第37講平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

鏈教材夯基固本

激活思維

1.（人A必二Pl62T2改）已知平面a,￡和直線加，I,則下列命題正確的是（D）

A.若a^P=m,l.Lm,則/

B.若lua,l±m(xù),則/J_￡

C.若al%Zca,貝！|l邛

D.若a_L/,aC0=m,/ca,l±m(xù),則/J_//

【解析】若a_L￡,aC\f）=m,/_!_〃?，則/u￡或/〃/或/與尸相交，A錯誤；若aC￡=%，

lea,l±m(xù),則/與￡相交但不一定垂直，B錯誤；若a，.，/ua,則/u￡或/〃￡或/與/

相交，C錯誤；若a，￡,a^p=m,lea,l_Lm,貝U由面面垂直的性質(zhì)定理可知D正

確.

2.（人A必二P158例8改）如圖，是圓柱上底面的一條直徑，C是上底面圓周上異于

A,2的一點，。為下底面圓周上一點，且4D垂直于圓柱的底面，則必有（B）

C

（第2題）

A.平面/8C_L平面3CO

B.平面BCD_L平面NCD

C.平面平面/CD

D.平面BCDJ_平面48。

【解析】因為是圓柱上底面的一條直徑，所以/CJ_8C,又垂直于圓柱的底面，

所以N￡>_LBC.因為AC,NOu平面/CO,所以8C_L平面/CD因為BCu平面

BCD,所以平面8co，平面/CD.

3.（2022?全國乙卷）在正方體/5。-/C?。1中，￡,產(chǎn)分別為48,8。的中點，則（A）

A.平面3iEF_L平面BZMi

B.平面S￡FJ_平面4Ao

C.平面SEP〃平面出/C

D.平面BLEF〃平面4cLD

【解析】如圖，對于A,在正方體N8Cr）-43CiDi中，因為E,k分別為8c的

中點，所以EF〃NC,則有￡F_L3D又BB」EF,從而￡F_L平面BDD\.又因為EFu平面BiEF,

所以平面3i￡F_L平面BADi,故A正確.對于B,因為平面小8。。平面3D。=3。，顯然

不垂直于平面BbEF,所以平面3i￡F_L平面NiBD不成立，故B錯誤.對于C,由題意

知直線441與直線必相交，故平面31E尸與平面4/C有公共點，從而C錯誤.對于D,

連接NC,ABltBiC,易知平面A8C〃平面/C1D又因為平面NSC與平面HE尸有公共點

Bi,所以平面451c與平面SE尸不平行，則平面小。1。與平面SE尸不平行，故D錯誤.

AEB

（第3題答）

4.如圖，在三棱錐V-4BC中,AB=2也,VA=VB,CA=CB,VC=1,MAVLBV,AC±BC,

a

則二面角V-AB-C的余弦值是=.

-4-

(第4題)

【解析】取的中點。，連接NO,OC,如圖所示.因為以=",。為48的中點,

貝1|陽_148,且/人LB%,AB=20所以入。二：臺二也.因為C/=C5,O為的中點，

2

可得。CL48.又因為/CL8C,所以。。=/，則二面角廠/2-C的平面角為/FOC,由余

弦定理得cosNFOC=絲2±。三^e=3,因此二面角兀4B-C的余弦值為3

(第4題答)

聚焦知識

1.二面角

(1)從一條直線出發(fā)的一兩個半平面一所組成的圖形叫做二面角.以二面角的棱上任一點

為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作一垂直于棱_的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的

平面角.

(2)二面角的平面角a的范圍：-0,田；平面與平面的夾角的取值范圍:

2.平面與平面垂直

(1)定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂

直.

(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理:

文字語言符號語言

如果一個平面過

判定另一個平面的垂l.La,1

定理線，那么這兩個平IS

面垂直

兩個平面垂直，如

果一個平面內(nèi)有a工'

性質(zhì)一直線垂直于這aG夕=4,

定理兩個平面的交線，/La,

那么這條直線與/u￡

另一個平面垂直

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題固法

目幀u面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用

例1-1(2023?全國乙卷理節(jié)選)如圖，在三棱錐P/2C中，ABLBC,4B=2,3c=2也，

PB=PC=\{6,BP,AP,8c的中點分別為D,E,O,4D=-\f5DO,點F在4c上,BFLAO.

P

(1)求證：M〃平面/D。；

【解答】如圖，在中，因為3尸，/。，且。為中點，AB=2,3c=2也，

BO=y/2,所以RtZ\8/0sRt43C4設(shè)89C/O=Q,貝URtZXQBOsRt/yg/。，所以

=/BAO=/BCA,所以.又//BC=90。，故尸為/C中點.又E為4P中點，所以

跖〃PC因為PC〃D。，所以E尸〃。。.又EPZ平面4DO,DOu平面4DO,所以斯〃平面

ADO.

O

B\C

—

A

（例1-1答）

（2）求證：平面4D0_L平面AEK

【解答】由⑴知，/O=#.又。為AP中點，所以O(shè)D=lpC=?.又40=市。。=畫,

222

在△/。。中，AD2=5DO2=DO2+AO2,即//?！?gt;=90。，所以/O_L￡>O.又。?！ㄊ珻〃￡尸，

所以NO_LEF.又BF_L/。，BFClEF=F,BF,EFu平面BE產(chǎn)，所以/。_1_平面AE產(chǎn).又/Ou

平面NOO,所以平面/￡>O_L平面3￡F.

例1-2（2024?深圳一調(diào)節(jié)選）如圖，在四棱錐P4BCD中，四邊形4BCD是菱形，平面

4BCD_L平面刃。，點M在。尸上，SLDM=2MP,AD=AP,乙以。=120。.求證：50，平

面/CM.

（例1-2）

【解答】不妨設(shè)4D=4P=3,因為/FID=120。，DM=2MP,所以￡>p=3貼，DM=

2?PM=0由余弦定理得AM=NAP2+MP?—2AP?MPcos30。=m.在中,AD2

+AM2=DA^2,所以M4_L/D因為平面48cz）J_平面BID,平面48cDD平面目4。=40,

M4u平面/MD,所以M4平面48CD因為BDu平面/BCD,所以M4_L8D因為四邊形/BCD

是菱形，所以/C_L3D又因為NCCM4=4且/Cu平面/CM,M4u平面/CM,所以ADJ_

平面ACM.

<總結(jié)提煉A

（1）判定面面垂直的方法：

①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理.

（2）面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用：

①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的

直線

②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.

變式1（2024?黃山一檢節(jié)選）如圖，在四棱錐N-8CDE中，/8=8C=/C=CD=28￡=

2,BE//CD,ZBCD=~,平面/8C_L平面8cD￡,尸為8c的中點.求證：平面/EC_L平

2

面/F。.

D

E

A

（變式1）

【解答】因為b為3c的中點，所以FC=1.又CD=2BE=2,ZBCD=~,BE//CD,

2

所以NE3C=匹，BE=1,所以△E8C之△FC。，可得NECB=NFDC.易知NDFC+NFDC

2

=-,所以，即。凡LEC由4s=3C=/C,尸為8C的中點，可得/足LBC.

22

又平面48C_L平面3CDE,平面/BCC平面BCDEuBC,4Fu平面48C,所以/P_L平面

BCDE.又ECu平面BCDE,所以4F_LEC.又/斤A￡>P=尸，AF,DFu平面AFD,所以ECJ_

平面AF。，因為ECu平面4EC,所以平面/EC_L平面/FD

目幀用綜合法計算二面角

視角1定義法

例2-1（2025?連云港期中）在四面體/BCD中，△48C是正三角形，△/CD是等腰直

角三角形，DA=DC,平面NCD，平面/8C,點E在棱8。上，使得四面體NC￡）E與四面

體48CD的體積之比為1:2,則二面角D-AC-E的余弦值為=.

一2一

【解析】設(shè)八4=。。=2,則/8=BC=/C=2/，取NC中點尸，所以8尸=4Ssin60。

=水,=1/。=也.因為連絲^=1,所以E為AD中點.因為平面/CD_L平面NBC,AD

2VB-ACD2

=CD,AB=BC,所以_L4C,BFLAC,所以4C_L平面5。9，所以59J_Q歹，所以

=2也,DE=啦,￡尸=也,/C_LEF.又因為。尸_L/C,所以二面角D-AC-E的平面角為/DFE,

力"2_|-斤斤2一力斤21

所以cosNDFE=---------------------=-.（或由此時△DEF為正角形，知NDFE=60°,所以cos

2DFXEF2

NDFE=?

（例2-1答）

視角2三垂線法

例2-2如圖，在三棱柱/2C-43C1中，側(cè)面NAB/1為正方形，側(cè)面//CC為菱形,

ZCAAi=60°,平面44cle，平面14.

(1)求證：NG_L平面C4i5i；

【解答】由菱形441cle可得NCC,因為平面441cle，平面/A814,平面

441cleA平面/ABMi=441,又正方形482Ml中/所以/出J_平面44CC又

4Ciu平面441cle所以“向L4G,因為月13rl4c=/i,/i3,4Cu平面C48i,所以NGJ_

平面CA\B\.

(2)求二面角C-BBi-A的余弦值.

【解答】如圖，過點。作S，44i于點〃，則CH■，平面過X作AKLBBi于

點K,連接CK.因為821U平面ABBiAi,則CHLBBi又CH,川u平面CHK,CHC\HK=H,

故38i_L平面C”.又CKu平面以公，所以B8i_LCK,故NCK〃為二面角C-881-N的平面

角.在Rt^C胸中，設(shè)AC=a,貝1441=48=。，/QL4i=60。，所以S=",HK=AB

2

=a,CK=\jCH2+HK2=率,所以cos/CK8=W=T，即二面角。力馬-/的余弦值為

2

2V7

7

（例2-2答）

〈總結(jié)提煉A

結(jié)合三垂線定理計算二面角的方法：已知二面角a-c/,如圖，在平面a內(nèi)找一合適的點

/,作NO_L￡于點。，過/作/8J_c(c是公共棱)于點8,則8。為斜線在平面力內(nèi)的射影，

ZABO為二面角a-c-0的平面角.

視角3投影法

例2-3已知直角三角形/8C的斜邊在平面a內(nèi)，兩條直角邊分別與平面a成30。和45。

角，則這個直角三角形所在的平面與平面a所成的銳二面角的余弦值為之

【解析】過點C作CD，平面a,垂足為。，連接40,3D因為4D,BD,/Bu平面a,

貝UCDJ_/D,CDLBD,。。_1/8.設(shè)8=/!（〃>0）,不妨設(shè)NC,3C分別與平面a成30。和45。

角，則3C=/“，AC=2h,AD=?,九過C作CE_L/B,垂足為E,連接助，因為

CDLAB,CECCD=C,CE,CDu平面CDE,則4B_L平面CDE,又DEu平面CDE,所以

DELAB,即所求二面角的平面角為/CED由SA/BC=1/3CE=1/C2C,則CE"^,DE

223

=弋。川一5=烏,所以cosNC￡D=@=1,故所求銳二面角的余弦值為L

3CE22

隨堂內(nèi)化

1.（2025?佛山禪城一調(diào)）（多選）已知直線a,6與平面a,/?,y,能使0!_1_.成立的充分條件

是（BD）

A.a_Ly,§]丫

B.a//y,/3-Ly

C.aC￡=6,aLb,aua

D.a//b,b邛,aua

【解析】對于A,a.Ly,P^y,a,產(chǎn)也可能平行，故錯誤；對于B,若a〃y,￡_Ly,則

a邛,故正確；對于C,aC0=b,a±b,aua,由線面垂直的判定定理可知。不一定垂直

于從故a,6也不一定垂直，故錯誤；對于D,由?！?,b±P，可得。_1_或，再由aua,可

證a_L',故正確.

2.（2024?聊城二模X多選）己知四棱錐P48CD的底面是正方形，則下列關(guān)系能

同時成立的是（BC）

A.“AB=PB”與"PB=BD”

B.uPAA.PCn與“PBLPD”

C.aPBLCDn與“PCLAB”

D.“平面平面尸2。”與“平面PCDJ_平面尸2。”

【解析】對于A,由底面48CD是正方形，則所以當(dāng)時，PB=BD

不成立，故A錯誤；對于B,如圖，設(shè)底面正方形中心為。，則尸在以。為球心，以。/

為半徑的球面上時可符合題意，故B正確；對于C,當(dāng)平面P3C_L底面/BCD時，由面面

垂直的性質(zhì)可知48,平面P8C,CD,平面網(wǎng)C,顯然符合題意，故C正確；對于D,由

于兩相交平面同時垂直于第三個平面時交線垂直于第三個平面，若“平面為3,平面P3D”

與“平面尸CD_L平面P5D”同時成立，易知P?平面a5rl平面PCD,可設(shè)平面為3C平

面尸CD=/,則PG/,貝i]/_L平面依。，易知AB〃CD,48Z平面尸CD,CDu平面尸CD,所

以48〃平面尸CD,又48u平面243,貝|/〃48,則有48_1_平面尸AD,顯然48工3。不成

立，故D錯誤.

（第2題答）

3.如圖，在三棱錐S-ABC中，"，底面/2C,ABLBC,垂直平分SC且分別交/C,

SC于點。，E.又SA=AB,SB=BC,則二面角E-3D-C的大小為②二.

S

晨\陽…、＞c

B

（第3題）

【解析】因為SB=8C,且￡是SC的中點，所以5E是等腰三角形SBC底邊SC的中

線，所以SC_L3E又SC_LDE,BECDE=E,BE,DEu平面ADE,所以SC_L平面ADE,所

以SC_L8D又S/_L平面/8C,BOu平面N3C,所以融_L8。，又SCCS/=S,SC,Mu平

面SNC,所以8D_L平面SNC.因為平面SNCC平面以乃=?！?平面SNCfl平面3OC=DC,

所以ADLOE,BD±DC,所以NEDC是所求二面角的平面角.因為￡4_L底面/2C,所以

SA±AB,S4_L4C設(shè)￡4=2,因為ZB_LBC,所以/。=23，N/CS=30。.又DE_LSC,所以

NEOC=60。.即二面角E-BD-C的大小為60°.

4.如圖，已知是圓柱下底面圓的直徑且48=6,點C是下底面圓周上異于4,B

的點，BC=3,CD,是圓柱的兩條母線且母線長為23，則平面與平面48C夾角

的余弦值為一皿二

（第4題）

【解析】如圖，過點N作圓柱的母線NM,連接。M,EM.因為平面4BC〃平面。Affi,

所以即求平面與平面。兒化所成銳二面角的大小.因為M,￡在底面的射影為4,B,

且N3為下底面圓的直徑，所以為上底面圓的直徑.因為//是圓柱的母線，所以

平面。兒ZE,又因為為上底面圓的直徑，所以〃O_LDE,又

AMHMD=M,AM,平面4DM,所以。￡_1_平面40跖所以DE_L4D,而平面

4DEC平面DME=DE,所以/ML%為平面4DE與平面所成的二面角的平面角.又

因為。在底面射影為C,所以。E=BC=3,ME=AB=6,所以〃。=弋‘公幣=3\5.因為

AM1MD,所以/。=/晶二麗2=岳，所以cos/〃。/=幽=莘=笠叵，即平面力。￡

ADV3913

與平面45。夾角的余弦值為汕.

13

D

（第4題答）

「國馨提示,

\________________________________:_____________________________________/

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一、單項選擇題

1.（2024?寧波二模）已知三個不重合的平面a,B，y,若aC0=l,則“"是"小且

的（C）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分又不必要條件

【解析】由于an夕=/,所以/ua,/u￡.若/_Ly,則0（_1＞，故充分性成立.若

a_Ly,/3±y,設(shè)則存在直線auy,使得a_L機，所以a_La.由于/ua,

故adJ.同理存在直線6uy,使得所以由于/u￡,故6，/.由于a,6不平行，

所以。，6是平面y內(nèi)兩條相交直線，所以/，力故必要性成立.

2.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.在

如圖所示的“塹堵"中，/C=C3=CCi,則二面角Ci-48-C的正切值為（D）

B

(第2題)

A.1B.2

C.-D.也

2

【解析】由NC=C8知如圖，取的中點連接GM,CM,由條件可知

NGMC即為二面角G-/2-C的平面角.設(shè)/C=C5=CG=a,則。0=以0,所以tanZCiMC

2

CC1=也

CM

(第2題答)

3.(2024?婁底一模)已知四棱錐尸-48CD,平面平面/BCD,四邊形/BCD是正方

形，￡為尸C中點，貝1J(C)

A.3￡〃平面PAD

B.尸4_L平面ABCD

C.平面以3_1平面RID

D.DE=EB

【解析】對于A,易知〃平面P1D,因為BECBC=B,且兩條直線都在平面P3C

內(nèi)，所以3E不可能平行于平面E4D,故A錯誤.對于B,因為平面R1D_L平面4BCD,平

面平面/8CO=/。，若尸。，平面48C￡>,則尸。_L/。，由題設(shè)條件知不一定成立，

故B錯誤.對于C,因為四邊形ABCD是正方形，所以A8L4D.由以上分析知平面PAD.

又4Su平面為3,所以平面以8,平面PW,故C正確.對于D,沒有任何條件可以證明

DE=EB,故D錯誤.

P

(第3題答)

4.(2024?淮安、連云港期末)圖(1)是蜂房正對著蜜蜂巢穴開口的截面圖，它是由許多個

正六邊形互相緊挨在一起構(gòu)成.可以看出蜂房的底部是由三個大小相同的菱形組成，且這三

個菱形不在一個平面上.研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面體的表面菱形，圖(2)

是一個菱形十二面體，它是由十二個相同的菱形圍成的幾何體，也可以看作正方體的各個正

方形面上扣上一個正四棱錐，如圖(3),若平面ABCD與平面ATBS的夾角為45。,則cosZASB

=(C)

圖⑴

圖⑵

圖（3）

（第4題）

【解析】如圖，連接NC,3。相交于點。，連接SO,則S。，平面/BCn,取AB的

中點￡,連接SE,OE.因為￡4=S8,OA=OB,所以S￡J_A8,OELAB,所以NS￡。即為

平面48CD與平面/7BS的夾角，即NSEO=45。.設(shè)NE=a,則OE=OS=a,所以濟二。"

+OE2=2a2,SA2=SB2=SE2+BE2=3a2.在ASAB中，由余弦定理得cosZASB=

5序+&42—/82=3。2+3。24。2=i

2SBXSA2X3a23

二、多項選擇題

5.（2024?蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào)）設(shè)加，〃是兩條不同的直線，ct,￡是兩個不重合的平面，下列說

法正確的有（BCD）

A.若加_L〃，tnua,〃u￡,貝!JaJ_/

B.若比J_a,7“〃H，n//P，則a，/

C.若a"0,mea,則加_L〃

D.若〃?J_a,"J_￡,m.Ln,貝?。輆_l_￡

【解析】對于A,若加_L〃，tnua,nu°,不能推出"z_L￡或"J_a,則不能推出a_L￡,

故A錯誤；對于B,若7〃J_a,m//n,則〃J_a,又“〃所以a_l_￡,故B正確；對于C,

若a〃￡,則〃_La,又〃?ua,所以故C正確；對于D,若"?_La,mA^n,

說明與a和￡垂直的法向量互相垂直，貝iJaL?,故D正確.

6.（2024?呂梁二模）如圖，在平行六面體中，底面/BCD是正方形，O

為4cl與SA的交點，則下列條件中能成為'7G=4C”的必要條件有（ACD）

（第6題）

A.四邊形/CG4是矩形

B.平面平面/CG4

c.平面3nr）i3i_L平面48a）

D.直線ON,8c所成的角與直線。C,N8所成的角相等

【解析】要成為的必要條件，則該條件可由推出.對于A,

因為在平行六面體N3Q>43cL01中，AAi/ZCCr,AAi=CCt,所以四邊形NCC遇i為平行

四邊形.又/Ci=/iC,所以四邊形NCG/1為矩形，故A正確.對于B,假設(shè)平面

平面NCG4,由選項A可知四邊形/CG4為矩形，則/C_L44i.又平面488/m平面/CG4

=44i,NCu平面ZCCM1,所以ZCL平面/A814.因為NBu平面/ABM,所以

與四邊形48CD為正方形矛盾，故B錯誤.對于C,因為四邊形A8CD是正方形，所以

因為/C_L44i,AAM/BBi,所以NCJ_58i,又BBGBD=B,BBi,5Du平面BDEhS,所

以/C_L平面.又/Cu平面/BCD,所以平面BOD/」平面48cD,故C正確.對

于D,因為四邊形/CG/1為矩形，。為4cl的中點，易得O/=OC,又正方形/BCD中，

AD=CD,。。是公共邊，所以△O4D2△OCD,則NOAD=/0CD又BC〃4D,AB//CD,

所以/。40,/。。分別為直線。48C所成的角與直線。C,48所成的角（或其補角），

則直線ON,3C所成的角與直線OC,48所成的角相等，故D正確.

7.（2024?衡陽二聯(lián)）在正四棱柱/2C0-/121C1A中，AB=BC=2,44i=4,P是棱CG

的中點，貝U（AC）

A.直線3P與Bid所成的角為60。

B.直線3尸與4D所成的角為90°

c.平面/12山_1_平面4ap

D.直線/由與平面8?！ㄉ?所成角的正弦值為?

【解析】如圖所示，對于A,因為所以NDAP為直線3P與SDi所成的

角或其補角，易知BP=BD=DP=2亞,即△D3P為等邊三角形，所以/。39=60。，故A

正確；對于B,因為/LD〃3C,所以NBEC為直線8尸與4。所成的角或其補角，若NBEC

=90°,則△32ICSZ\PC3,貝而尸C=BC=2,351=4不滿足上式，故B錯誤.對

BBiBC

于C,易知BP=2/=BiP,55i=4,滿足SP+B尸2=3由2,所以BP_L3iP.又8P_L〃8i,

可得82_1平面/山iP,又BPu平面ABP,所以平面小氏尸，平面/AP,故

C正確.對于D,連接/Ci,BiDi交于點、F,由正方形性質(zhì)可得出尸，3。1,由直棱柱性質(zhì)

可知33」平面431clz)1,又4尸u平面431clzh,所以BB」AF又BBiCBQi=Bi,可得

小尸，平面3DD13,所以/4AF為直線/山與平面30D/1所成的角.因為小尸=也，A}B

=2鄧,所以sin/4BF=R=巫,故D錯誤.

2y510

三、填空題

8.如圖，在三棱錐S-N3C中，ASBC,△N8C都是等邊三角形，且5C=2,

則二面角S-BC-A的大小為一60。_.

【解析】如圖，取BC的中點D,連接SD因為△/BC,△SBC都是等邊三角形，

所以SB=SC,AB=AC,因此有N￡>_LBC,SDLBC,所以N/DS為平面SBC與平面NBC

所成的二面角的平面角.因為BC=2,所以SDu'/sB2二壽=也二1=\[3,AD=\IAm二

=<4-1=3,而SA=3,所以△SZ)/是正三角形，所以N4DS=60。，即二面角S-8C-N

的大小為60°.

S

(第8題答)

四、解答題

9,在四棱錐E-48CD中，ED_L平面E3C,AD=ED,底面48。中，AD//BC,ZBAD

=/C5/=90°,AB=BC=2AD.

(1)若點尸在線段2C上，試確定下的位置，使平面?！晔?，平面4BCZ),并給出證明；

【解答】當(dāng)點尸是8c的中點時，平面。平面4SCD證明如下：由尸是8C的中

點，得2斤=夕。，又AD〃BC,BC=2AD,所以4D〃26AD=BF,則四邊形4D尸3是平

行四邊形.又/BAD=/CBA=90°,得四邊形/。尸B是矩形，故8C_L。E因為平面

EBC,3Cu平面E2C,所以3C_LED因為。尸0即=。，。尸u平面尸，EDu平面尸，

于是BC_L平面。EF,由于BCu平面48CD,因此平面。EF_L平面4BCD

(2)根據(jù)⑴的條件，若EF=S，求四棱錐E-18CD的體積.

【解答】因為平面。EF_L平面N2C。，平面DEFH平面下，所以過點E作

￡。_1。/于點。，則￡OJ_平面N3CD,￡。的長就是四棱錐E-/8CO的高，如圖所示.因為

ED_L平面E2C,所以助_L即，在中，EF=0DF=AB=2AD=2ED,由勾股

定理，得由+￡7)2=。尸2,所以3+EZ)2=4￡Z)2,解得ED=1,則。尸=2.根據(jù)EODF=EDEF,

得￡0=也.根據(jù)48=。尸=2,以及BC=AB=2,AD^-AB=\,NBAD=/CB4=90°,得

22

四邊形/BCD的面積為SABCD=^(AD+BC)-AB=^X(1+2)X2=3,因此四棱錐E-ABCD的

體積VE-ABCD=-SABCDX￡O=-X3X

3322

(第9題答)

10.(2025?錦州期中)如圖，三棱柱4BC-4SC1中,側(cè)面BBCC_L底面48C,且48=

AC,A\B=AiC.

(第10題)

(1)求證：441，平面/8C；

【解答】如圖(1),取2C的中點M，連接M4,"4.因為AB=/C,AlB=AlC,所以

BCA.AM,BCLAiM,由于4W,平面且因此8cLL平面4M4.

因為44iu平面4M4,所以3C_L44i.又因為44i〃ABi,所以ABi_LBC.因為平面ABiGC_L

平面N3C,平面881clec平面/8C=BC,且3Su平面A8CC,所以28」平面A8C因

為AAi〃BBi,所以44i_L平面NBC

(2)若44i=3C=2,/A4c=90。，求平面N/C與平面43cl夾角的余弦值.

【解答】如圖(2),將直三棱柱/8C-481cl補成長方體/ADC-/iSDCi.連接C0,過

點C作CPLCyD,垂足為P,再過P作PQLAyB,垂足為Q,連接C0.因為平面CDDyCx,

且CPu平面CDDCi,所以3￡>_LCP.又CP_LG。，BD,CYDu平面//?？冢?0。。。=

所以CPL平面NiADCi,則△CPQ為直角三角形.由于42U平面NiADCi,所以

因為CP,尸。u平