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作業(yè)矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)

積累運(yùn)用

要點一、矩形的性質(zhì)與判定

(1)定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

(2)性質(zhì)：①具有平行四邊形的所有性質(zhì)；②四個角都是直角；③對角線互相平分且相等;

④中心對稱圖形，軸對稱圖形.

(3)面積：S矩形=長、寬

(4)判定：①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②對角線相等的平行四邊形是矩形;

③有三個角是直角的四邊形是矩形.

【注意】

由矩形得直角三角形的性質(zhì)：

1.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

2.直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半.

要點二、菱形的性質(zhì)與判定

(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

(2)性質(zhì)：①具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②四條邊相等；③兩條對角線互相平分且垂直,

并且每一條對角線平分一組對角；④中心對稱圖形，軸對稱圖形.

對角線x對角線

(3)面積:S菱形=)氐x尻1=

2

AD

(4)判定：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

③四邊相等的四邊形是菱形.

要點三、正方形的性質(zhì)與判定

(1)定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.

(2)性質(zhì)：①對邊平行；②四個角都是直角；③四條邊都相等；④對角線互相垂直平分且

相等，對角線平分對角；⑤兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；⑥中心對

稱圖形，軸對稱圖形.

(4)判定：①有一個角是直角的菱形是正方形；②一組鄰邊相等的矩形是正方形；③對角

線相等的菱形是正方形；④對角線互相垂直的矩形是正方形；⑤對角線互相垂直平分且相等

的四邊形是正方形；⑥四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.

要點四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系

試卷第2頁，共22頁

要點五、三角形的中位線定理

（1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段稱為中位線（三角形中有3條中位線）.

（2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，

即若點。、E分別為AB、AC的中點，則?！?/2。且。E=g8C.

培優(yōu)訓(xùn)練

三層必刷：鞏固提升+能力培優(yōu)+創(chuàng)新題型

1鞏固提升練

題型一、矩形的判定

1.已知在四邊形ABCO中，AB//CD,ZA=ZB,添加下列條件，不能保證四邊形ABCO

是矩形的是（）

A.AD//BCB.AB=CDC.AC=BDD.ZA=NC

2.如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，延長AD到E,^DE=AD,連接EB,EC,DB,添

加一個條件，不能使四邊形D3CE成為矩形的是（）

A.BELABB.CELDEC.ZADB=90°D.AB=BE

3.如圖，在口ABC。中，對角線AC,BO相交于點。，點E,尸在AC上，且AE=C尸，

連接BE,E￡）,DF,￡8.若添加一個條件使四邊形3成加是矩形，則該條件可以是.（填

寫一個即可）

DC

4.四邊形"C￡>中，對角線AC,30相交于點。，給出下列三組條件：①AB〃C￡>,

AD=BC,AC=BD-@ABAD=ABCD=90°,AD=BC；③/BAD=/BCD=90。,AC=BD-,

其中一定能判定這個四邊形是矩形的條件有.（填寫所有正確條件的序號）

5.如圖，在AABC中，AB=AC,。是BC的中點，M是AC的中點，AE\\BC,交DM的

延長線于點E,連接CE.求證：四邊形ADCE是矩形.

題型二、利用矩形的性質(zhì)求解（求角度、線段長、面積）

6.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,80相交于點。，/AC?=54。，則ZACB的度數(shù)

是（）

A.54°B.27°C.20°D.18°

7.如圖，延長矩形ABC。的邊3c至點E,使CE=BD,連接AE,如果NAD3=40。，則NE

的度數(shù)是（）

8.如圖，在矩形他8中，AB=2,對角線AC與8。相交于點。，AE垂直平分08于點E,

則BC的長為（）

試卷第4頁，共22頁

C.4D.2

9.如圖，在矩形ABC。中，AB=6,AD=8,尸是AD上不與A和。重合的一個動點，過

點P分別作AC和的垂線，垂足為E,F,則PE+PR的值為（）

10.如圖，EF過矩形ABCD對角線的交點O,且分別交AB,CD于E、F,那么陰影部

分的面積是矩形ABC。的面積的（

11.矩形ABCD中，對角線AC,8￡＞相交于點。，如果4403=40。，那么NADB的度數(shù)

12.在矩形A5C。中，對角線AC、8。相交于點O,過點A作AM，3D,交8。于點M,

^ZMAD=5ZBAM,則NM4O的度數(shù)為.

13.如圖，在矩形ABC￡＞中，AD=5,￡史平分工ADC交BC于點E,連接AE,EF±AE

交CD于點、F,若D若F=12,則AB的長度為

14.已知RtZXABC的斜邊AB=4,以AB為邊在RtZXABC所在平面內(nèi)作矩形ASDE,B45,

則C。的最小值為.

15.如圖，點尸是矩形A3CD的對角線8。上的一點，過點P作跖〃3C,分別交AB,CD

于點E、F,連接P4,PC.若BE=3,PF=1,則圖中陰影部分的面積為.

16.如圖，在口ABCD中，對角線AC、8。相交于點O,ZABC^90°.

⑴求證：AC=BD；

⑵點E在邊BC上，S.ZCEO=ZCOE.若45=6,BC=8,求CE的長.

17.如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,ZAOD=120°,AB=4cm,BE//AC,

交DC的延長線于點E.

(1)求證：AC=BE.

⑵求四邊形ABEC的周長.

題型三、矩形與折疊問題

試卷第6頁，共22頁

18.如圖，矩形ASCD邊AD沿折痕AE折疊，使點。落在BC上的F處，已知AB=8,Z\ABF

的面積為24,貝I]EC等于()

19.如圖，在矩形ABCD中，4)=5,CD=12,E是CD邊上一點，連接AE，沿AE翻折VADE,

當(dāng)CF長度最小時，△CEF的面積是()

40

口D.20

43cI

20.如圖，一張長方形紙片的長AD=6,寬AB=1.點E在邊AD上，點尸在邊8C上，將

四邊形ABFE沿直線翻折后，點B落在邊AD的三等分點G處，則EG的長為

21.綜合與探究

問題情境

如圖，在矩形A3C3中，AB=8,AD=1O,E為AB邊上的一點，連接CE.將矩形ABC。

沿直線CE折疊，點8的對應(yīng)點為尸.

問題解決

（1）如圖1,當(dāng)點歹落在AD邊上時.

①求AE的長.

②如圖2,連接即交CE于點G,過點8作3NLCF于點N,交CE于點試判斷斯，MN

與A8的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

深入探究

（2）當(dāng)點/落在AO上方時，EF交AD于點P,CP交AD于點。，連接川.若&APF為

等腰三角形，請直接寫出。。的長.

題型四、菱形的判定

22.菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相平分B.對角線相等

C.對角線互相垂直D.對邊平行且相等

23.在四邊形ABCD中，AB//CD,AC與相交點。，下列條件不能判定四邊形ABCD是

菱形的是（）

A.AB=BC,ZBAD=ZBCDB.AB=CD,ZAOD=90°

C.OA^OC,ZABD=ZCBDD.AC=BD,AC±BD

24.如圖，在平行四邊形A5CZ）中，對角線AC與8。交于點。，圖形中不再添加輔助線和

字母，再添加一個條件,使平行四邊形ABC。是菱形.（寫出一個即可）

25.如圖，在平行四邊形ABCZ）中，過對角線AC的中點。作垂線E尸交邊8C,AD分別為

點E,F,連接CF.求證：四邊形AECF是菱形.

26.如圖，在矩形ABCZ）中，點尸在邊上，BE平分NPBC交邊CD于點E,

/DPE=/ABP,延長AD、BE交于點、F,連接CT.求證：四邊形3CFP是菱形.

試卷第8頁，共22頁

APD?F

題型五、利用菱形的性質(zhì)求解

27.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC與80相交于點。，0EJLAB,垂足為E,若

ABCD=50。，則ZBOE的大小為（）

A.25°B.40D.65°

28.如圖，已知菱形ABC。的邊AB=5,對角線AC=8,點P、E、尸分別是AC、CD、AD

上的動點，則PE+P尸的最小值是（）

DEC

A.2.4B.4.8D.6.5

29.如圖，在菱形A3CD中，若AB=5,AC=6,則菱形ABC。的面積是（）

A.12B.24C.30D.48

30.如圖，菱形ABCD中，AC和80交于點。，過點。作DE_LBC于點E,連接OE,若

ABAC=25°,則ZOED的度數(shù)是.

D

31.如圖，在菱形中，AB=3,AF=2DF,ZABC=120°,ZEFG=15°,FGrBC,

則BE的長為.

32.如圖，點。是菱形ABC。的對稱中心,連接。4,OB,04=4,03=6,E尸為過點。

則圖中陰影部分的面積為.

AB=AD,對角線AC,交于點。，AC平

分NBAD,過點C作CE1AB交48的延長線于點E,連接OE.

(2)若AD—5,BD=6,則OE-

34.如圖，已知矩形A3CD中，對角線80的垂直平分線分別交AD、BC、BD與點、E、尸、O,

連接3E,DF.

試卷第10頁，共22頁

AED

（1）判斷四邊形班DE的形狀，并說明理由；

（2）若AB=6,BC=8,貝lj￡F=.

題型六、正方形的判定

35.在四邊形A2CD中，NA=/3=NC=90。.如果再添加一個條件可證明四邊形是正方形,

那么這個條件可以是（）

A.AB=BCB.AB=CDC.AC=BDD.?D90?

36.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）

A.當(dāng)/B4C=90。時，平行四邊形A5CD是菱形

B.當(dāng)/ABC=90。時，平行四邊形ABCD是矩形

C.當(dāng)AC_LBD時，平行四邊形ABCD是菱形

D.當(dāng)AC=3D且ACLBD時，平行四邊形MCD是正方形

37.如圖，已知四邊形ABCD是菱形，從①AB=AD,@ZABC=ZADC,③=中選

擇一個作為條件后，使四邊形ABC。成為正方形，則應(yīng)該選擇的是—（僅填序號）.

D._________,C

38.如圖，在VABC中，ABAC=90°,AD平分ZR4C,DEJ.AB于點E,D/IAC于點

F,求證：四邊形AEDF是正方形.

A

F

DC

題型七、利用正方形的性質(zhì)求解

39.如圖，以正方形ABCD的一邊向形外作等邊ATWE,BD與CE交于點、F,則—AFE等

于（）

DA

cB

A.40°B.45°C.50°D.60°

40.如圖，在正方形A3CD中，點G在5C邊上，連接AGDE_LAG于點E,3/_LAG于

點—若3F=4,AF=9,則石尸的長為（）

G

A.5B.6C.7D.8

41.如圖是一張四邊形紙片ABCD,其中NA=NB=90。，AB=12,BC-AD=5.現(xiàn)將其

分割為4塊，再拼成兩個正方形，則正方形的面積為_____

AD

42.如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,。是BC的中點,E是AD的中點，過點A作

試卷第12頁，共22頁

AF〃BC交BE的延長線于點F.

(2)若AB=20，當(dāng)四邊形APB為正方形時，求郎的長.

43.如圖，在平行四邊形A2CD中，點E,尸分別在邊A3,CD±,且四邊形BEDb為正方

形.

⑴求證：AE=CF；

⑵己知平行四邊形ABCD的面積為20,AB=5,求8C的長.

題型八、正方形折疊問題

44.如圖，正方形A3CD的邊長為4,點E在邊CD上，且CE=1,連接AE,點尸在邊AD上,

連接班把△鉆尸沿班'翻折，點A恰好落在AE上的點G處,下列結(jié)論：①AE=BF；②

96

AD=2DF；③S四邊形小巫=不；④GE=0.2,其中正確的有()

B.①③C.①③④D.①②③

45.如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形紙片，將其沿折疊，使點B落在。邊上

的B'處，點A對應(yīng)點為A',且3'C=2,則AM的長為

A

46.如圖，正方形ABC。中，AB=6,點E在邊CD上，且CD=3￡>E.將VADE沿AE翻折

至ZVIFE,延長砂交邊BC于點G,連接AG、CF.

⑴求證：AABG^ZXAFG；

⑵求證：點G是BC的中點.

題型九、中點四邊形

47.順次連結(jié)菱形四邊的中點所得的四邊形是（）

A.矩形B.正方形C.菱形D.以上都不對

48.在四邊形ABCD中，AC=BD,ACJ.BD,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA

的中點，則四邊形EFGH的形狀是.

題型十、特殊平行四邊形的動點問題

49.如圖，在矩形ABCD中，A3=4,AD=6,P,。分別是邊AD,3c上的動點，點尸從A出

發(fā)到。停止運(yùn)動，點。從C出發(fā)到8停止運(yùn)動，若尸，。兩點以相同的速度同時出發(fā)，勻速

運(yùn)動.下面四個結(jié)論中：①存在四邊形APC。是矩形；②存在四邊形APCQ是菱形；③存在

四邊形APQ8是矩形；④存在四邊形APQ8是正方形.所有正確結(jié)論的序號是（）

AD

BC

試卷第14頁，共22頁

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

50.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,?B90?,AB=8cm,AD=12cm,BC=18cm,

點P從點A出發(fā)，以lcm/s的速度向點。運(yùn)動；點。從點C同時出發(fā)，以2cm/s的速度向

點8運(yùn)動，規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動的時間為ts,

當(dāng)年一時，四邊形PQBA是矩形.

51.如圖，在平行四邊形A5CZ）中，對角線AC,80相交于點0,動點E以每秒2個單位

長度的速度從點A出發(fā)沿AC方向運(yùn)動，點F同時以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā)沿

C4方向運(yùn)動，若AC=8,8O=5,則經(jīng)過秒時，四邊形邛是矩形.

52.如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,ZASC=90°,AD=25cm,BC=30cm,點P從

A點出發(fā)，以2cm/s的速度向。點運(yùn)動，點。從C點同時出發(fā)，以3cm/s的速度向B點運(yùn)動，

規(guī)定一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也停止，運(yùn)動時間為

/f尸D

BQ<-C

⑴當(dāng)運(yùn)動f秒時，線段尸￡>=cm,CQ=cm（用含f的代數(shù)式表示）；

⑵當(dāng)f為何值時，四邊形ABQP是矩形；

⑶在（2）的條件下，若四邊形尸是正方形，請直接寫出AB的值.

題型十一、四邊形的綜合問題

53.如圖，正方形ABCD的對角線AC、80相交于點0,且AC=2,正方形AB'C'D的頂

點A與點。重合，邊與OD重合，將正方形A'3'C'D'繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，與邊

BC交于點E,與邊CD交于點尸，連接所交OC于點G,在整個運(yùn)動過程中，則點G

經(jīng)過的路徑長是()

A.1B.；C.—D.72-1

22

54.如圖，已知菱形ABCD中，Z￡>=126°,P是對角線AC上的一個動點，作點C關(guān)于3尸

的對應(yīng)點C',連接當(dāng)NPBC=時，P、C、。三點共線.

55.已知，QABCD中，AB=4cm,8c=8cm,AC的垂直平分線跖分別交AD、BC于

點、E、F,垂足為0.

(1)如圖1,連接AF、CE.求證：四邊形AFCE為菱形；

(2)如圖1,求AF的長；

(3)如圖2,動點P、Q分別從A、。兩點同時出發(fā)，沿△AFB和ACAE各邊勻速運(yùn)動一周.即

點P自4->尸-?3-A停止，點。自fEfC停止，在運(yùn)動過程中，點P的速度為

每秒1cm,點。的速度為每秒0.8cm,設(shè)運(yùn)動時間為/秒，若當(dāng)以AP、G。四點為頂點的

四邊形是平行四邊形時，求f的值.

56.如圖，在菱形ABCZ)中，ZS4D=60°.等腰JWEF的兩個頂點￡、尸分別在AB,AD上

且/￡MF=120。，點A,M在所的異側(cè).小明猜想：點M在菱形ABCD的對角線AC上.

試卷第16頁，共22頁

BB

（1）如圖2,當(dāng)EFLAC于點K時，

①判斷：點M菱形ABCD的對角線AC上.（填“在”或“不在”）

②如圖3,若石"||AC交于點從FG"AC交CD于彘G,連接G",當(dāng)一

EM

時，四邊形為正方形.

⑵如圖1,

③判斷：小明的猜想是否正確？若正確請證明，若不正確請說明理由.

④若4B=6g,EM=4請直接寫出CM的取值范圍

2能力培優(yōu)練

57.如圖，在菱形Q4BC中，點A在x軸上，點C的橫坐標(biāo)為1,4=60。，將菱形Q4BC

繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，若點B的對應(yīng)點是點耳，那么點耳的坐標(biāo)是（）

C.(-A/3,3)D.(3,73)

58.如圖，長方形A38中，AS=10,AZ）=4,點N為邊CD中點，點P為線段DN上一

個動點，將△APD沿AP折疊得到△APQ,點。的對應(yīng)點為Q,當(dāng)射線尸。恰好經(jīng)過AB的

中點M時，0P的長為（）

C.3D.2百

59.如圖，正方形ABC。和正方形D5FO的頂點A,0,E在同一直線/上，且=0,AB=3,

給出下列結(jié)論：①NCOD=45。；②AE=5；③CF_LAD；④四邊形ACDP的面積8.5.其

中正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

60.如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成的，根據(jù)實際需要可以調(diào)節(jié)A、E

間的距離.若A、E間的距離調(diào)節(jié)到90cm,菱形的邊長AB=30cm,則/OC3的度數(shù)

是°，

61.如圖，在菱形A3CD中，點E、/分別在AB、3c上，沿班'翻折后，點8落在邊C。上

的G處.若EGLCD,BE=5,DG=3.則AE的長為.

62.兩張全等的矩形紙片ABCD、AECF按如圖方式交叉疊放在一起，若AB=AF=3,

AE=BC=9,則圖中重疊（陰影）部分的面積為.

63.如圖，在正方形ABC。中，點E為對角線AC上的一點，EFLCD,EG±AD,垂足分

試卷第18頁，共22頁

別為尸、G,若EG=2,EF=6,則班的長度為

64.如圖，在長方形ABCD中，AB=8cm,AD=12cm.點。從點C出發(fā)，以2cm/s的速

度沿C。邊向點。運(yùn)動，到達(dá)點。停止；同時點尸從點8出發(fā)，以xcm/s的速度沿邊向

點C運(yùn)動，到達(dá)點C停止.規(guī)定其中一個動點停止運(yùn)動時，另一個動點也隨之停止運(yùn)動.當(dāng)

x為時，AABP與APCQ全等.

65.如圖，矩形A2CD的對角線AC與8。相交于點0,CE//BD,DE//AC.

⑴求證：四邊形OCED是菱形；

(2)當(dāng)CD=3,DE=4,求AD的長.

66.如圖，在Rt^ABC中，ABC=900,AC=6,44=60。，點。從點C出發(fā)，沿C4方

向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運(yùn)動，同時點E從點A出發(fā)，沿A3方向以每秒1

個單位長度的速度向點B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運(yùn)動.設(shè)

點、D、E運(yùn)動的時間是1秒(0</<3),過點。作_L3C于點/，連接OE,EF.

(1)求證：四邊形AEF。為平行四邊形;

⑵當(dāng)四邊形AEED成為菱形時，求出相應(yīng)的，值；

（3）ADEF能成為直角三角形嗎？如果能，請直接寫出相應(yīng)的/的值，如果不能，請說明理由.

67.【問題背景】在矩形紙片ABCL（中，AB=6,BC=10,點P在邊A5上，點。在邊8C

上，將紙片沿P。折疊，使頂點8落在點E處.

【初步認(rèn)識】

（1）如圖①，折痕的端點P與點A重合.

①當(dāng)NCQE=50。時，ZAQB=.

②若點E恰好在線段Q。上，則8。的長為.

【深入思考】

（2）點E恰好落在邊AD上.

①請在圖②中用無刻度的直尺和圓規(guī)作出折痕PQ;（不寫作法，保留作圖痕跡）

②如圖③，過點￡作￡7"相交P。于點F連接班■.請根據(jù)題意，補(bǔ)全圖③并證明四邊形

P8FE是菱形;

【拓展提升】

（3）如圖④，若。。，尸。，連接OE,當(dāng)AOEQ是以。。為腰的等腰三角形時，求8Q的

長.

③

3創(chuàng)新題型練

68.閱讀下列材料：“鶴形”在數(shù)學(xué)中是一種四邊形.我們把有一條對角線垂直平分另一條對

角線的四邊形叫做鸛形.如圖1,四邊形ABCD中，若AC垂直平分30,那么四邊形9CD

稱為鸛形.

試卷第20頁，共22頁

（1）寫出圖1所示鸚形的兩個性質(zhì)（定義除外）：①;②;

⑵如圖2,在平行四邊形A2CZ）中，E、尸分別在邊BC和CD上，且四邊形AEC尸是鸛形（AC

垂直平分跖），求證平行四邊形ABC。是菱形.

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接AC、EF,若AC=12,AB=10,DF=4,則所的長

度為.

69.【實踐探究】數(shù)學(xué)實踐課上，活動小組的同學(xué)將兩個正方形紙片按照圖1所示的方式放

置.如圖1,正方形ABCD的對角線相交于點。，點。又是正方形AgG。的一個頂點，且

這兩個正方形的邊長相等，四邊形OEBF為這兩個正方形的重疊部分，正方形可繞點。旋轉(zhuǎn).

【問題發(fā)現(xiàn)】

（1）①線段AE,BF之間的數(shù)量關(guān)系是.

②在①的基礎(chǔ)上，連接所，則線段AE,CF,E/之間的數(shù)量關(guān)系是.

【類比遷移】

（2）如圖2,矩形ABCD的中心0是矩形ABC。的一個頂點，4。與邊48相交點E,G。

與邊BC相交于點歹，連接跖，延長G。交AD于點P，連接￡P(guān)，AC,矩形A4G?？衫@

點。旋轉(zhuǎn).判斷線段AE,CF,族之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,在Rt^ACB中，ZC=90°,AC=3,BC=4,直角的頂點。在邊AB

的中點處，它的兩條邊七電和DF分別與直線AC,3C相交于點E,F,NEDF可繞點D旋

轉(zhuǎn).當(dāng)AE=2時，請直接寫出線段時的長.

70.數(shù)學(xué)綜合實踐課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動.

如圖1,矩形ABCD和矩形AB'C力'重合，AB=5,AD=3.矩形ABC。保持不動，將矩形

ABCD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn).

Fl

B'

(1)如圖2,小紅將矩形的頂點笈旋轉(zhuǎn)至CD邊上，求CE的長;

(2汝口圖3,小紅繼續(xù)旋轉(zhuǎn)矩形AB'C'。'，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點8'落在80的延長線上時，C、D、C

在同一條直線上，你認(rèn)為小紅的發(fā)現(xiàn)正確嗎?請說明理由；

(3)在(2)的條件下，如圖4,連接3C'交AD于點E,延長C5'交AD的延長線于點尸，求

所的長.

試卷第22頁，共22頁

參考答案

1.c

【分析】由AB〃C￡>,AD//BC,證明四邊形A3CD是平行四邊形，ZA+ZB=180°,而

ZA=ZB,貝12/8=180。，求得4=90。，則四邊形ABCD是矩形，可判斷A不符合題意；

由AB〃C。，AB=CE>,證明四邊形ABC。是平行四邊形，則AOIBC,所以/4+/3=180。，

求得/B=90°,則四邊形ABCD是矩形,可判斷B不符合題意；由AC=%>,ZABC=ABAD,

AB=BA,證明AABC四△BAD,得BC=AD,可知四邊形A3CD可能是等腰梯形，也可能

是平行四邊形，可判斷C符合題意；由NA=NB,ZA=ZC,得ZB=NC,由48〃8,

得/3+/C=180。，則2/8=180。，所以NA=/3=/C=90。，則四邊形A3CD是矩形，可

判斷D不符合題意，于是得到問題的答案.

【詳解】解：如圖1,?.,AB〃CD,AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，ZA+ZB=180°,

■：ZA=^B,

.?.2/3=180。，

:.ZB=90°,

四邊形ABCD是矩形，

故A不符合題意；

如圖1,1■?AB//CD,AB=CD,

D.------------------,C

四邊形ABC。是平行四邊形,

AD//BC,

.-.ZA+ZB=180o,

?.?ZA=Z6,

...2/3=180°,

：.ZB=90°,

四邊形MCD是矩形,

故B不符合題意;

如圖2,

答案第1頁，共67頁

圖2

在A4BC和△&!￡)中,

AC=BD

<ZABC=ZBAD,

AB=BA

.\AABC^ABAD（SAS）,

BC=AD,

vAB//CD,

.??四邊形ABC。可能是等腰梯形，也可能是平行四邊形，

??.不能保證四邊形ABCD是矩形，

故C符合題意；

..■如圖1,ZA=ZB,ZA=ZC,

:"B=NC,

■：AB//CD,

.-.ZB+ZC=180o,

.?.2/8=180°,

，ZA=/B=NC=90°,

四邊形A5CD是矩形，

故D不符合題意，

故選：C.

2.A

【分析】本題考查了平行四邊形、菱形、矩形的判定和性質(zhì)，掌握其判定方法和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，結(jié)合題意可證四邊形DBCE是平行四邊形，根據(jù)菱形的判

定，矩形的判定方法證明即可求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=CD,AD=BC,AB\\CD,AD\\BC,

答案第2頁，共67頁

:延長A。到E,使DE=AD，

/.DE\\BC,DE=BC,

：.四邊形O3CE是平行四邊形，

當(dāng)添加3E_LAB時，則有NABE=90。，設(shè)C￡?,3E交于點產(chǎn)，如圖所示,

二ZDFE=ZABE=90°,

：.CDLBE,

?/四邊形DBCE是平行四邊形，

平行四邊形。BCE是菱形，故A選項不能使四邊形D3CE成為矩形，符合題意；

當(dāng)添加CELDE時，則/CEE>=90。，

:四邊形DBCE是平行四邊形，

平行四邊形。BCE是矩形，故B選項能使四邊形DBCE成為矩形，不符合題意；

當(dāng)添加ZADB=90。時，則有NBDE=90°,

V四邊形DBCE是平行四邊形，

平行四邊形。3CE是矩形，故C選項能使四邊形DBCE成為矩形，不符合題意；

當(dāng)添加45=防時，

;DE=AD,

??.點。是AE中點，

，BD±AE,則ABDA=NBDE=90°,

V四邊形D3CE是平行四邊形，

平行四邊形DBCE是矩形，故D選項能使四邊形DBCE成為矩形，不符合題意；

故選：A.

3.BD=EF（答案不唯一）

【分析】此題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì).根據(jù)平行四邊形的

判定和性質(zhì)定理以及矩形的判定定理即可得到結(jié)論.

答案第3頁，共67頁

【詳解】解：BD=EF,

理由：???四邊形A5CD是平行四邊形，

AAO=CO,BO=DO,

?/AE=CF,

：.AO-AE=CO-CE.

BPEO=FO.

，四邊形BEDF為平行四邊形，

?/BD=EF,

四邊形BEDF是矩形.

故答案為：BD=EF（答案不唯一）.

4.②③##③②

【分析】此題主要考查了矩形的判定方法直角三角形的性質(zhì).根據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)矩

形的判定方法分別判斷得出即可.

AB//CD,AD=BC,AC=BD,四邊形可能是等腰梯形，故①不能判定這個四邊形是矩形;

ABAD=NBCD=90°,AD=BC,

,:BD=BD,

■：RtAAB￡^RtACBD（HL）,

"ADB=乙CBD,

：.AD\\BC,

?/AD^BC,

答案第4頁，共67頁

???四邊形ABCD是平行四邊形，

VZS4D=90°,

，四邊形ABC。是矩形；故②能判定這個四邊形是矩形；

③如圖，取80中點連接AM,CM,則8河=。知=!8。

2

;NS4D=90°,

AM=-BD,

2

AM=BM=DM,

同理得：CM=BM=DM,

:.CM=AM=BM=DM,

:AC=BD,

：.重合，

四邊形ABC。是矩形（對角線相等且平分）；故③能判定這個四邊形是矩形；

故答案為：②③.

5.見解析

【分析】本題主要考查了矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，掌握其性

質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.

先證明△AMEgACW,再證明四邊形ADCE是平行四邊形，再由矩形的判定方法即可證

明.

【詳解】證明：:AEIIBC,

；.ZMAE=NMCD,ZMEA=ZMDC,

是AC的中點，

：.AMCM,

在△川磔和4。/。中，

答案第5頁，共67頁

ZMAE=ZMCD

ZMEA=ZMDC,

AMCM

：.^AME^t.CMD(AAS'),

AE=CD,

,：AE\\CD,

四邊形ADCE是平行四邊形.

VAB=AC,。是BC的中點，

ADLBC,

四邊形ADCE是矩形.

6.B

【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟記

矩形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.先證明O3=OC,NOBC=NOCB,再結(jié)合三角形的外角的性

質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,??矩形ABCD中，對角線AC與80相交于。點，

:.OB=OC,ZOBC=ZOCB,

ZAOB是AOBC的一個外角，

ZAOB=ZOBC+ZACB=54°,

ZACB=-ZAOB=-x54°=27°.

22

故選：B.

7.C

【分析】本題主要考查矩形性質(zhì).連接AC,由矩形性質(zhì)可得NE=NZME、BD=AC=CE,

知NE=NC4E,而/AD8=NC4D=40。，可得/E度數(shù).

【詳解】解：連接AC,

;.AD//BE,AC=BD,S.ZADB=ZCAD=40°,

:.NE=NDAE,

答案第6頁，共67頁

又,：BD=CE,

CE=CA,

:.ZE=ZCAEf

?/ACAD=ZCAE-]-ZDAE,

.?.NE+NE=40。，即N￡=20。.

故選：C.

8.B

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，

正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先由矩形的性質(zhì)得AO=BO=CO=。。，結(jié)合垂直平

分線的性質(zhì)得=證明VA03是等邊三角形，則根據(jù)勾股定理列式計算，得

BC=dAC2-AB。=2下），即可作答.

【詳解】解：???四邊形ABC。是矩形，

：.AO=BO=CO=DO,

:AE垂直平分。8,

/.AB=AO,

\AB=AO=BO,

.〔△AC?是等邊三角形，

.-.ZBAC=60°,OC=AO=AB=2,

：.AC=4,

BC=^AC2-AB-=J16-4=2百，

故選：B.

9.B

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，熟記性質(zhì)并利用三角形的面積

列出方程是解題的關(guān)鍵.連接。尸，利用勾股定理列式求出8。，再根據(jù)矩形的對角線相等

且互相平分求出。4、OD,然后根據(jù)SAAOD=S"+工。位列方程求解即可.

【詳解】解：如圖，連接。尸，

答案第7頁，共67頁

AZBAD=90°,OA=OC=OD=OB=-BD,

2

VAB=6,AD=8,

,,BD=AB2+AD2=A/62+82=10，

???OA=OD=-BD=-xlO=5

22f

?‘△A。。=$4Aop+S4DOP，

—x—x6x8=—x5xPE+—x5xPF,

2222

24

???解得尸石+尸尸二彳，

故選：B.

10.B

【分析】本題主要根據(jù)矩形的性質(zhì)，得△￡BO2△FDO,再由VA05與△03。同底等高,

VA03與VABC同底且VA05的高是VABC高的g得出結(jié)論.本題考查矩形的性質(zhì)，矩形具

有平行四邊形的性質(zhì)，又具有自己的特性，要注意運(yùn)用矩形具備而一般平行四邊形不具備的

性質(zhì).

【詳解】解：,??四邊形為矩形，

,\OB=OD=OA=OC,AB||CD

：.ZEBO=ZFDO

在AEBO與△FDO中，

ZEOB=ZDOF

<OB=OD,

ZEBO=ZFDO

:.^EBO^FDO(ASA),

陰影部分的面積=S/\AEO+SAEBO=S^AOB，

答案第8頁，共67頁

,/NAOB與7ABe同底且VAQB的高是VABC高的g

…SjOB=SQBC=WS矩形ABC。?

故選：B.

11.20。##20度

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟記矩形

的對角線相等且互相平分是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明NOAD=NODA,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，可得

答案.

【詳解】??,四邊形ABC。為矩形，

.\ZDAB=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

:.OA=OB=OD,

ZOAD=ZADB,

vZAOB=40°fZAOB=ZOAD+ZADB,

^ADB=20°

12.60。##60度

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)；由矩形的性質(zhì)可得Q4=OB,NBAD=90。,由ZMW=5㈤"可求

ZBAM=15°,再由等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可；

【詳解】??,四邊形ABC。是矩形，

:.OA=OB,ZBAD=90°,

/.ZMAD+ZBAM=90°,

ZMAD^5ZBAM,

5ZBAM+ZBAM=90°,

:.ZBAM=15°f

-,-AM±BD,

:.ZBMA=ZAMO=9Q0,

/.ZABM=900-ZBAM=75°,

?：OA=OB,

:.ZBAO=ZABM=75°,

答案第9頁，共67頁

ZAOM=180°-ZABM-ZBAO=30°,

：.ZMAO=90°-ZAOM=G0°,

故答案為：60°.

13.3

【分析】本題考查求線段長，涉及矩形性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、

勾股定理等知識，先由矩形性質(zhì)得到線段長度及直角，再由角平分線性質(zhì)及等腰直角三角形

的判定確定△OCE是等腰直角三角形，從而得到CD=CE=6,在RtZWE中，由勾股定

理得AE的長即可得到答案，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理求線段長是解決問

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)=無，則CF=2x,CD=3x.

?在矩形ABC。中，AD//BC,

：.ZADE=ZDEC,

ZADE=NCDE,

：./DEC=NCDE,

CD=CE=AB=3x.

;ZB=ZC=90°,

AZBAE+ZAEB=90°.

*/AE±EF,

：.ZCEF+ZAEB=90°,

：.ZBAE=ZCEF.

VZB=ZC=90°,

???AABE^AECF(AAS),

???BE=CF=2x,

：.BC=BE+CE=5x=AD=5,

??x—X,

：.CD=AB=3.

故答案為3.

14.729-2

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，取中點/，連接CEDF,

答案第10頁，共67頁

則CF=2尸=]A2=2,利用勾股定理可得。/=，取2+&)2再由CDWDPCF,

即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，取AB中點尸，連接CF,DF,

,/RtAABC的斜邊AB=4,

：.CF=BF=-AB=2,

2

:四邊形ABDE是矩形，

ZABD=90°,

DF=^BF2+BD2=V29，

■:CD<DF-CF,

，當(dāng)點C恰好在線段。尸上時，C。有最小值，最小值為OF-C尸=a-2,

故答案為：729-2.

15.21

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的面積等知識，由矩形的性質(zhì)可證明切網(wǎng)=△PFC，

即可求解.

【詳解】解：作尸M_LAD于交BC于N,如圖,

則四邊形4EPM,四邊形DRPM,四邊形CFPN,四邊形3EPN都是矩形,

CF=BE=3,

答案第11頁，共67頁

??^AAEP=SAAMP，S^cFP=^ACNP，^AABD=^ABCD，^BEP=S#NP，^VMDP=^VDFP，

=X

.*.SVA/\Ec,Pr=SV^lC^FrPr~2PFxCF=—2x7x3=—2,

2191

???圖中陰影部分的面積s陰=y+y=21.

故答案為：21.

16.(1)見解析

(2)5

【分析】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識.

(1)證明四邊形ABC。是矩形，則AC=3D；

(2)根據(jù)勾股定理求得AC=10,得到Q4=5,根據(jù)等腰三角形的判定即可得到CE的長.

【詳解】(1)證明：：四邊形A3C。是平行四邊形，ZASC=90°,

四邊形ABO是矩形，

AC=BD；

(2)解：?：ZABC=90°,AB=6,BC=8,

AC=^AB2+BC2=10>

???四邊形ABC。是矩形，

OC=OA」AC=5,

2

ZCEO=ZCOE,

:.CE=OC=5.

17.(1)見解析

(2)24cm

【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知

識，熟練掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

(1)證明四邊形ABEC是平行四邊形，即可證明結(jié)論；

(2)利用矩形的性質(zhì)證明VA03是等邊三角形，得到AC=2(M=8cm,3D=AC=8cm,

由四邊形ABEC是平行四邊形得到CE=A5=4cm