽瓦定理可得：BF=8；如圖，過(guò)點(diǎn)尸作尸G_LBC于G,

，BG=BFcos60°=4,FG=BF-sin60°=4石，/.CG=BC-BG=8,

'：AB=AC,BD=CD,C.ADLBC,：.AD//FG,：.CODCFG,

ODCDOD6「1l

?'-—=—，即a=QD=3G，S8cO=JBC-O￡)=186,

rkjCCzoZ

BCF，?二6A/3.

,*,SQJr=TOBC?FG=24GDUrSBOFD=(^rSBCFoU—(^SBOC、=

wa仿真考場(chǎng)練

15.（2023?陜西?中考真題）如圖，OE是"8。的中位線，點(diǎn)F在上，DF=2BF.連接所并延長(zhǎng),

與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)若3c=6,則線段CM的長(zhǎng)為（）

A

【答案】C

【解析】DE是..ABC的中位線，.OE=（BC=Jx6=3,

nFnF9RFqic

:「DEFsBMF,—=—=——=2,;.BM=—,：.CM=BC+BM=—.故選C.

一BMBFBF22

16.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，.ABC和.ADE是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把.ADE以

A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M為射線BD,CE的交點(diǎn).若AB=6,AD=1.以下結(jié)論：

①BD=CE；②BDLCE；③當(dāng)點(diǎn)E在54的延長(zhǎng)線上時(shí)，MC=上^8；

2

④在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段M3最短時(shí)，MBC的面積為其中正確結(jié)論有（）

【答案】D

【解析】；ABC和AADE是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

/.BA=CA,DA=EA,ABAC=ZDAE=90°,ZBAD=Z.CAE,:..BAI汪CAE,

：.ZABD=ZACE,BD=CE,故①正確；

T^ZABD=ZACE=a,：.ZDBC=45°-a,

：.ZEMB=Z.DBC+ZBCM=Z.DBC+ZBCA+ZACE=45°-a+45°+a=90°,

ABDLCE,故②正確；

當(dāng)點(diǎn)E在胡的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示.

"?ZDCM=ZECA,ZDMC=ZEAC=90°,：.ZDCM^ZECA,：.—=—.

ACEC

=GAD=1.：.CD=AC-AD=y/3-l,CE^^AE1+AC1=2>

.MC也-1

：.MC=,故③正確;

2

④如圖所示，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,

VZBMC=90°,...當(dāng)CE在，1A的下方且與（A相切時(shí)，MB的值最小，ZADM=Z.DAE=ZAEM=90°,

四邊形AEMD是矩形，又=.?.四邊形AEMD是正方形，

,->BD=EC=YJAC2-AE2=V2>MB=BD-MD=yf2-l^在RtMBC中，MCNBP-MB。，

MC—\lAB2+AC2—MB2=,3+3——1）=y/2+1,

???SB“c=gM8xMC=；（近一1）（忘+l）=g,故④正確，故選D.

17.（2023海南?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=8,點(diǎn)E在邊AD上，且AD=4AE,點(diǎn)P為邊

EF

A3上的動(dòng)點(diǎn)，連接尸E,過(guò)點(diǎn)E作防，PE,交射線BC于點(diǎn)F貝.若點(diǎn)M是線段跳'的中點(diǎn)，

PE

則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

【答案】4；16

【解析】如圖，過(guò)尸作FK_LAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,

則四邊形ABm為矩形，NA=/K=90。，至=用=8由題意可得：AE=-AD=2,

4

,/EFLPE,：.ZAEP+ZKEF=ZPEF=90°,

EFFK

X^PEA+^APE=90°,:.ZAPE=NKEF,:.一AEP^_KFE,—=4.

過(guò)M作GHLAD交A。于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)、H,如圖，

VAD//CB,GHLAD,：.GH±BC,

"NMGE=ZMHF

在,EGM和AFHM中，＜ZEMG=ZFMH,：.,EGM會(huì)“FHM（AAS）,：.MG=MH,

ME=MF

故點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條平行于BC的線段，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，BF、=AE=2,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，ZBEF2=ZF2+ZEBFt=90°,N龐4+N燃=90。，ZF2=ZBEF,,

BEEE28

?：/EFFLNERB=90。，：..EKBs.FEE,：.奈=昔,即不=寸，解得月乙=32,

EF、FK8

VM,,加2分別為E居的中點(diǎn)，.?.〃|知2是am月的中位線,

/.M.M,=1^=16,即點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為16.故答案為：4；16.

18.（2023?浙江湖州?中考真題）

【特例感知】（1）如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)尸在邊A3的延長(zhǎng)線上，連接PZ）,過(guò)點(diǎn)。作。似_LPD,

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.求證：ADAP沿ADCM.

【變式求異】（2）如圖2,在RtaABC中，ZABC=90°,點(diǎn)。在邊AB上，過(guò)點(diǎn)。作。2，AB,交AC于

點(diǎn)。，點(diǎn)P在邊A2的延長(zhǎng)線上，連接PQ,過(guò)點(diǎn)。作QM^PQ,交射線BC于點(diǎn)已知2C=8,AC=10,

AD=2DB,求券■的值.

【拓展應(yīng)用】（3）如圖3,在Rt^ABC中，/&1C=9O。，點(diǎn)P在邊A3的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)。在邊AC上（不

與點(diǎn)A,C重合），連接PQ,以。為頂點(diǎn)作ZPQM=ZPBC,ZPQM的邊。M交射線8c于點(diǎn)若AC=加45,

CQ=nAC（m,〃是常數(shù)），求空■的值（用含機(jī)，w的代數(shù)式表示）.

QM

【解析】(1)在正方形ABCD中，ZA=ZADC=ZBCD=90°,AD=DC,：.ZA=ZDCM=90°,

,：DM±PD,；.ZADP+NPDC=ZCDM+ZPDC=90°,

：.ZADP=ZCDM,,DAPgDCM(ASA).

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)。作QVLBC于點(diǎn)N,如圖所示：

VZABC=90°,DQLAB,四邊形DBN。是矩形，；.ZDQN=90°,QN=DB,

?/QM±PQ,：.ZDQP+ZPQN=ZMQN+ZPQN=90°,/.ZDQP=ZMQN,

PQDQDO

VZQDP=ZQNM=90°,；.^DQP^NQM,二漏=肅=就，

VBC=8,AC=10,ZABC=90°,：.AB=yjAC2-BC2=6-

:AD=2DB,:.DB=2,：NADQ=NABC=90°,:.DQBC,

.DQAD216.PQ_=DQ=8

*BC-AB-3T,??西—麗―§；

(3)*.*AC=mAB,CQ=nAC,/.CQ=mnAB,/.AQ=AC-CQ=(m-mn)AB.

???/B4c=90。，??.BC=dAB2+AC2=Jl+MAB，如圖2,過(guò)點(diǎn)。作QV,5c于點(diǎn)N,

NMC