解析幾何中的面積轉(zhuǎn)化策略研究

解析幾何中面積計算的八種常見問題

題型L三角形面積公式及應(yīng)用

題型2.四邊形面積計算

題型3.等高求底型面積問題

題型4.等底求高型面積問題

題型5.等角轉(zhuǎn)化為腰長

題型6.某邊過定點的三角形面積計算

題型7.某邊過定點的四邊形面積計算

題型8.以面積（面積比）為情境綜合其他二級結(jié)論

一.基本原理

直線與圓錐曲線相交，弦和某個定點所構(gòu)成的三角形的面積，處理方法：

1.一般方法：S=^\AB\d（其中即為弦長，d為頂點到直線AB的距離），設(shè)直線為斜截

式y(tǒng)=kx+m.

1+1/---+--xrI--------7-------履o—%+利1I-2----------------

進一步，=2^^'2）—4x/i—p--=-^（^+X2）-4^%；\kx0-y0+m|

2.特殊方法：拆分法,可以將三角形沿著x軸或者y軸拆分成兩個三角形，不過在拆分的時

候給定的頂點一般在x軸或者y軸上，此時，便于找到兩個三角形的底邊長.

S"AB=^\PQA+S"QB~^\PQ\\XA-XB\

S"AB=^APQA+S"QB

二gIP。|+4%%XX24XX

二g|PQ|7（1+2）-12

3.坐標(biāo)法.設(shè)A（X],%）,B（X2,%），則

4.面積比的轉(zhuǎn)化.

三角形的面積比及其轉(zhuǎn)化有一定的技巧性，一般的思路就是將面積比轉(zhuǎn)化為可以利用設(shè)線

法完成的線段之比或者設(shè)點法解決的坐標(biāo)形式，通常有以下類型：

①兩個三角形同底，則面積之比轉(zhuǎn)化為高之比，進一步轉(zhuǎn)化為點到直線距離之比

②兩個三角形等高，則面積之比轉(zhuǎn)化為底之比，進一步轉(zhuǎn)化為長度（弦長之比）

③利用三角形面積計算的正弦形式，若等角轉(zhuǎn)化為腰長之比

④面積的割補和轉(zhuǎn)化

5.四邊形的面積計算

在高考中，四邊形一般都比較特殊，常見的情況是四邊形的兩對角線相互垂直，此時我們

借助棱形面積公式，四邊形面積等于兩對角線長度乘積的一半；當(dāng)然也有一些其他的情況，

此時可以拆分成兩個三角形，借助三角形面積公式求解.

6.注意某條邊過定點的三角形和四邊形

當(dāng)三角形或者四邊形某條邊過定點時，我們就可以把三角形，四邊形某個定頂點和該定點

為邊，這樣就轉(zhuǎn)化成定底邊的情形，最終可以簡化運算.當(dāng)然，你需要把握住一些常見的定

點結(jié)論，才能察覺出問題的關(guān)鍵.

二.典例分析

★題型1.三角形面積公式及應(yīng)用

2

例1.已知過點（0,1）的直線與橢圓/+乙=1交于A、B兩點，三角形面積的最大

2

值是（）

51

A.-B.V2C.-D.1

22

22

例2.知點4（2,1）在雙曲線。：宗—/1=1（。>1）上,直線/交。于「，。兩點，直線4/3,

AQ的斜率之和為0.

（1）求/的斜率；

（2）若tan/PAQ=2也，求△P4Q的面積.

★題型2.四邊形面積計算

例3.已知拋物線E:y2=2px（p>0）,點。為E上一點，且。到E的準(zhǔn)線的距離等于

其到坐標(biāo)原點。的距離.

（1）求E的方程；

(2)設(shè)AB為圓(x+2產(chǎn)+丁=4的一條不垂直于，軸的直徑，分別延長A。,2。交E于C,￡＞

兩點，求四邊形A3C。面積的最小值.

★題型3.等高求底型面積問題

22

例4.已知橢圓G：L+匕=1,以橢圓G的右焦點為焦點的拋物線C?的頂點為原點，點P

32-

是拋物線C2的準(zhǔn)線上任意一點，過點尸作拋物線的兩條切線尸A、PB，其中A、B為切

(1)求拋物線的方程及人上的值;

(2)求證：直線AB過定點，并求出這個定點的坐標(biāo)；

(3)若直線AB交橢圓G于C、。兩點，品$2分別是口出8、口PCD的面積，求芳的最

小值.

★題型4.等底求高型面積問題

例5.如圖，已知橢圓E：冒+衛(wèi)=1(。＞匕＞0)的離心率為1，A,3是橢圓的左右頂點,

ab2

尸是橢圓E上異于A,8的一個動點，直線/過點5且垂直于x軸，直線AP與/交于點Q,

圓。以為直徑.當(dāng)點P在橢圓短軸端點時，圓C的面積為乃.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)圓C與尸8的另一交點為點R,記△AQR的面積為S1,△5QR的面積為邑，試

判斷1t是否為定值，若是定值，求出這個定值，若不是定值，求1t的取值范圍.

D2D2

★題型5.等角轉(zhuǎn)化為腰長

例6.已知圓心在x軸上移動的圓經(jīng)過點A(-4,0),且與x軸、y軸分別交于點5(x,0),

c(O,J)兩個動點，記點o(X,J)的軌跡為曲線r.

(1)求曲線「的方程；

(2)過點F(l,0)的直線/與曲線r交于P,。兩點，直線OP,與圓凡(x-l『+y2=i

的另一交點分別為M,N(其中。為坐標(biāo)原點)，求△OMN與△OPQ的面積之比的最大值.

★題型6.某邊過定點的三角形面積計算

例7.已知橢圓C：5+)=16>6>0)經(jīng)過點(6,￡|,其右頂點為42,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若點P,。在橢圓C上，且滿足直線AP與A。的斜率之積為求口AP。面積的最大

值.

★題型7.某邊過定點的四邊形面積計算

例8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知耳卜2亞,0),K(272,0),動點P滿足

I附H*1=4.

(1)求動點尸的軌跡C的方程；

(2)若軌跡C的左，右頂點分別為A，4,點Q(Xo，%)(x。>0)為軌跡C上異于4，A,

的一個動點，直線。4，Q4分別與直線X=1相交于s,T兩點，以ST為直徑的圓與X

軸交于M,N兩點，求四邊形SM7N面積的最小值.

★題型8.以面積(面積比)為情境綜合其他二級結(jié)論

例9已知橢圓C:￡+A=l(a>b>0)的離心率為正，以C的短軸為直徑的圓與直線

ab2

y=〃x+6相切.

(I)求c的方程；

(2)直線/：y=Mx-l)/20)與C相交于A,B兩點，過C上的點尸作x軸的平行線交線

段A5于點。，直線。尸的斜率為玄(。為坐標(biāo)原點)，△AP。的面積為RQBPQ的面積為

邑，若|4口以=|2尸13,判斷萬發(fā)'是否為定值?并說明理由.

例10.已知雙曲線C：尤二/=制〃〉。），點￡（5,4）在C上，上為常數(shù)，0<k<l.按照如

下方式依次構(gòu)造點月（"=2,3,...）,過Ei作斜率為左的直線與C的左支交于點令P,為

Q”_關(guān)于》軸的對稱點，記心的坐標(biāo)為（二,%）.

（1）若"=求馬，%;

（2）證明：數(shù)列｛%-%｝是公比為生的等比數(shù)列；

⑶設(shè)S.為口月的面積，證明：對任意的正整數(shù)“，sn=sn+1.

例11.已知拋物線C:/=4x的焦點為尸，過尸的直線/交C于A,B兩點，過尸與/垂直的

直線交C于。,E兩點，其中2,。在x軸上方，加,"分別為4尻?！辏旱闹悬c.

（1）證明：直線MN過定點；

（2）設(shè)G為直線AE與直線8。的交點，求口GMN面積的最小值.

三.習(xí)題演練

1.已知過點（1,0）的直線與拋物線石：寸=2px（p〉0）交于兩點，0為坐標(biāo)原點，當(dāng)

直線A3垂直于x軸時，口403的面積為近.

（1）求拋物線E的方程；

（2）若。為口43。的重心，直線AC,BC分別交丁軸于點M,N,記□“。村口4。8的面

5.

積分別為H.S2,求寸的取值范圍.

2已知拋物線。:爐=2°火。>0）的焦點為/，直線/過點F交C于兩點，C在A3兩點

的切線相交于點RAB的中點為。，且PQ交C于點E.當(dāng)/的斜率為1時，|4回=8.

（1）求C的方程；

（2）若點P的橫坐標(biāo)為2,求玲

（3）設(shè)C在點E處的切線與尸4PB分別交于點M,N,求四邊形ABMW面積的最小值.

3.已知橢圓C：/+方=1（〃〉/?>0）,過右焦點F的直線I交HA,B兩點，過點F與I

垂直的直線交C于D,E兩點，其中B,D在x軸上方，M,N分別為AB,DE的中點.當(dāng)/_Lx

軸時，橢圓C的離心率為I

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：直線MN過定點，并求定點坐標(biāo)；

⑶設(shè)G為直線AE與直線BD的交點，求AGMN面積的最小值.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.以面積（面積比）為情境綜合其他二級結(jié)論

一.基本原理

直線與圓錐曲線相交，弦和某個定點所構(gòu)成的三角形的面積，處理方法：

1.一般方法：S=^\AB\d（其中即為弦長，d為頂點到直線AB的距離），設(shè)直線為斜截

式y(tǒng)=kx+m.

1/----rI--------7-------履o—%+利1I-----------------

1++x2

進一步，=2^^'2）—4x/i—p--=-^（^+X2）-4^%；\kx0-y0+m|

2.特殊方法：拆分法,可以將三角形沿著x軸或者y軸拆分成兩個三角形，不過在拆分的時

候給定的頂點一般在x軸或者y軸上，此時，便于找到兩個三角形的底邊長.

S"AB=^\PQA+S"QB~^\PQ\\XA-XB\

S"AB=^APQA+S"QB

二gIP。|J（M+%）2-4%%二g|PQ|7（X1+X2）2-4X1X2

3.坐標(biāo)法.設(shè)A（X],%）,B（X2,%），則

4.面積比的轉(zhuǎn)化.

三角形的面積比及其轉(zhuǎn)化有一定的技巧性，一般的思路就是將面積比轉(zhuǎn)化為可以利用設(shè)線

法完成的線段之比或者設(shè)點法解決的坐標(biāo)形式，通常有以下類型：

①兩個三角形同底，則面積之比轉(zhuǎn)化為高之比，進一步轉(zhuǎn)化為點到直線距離之比

②兩個三角形等高，則面積之比轉(zhuǎn)化為底之比，進一步轉(zhuǎn)化為長度（弦長之比）

③利用三角形面積計算的正弦形式，若等角轉(zhuǎn)化為腰長之比

④面積的割補和轉(zhuǎn)化

5.四邊形的面積計算

在高考中，四邊形一般都比較特殊，常見的情況是四邊形的兩對角線相互垂直，此時我們

借助棱形面積公式，四邊形面積等于兩對角線長度乘積的一半；當(dāng)然也有一些其他的情況，

此時可以拆分成兩個三角形，借助三角形面積公式求解.

6.注意某條邊過定點的三角形和四邊形

當(dāng)三角形或者四邊形某條邊過定點時，我們就可以把三角形，四邊形某個定頂點和該定點

為邊，這樣就轉(zhuǎn)化成定底邊的情形，最終可以簡化運算.當(dāng)然，你需要把握住一些常見的定

點結(jié)論，才能察覺出問題的關(guān)鍵.

二.典例分析

★題型1.三角形面積公式及應(yīng)用

2

例1.已知過點（0,1）的直線與橢圓/+乙=1交于A、B兩點，三角形面積的最大

2

值是（）

51

A.-B.V2C.-D.1

22

y=kx+l,

解析：顯然直線斜率存在，設(shè)過（。,1）的直線方程為：>="+1,聯(lián)立方程組hV

X+—=1,

I2

消去九并整理得（2+公產(chǎn)+2履_1=0,設(shè)A?,%）,8（4,%）,則A>0恒成立，

-2k-12

\AB\=Jl+k|xj-x2|=Jl+JJ（為+x2）'-4XJX2

玉+%==---------27

2+k?122+k

。到直線AB的距離為“=

認(rèn)2+kJ2+k2

=^\AB\-d=

S^OAB「J

令/=廿+121,則」曲R-y,當(dāng)時等號成立.故選:A.

例2.知點A(2,1)在雙曲線C：2r--—=1(。>1)上，直線/交C于尸，Q兩點，直線AP,

AQ的斜率之和為0.

(1)求/的斜率；

(2)若tan/P4Q=2后，求△P4Q的面積.

丫2

解析：(1)故雙曲線方程為土一丁=1.k=~l.

2-

⑵由tanZPAQ=2也，得tan筲&=乎，不妨設(shè)直線AP的傾斜角為銳角且為a,

當(dāng)P,Q均在雙曲線的左支時，2a=NPAQ，得到的「=tana=交，

此時AP與漸近線平行，與雙曲線左支無交點。

當(dāng)P,Q均在雙曲線的右支時，由2a+NP4Q=7i，得=tana=血:，即=收，

玉一，

聯(lián)立2k4=行及日—靖=1得士吧=2行，進而解出：1。-40,

西-22"必+113

472-5小、吉妞，殂52068

X=-------，代入直線/得機=一，故玉+九2=——，再％2二一，

3339

而|4尸|=百|(zhì)玉—2|,恒。=省人—2|,由tan/PAQ=2"得sin/PAQ=F，

故SAPAQ=mAP||A@sinNPAQ=V^kiX2—2(%+々)+4卜^^.

★題型2.四邊形面積計算

例3.已知拋物線E：V=2px(p>0),點。&,〃1為E上一點，且。到E的準(zhǔn)線的距離等于

其到坐標(biāo)原點。的距離.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)AB為圓(x+2產(chǎn)+丁=4的一條不垂直于，軸的直徑，分別延長A。,2。交E于C,￡>

兩點，求四邊形A3C。面積的最小值.

解析：(1)故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為>2=2x.

(2)由題意，直線AC斜率存在且不為0,設(shè)直線AC的方程為：y=kx,設(shè)點

y=kx-4

A(%,yJ,C(X2,必),4,聯(lián)立得：(r+1)尤2+4丫=0,由』N0,得西

(X+2)2+J2

y=kx2

9=2/聯(lián)立得：人2-2…'由『°,得々=戶

伊+3憫

因為ACL8D,用代替人，得忸。|=

kyjk2+l'

6

2(3廿+1)(萬+3)_6丫9+乒+20

故四邊形Aa9C面積S=；|AC|?忸。=

附(I一網(wǎng)+，

6產(chǎn)+8,8

令網(wǎng)+百=2),S==61+一

設(shè)函數(shù)/⑺=6/+22),尸⑺=6,=4，，故/⑺單調(diào)遞增.

故當(dāng)f=2,即網(wǎng)=1時，S取到最小值16,所以四邊形ABCO面積的最小值是16.

★題型3.等高求底型面積問題

22

例4.已知橢圓G：土+乙=1,以橢圓G的右焦點為焦點的拋物線。2的頂點為原點，點P

32

是拋物線G的準(zhǔn)線上任意一點，過點p作拋物線。2的兩條切線PA、PB,其中A、B為切

點，設(shè)直線PA,PB的斜率分別為勺，k2.

(2)求證：直線AB過定點，并求出這個定點的坐標(biāo);

s

(3)若直線AB交橢圓G于C、D兩點，品邑分別是口92、口PCD的面積，求寸的最

d2

小值.

22

解析：(1)依題意橢圓G：(+]=1的右焦點為(L0),可得拋物線c2的焦點坐標(biāo)為(1,0),

2

所以拋物線C2的方程為y=4x.W=-1.

(2)直線恒過定點(1,0).

s\d'\AB\

AB

(3)設(shè)點尸到直線AB的距離為d,則，=-f------

CD

、2d-\CD\

因為直線恒過定點(1,。)，且斜率不為零，故設(shè)直線的方程為x=〃zy+l.

x=my+1..4m

聯(lián)立,#y2-4/7iy-4=0,Af,=16(m2+l)>0,貝！)

y=4x%%=-4

則|AB\-J1+療=J1+療.1(Am)?+16=4(1+療);

x=my+1

聯(lián)立I尤2y2_,得(3+2加-A〃，=48(療+D>0,

132

-4m

為+”=&1一

設(shè)C(%3，%)，0(X4，”)，貝卜3+2m

-4

%”=…2

3+2m

-4m、2—14—4A/3(1+m2

22

則\CD\=A/1+m1y3—y41=-\/l+m-.(■------)+4-=—

3+2m23+2m2-------3+2m2

S|_AB4(1+/叫3+2療、3ns

2

S2CD4>/3(1+/M)#)-#)，故當(dāng)。時，|"有最小值g.

3+2〃/

★題型4,等底求高型面積問題

例5.如圖，已知橢圓E：二+4=1(°>6>0)的離心率為1，A,3是橢圓的左右頂點,

ab2

尸是橢圓E上異于A,B的一個動點，直線/過點3且垂直于x軸，直線AP與/交于點Q,

圓C以8。為直徑.當(dāng)點P在橢圓短軸端點時，圓C的面積為萬.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)圓C與P3的另一交點為點R,記△AQR的面積為￥，△3QR的面積為風(fēng)，試

SS

判斷U是否為定值，若是定值，求出這個定值，若不是定值，求寸的取值范圍.

Q2Q2

解析：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+/=1;

4

(2)設(shè)尸(如%),則*￥=1=3=一；①.

A,3的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),直線AP；y=-^(x+2),

令x=2,則卻2,也、］,又怎產(chǎn)乜，點R在圓上，所以。R_LBR,因此軟°=上,

(x0+2jxO-2上％

所以直線尺。的方程為：>-?='(尤一2),即為伉+2)>一4北=(4-焉)(尤-2),

由①式得至心-君=4乂，代入直線A0的方程，化簡為：4y°x-(x°+2)y-4%=0,

q7QR47l-gv-4vI

設(shè)A,3兩點到直線尺。的距離分別為4,4,則法=t——=^=|Q-°/|=3>為定

Si；QRdz4日%-4%|

值.

★題型5.等角轉(zhuǎn)化為腰長

例6.已知圓心在x軸上移動的圓經(jīng)過點A(-4,0),且與x軸、y軸分別交于點0),

C(0,j)兩個動點，記點O(x,j)的軌跡為曲線

(1)求曲線「的方程；

(2)過點歹(1,0)的直線/與曲線「交于P,。兩點，直線OP,0。與圓氏(x-l『+y2=i

的另一交點分別為M,N(其中。為坐標(biāo)原點)，求△OMN與△OP。的面積之比的最大值.

解析：(1)「的方程為y2=4x；

(2)設(shè)過F點的直線方程為x=〃zy+l,顯然根是存在的，聯(lián)立方程:

一，得丫2_4沖一4=0,%+%=一4%…①，yy=-4---②

x=my+1x2

設(shè)尸(產(chǎn),2r),Q(s2,2s),代入的得rs=-l,f+s=-2，w…③

則直線。尸的方程為y=42尤，直線。。的方程為y=2，聯(lián)立方程:

tS

s口。MN膽M44

2

SDOPQ|。即。。|(r+4)(/+4)⑹2+4任+$2)+16⑷，

54

由③得產(chǎn)+s2=(t+s)2-2ts=4〃，+2,代入④得：*邈=

?口0尸。十

4

顯然當(dāng)桃=0時最大，最大值為U;

綜上，r的方程為V=4x,QOMN與△OP。的面積之比的最大值為言.

★題型6.某邊過定點的三角形面積計算

例7.已知橢圓C：5+'=15>/；>0)經(jīng)過點［6,￡|,其右頂點為A(2,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若點P,。在橢圓C上，且滿足直線AP與A。的斜率之積為3.求口APQ面積的最大

值.

丫2

解析：（1）橢圓C的方程為二+y2=l.

4

（2）結(jié)合心飽2=，，可找到7”,人的關(guān)系，從而可知直線尸。經(jīng)過定點B,于是△APQ面積

等于I&AB廠5“距|，即可求出其最大值.易知直線AP與A0的斜率同號，所以直線PQ不

2

[x2,

垂直于X軸，故可設(shè)尸。：＞=米+"，左wO,P（xI,yI）,Q（x2,y2）,由彳4.一可得，

y=kx+m

2228mk4m4

（1+4/c）x+Smkx+4m-4=0,所以，+x2=~x=-,

22

A=16（4/c+l-m）＞0,而心飽2=J,即已."=[，化簡可得，

z.*I-Xi乙4o乙乙U

20（句+加）（仇+川）=（%-2）（%-2）①，因為

（1+4左2）入2+8小丘+4/一4=（1+4左2）（%_再）（％_%）,所以，令％=2可得，

/.X/16人2+16加上+4加之m-

（x-2）（x「2）=——.——②，令彳=一了可4得B：

1十4K鼠

m2

CC/7\/\272（mV機\CC72k220m2-80左2

20（kX[+（k7x2+—20k1項+-j-J1%+I=20kx——《左發(fā)——--4公—

把②③代入①得，16公+16〃永+4/=20療-80嚴(yán)，化簡得6k2+〃永-病=o,

所以，〃?=一2%或m=3%,所以直線P。：y=%（尤-2）或、=人（了+3）,

因為直線PQ不經(jīng)過點A,所以直線PQ經(jīng)過定點（-3,0）.設(shè)定點3（-3,0）,

所以，S口APQ=|S"BP-S"5Q\=^x\AB\x\yl-y2\=^\k\\xl-x2\

_5岡川（4r+1-叫-,因為1一5左2＞0,所以0＜左2＜!，

21+4/1+4F5

設(shè)"43+心。所以"-產(chǎn)產(chǎn)^卜已小瀉,當(dāng)且僅當(dāng)W

即公=看時取等號，即△AP。面積的最大值為;.

★題型7.某邊過定點的四邊形面積計算

例8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知耳卜20,0）,乙（2后,0）,動點尸滿足

I附H均1=4.

（1）求動點尸的軌跡C的方程;

(2)若軌跡C的左，右頂點分別為4，4,點。(毛,%)(%>0)為軌跡c上異于A，A

的一個動點，直線。4，Q4分別與直線X=1相交于s,T兩點，以ST為直徑的圓與X

軸交于M,N兩點，求四邊形SM7N面積的最小值.

解析：(1)由動點P滿足|「制-「工|=4<4后，得動點的軌跡是以耳、耳為焦點的雙曲

線的右支，且2a=4,20=4&,所以a=2,c=2亞,所以b=Ya?-c?=2，

22

故動點尸的軌跡C方程為：土-匕=l(x>0)；

44

(2)由(2)知，4(—2,0),4(2,0),

yx+2y

所以直線Q4的方程為一=-即y=7n%z(x+2),

Vo%+2%+2

r3y、yx-2

與直線X=1的交點s的坐標(biāo)為(1,3n、)，直線Q4的方程為一=-即

5+2%x0-2

y=』7（x-2）,與直線X=1的交點7的坐標(biāo)為（1,——三），設(shè)以S7為直徑的圓的方

/-2XQ_2

程為/+/—2x+Ey+E=0,令x=l,則V+Ey+E—1=0,所以

——^=一石，一一^）=尸一1,令y=0,貝！Id—2X+R=0，設(shè)

%+2%—2%+2Xg—2

M（%i，0）,N（%2，。），則%+%=2,xrx2=F,

所以|MN|=+々)2—4七々=、4—4(1,

V/-4

又點Q(x0,%)在雙曲線上,所以靖一葉=4,故阿N|=2右，又\ST\=+上、，

|x0+2x0-2

所以S四邊形SMTN=6(|3^+|資)

^X2SH=6>當(dāng)且僅當(dāng)UrM即『4,它±26時等號成立,

所以四邊形SMTN面積的最小值為6.

★題型8.以面積(面積比)為情境綜合其他二級結(jié)論

例9已知橢圓C：5+/=l(a>b>0)的離心率為亨，以C的短軸為直徑的圓與直線

y=ox+6相切.

(1)求C的方程；

(2)直線/：丫=%(％-1)(右。)與。相交于4,B兩點，過C上的點尸作x軸的平行線交線

段A3于點。，直線0P的斜率為左'(0為坐標(biāo)原點)，AAP。的面積為耳力/部。的面積為

邑，^\AP\-S2=\BP\-S1,判斷h-是否為定值？并說明理由.

22

分析：(1)—+^=1

84

(2)如圖，設(shè)點P(x0,%),其到線段AB的距離為d，那么工=g|A。|dN=g|3。|d,

代入到|APIS=|3P「S2n篙

制nZBPQ=ZAPQnk+k=0.

PAPB

2

b包，而左。?=迎，故可得：k-k'=kAB-k0P=^

于是由上述基本原理可知：kAB=^

a%與。

解析：(D由橢圓C的離心率為亨得：一4,即有八對

房口,聯(lián)立解得"

由以C的短軸為直徑的圓與直線丫="+6相切得:=8,Z72=4,

22

所以C的方程是±+±=1.

84

(2)上〃為定值，且=

；IAP||PQIsinNAPQ加而/APQ

IAp\q

因為|”鳳二|5尸9，貝！1胎=?

IHFI32BP\\PQ\sinZBPQ18Plsm/'尸。

因此sin/APQ=sin/3P。，ZAPQ+ZBPQ=ZABPG(0,71),^ZAPQ=ZBPQf

于是PQ平分/APB,直線AP，BP的斜率心互為相反數(shù)，即+演尸=0,

三+匕=1

設(shè)4(%,必),8(尤2，%)，尸(X。,%),由<84得，(242+1)尤2-止尤+2左2-8=0,即有

y=k｛x-X)

_4k2

…黃…則

2V+1

(M-%)(々一天)+(%—%)(%-%)=°，即內(nèi)?T)一%](尤2-%)+內(nèi)(％—1)一%](再一修)

=2kxix2-(>o+5+左)(M+/)+2%o(>0+左)=0

2k24k2

于是2-2/+]-(%+kxQ+k)-2/+]+2%(%+幻=。

o24(2/一8)-4/(%+飆+左)+2%(%+k)(2k2+1)=0,

22

化簡得：2%(XO-1)/+(/-8)%+XO%=O,且又因為P(x(),%)在橢圓上，即"+%_=1,

84

2

即x02+2%~=8,-2y0"-x0+x0=x0—8,

從而2%(%-I)%?+(-2%2-嫣+x°)左+%%=0,(2yo^-xo)[(xo-l)^-yo]=O,

又因為P(x。,%)不在直線/：y=Hx-l)上，則有2%0%=0,即==所以

為定值，且

例10.已知雙曲線C:x2-y2=,“w>0),點片(5,4)在c上，上為常數(shù)，0<%<1.按照如

下方式依次構(gòu)造點E,("=2,3,…)，過a-作斜率為左的直線與C的左支交于點Q-令4為

關(guān)于V軸的對稱點，記與的坐標(biāo)為(無“,％.

(1)若A=；,求工2，%；

(2)證明：數(shù)列｛當(dāng)-％｝是公比為界的等比數(shù)列；

(3)設(shè)邑為口5匕+山+2的面積，證明：對任意的正整數(shù)“，Sn=S?+l.

解析：（1）

由已知有機=52-不=9,故C的方程為V-y2=9.當(dāng)#=:時，過［（5,4）且斜率為9的直

22

線為>=罟，與V-y2=9聯(lián)立得至1」/一］號［=9.解得尤=-3或x=5,所以該直線與C

的不同于勺的交點為2（-3,0）,該點顯然在C的左支上.故￡（3,0）,從而々=3,%=0.

方法1.逐步翻譯，暴力運算

（2）由于過匕（兌,笫）且斜率為左的直線為y=+與/一丁=9聯(lián)立，得到方程

尤2-小自一茗）+%）2=9.展開即得（1-%2卜2-2左（”-紋）尤-（%-紋）2-9=0,由于

P?（x“，笫）已經(jīng)是直線y=M尤-X"）+%和f一/=9的公共點，故方程必有一根無=%.

從而根據(jù)韋達定理，另一根X=2k?-四=2ky,1x“"，L’相應(yīng)的

i-k2"1-k2

y=k（x-xn）+yn=2您.所以該直線與C的不同于月的交點為

1—k

Q?（依丁2a］,而注意到Q的橫坐標(biāo)亦可通過韋達定理表示為

（I—K,L—KI

91

一（%-也）--（xn+kxn-2kyn

,故0一定在C的左支上.所以2+12

[\-k1-k2

kl2kx

這就得到x?+1=x“+Ex'2ky”、，_yn+y?-n

y向一,一2

%+入“一2雙,y.+Ey,-2kx,

所以x“+i-笫+1=

\-k21-k2

x“+k—”+2kxn%+42%+26”_1+%2+2左1+k

l-k21-k21-k21-k

再由無；-弁=9,就知道玉-y產(chǎn)。，所以數(shù)歹K%-%｝是公比為苦的等比數(shù)列.

1-K

x“+在—2份“

（3）由于上一小問已經(jīng)得到x?+1笫

1-k2+i1-k2

222

%+1=&左%-2kyn,yn+kyn-2kxn_l+k-2k1-k

故％包+土Iz-z

\-k21-k21-k21+k

再由尤:一犬=9,就知道為+y產(chǎn)0,所以數(shù)歹!]{%+%}是公比為m的等比數(shù)歹ij.

所以對任意的正整數(shù)m,都有xnyn+m-ynxn+m

=；(Ex“+?,-y,+,“))-；

產(chǎn)((尤-y?y?+m)-(xnyn+m-%%+,“))

XXH)m-)

=-(?-yn)(n+m+yn+m)一?■(無,+(相+

(X"-%)(X"+y,)-g(%+%)(%->“)

XX

=?yn+2-ynn+2-兩式相減,即得

xxx

y??+i)-(?y?+2-y??+2)-

%%+2-%“+i%+3+x="+2%”+32-%+i%+3+zy,+i?

移項得到xn+2yn+3-y??+i一尤“％+

故(%+3一%)(尤"+2-X,+J=(%+2-%+J(尤”+3-尤”).而P』,+3=(七+3-尤“>%+3-%)，

PP=(%+2-X.M，%+2-％J.2

?+l?+2所以%;和匕+扁平行，這就得到=Spp.-

即s.=s心

方法2.合理轉(zhuǎn)化，多想少算

(2)由于匕關(guān)于y軸的對稱點是Q"_](一X",%),而而匕t，21T

共線且X“TW—X“，則%—=".匕2T都在雙曲線上,則有

-Xn-Xn-\

%2_丫2_9

<；…作差可得(%一%—1)(%+%.1)=(%—%T)(%+%T)

氏一1-%.1=9

而為一%-1=—左(七+%-1)①,=一M%+/T)②,兩式做差可得：

x?-y?-(Vi-%-i)=Mx”—％)+Z(X，，T-Xi),

故(1_k)6_%)=(1+左)(%-%),""=巖，即數(shù)列｛得一為｝是公比為

Xn_x-yn_xL-K

1.Lk

——的等比數(shù)列.(3)要證S〃=S〃+1，注意到兩個三角形的關(guān)系，只需證明點匕，匕+3到

1-k

1+k

直線匕+M+2的距離相等即可，即證明匕+6+2//匕匕+3，即證乙晶2=鹿加?記”「:，

1—K

則0＜左

故土一%=