2024-2025學(xué)年度下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)八年數(shù)學(xué)

（本試卷共23道題，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘）

第一部分選擇題

考生注意：所有試題必須在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，在本試卷上作答無(wú)效第一部分選擇題

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的）

1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)明都曾在世界上有重要影響.下列圖形“楊輝三角”“中國(guó)七巧板”“劉

徽割圓術(shù)”“趙爽弦圖”中，中心對(duì)稱圖形是（）.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B.不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C.不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是中心對(duì)稱圖形.中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合.

2.因式分解：1-4/=（）

A.(1-2y)(l+2y)B.(2-y)(2+y)

C.(1-2y)(2+y)D.(2—y)(l+2y)

【答案】A

【解析】

【分析】利用平方差公式因式分解即可.

【詳解】解:l-4/=(l-2y)(l+2y),

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查利用平方差公式進(jìn)行因式分解，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

3.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，當(dāng),.EBC是等邊三角形時(shí)，NCED的度數(shù)為()

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由矩形ABCD得到繼而得到NA￡B=NEBC,而,ESC是等邊三角形，因此得到

ZCED=ZBCE=60°.

【詳解】解：：四邊形A3CD是矩形，

J.AD//BC,

/.NCED=NBCE,

：,EBC是等邊三角形，

ZBCE=60。,

：.NCED=6。。,

故選：C.

4.在直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)2)先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)B.若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)和

縱坐標(biāo)相等，則m=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)平移方式確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)8的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等列方程，解方程即可.

【詳解】解：點(diǎn)A(九2)先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)3,

B（m+l,2+3）,即8（m+l,5）,

??點(diǎn)8的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，

m+l=5,

m=4,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的平移，一元一次方程的應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是掌握平面直角坐標(biāo)

系內(nèi)點(diǎn)平移時(shí)坐標(biāo)的變化規(guī)律：橫坐標(biāo)右加左減，縱坐標(biāo)上加下減.

f2x-l<5

5.若關(guān)于x的不等式組〈，的解集為x<3,則根的取值范圍是（）

x<m+l

Am>2B.機(jī)三2C.m<2D.m<2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)的范圍，先解不等式組，再根據(jù)不等式組的解集，得到關(guān)于參

數(shù)的不等式，進(jìn)行求解即可.

2x-l<5x<3

【詳解】解：解，，得：\

x<m+lx<m+l

:不等式組的解集為：x<3,

m+l>3,

m2；

故選B.

6.下列條件中，能判定平行四邊形A3CD是菱形的是（）

A.ZA=90B.ZB=NC

C.AC=BDD.AC±BD

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查菱形的判定方法，根據(jù)菱形的判定定理，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，結(jié)合選項(xiàng)

逐一分析即可

【詳解】A.若NA=90。，則平行四邊形ABCD為矩形，而非菱形，故A錯(cuò)誤；

B.由N6=NC及平行四邊形鄰角互補(bǔ)可得NB=NC=90。，此時(shí)平行四邊形為矩形，故B錯(cuò)誤；

C.對(duì)角線AC=%>的平行四邊形是矩形，不能判定為菱形，故C錯(cuò)誤；

D.對(duì)角線AC_LB。的平行四邊形是菱形，符合菱形的判定條件，故D正確.

故選：D.

7.下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（）

A.X2-6X-9B.25?2+10?-1

C.x2—4x—4D.a2+a+-^-

4

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查完全平方公式分解因式，需滿足"土2a》+〃=（a土勾2的形式，據(jù)此依次判斷即可；

詳解】解：A.%2-6x-9：

首項(xiàng)/和末項(xiàng)—9符號(hào)相反，且-9不是平方數(shù)，無(wú)法構(gòu)成完全平方公式；

B.25?2+10?-l：

首項(xiàng)為（5a）2,中間項(xiàng)10a對(duì)應(yīng)2?5/1，但末項(xiàng)-1非正數(shù)且非平方數(shù)，不符合公式；

C.%2-4x-4：

首項(xiàng)/和末項(xiàng)T符號(hào)相反，且T非平方數(shù)，無(wú)法構(gòu)成完全平方公式；

21

D?a+aH—：

4

首項(xiàng)4，中間項(xiàng)a可寫(xiě)為2.a.末項(xiàng);是［g］,符合完全平方公式，即［a+g］；

綜上，只有D滿足完全平方公式的條件；

故選：D

2m

8.分式方程——=1——的解為正數(shù)，則加的取值范圍（）

X—1x—1

A.m>-3B.功〉一3且加力一2

C.m<3D.?i<3且mw-2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解

的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以x-l得，2=x—1—m，

解得工=m+3，

2TYI

V分式方程——=1——二的解為正數(shù)，

X~1X—1

m+3>0,

m>-3,

又,

即772+3W1,

，m^—2,

m的取值范圍為7%〉一3且mw—2,

故選：B.

9.如圖，在VA3C中，ZDCE=42°,AE=AC,BC=BD,則/ACS的度數(shù)為（）

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟悉掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.^ZAEC=x,/BDC=y,根據(jù)AE=AC,BC=BD,用含彳、了的代數(shù)式表示NA、NB,

最后在VA3C中，利用三角形內(nèi)角和定理，代入計(jì)算即可.

【詳解】■：AE^AC,BC=BD,

設(shè)NAEC=NACE=x,NBDC=/BCD=y,

：.ZACD=x-42°,N3CE=y-42。，

：.ZA=ZBDC-ZACD=y-(x-42°)=y-x+42°,

ZB=ZAEC-ZECB=x-(y-42°)=x-y+42°,

：.NA+/B=y—%+42。+龍—y+42°=84。，

AZACB=180°-(ZA+ZB)=180°-84°=96°

故選D.

10.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)。是AC中點(diǎn)，點(diǎn)E，E分別在邊A。，3c上，線段所經(jīng)過(guò)

點(diǎn)。，下列結(jié)論：①AB〃Z)C；②FO〃FC；③ZB=ZD；④S四邊形ABFO=S四邊形CDEO.其中錯(cuò)

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行、對(duì)角相

等可知①、③正確；因?yàn)槭?。與尸C有交點(diǎn)，所以R9錯(cuò)誤，故②錯(cuò)誤；因?yàn)锳C是平行四邊形

的對(duì)角線，所以SABC^SCDA=^Sg，利用ASA可證人。石名COF,所以可知SA0E=SCOF,

從而可證S四邊形ABF。=S四邊形C0EO,故④正確.

【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形,

ABCD,

故①正確；

R9與bC相交于點(diǎn)

.?.R9與尸。不平行，

故②錯(cuò)誤；

'四邊形ABCD是平行四邊形，

:.ZB=ZD,

故③正確；

?四邊形ABC。是平行四邊形，AC是「A6CD的對(duì)角線,

BC

???^ABC=^COA=-^ABCD^'

:.ZEAO=ZFCO,

1?點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

AO-CO,

ZEAO=ZFCO

在LAOE和乙CO廠中，＜AO=CO,

ZAOE=ZCOF

AOE^COF,

?v-V

一uAOE_uCOF9

?v—V-V—V

…uABC°.COF-u.CDA°AOE9

一u四邊形AB尸O一°四邊形CDEO，

故④正確.

綜上所述，錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)為1.

故選：A.

第二部分非選擇題

二、填空題(本題共5小題，每小題3分，共15分)

、、小m1

11.計(jì)算：------1--------=.

m+1m+1

【答案】1

【解析】

【分析】本題主要考查了分式的加減運(yùn)算.直接按同分母分式加減運(yùn)算法則計(jì)算即可.

5m1m+1?

【詳解】解：-----+-----=-----=1.

m+1m+1m+1

故選：1.

12.因式分解：%3-6x2+9x=.

【答案】x(x—3)2

【解析】

【分析】本題考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解題關(guān)鍵.先提公因式一再利用完全平方公式分解

因式即可.

【詳解】解：x3-6x2+9x=x^x2-6x+9^=x(x-3)",

故答案為：x(x—3)。

13.如圖，已知AB,BC,CD是正〃邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以3c為邊在該正〃邊形的外部作

正方形BCMN.若NABN=120。，則〃的值為.

D

【答案】12

【解析】

【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角與外角，先求解正多邊形的1個(gè)內(nèi)角度數(shù)，得到正多邊形

的1個(gè)外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案，關(guān)鍵是正方形性質(zhì)的應(yīng)用.

【詳解】解：四邊形是正方形，

:.ZNBC=90°,

ZABN=120°,

ZABC=360°-90°—120。=150°,

.?.正〃邊形的一個(gè)外角為180°—150。=30。，

”的值為3二60匕°=12.

30°

故答案為：12.

14.不等式2x—6<5的最大整數(shù)解是.

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查求一元一次不等式的最大整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是會(huì)解一元一次不等式.

解一元一次不等式，取最大整數(shù)解即可.

詳解】解：：2x—6<5

/.2x<n,

2

“11/

■5<—<6,

2

A2%-6<5的最大整數(shù)解為5,

故答案為：5.

15.如圖，在VA3C中，ZC=90°,ZB=30°,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交ABAC于

點(diǎn)四和點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)“，N為圓心，大于'MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在N8AC的內(nèi)部交于點(diǎn)

2

P,連接"并延長(zhǎng)交3c于點(diǎn)O.若△A3。的面積為16百，則的長(zhǎng)為.

B

【答案】8血

【解析】

【分析】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義和角平分線的尺規(guī)

作圖，由三角形內(nèi)角和定理可得N54c=60。，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得AB=2AC,則由勾

股定理可得5C=Ji4C；由作圖方法可得，AD平分NB4C,則NC4Z)=30。，據(jù)此額度

AD=2CD,AC=6CD，BC=3CD,再由三角形面積計(jì)算公式求出。的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】解：???在VABC中，ZC=90°,4=30。，

AZBAC=180°-ZC-ZB=60°,AB=2AC,

BC=y]AB2-AC2=#)AC，

由作圖方法可得，AD平分N8AC,

ZCAD=-ABAC=3Q°,

2

AD=2CD,

AC=y]AD2-CD2=CCD，

BC=3CD,

:.BD=AC—CD=2CD,

△AB￡＞的面積為168，

：.-AC-BD=16s/3,

2

.?.--V3CD-2CD=16A/3,

2

。。=4或。。=—4(舍去)，

???AC=46

/.AB=2AC=8A/3

故答案為：8-73-

三、解答題(本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程)

2%-1>1

16.(1)解不等式組：《

3(2-%)>-6

21

(2)解分式方程:

x-1x

【答案】(1)1<%<4；(2)x=-l

【解析】

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，解分式方程，掌握相關(guān)解法是解題關(guān)鍵.

(1)先求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無(wú)解了確定

不等式組的解集即可.

(2)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

1〉1①

【詳解】解：(1)?

3(2-%)>-6(2)

解不等式①得：x>l,

解不等式②得：x<4,

不等式組的解集為1<%<4；

21

(2)-----=一,

x-1x

去分母得：2x=x—1,

解得：x=-l,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=—1時(shí)，1—1/0,

???分式方程的解為x=—1.

17.先化簡(jiǎn)，再求值:1--——2----，其中〃=3?

〃+1a—1

【答案】

a3

【解析】

【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先把小括號(hào)內(nèi)的式子通分化簡(jiǎn)，再把除法變成乘法后約分化簡(jiǎn),

最后代值計(jì)算即可得到答案.

a?—a

【詳解】解:1—

〃+1a2-1

。+1—aci—a

a+1a—1

1—

6Z+1+—1)

1(a+1)(〃-1)

a+1〃(〃一1)

1

——,

a

當(dāng)a=3時(shí)，原式=g.

18.如圖，點(diǎn)A是直線MN外一點(diǎn)，利用直尺和圓規(guī)按如下步驟作圖：

①在直線上任取一點(diǎn)B,連接AB；

②以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB,BN于點(diǎn)、E,F；

③分別以點(diǎn)E,E為圓心，大于工石R的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在NABN的內(nèi)部交于點(diǎn)C,作射線3C：

2

④以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線3c于點(diǎn)。，作直線的＞.

(1)判斷AD與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：

(2)若/ABN=60。，BD=1,求AB的長(zhǎng).

【答案】(1)AD//MN,理由見(jiàn)解析

(2)43=地

3

【解析】

【分析】本題考查的是尺規(guī)作圖一作角平分線、等腰三角形的判定與性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性

質(zhì)，

(1)先證明NABD=NDfiN,ZABD=ZADB,進(jìn)而得出"BN=/ADB,即可證明結(jié)論；

(2)作于點(diǎn)》，求出？A8"-1ABN30?,根據(jù)勾股定理及含30度角的直角三角形的性

2

質(zhì)求出結(jié)論；

【小問(wèn)1詳解】

解：AD//MN,理由如下：

由題意得：BD平濟(jì)NABN,AB=AD,

\?ABD?DBN,

AB=AD，

:.ZABD=ZADB,

\?DBN?ADB,

.-.AD//MN-,

【小問(wèn)2詳解】

解：作AHLBD于點(diǎn)》，

17

\BH=DH=—BD=—,

22

7ABN60?,BD平分NABN,

\?ABH-?ABN30?,

2

:.AH=-AB,

2

在RtZXAB//中，AH2+BH2=AB2

嗚可+圖—

解得：AB=—.

3

19.如圖，在VABC中，AB=AC,。是3c的中點(diǎn)，CE//AD,AE^AD,EFLAC.

(1)求證：四邊形AZXE是矩形;

(2)若3c=4,"=3,求所的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

力6^/13

13

【解析】

【分析】本題主要考查了矩形的判定以及性質(zhì)，三腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握這些性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出NADC=90。，有平行線的性質(zhì)得出NECD=90。，結(jié)合已知條件

可得出NE4￡>=90。，即可證明四邊形ADCE是矩形.

（2）由（1）可知四邊形4XE是矩形.由矩形的性質(zhì)得出AE=DC,CE=AD=3,ZAEC=9Q°,

由已知條件可得出DC=AE=^3C=2,由勾股定理求出AC,最后根據(jù)等面積法可得出

2

—EF-AC=—AE-CE,即可求出_EF.

22

【小問(wèn)1詳解】

證明：???A3=AC,。是的中點(diǎn)，

：.AD±BC,

/.ZAZ）C=90°,

,/CE//AD,

/.ZECD=1800-ZADC=90°,

又：AELAD,

ZEAD=90°,

四邊形ADCE是矩形.

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可知四邊形AZXE是矩形.

：.AE=DC,CE=AD=3,ZAEC=90°,

?.?。是3C的中點(diǎn)，BC=4

：.DC=AE=-BC=2,

2

在八40。中，ZADC=90°,

AC=y/Alf+DC2=V32+22=V13,

'：EFAC,

：.-EFAC=-AECE

22

即工EF.而=」x2x3,

22

?s6而

??EF=-------

13

20.如圖，在VA3C中，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)。，使CD=C4,點(diǎn)/是邊3C上的點(diǎn)，延長(zhǎng)AF到點(diǎn)E,使

FE=FA，連接。￡,且DE=CD.若NC45=NCE4,CF=3,求跖的長(zhǎng).

【答案】9

【解析】

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，由三角形中位線定理得到

DE=2CF=6,DE//CF,則NE=NCE4,ND=ZACB,證明/XACB之△EZM(ASA)得到

BC=AD,再由AC=CD=DE=6,得到3C=AZ)=AC+CD=12,則3/=3C—CF=9.

【詳解】解：：CD=C4,FE=FA，

???CP是VADE的中位線，

：.DE=2CF=6,DE//CF,

AZE=ZCFA,ZD=ZACB,

■:ZCAB=ZCFA,

：.ZCAB=ZE,

又；DE=CD,

DE-AC,

AACB^AEDA(ASA),

：.BC=AD,

???AC=CD=DE=6,

：.BC=AD=AC+CD=12,

：.BF=BC-CF=9.

21.為了加強(qiáng)學(xué)生的體育鍛煉，某班計(jì)劃購(gòu)買部分繩子和實(shí)心球，已知每條繩子的價(jià)格比每個(gè)實(shí)心球的價(jià)

格少23元，且84元購(gòu)買繩子的數(shù)量與360元購(gòu)買實(shí)心球的數(shù)量相同.

(1)繩子和實(shí)心球的單價(jià)各是多少元？

(2)如果本次購(gòu)買的總費(fèi)用不超過(guò)510元，且購(gòu)買繩子的數(shù)量是實(shí)心球數(shù)量的3倍，那么繩子最多能購(gòu)買

多少條？

【答案】(1)繩子的單價(jià)為7元，實(shí)心球的單價(jià)為30元

(2)繩子最多能購(gòu)買30條

【解析】

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意并正確列方程和不等式是解題關(guān)

鍵.

(1)設(shè)繩子的單價(jià)是x元，則實(shí)心球的單價(jià)是(x+23)元，根據(jù)“84元購(gòu)買繩子的數(shù)量與360元購(gòu)買實(shí)心

球的數(shù)量相同”列分式方程求解即可；

(2)設(shè)繩子能購(gòu)買。條，則實(shí)心球能購(gòu)買人條，根據(jù)“購(gòu)買的總費(fèi)用不超過(guò)510元”列一元一次不等式

3

求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)繩子的單價(jià)是x元，則實(shí)心球的單價(jià)是(x+23)元，

解得：x=7,

經(jīng)檢驗(yàn)，1=7是原分式方程的解，

.?.x+23=7+23=3O(元)，

答：繩子的單價(jià)為7元，實(shí)心球的單價(jià)為30元

【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)繩子能購(gòu)買。條，則實(shí)心球能購(gòu)買人條，

3

貝I]7a+30*/510,

3

解得：a<30,

〃是正整數(shù)，

???繩子最多能購(gòu)買30條.

22.在VABC中，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，CE/AS于點(diǎn)E,BD與CE交于點(diǎn)0,S.BE=CD.

A

A

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)石為A5的中點(diǎn)時(shí)，

①求證：VABC是等邊三角形；

;

3ABC

(2)如圖2,判斷N3OC與—ABD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)①見(jiàn)解析；②L

3

(2)ZBDC=3ZABD,理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定

和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)①根據(jù)線段中點(diǎn)得到AC=A6,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到=即可證明結(jié)論；

②連接A0并延長(zhǎng)交5c于點(diǎn)E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到ZCBD=30°,OA=OB,

SOBCOF

進(jìn)而得到。1=08=20-，推出AF=3O產(chǎn)，再根據(jù)=求解即可；

SABCAF

(2)連接DE,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得到。石=AD=CD,根據(jù)等邊對(duì)等對(duì)等角和

三角形外角的性質(zhì)得到/=ZA=ZAED=2ZABD,再利用三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：①：點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

：.AC=2CD,AB=2BE,

BE=CD,

AC=AB,

CELA5,點(diǎn)E為A3的中點(diǎn)，

.?.C￡是AB的垂直平分線，

AC=BC,

AC=BC=AB,

ABC是等邊三角形；

②如圖，連接A0并延長(zhǎng)交3c于點(diǎn)廠,

由①可知，VA3C是等邊三角形，

1?點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，CEJ.AB,

：.AFLBC,ZABD=ZCBD=-ZABC=30°,OA^OB,

2

在/中，OB=2OF,

:.OA=2OF,

:.AF^3OF,

。一BC?OF八u

.SOBC=2="=L1

SABC-BCAFAF3

2

故答案為：-

3

【小問(wèn)2詳解】

解：ZBDC=3ZABD,理由如下：

如圖，連接。E,

CE1AB,

:.ZAEC=90°,

,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

:.DE=-AC=AD=CD,

2

BE=CD,

/.BE=DE，

..ZABD=ZBDE,

:.ZAED=ZABD+ZBDE=2ZABD,

DE=AD，

:.ZA=ZAED^2ZABD,

ZBDC=ZA+ZABD=3ZABD,

即NBr>C=3NABD.

23.【初步探究】

（1）如圖1,在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M，N分別為邊A3,AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），

AN=BM.將線段M4繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段MD,當(dāng)時(shí)，

?ZAMD=；

②若AC=6,AN=2,求5D的長(zhǎng)；

⑵如圖2,在VA3C中，CA=CB,NC43=90°,點(diǎn)Af,N分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與

端點(diǎn)限合），AN=BM.過(guò)點(diǎn)A作AELMN于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，將也4繞點(diǎn)“逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

到MD,連接。.請(qǐng)判斷四邊形AEBD的形狀，并說(shuō)明理由：

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在RtAAB。中，ZADB=90°,ZA=30°,AB=5①，點(diǎn)E為邊AD上的點(diǎn)，連接

BE,將BE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到班連接。e，求V3Z加周長(zhǎng)的最小值.

四邊形AEBD是平行四邊形，理由見(jiàn)解析；（3）迪+城

【答案】（1）①120。；②26；（2）

22

【解析】

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含

30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)①由等邊三角形的性質(zhì)得到NA=60°,再由平行線的性質(zhì)可得答案；②由等邊三角形的性質(zhì)得到

ZA=60°,AB=AC=6,由平行線的性質(zhì)得到==,求出

AM=AB-BM=4,則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AM=MD=4；過(guò)點(diǎn)B作于",貝U

ZHBM=30°,HM=-BM=1,則—HAf=3,由勾股定理得

2

BH=^BM2-HM2=V3>由勾股定理BD=1BH?+DH?=；

(2)求出NC=/ABC=45。，ZACF+ZBAF=90°,可證明N/WM=NB4F；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

AM=DM,/AMD=90°,證明ANM^MBD(SAS),得到=貝U

ZMBD=ZBAF,AF//BD，再由NBA。=NABF=45°,得到則四邊形AEBD是平

行四邊形；

(3)取AB的中點(diǎn)G,連接EG,可求出3。=上42,ZABD=60°>由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

2

BE=BF,NEBF=60。,再證明.EBG^_FBD(SAS),得到VBDF的周長(zhǎng)等于/￡BG的周長(zhǎng)；作

點(diǎn)8關(guān)于直線AO的對(duì)稱點(diǎn)H,連接即，GH,DG,則HE=BE,DH=BD=^；可得到EBG

2

的周長(zhǎng)M5E+EG+BGM//E+EG+士叵，則當(dāng)