第02講平面向量的數量積及其應用

目錄

01考情透視目標導航.............................................................2

02知識導圖思維引航.............................................................3

03考點突破?題型探究.............................................................4

知識點1：平面向量的數量積......................................................4

知識點2：數量積的運算律........................................................5

知識點3：數量積的性質..........................................................5

知識點4：數量積的坐標運算......................................................6

解題方法總結....................................................................7

題型一：平面向量的數量積運算....................................................7

題型二：平面向量的夾角問題.....................................................10

題型三：平面向量的模長.........................................................13

題型四：平面向量的投影、投影向量...............................................15

題型五：平面向量的垂直問題.....................................................19

題型六：建立坐標系解決向量問題.................................................20

題型七：平面向量的實際應用.....................................................26

題型八：向量回路恒等式.........................................................31

04真題練習?命題洞見............................................................32

05課本典例高考素材............................................................34

06易錯分析答題模板............................................................38

易錯點：對向量數量積的定義理解不深刻導致出錯...................................38

答題模板：利用定義法計算平面圖形的數量積.......................................38

考情透視.目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

平面向量數量積的運算、化簡'證明及數量

積的應用問題，如證明垂直、距離等是每年必考

2024年I卷第3題，5分的內容，單獨命題時，一般以選擇'填空形式出

2024年H卷第3題，5分現(xiàn).交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函

（1）平面向量的數量積

2023年I卷第3題，5分數、平面幾何等相結合考查，而此時向量作為工

（2）平面向量數量積的

2023年H卷第13題，5分具出現(xiàn).向量的應用是跨學科知識的一個交匯

幾何意義

2023年甲卷（理）第4題，5分點，務必引起重視.

2022年H卷第4題，5分預測命題時考查平面向量數量積的幾何意義

及坐標運算，同時與三角函數及解析幾何相結合

的解答題也是熱點.

復習目標：

（1）理解平面向量數量積的含義及其幾何意義

（2）了解平面向量的數量積與投影向量的關系.

（3）掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算

（4）會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題

已知兩個亦零向量5與鼠我們把數埴同砒。sH叫做］與方的數量枳（或內枳），

T平面向量數量積的定義

記作i8即Z④=|司司cosO,規(guī)定：零向量與仆一向星:的數埴枳為0.

平面向量的數量后）|永心。叫做向量3在5方向上的投影數量，

當。為銳角時，它是正數；

T向量的投影

當。為鈍角時，它是仇數；

T平面向量數量積的幾何意義「當。為直角時，它是0.

J（排石的幾何意義）—（數量枳￡石等的長度向與WG方向上射影B|cose的乘積.）

a-b=b-a

數量枳的運算律（高）防=人市@=3?（力）J

(a+b)-c=a-c+b-c

Te'a=a'e=\a\cosQ)

[〃JB4=wS=Oj

j當￡與同司向時，a-d=|a||d|；

?■v當初與否反向時,0?方=?向歷

磊響

/|q.d|<|g||d|)

已知非零向量方=&，乂），h=（x2,y2）,。為向量方、力的夾角.

結論幾何表示坐標表示

模|a|=y/a-a1方1=收+/

數量枳

a-b=|方||b|cos0ah=xlx2+yly1

c三“x.x,+y.y-,

夾角cose=,?

向聞yjx-+y-->jx；+yl

a1b的充要條件a-b=0占勺+及乃=°

a//b的充要條件a=Ai)(bH0)芭%-*2“=0

|方.方|引方Ml的\a-b\^a\\b\（當hl僅

1Y+兌名|W收+兌■收+乂

美系當方〃，時等號成立）

老占突曲?題理探密

-----H-H-c

知識JJ

知識點1:平面向量的數量積

（1）平面向量數量積的定義

已知兩個非零向量力與在，我們把數量I&II日Icos。叫做a與B的數量積（或內積），記作展B,即4

=|萬1151cos。，規(guī)定：零向量與任一向量的數量積為0.

（2）平面向量數量積的幾何意義

①向量的投影：I石Icosd叫做向量日在B方向上的投影數量，當6為銳角時，它是正數；當〃為鈍角

時，它是負數；當6為直角時，它是0.

②2%的幾何意義：數量積2%等于石的長度|%|與3在3方向上射影|3|COS6的乘積.

③設方是兩個非零向量，它們的夾角是與5是方向相同的單位向量，AB^a,CD^b,過通

的起點A和終點3,分別作詼所在直線的垂線，垂足分別為4,4,得到4瓦，我們稱上述變換為向量4

向向量B投影，耳可叫做向量力在向量5上的投影向量.記為|Zf|cos6?e.

CA）B,D

【診斷自測】（2024?安徽安慶?三模）已知線段A3是圓。的一條長為4的弦，則血.血=（）

A.4B.6C.8D.16

【答案】C

【解析】取A5中點C,連接。C,

易知OC_LAB,所以〃.福=（衣+前）?荏=2x4xl+0=8.

故選：C.

知識點2：數量積的運算律

已知向量)、B、3和實數彳，則：

①石石=b-a；

②(2a)-b=A(a-b)=a-(Ab)；

(3)(a+b)-c=a-c+b-c.

【診斷自測】(2024?四川雅安.模擬預測)在AASC中，AB=4,AC=3,且通，蔗，則荏.敬=

()

A.16B.-16C.20D.-20

【答案】B

【解析】因為麗_Ll?,所以福?蔗=0，

ABBC=AB(JC-AB^=ABAC-AB2=0-42=-16.

故選：B

知識點3：數量積的性質

設,、B都是非零向量，0是與B方向相同的單位向量，。是3與0的夾角，則

(T)e-a=a-e=|o|cos0.@a±b<^a-b=0.

③當日與刃同向時，a-b=]d\\b\-,當日與刃反向時，a-b=-\a\\b\.

特別地，五工=|冽2或|包=瓦房.

④cos6=""(\a\\b0).⑤12￡|W|G||31.

\a\\b\

【診斷自測】(2024?西藏?模擬預測)已知向量2=卜1+三卜in、+4]，

B='os[a+,),sin[a+葛)：若(2￡+B)_L(￡+xB),則實數x的值是()

A.—2B.—C.—D.2

22

【答案】A

【解析】由題意得向=w=i,a巾+*S++鼻

（7T5兀、

=cosa-\---a------=cos=0,因為（2%+B）_L（W+妨）,

I36J

所以（2a+B）（a+xB）=0,所以2k|+x|q=0,所以2+x=0,解得x=—2.

故選：A.

知識點4：數量積的坐標運算

已知非零向量4=(為，％),b=(x2,y2),。為向量五、9的夾角.

結論幾何表示坐標表示

模|a\=\la-a131=4+/

數量積

a-b=\a\\b\cos0a-b=x1x2+yxy2

M--L卬

0=

夾角cos'gJx；+y；.Jx；+y；

\a\\b\

a±b的充要

a-b=QX］尤2+X%=°

條件

，〃3的充要

a=AbCbwO）為%-=。

條件

\a-b\<\a\\b\(當

\a-b\^1尤J?+弘力iw

且僅當2〃加時等號成"才+才?收+￡

|日||）|的關系

立)

【診斷自測】已知平面向量苕=(1,@石=("1),且近?-何，則實數2的值為()

【答案】B

【解析】由已知得同=/+(6/=

2,a?5=lxg+gxl=2G

又萬_10_幾萬)，所以商?伍_彳4)=0,即無S—a片=0,

所以2癢42=0,解得2=走.

2

故選：B.

解題方法總結

(1)B在2上的投影是一個數量，它可以為正，可以為負，也可以等于0.

(2)數量積的運算要注意M=0時，a-b=Q,但5?石=0時不能得至U匯=0或石=0,因為五_1_方時，

也有商方=0.

(3)根據平面向量數量積的性質：|西=疝萬，cos6>=,4_L5O灑5=0等，所以平面向量

\a\\b\

數量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題.

(4)若〃、b、。是實數，貝(J"==c(〃w0)；但對于向量，就沒有這樣的性質，即若向量

a>b>3滿足。?5=無^(商。0),則不一定有B=即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時

乘以一個向量.

(5)數量積運算不適合結合律，即(小5)吃。無(5?3，這是由于心力卜乙表示一個與^共線的向量，

a?(&-c)表示一個與方共線的向量，而M與乙不一定共線，因此口?"吃與小(小丹不一定相等.

題型一：平面向量的數量積運算

【典例1-1】設平面向量￡=(1,3),I方1=2,K\a-b\=y/io,則(2%+項萬-5)=()

A.1B.14C.714D.V10

【答案】B

【解析】因為Z=(L3),所以同=屈，又|5|=2,

貝IJ酹一萬/=/-2萬0+/=14-2萬?方=10,

所以=2,

貝|J(2a+3),乙_石)=32-a-b—b2

=20-2-4=14,

故選：B.

【典例1-2】在Rt^ASC中，ZC=90°,AB=4,AC=2,。為AABC的外心，則通.就=()

A.5B.2C.—4D.—6

【答案】D

【解析】在RMABC中，AB=4,AC=2,；,BC=^-^=273>々=30。

崎=150。

又。為AABC的外心，是AB的中點，"0=2

uiimuim|Utrai|叫叫fiA

:.AOBC=\AO|■|BC|?cosl500=2x2A/3xI--I=-6

故選：D

【方法技巧】

（1）求平面向量的數量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數量積的定義找到解題思路.

（2）平面向量數量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數特征，因而平面向量

數量積是中學數學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛.

【變式1-1］（2024?高三吉林四平?期末）已知向量心方滿足|同=2,向=石，且1與5的夾角為，

貝［］k+孫（2萬-5）=（）

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【解析】'

由|4=2,向=石，且方與5的夾角為‘

/Trrrrrrr

所以+wx=2〃2+a'b-b2

=2口2+用門*4

=2x2?+2x岳咚一（⑹2=8.

故選：B.

【變式1-2］已知同=6,問=3,向量方在方方向上投影向量是4鼠則小6為（）

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【解析】4在方方向上投影向量為同COS。?工=4工，

/.|a|cos0=4,a-b=|fl||5|cos^=4x3=12.

故選:A

【變式1-3］（2024?安徽蕪湖?模擬預測）已知邊長為1的正方形A8CO,點E,尸分別是BC,CO的中

點，貝1后.訪=（）

【答案】D

UL1UUUUI------JI-------J

【解析】邊長為1的正方形ABC。，ABAD=O>|AB|=|AD|=1,

AE=AB+BE=AB+^AD,EF=^BD=^(M)-AB),

所以荏?訪=［血+<礪礪南)二;方病

4

故選：D.

【變式1?4】（2024?陜西安康?模擬預測）菱形ABCD的邊長為2/043=60。，以。為圓心作圓且與

AQAE

相切于是。。與8的交點，則

A3E,Q\mAE\=一_____.

【答案】1+6/后+1

【解析】由題可知|m=6,|阿=i則國|=5

所以通.通=|而卜荏|cos60°=l,而.濕=|加八亞|cos0°=6,

故亞通=（而+而）?通=15?通+詼?近=1+5

__?1___

【變式1-5］（2024?浙江寧波.模擬預測）已知AABC是邊長為1的正三角形，AN=qNC,P是BNk一

—.-.2—?

點且AP=mAS+§AC,則存.血=()

A2BD.1

-9-1c|

【答案】A

__,i__ULiriuuiruuinuum71111r1x08uir

【解析】■.■AN=-NC,k;.AN=-AC,S.AP=mAB+-AC=mAB+-AN,

Q1

而尸，氏N三點共線，.?.根+g=l,即根=3,

tun1tun21111r

AP=-AB+-AC,

99

所以福?荏=("而+j/:麗=g+jxcos60°=g.

故選：A.

題型二：平面向量的夾角問題

【典例2-1】（2024.陜西安康.模擬預測）己知單位向量滿足,-3可=3,則COSR,5）=

【答案】

6

【解析】因為卜-3同=3,且|=|51=1,

所以|5-3坂|2=9,

所以求一6濟5+9后=9,

一1

即無力=:

又1=|^|?|^|cos^,^\,|^|=|^|=1,

所以cos伍B)=

'/6

故答案為：—.

6

【典例2?2】（2024?陜西?二模）已知2,則向量。石的夾角的余弦值為

【答案】7

5日

八於5

【解析】設向量落5夾角為。,則儂"麗=~w

故答案為:黨

【方法技巧】

求夾角，用數量積，由|利？|B|cosq得cosq=_a/EL+進而求得

iLbi向W7F

向量口石的夾角.

【變式2-1](2024?江西宜春?三模)已知小石均為非零向量，若|2々一司=)|=2|￡|,則Z與石的夾角

為一.

【答案】j

【解析】由|2力|=|臼,可得|22-必=時，即4|2|2_4%%+出|2=|訐,解得7B=|￡「，

因為|年2|￡|,所以cos(Z,B)=f2

''\a\\b\2面2

又因為所以,@=4.

故答案為：y.

【變式2-2]已知2=(2/)/=化,-2),左eR,萬與5的夾角為。.若。為鈍角，則上的取值范圍是—.

【答案】左＜1且4hT

八a-b2k-2

【解析】由cose=^1=67^77,且6為鈍角，所以2左-2＜o,解得左＜i,

當Z//B時，貝i]2x(-2)—%=0,解得左=Y,此時才與石夾角為兀，不成立，

.,.左＜1且左wT.

故答案為：左vl且左wT.

【變式2-3](2024.高三.天津寧河.期末)已知單位向量，與區(qū)的夾角為三，則向量N+ZA與紜-31

的夾角為—.

【答案】—/120°

【解析】因為單位向量[與貳的夾角為三，

所以[￡=同.同cos]=lxlx；=；,

以（G+2弓）?（26-3弓）—2,+%,e?-6弓—2+——6=——,

（6+24）=e：+4q?%+442=1+4X；+4=7,故卜1+24卜近，

（2ex—3e2j=4e：_12G.e2十%?=4-12x：+9=7,故12,—34卜近,

（G+2?2卜（2q—）2

3G1

所以COS（1+2￡2[_30

,+2可|2冢一3可幣義幣2

又卜i+2e2,2^-3e2^e[0,7i],

___K2JT

所以向量q+2e2與2q-3e2的夾角為y.

故答案為：—

【變式2-4](2024?四川綿陽?模擬預測)平面向量G與后相互垂直，已知萬=(6,-8),舊|=5,且B與

向量(1,0)的夾角是鈍角，貝1]5=—.

【答案】I,-3)

【解析】設B=(x,y),?.?萬_L5,；aB=0，，6x-8y=o,①，|昨次+,=5,②，

因為石與向量(L0)夾角為鈍角，，x<0,③，

由①②③解得<-.-.5=(-4,-3).

[y=-3

故答案為：(-4,-3).

【變式2-5](2024.四川綿陽.模擬預測)己知非零向量幅滿足2同=問，且2”萬同，則獲的夾角

大小為.

【答案】|

【解析】因為萬，,-5),設向量￡與石的夾角為6,

所以無(4_母=隸=同~-|a|-|z?|cos0=O,

又因為2同=忖，

1

所以同9—2同.同cos6=0,所以cos。=5.

jr

因為04。<兀，所以。=§.

所以向量ZB的夾角大小為土

故答案為：—■

【變式2-6］（2024.上海?模擬預測）已知向量b,工滿足向=川=1,同=3,且,+5+不=6,則

4

【答案】y/0.8

【解析】由題1+力=」，故（苕+盯=（一靖=片即廬+2乙3=22,

n1+1+2a?b=2，n萬?b=0;

a+c=-b故（少+"2=卜6）二后即五2+片+2萬?"=宜，

nl+2+2M?c=l，=>a?c=—1;

b+c^-a，故伍+C『=（V）2=k即戶+/+25.2=求，

=>1+2+2幾。=1,=>5?c=—1，

所以伍_1乂5_，=2石_（萬+5）不+不2=2/=4,

4

故答案為：—.

題型三：平面向量的模長

【典例3-1］（2024?重慶?模擬預測）已知向量25滿足同=1，忖=3,a-b=（2,y［6）,貝1］加+同=

【答案】3H

【解析】同=1,忸|=3,M—5=（2,V^）可得歸―可=a+b-2a-b-22+^A/6j=10=>a-b=0,

i^a+b^^a2+6a-b=y/9+9=372，

故答案為：3亞

【典例3-2](2024?浙江溫州?二模)平面向量a,5滿足商=(2,1),aHb,a-b=-^i0,則問=—.

【答案】72

【解析】設向量B=(x,y),由可得搭=「

又@石=-回,則2x+y=-M，

故答案為：V2

【方法技巧】

求模長，用平方，|。|=后.

【變式3-1](2024?安徽池州?模擬預測)已知向量。=(4,-2),石=(-2㈤，且。與方共線，則

8+22=_.

【答案】46

【解析】因為方與5共線，

所以4/-(-2)?(2)=0?I1,

所以加=(-2,1),

所以北+25=3(4,-2)+2(-2,1)=(8,-4),

所以杭+2.=^82+(-4)2=4百，

故答案為：4下.

【變式3-2](2024.江蘇連云港.模擬預測)若向量沅，為滿足慟=1,同=2,且(比-為壯陽，則

|m-n|=()

A.1B.V3C.V7D.2

【答案】B

【解析】因為(比-為)_L玩，所以(加-萬)?而=0,

所以|玩『訓萬|cos6>=0,所以cosd=；,其中。是稔萬的夾角，

所以忸_司=J（玩_方）2l+4-2x2xlx1=73.

故選：B.

【變式3-3］（2024.高三.上海奉賢.期中）已知平面向量Z,3的夾角為:，若同=1,忸-@=布，則

w的值為.

【答案】3亞

1rli

【解析】由12aM兩邊平方得（21回I=10,46?--4a-b+b~=4-4xlx|5|-cos-^+|/?|=10,

|邛-2后卡,6=0,(W-3&)(忖+&)=0,解得任=3亞

故答案為：3亞

題型四：平面向量的投影、投影向量

【典例4-1】（2024?福建泉州?模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點尸在直線x+2y+l=0上.若向量

。=（1,2）,則而在Z上的投影向量為（）

12j_2

A.B.

5,5

55、

二叵2^5

D.(-1,-2)

C.一7'一-5"

7

【答案】A

【解析】由題可設尸（-2-1/）,則而=（-2”1,。，

所以破￡=(-21,/>(1,2)=-1,又|LI=Vi2+22=布,

故而在￡上的投影向量為

OP，aaOP?a一1一12

\dp\cos(OP,aj-^=\op\d------CI—

\0P\\a\\a\|a|2555

故選：A.

【典例4-2】（2024?新疆喀什?二模）在直角梯形ABCD中，9//5。且3。=2仞,4^，4）,4?與3。

交于點。，則向量所在向量而上的投影向量為（）

1—.2-?3-?

A.-BAB.—BAC.-BAD.-BA

2334

【答案】C

【解析】在直角梯形ABCD中，旬//861且3。=24￡）,48,4。，過。作OEJ_AB于E,

從而B曾E\2_2

忸國+1冏2+1-3,

因此麗?麗=|麗||麗|cosNO8E=|屜||麗|=一|麗『，

3

BOBA—.2--

所以向量而在向量而上的投影向量為BA=-BA

\BA\23

故選：C

【方法技巧】

設M，B是兩個非零向量，它們的夾角是與5是方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,過通的

起點A和終點3,分別作6所在直線的垂線，垂足分別為4，4，得到4瓦，我們稱上述變換為向量萬向

向量B投影，網叫做向量日在向量B上的投影向量.記為3|cos由.

【變式4-1］（2024.黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知向量混滿足同=2石=（3,0）,卜-舊=質，則向量Z

在向量B方向上的投影向量為（）

從［川B,Q,0）C.］川D.（1,0）

【答案】C

【解析】因為同=2,忖=3,卜一.=質，

所以卜―可=a2-2a-b+b2=22-2a-b+32=10,得力電=萬,

_3

所以向量￡在向量3方向上的投影向量為駕啰=25」（3,0）=仕,01.

|s|96V7uJ

故選：C

【變式4-2］（2024?廣東深圳?模擬預測）已知向量2=（3,-4）,5=（2,0）,貝工在石上的投影向量為

（）

A.f1,0jB.（3,0）C.（2,0）D.（6,0）

【答案】B

【解析】因為2=(3,T),B=(2,0),所以73=6，慟=2,

a-bb6b3公小小小

所以￡在石上的投影向量為慟/=5'5=5('°)=(3⑼.

故選:B

【變式4-3］在三角形A3C中，若荏=0,比=2的，則向量正在向量旗上的投影向量

為.

【答案】|AB

【解析】因為配=2的，所以。為線段BC的中點,

因為荏?航=0，所以荏_!_/，所以/BAC=90。,

所以Q4=Q5=OC,

所以AAQB為等腰三角形，

所以向量衣在向量徑上的投影向量為

AOABAB|叫網cosNBAO題

故答案為：—.

【變式4?4】已知向量Z與石的夾角為胃，同=網陽設￡在Z上的投影向量為4人則人()

2

B.D.

2cI2

【答案】A

b—a]-a%_

【解析】石_￡在上的投影向量為，=癡,

zaz,即W

一一一2

。b-a-a

則有2=1一12

H

又向量z與石的夾角為g,問=碼屹

所以人3

3"2

故選：A.

22

【變式4-5】已知雙曲線C："方=1（°>0/>0）的左、右焦點分別為8,C,以8C為直徑的圓與漸近線

交與點4連接A8與另一條漸近線交與點E,。為原點，OE//AC,且=2.若麗在就上的投影向量

3unn

為彳BC，則而.祝（）

4

A.-4B.-2A/3C.-2D.-石

【答案】A

【解析】以BC為直徑的圓與漸近線交與點4與另一條漸近線交與點E,

則/SAC=90。，由OE〃AC,所以OE_LAB,NEOB=ZAOC=ZACB,

又Q4=OC,則Na4C=NAOC=NACB,即AAOC是等邊三角形，

陷=2,則國=4,

由麗在麗上的投影向量網cosB.g1=；初，即

所以說,比=|麗卜前|cosB=寧困2=12,

由圖得，AOBC=（BO-BA）BC=WBC-BABC=S-n=-4.

故選：A.

題型五：平面向量的垂直問題

【典例5-1】(2024?西藏林芝?模擬預測)已知向量4=(x,3),B=(2,%+5),若一_L(萬-B),則％=()

A.2或3B.—2或—3C.1或—6D.-1或6

【答案】D

【解析】由題意，向量方=(x,3),匕=(2,%+5),可得?！猌?=(%—2,—2—兀)，

因為M_L(M-S),貝！Jx(x—2)+3(—2—x)=。，即％2_5兀-6=0,解得x=—1或6.

故選：D

【典例5-2】(2024.甘肅張掖.模擬預測)已知向量圓方滿足向=帆=1,且若

(丸商+B)_L(4+以方)，貝IJ()

A.X+〃=0B.%+"=-1

C.即=一1D.2//=0

【答案】A

【解析】根據題意，alb，所以五％=0，

又(/IH+B)_L(左+〃5),所以(丸4+5)?(少+〃5)=o,

即痛2+(1+川”出+渥=0,因為向=M=1,

所以％+〃=0.

故選：A.

【方法技巧】

五j_B=a?5=o=xxx2+必必=0

【變式5-1](2024?遼寧?模擬預測)若5是夾角為60°的兩個單位向量，4商+B與2互-5垂直，則

4二()

A.0B.2C.-1D.-2

【答案】A

【解析】￡,B是夾角為60°的兩個單位向量，

則同=問=1,a-b=lxlxcos60°=—,

因為;lZ+石與215垂直，

則(4萬+—=2A,O2+(2—X)a-b—b2=0,

BP2/1—1+(2—A)x—=0,解得4=0.

故選：A.

【變式5?2】（2024?浙江紹興?二模）已知，，1是單位向量，且它們的夾角是60。，若Z=21+晟，

b=Xex—e2,且￡_LB,貝!J%=（）

24

A.—B.—C.1D.2

【答案】B

992-2

【角窣析】由〃_13得，a-b=（2e1+e2）-（2^—e2）=2^ex+（A—2）-e2—e2=0,即2Xd—----1=0,解得

匕

故選:B.

【變式5?3】（2024?重慶?模擬預測）已知|刈=1,|5|=2,且益與5不共線，若向量2+后與防互相

垂直，則實數上的值為（）

A.—B.!C.±-D.+2

222

【答案】C

【解析】因為向量a+防與防互相垂直，

所以（2+防）標一防）=。，即濘=（）,

即F-/X22=0,解得左=±；.

故選：C

題型六：建立坐標系解決向量問題

【典例6-1】（2024.全國?模擬預測）已知在菱形A3CD中，AB=BD=6,若點M在線段A。上運動,

則立.的的取值范圍為—.

【答案】[-18,18].

【解析】AB=BC=BD,

記AC,的交點為。，以。為原點，AC,即所在直線分別為x,y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系,

則3（0,3）,C（-3A/3,0）,BC=（-3A/3,-3）,A（3后0）,D（0,-3）,

故AM=XAD=（―3出4一3彳），0W/W1,

貝|］川34-3⑨,-3彳）,

故麗=（3尺3扇,-3"3）,XBC=（-3^,-3）

則BC-W=362-18G[-18,18].

圖1

【典例6-2】如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,且2就=3而+詬，連接8E交8于歹，則

【答案】-69

【解析】以B為坐標原點，3C為x軸正方向，54為〉軸正方向，建立直角坐標系，則C（3,0）,A（0,3）,

設E（x,y）,可得AE=（x,y_3）,EC=（3_x,_y）,

因為2團=3而+南，貝!］而+麗=2（屜-前），可得赤=2反,

x—2

即解得即E的坐標為（2,1）,

y-3=-2y

設“3,〃?），則麗=（2,1）,BF=（3,m）,

_,__3

由3E//B/可得2加=3,解得機=/,

則阱=（3,|,C4=（-3,3）,可得百+2麗=（3,6）,；目一4麗=（-13,-5）

所以（而+2而回-4麗］=3（_13）+6x（_5）=_69.

故答案為：-69.

【方法技巧］

平行四邊形直角梯形等腰梯形圓

【變式6-1】（2024.高三.河南濮陽.開學考試）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作注時介

紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學繪制的趙爽弦圖，其中四邊形ABC。,跖G”均為正方形,

AD=AE=2,則而.而=.

【答案】16

【解析】以O為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，因為">=