廣東省深圳市光明區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題

閱卷人一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給

得分出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.cos(-120°)=()

A.B.1C.73D.

22T

2.log225xlog34xlog59=()

A.8B.6C.4D.2

3.如果"％=2kn+J,kEZ”是“cos%=成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.不充分也不必要條件

____1

4.已知集合4={x\y-V%+3+-^2)9B={x\y=1n(l-%)},則/nB=()

A.(—2,1)B.(1,+oo)

C.[―3,1)D.[—39—2)U(—2,1)

5.在平面直角坐標(biāo)系%Oy中，已知角a的始邊是%軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-l,2）,貝Ucosa

)

A底R(shí)275C_匹275

，耳D.

A1"I",一虧

6.將函數(shù)y=3sin（2x+》的圖象向右平移看個(gè)單位，再將所得圖象向上平移1個(gè)單位所得圖象的函數(shù)解

析式為（）

A.y=3sin(2x+金)+1B.y—3sin(2x-$)+1

C.y—3sin(2x+-1^)+1D.y=3sin(2x+得)+1

7.生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動(dòng)物的脈搏率/（單位：心跳次數(shù)-minT）與體重勿（單位：kg）的母

次方成反比.若4、B為兩個(gè)睡眠中的恒溫動(dòng)物，4的體重為2的、脈搏率為210次B的脈搏率是

70min-1,則B的體重為（）

A.6kgB.8kgC.18kgD.54kg

8

'已知久〉T，貝卜+磊的最小值為（)

A.2V2B.2C.2A/2-1D.2A/2+1

閱卷人二'多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，

得分有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得2分.

9.已知幕函數(shù)/(%)=%。過(guò)點(diǎn)(2,3，則下列說(shuō)法正確的是()

A./(%)=%-2B.函數(shù)/(久)的定義域?yàn)?0,+oo)

C.函數(shù)/(%)為偶函數(shù)D.函數(shù)/(%)的值域?yàn)?0,+00)

10.下列命題正確的是()

A.若a>b>0,則a2>b2B.若a>b>0,貝［Jac2>be2

11

C.若a<b<0,則士>D.若a<b<0,則a<ab2<ab

ab

11.對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a,關(guān)于實(shí)數(shù)%的一元二次不等式a(x-a)(x-2)<0的解集可能為()

A.(—oo,2)U(a,+oo)B.(—oo,a)U(2,+oo)

C.(2,a)D.0

12.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函

數(shù)”為：設(shè)％6R,用印表示不超過(guò)％的最大整數(shù)，貝0二區(qū)稱為高斯函數(shù)，例如：[一1.2]=-2,[1.3]=

1.下列說(shuō)法正確的是()

A.對(duì)于％,yeR,有[汨+[y]<[x+y]<[x]+[y]+1

B.如果九6N*,xER,則[n汨之

C.XER+,nGN*,且1至久之間的整數(shù)中，有百個(gè)是n的倍數(shù)

D.方程lg2%-[Igx]-2=0共有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

閱卷入

------------------三'填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

得分

13.已知扇形的面積為2,弧長(zhǎng)為2,則該扇形的圓心角為rad.

14.已知函數(shù)/(%)=2久t,若/(/(a))=4,則。=.

15.已知sin(30°+a)=彳，60°<a<150°，求coscr=

16.若％,y,zeR+,且2^=3、=6Z,4x：9工兀+i),nE.N,貝!In的值為.

閱卷人

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明'證明過(guò)程

或演算步驟.

得分

17.求值:

、21nil

⑴4點(diǎn)―3+(一”勃-3);

75

(2)log2(4x2)

18.已知tana=2

(1)求sin2a的值；

(2)求tan3a的值.

19.行駛中的汽車，在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距

離.在某路面上，某卡車的剎車距離s(單位：m)與汽車的車速u(單位：km/h)滿足下列關(guān)系：s(u)=

福/+|u("為常數(shù)).當(dāng)汽車以20km"的速度行駛時(shí)，從剎車到停車之間的距離為10血.

1UOV

(1)求s(u)；

(2)若該汽車在某路面上以速度D行駛，為保證安全，要在發(fā)現(xiàn)前面257n處有障礙物時(shí)能在離障礙物

57n以外處停車，設(shè)司機(jī)發(fā)現(xiàn)障礙物到踩剎車需經(jīng)過(guò)1s,則最高速度應(yīng)低于多少？

20.已知函數(shù)/(%)=2sin(2x-看)+2cos2久+a的最大值為3.

(1)求/(久)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸；

(2)當(dāng)尤e臣1時(shí),求使f(x)22成立尤的取值范圍.

21.已知aCR,函數(shù)/(%)=2—六是R上的奇函數(shù).

(1)求a的值：

(2)判斷〃支)的單調(diào)性并用定義證明：

(3)若關(guān)于尢的不等式.(2TH-1)+|<0對(duì)一切實(shí)數(shù)為都成立，求實(shí)數(shù)zn的取值范圍.

22.已知f(X)=Inx,g(%)=In(%—a)

(1)若方程,0)1=(:尸有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根尢1，久2(久1<%2)，比較工172與1的大小.

(2)若關(guān)于久的方程鳴整=2有且只有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍.

答案解析部分

1.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

【解析】【解答】依題意，

cos(-120°)=cosl20°=cos(180°-60°)=-cos60°=

故答案為：A.

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值可得答案.

2.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則；換底公式及其推論

【解析】【解答】解：Iog225xlog34xlog59=^x5||x{g=^x^x^=8.

故答案為：A.

【分析】利用對(duì)數(shù)換底公式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

3.【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；余弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：當(dāng)x=2kn+keZ時(shí)，cos%=cos(2/CTT+卷)=cosg=，故充分性成立；

當(dāng)cos久=看時(shí)，%=?±2kn,keZ,故必要性不成立，

ZJ

綜上：%=2kn+kCZ是COSK=*成立的充分不必要條件.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合誘導(dǎo)公式，利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.

4.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；函數(shù)的定義域及其求法；其他不等式的解法

【解析】【解答】解：要使y=+$有意義，則產(chǎn):公卜解得久2-3且％力—2,所以4=

X十乙'-Xi-乙U

[—3,—2)U(—2,+oo)；

由1一%>0,解得久<1,所以3=(—8,1),所以ZcB=|-3,-2)U(-2,1).

故答案為：D.

【分析】根據(jù)根式與分式的意義，列不等式組求得集合A,再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)有意義求的集合3,最后根據(jù)

集合的交集的運(yùn)算求解即可.

5.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】任意角三角函數(shù)的定義

【解析】【解答】解：因?yàn)榻莂終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（—l,2）,所以r=|0P|=’（-1）2+2所以cosa=

x_—1_75

產(chǎn)方=一丁

故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意先求|0P|,再利用三角函數(shù)的定義求解即可.

6.【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（3x+0）的圖象變換

【解析】【解答］解:函數(shù)y=3sin（2x+第的圖象向右平移著個(gè)單位,可得y=3sin［2（久一看）+?=

3sin（2x—金），

再將圖象向上平移1個(gè)單位可得y=3sin（2x-金）+L

故答案為：B.

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移變換判斷即可.

7.【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值；有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

k

【解析】【解答】解：設(shè)f=F（kW°）,當(dāng)勿=2,f=210時(shí)，解得k=210x2,1；

V/3

當(dāng)/=70時(shí)，則［抬1_21/231_32日1即勿=54.

故答案為：D.

k

【分析】設(shè)/=工/H°）,根據(jù)已知條件代入求解k值，再將/=70代入計(jì)算B的體重即可.

W3

8.【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式

【解析】【解答】解：因?yàn)榫?gt;—1,所以尢+1>0,

所以尢+3=無(wú)+1+3—122（%+1）X^r-1=2V2-1-

%+1%+197%+1

當(dāng)且僅當(dāng)久+1=磊，即久=魚—1時(shí)等號(hào)成立，故工+系的最小值為2/—L

故答案為：C.

【分析】利用基本不等式求解即可.

9.【答案】A,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】解：A、因?yàn)槟缓瘮?shù)/(%)=久a過(guò)點(diǎn)(2,3，代入函數(shù)解析式中，可得上=2",解得a=

—2,即/(%)=%-2,故A正確；

1

B、由A可知：/(%)=x-2=^2,則/(%)的定義域?yàn)?一8,0)U(0,+oo),故B錯(cuò)誤；

c、由b可知，函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足/(-%)=J=/(x),即函數(shù)人無(wú))為偶函數(shù)，故

C正確；

D、任取久1，X2e(0,+00),當(dāng)％1〉久2時(shí)，f(久2)=Q2X]=("2K?(",+巧)<0,

X1%2X1x2

故/(久)在(0,+8)單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)得/(久)在(一8,0)單調(diào)遞增，故當(dāng)X—0時(shí)，/(X)T+8,

當(dāng)％T8時(shí)，/(%)T0,

故函數(shù)f(K)的值域?yàn)?0,+00),故D正確.

故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

10.【答案】A,C

【知識(shí)點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式；利用不等式的性質(zhì)比較數(shù)(式)的大小

【解析】【解答】解：A、因?yàn)閍>b>0,所以。2>廬，故A正確；

B、a>b>0,當(dāng)c=0時(shí)，ac2=be2,故B錯(cuò)誤；

C、當(dāng)a<b<0時(shí)，^>|,故C正確；

D、取a=—2,b=—1,滿足a<b<0,ab2=ab,不滿足a<。廬<協(xié)，故D錯(cuò)誤.

故答案為：AC.

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷AC；舉例說(shuō)明即可判斷B；取特殊值即可判斷D.

1L【答案】B,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系

【解析】【解答】解：由題意可知：a00,不等式a(x-a)(x-2)<0對(duì)應(yīng)的二次方程a(x-a)(x-

2)=0有兩根=a,K2=2;

當(dāng)a=2時(shí)，開口向上，a=2,解集為0,

當(dāng)a>2時(shí)，開口向上，a>2,解集為(2,a).

當(dāng)a<0時(shí)，開口向下，a<2,解集為(一8,a)U(2,+oo),

當(dāng)0<a<2時(shí)，開口向上，a<2,解集為(a,2),

故答案為：BCD.

【分析】由題意可知a70,先求不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根，再分a<0,0<a<2,a=2,

a>2討論求解集即可.

12.【答案】A,B,C

【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則；指、對(duì)數(shù)不等式的解法

【解析】【解答】解：A、設(shè)x=a+ri，y=b+r2>其中r〉生表示犬，y的小數(shù)部分，a,b表示尤，y的

整數(shù)部分，

則[幻+[y]=a+b,[x+y]=[a+b++r2]=a+b+^+r2]<a+b+所以[久]+[y]W[%+

y]<[x]+[y]+1,故A正確；

B、n[x]=na,[nx]=[na+nr^=na+[nrt]>na,所以[冗燈之九[x],故B正確；

C、因?yàn)樯晏?hào)〈申+1，所以申（中+l）m故C正確；

D、由[1g用Wig%,得lg2%—1g%—240,則一141g%<2.

當(dāng)1g%=2時(shí)，[1g%]=2,此時(shí)％=100；

當(dāng)1<Igx<2時(shí)，[1g用=1,代入原方程，得lg2%=3,即Igx=B或1g%=—V3（舍去），解得％=

10修

當(dāng)04Igx<1時(shí)，[1g用=0,代入原方程，得lg2%=2,即1g'=±/，不符合題意；

當(dāng)一1<Igx<0時(shí)，[lg%]=-1,代入原方程，得十％=1,即Igx=-1或lg%=1（舍去），解得％=白，

綜上可知：原方程共有3個(gè)不同的實(shí)根，故D錯(cuò)誤.

故答案為：ABC.

【分析】設(shè)第=。+/1，y=b+r2y其中a,b分別是x,y的整數(shù)部分，r1,*分別是羽y的小數(shù)部分，

結(jié)合高斯函數(shù)的定義即可判斷AB；根據(jù)申〈合幣+1即可判斷C；由[1g幻<Igx得lg2》-Igx-2<

0,進(jìn)而-lWlgxW2,分類討論1g久的取值范圍，求出對(duì)應(yīng)的解，即可判斷D.

13.【答案】1

【知識(shí)點(diǎn)】扇形的弧長(zhǎng)與面積

1

（2砂2=2,解得

ar=2丫-

故該扇形的圓心角為lrad.

故答案為：L

【分析】設(shè)該扇形的圓心角為a,半徑為r,利用扇形的面積和弧長(zhǎng)計(jì)算公式列出關(guān)于a、r的方程組，求

解即可.

14.【答案】log26

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)募的運(yùn)算性質(zhì)；指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(X)=2XT,/(/(a))=4,所以2f(a)T=4=22,所以f(a)=3,

則2。-1=3,即a—1=log23,即a=log23+1—log23+log22=log26.

故答案為：log26.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算即可求解.

15.【答案】正薩

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦公式

【解析】【解答】因?yàn)?0。<a<150°,所以90°<a+30°<180°

因?yàn)閟in(30°+a)=焉，所以cos(a+30°)=—Jl—sin2(a+30°)=-卷，

所以cosa=cos(30°+a—30°)

=cos(30°+a)cos30°+sin(30°+a)sin30°

4V331

=-5XT+5X2

3-473

=10'

故答案為：上￥

【分析】根據(jù)60°<a<150°,得到a+30°的范圍，再求出cos(a+30°)的值，將cosa=

cos(30°+a-30°),再用兩角差的余弦公式展開，得到答案.

16.【答案】25

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則；換底公式及其推論；對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】解：因?yàn)榫?，y,zER+,所以2"=3y=6z>l,

XyZ

令t=2=3=6,則x=log2t^y=log3t/z=log6t,

所以中==彗害=4=嗑+制且6=嗑+而口+喇=13+署+

lg6lg6

91g2

審，

令瓶=翳2),則4久［9y=13+4m+4,

13乙ZIIL

其中me(l,2),血力飄，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知4ni+?e(12,13),則生也=13+4m+2e

(25,26),所以n=25.

故答案為：25.

Z

【分析】根據(jù)題意令t=2%=3、=6,由指數(shù)、對(duì)數(shù)互化可得％=log2t/y=log3az—log6t,代入

竺&中，令巾=翳6(1,2),原式轉(zhuǎn)化為竺±型=13+4m+2,再根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求得n的

zigzvzm

值.

2_1

17.【答案】(1)原式=4X(―^)X必?__1——6a；

a~3b~3

2x7519

(2)原式=log2(2x2)=log22=19.

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)；對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

【解析】【分析】(1)根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可;

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

2sinacosa

2sinacosa2-2tana

2sinacosa=cos/a

18.【答案】(1)sin2a=.72,

siMa+cos2asin乙atana+l

2~+1

cos乙a

因?yàn)閠ana=2,

2tana_4

所以sin2a

tan2cr+l5'

(2)由題tana=2,

2tana_4_4

所以tan2a=

1—tan2a1-43'

tan2a+tana_|_2

則tan3a=tan(2a+a)=

1—tan2atana-i_i_§-11-11,

x^3T

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【分析】(1)利用正弦的二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系化齊次式為關(guān)于tana的式子，代入

求解即可;

(2)利用正切的二倍角公式以及兩角和的正切公式求解即可.

19.【答案】(1)由題可知s(20)=喘gX400+gX20=10,解得n=費(fèi)

12

故S(U)=無(wú)U2+V；

(2)因?yàn)樵渕/h==居??!〃，故有克病+梟+1x需V25-5,

即I?+36U—1440<0,即(U—24)(U+60)V0,即一60<u<24,

又u>0,即0<v<24,即最高速度應(yīng)低于24k7n//i.

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值；一元二次不等式及其解法

【解析】【分析】(1)由題意可得s(20)=10,求得九,即可得s(u)；

(2)由題意可得克廬+如+ix|g<25-5,解不等式結(jié)合題意即可得.

20.【答案】(1)解：因?yàn)?'(%)=2sin(2%一看)+2cos2%+a=2sin2%cos,-2cos2%sin\+2cos2%+。

=V3sin2x+cos2x+a=2sin(2x+1)+a,

所以，函數(shù)/(%)的最大值為f(%)max=a+2=3,可得a=1,

則/(%)=2sin(2x+看)+1.

由2%+[=EZ)可得％=1+4(k€Z).

。乙oz

所以，函數(shù)n>)圖象的對(duì)稱軸方程為X=1+竽(keZ).

函數(shù)f(久)的最小正周期為r=當(dāng)="

⑵解:由/(%)=2sin(2x+1)+1>2可得sin(2x+g)>|,

當(dāng)髀久/時(shí)，狂2久+髀興，

由sin(2x+^)>稱可得￡<2%+^<知，解得看<x<^,

故當(dāng)XC吟，芻時(shí)，使了(%)22成立久的取值范圍為阪守.

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦公式；正弦函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)y=Asin(3X+6)的圖象與性質(zhì)

【解析】【分析】(1)利用正弦的兩角和差公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為/(%)=2sin(2久+看)+a,根據(jù)正弦型

函數(shù)的最值求出a的值，再利用正弦型函數(shù)的周期計(jì)算公式求函數(shù)人霜的最小正周期，最后根據(jù)正弦型函

數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)/(%)的對(duì)稱軸方程即可；

⑵由久C看，芻可求2久+部勺取值范圍，再根據(jù)/(%)之2可得sin(2x+*斗，得到關(guān)于x的不等式，

求解即可得x的取值范圍.

21.【答案】(1)因?yàn)?(%)=2一弟是R上的奇函數(shù)，所以"0)=0,

即2=。，解得a=4,經(jīng)驗(yàn)證，滿足要求；

(2)/(%)在R上單調(diào)遞增，理由如下：

任思》1，%2eR,且<尤2，

4xx

用“、〃、一77,4_444-(2l-22)

川八久1)-1^2)-Z“十p2Tl——F1T1—(2丫2+"1+])，

因?yàn)閥=2久在R