廣東省茂名市普通高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)

量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.復(fù)數(shù)(2-i)i的共輾復(fù)數(shù)為()

A.l+2iB.-l+2iC.-l-2iD.l-2i

二、多選題

2.下列函數(shù)中，最小正周期為兀的奇函數(shù)是()

A.y=2sinxB.y=sin2xC.y=sin—D.y=|sinx|

三、單選題

3.已知I，1是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，則日〃5的是()

A.a=2ex—e2,石=f；4

B.a=ex+2e2,b=2ex+e2

iuu一一一

弓

C.。=61—2/，b=ex+2e2D.a=ei—e2,b=2ex—4

4.已知復(fù)數(shù)2="一2加一3+(m-3)i(mwR)是純虛數(shù)，貝“l(fā)+z|為()

A.V15B.4C.V17D.如

5.將函數(shù)y=sin,-1)的圖象向左平移?個單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮

小為原來的縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=〃x)的圖象，則()

A./(x)=sinQx-^B./(x)=sin(2x-f

C./(x)=sinQx-^D.〃x)=sin(2x-

6.已知圓錐的底面半徑為3,且圓錐的底面積是側(cè)面積的一半，則圓錐的體積為()

A.9島B.10島C.157rD.187r

r-rA.l-cos29+sm28,,八

7.已知-------------=3,貝nUtan20=

1+cos28+sin20

8.任意復(fù)數(shù)z=a+歷S，6eR）可以寫成z=r（cos6+isine）,其中r是復(fù)數(shù)z的模，。是復(fù)

數(shù)z的輻角（以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量無所在射線為終邊的角），我們稱

r（cose+isin。）為復(fù)數(shù)z=a+bi（a,%eR）的三角形式.利用復(fù)數(shù)的三角形式可進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘

方等運(yùn)算，即z0=k（cos“O+isin〃。），（“eZ）.已知復(fù)數(shù)z=［-gi,則2/2/3,-./2025中

不同的數(shù)的個數(shù)為（）

A.6B.12C.24D.36

四、多選題

9.若〃/?=（3,1）,則（）

A.a-b=5B.（Q+B）_L（Q_B）

C.2與3的夾角為彳D.4在Z方向上的投影向量為以

10.已知函數(shù)/（x）=2sin（0x+：，0>o）的部分圖象如圖所示，貝I］（）

71

A.co=—

2

B.若函數(shù)丁=/（依乂。>0）在［0』上單調(diào)遞增，貝

C.的圖象關(guān)于點(diǎn)(TO)中心對稱

2「兀]]

D.若/&)=/(%)=_§,則cos-(x2-xj=j

11.正方體A3CD-ABC1，的棱長為2,P為底面ABC。內(nèi)一動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)尸為正方形ABC。的中心時，三棱錐外接球的表面積為11兀

試卷第2頁，共4頁

B.當(dāng)P在線段BO上時，|AP|+FN的最小值為4

C.滿足直線PG與上底面A呂GR所成角為60。的點(diǎn)P的軌跡長度為￥兀

D.當(dāng)P為O)中點(diǎn)時，過A,P,q三點(diǎn)作正方體的截面Q,Q為截面。上一點(diǎn)，則線

2后.

段8。長度的取值范圍為三一，20

五、填空題

12.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程4爐+9=0的解了=.

13.已知三棱柱ABC-4月￡中，M,N分別為棱4G的中點(diǎn)，過A,M,N作三棱柱

的截面交BG于￡點(diǎn)，且與E=2,則4￡=—.

14.如圖，P為VA3C的內(nèi)心，cosZBAC=1,.BPC、AAPC>ZviPB的面積分別為梟、

、

SBSC,S.SA-PA+SBPB+Sc-PC=6.^AP=xAB+yAC,則的最大值為.

六、解答題

15.如圖，在直三棱柱ABC-ABIG中，AC=2,5c=2石，AA,=AB=4,。是A8的中

點(diǎn).

(1)證明：AQ〃平面BCD；

(2)求直線AG與直線C。所成角的余弦值.

16.已知函數(shù)f(x)=6sinx-cosx.

⑴當(dāng)xe[0,可時,求函數(shù)的取值范圍；

⑵在VABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若〃A)=2,a=4,且VABC的面積

為6，求VA3C的周長.

17.已知VABC是邊長為6的等邊三角形，。是AC上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E在邊2C上.

⑴用麗、品表示而；

⑵若BE=4,求荏.通的值；

⑶設(shè)AE與50交于點(diǎn)P,MAP=AAB+|BC,求網(wǎng).

18.如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,AD=AB=1,D8=DC=0.把沿8。翻折，

使得二面角A-3D-C的大小為。，M,N分別是和3c中點(diǎn).

(1)求證：平面3co_1_平面AAW；

(2)若6=60。，求點(diǎn)Af到平面⑷V。的距離；

(3)若二面角A-ND-8的余弦值為膽，求cos，.

19.在VA6C中，4、b、c分別為角A、B、C的對邊，cos2B+cos2C—cos2A=1—sinBsinC.

⑴求cosA；

(2)記NABC的面積為S,NABC內(nèi)一點(diǎn)Q滿足ZPAB=NPBC=ZPCA=0；

(i)若6=45。，求證：a2+b2+c2=4S;

(ii)若b=c,BC=&,求R4的值.

試卷第4頁，共4頁

《廣東省茂名市普通高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷》參考答

案

題號12345678910

答案DBDACBAABACAB

題號11

答案ACD

1.D

【分析】由復(fù)數(shù)乘法整理其為標(biāo)準(zhǔn)式，根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的概念，可得答案.

【詳解】由(2—i)i=2i-i2=l+2i,則其共輾復(fù)數(shù)為1—2i.

故選：D.

2.BD

2兀

【分析】利用周期計(jì)算公式T=時判斷ABC中函數(shù)的周期，根據(jù)y=Mnx|的圖像判斷其周

期.

X

【詳解】V=2sin龍的最小正周期為2兀，y=sin2x的最小正周期為兀，y=sin,的最小正周

期為4兀，尸血乂的最小正周期為九

故選：BD

3.A

【分析】根據(jù)則Z=4,依次驗(yàn)證在每個選項(xiàng)的條件下，若￡=2是否有解即可.

【詳解】若述我則口加

—2=2

選項(xiàng)A：若2q—q=A(—+—e2)則1,,,解得2=-2,選項(xiàng)A正確;

12

2A=1

選項(xiàng)B：若,+2弓=4(2,+與)，則彳無解，選項(xiàng)B錯誤;

Z=2

一一一一IA=1

選項(xiàng)C：若q—24=49+202),貝Uc,C，2無解，選項(xiàng)C錯誤；

[2Z=-2

選項(xiàng)D：若弓―e2=〃2q—de?),貝叫，，2無解,選項(xiàng)D錯誤.

故答案為：A.

4.C

答案第1頁，共14頁

【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的模求解即可.

-—3—0

。八一，解得加=—1,

m-3^0

所以z=-4i,

所以|l+z|=|l_4i|=Jl+16=g.

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，可得答案.

【詳解】將函數(shù)>=sinb-切的圖象向左平移1個單位長度，可得函數(shù)…由[-曰的圖

象；

再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的縱坐標(biāo)不變，可得/(x)=sin(2x-])的

圖象.

故選：B.

6.A

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積以及底面積的計(jì)算，求得母線長，利用勾股定理求得體高，結(jié)合圓

錐的體積公式，可得答案.

【詳解】設(shè)圓錐的體高為〃，母線長為/,底面半徑r=3,

則底面積￥=兀產(chǎn)=9兀，側(cè)面積邑=2口-1=3兀/=2x9兀，解得/=6,

易知/?=，尸_/=,36-9=30，所以體積V=；S//z=；x9兀*3如=94兀.

故選：A.

7.A

【分析】利用正、余弦的二倍角公式化簡，即可求tan6=3,再用正切函數(shù)的二倍角公式求

解即可.

【詳解】cos20=2cos20-1=1-2sin20，sin20=2sin-cos0,

>1-cos26+sin26)2sin26?+2sin0cos6?.sin6(sin，+cos6)

由;----――1總=3，所以----；--------------------=3,所以――,~~-~「方=3,所以

l+cos26?+sm26)2cos^+2sin6>cos0cose(cos，+sin。)

八c”2tan83

tan9=3,所以tan2。=-------=——.

1-tan04

故選：A

答案第2頁，共14頁

8.B

【分析】由復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式寫出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到向量并結(jié)合圖象求得夾角，根據(jù)三角函

數(shù)的誘導(dǎo)公式，一一列舉復(fù)數(shù)，可得答案.

【詳解】由復(fù)數(shù)z=1-gi,則其在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)為zg,-3，即場=,

取x軸非負(fù)半軸上的單位向量G=(1,0),如下圖:

所以令〃=124+1,則

正如-也加二+兀仔+兀］

_62+1=c°sisin=<4］isin71..71

z"Z=-cos—+ism—=-z

6616J{6}66

3（⑵+1）兀一…+1）?！弊?2*U+2兀兀..兀

z〃z'+i=cos---1sin—=z,

6616）1666

-i，

6622

22兀..2兀兀..兀\超.

z=cos----ism——=cos——ism—=-------1,

663322

3371..37171..71.

z=cos----ism——=cos—1sin—=-i,

6622

4兀..4兀2兀..2兀1.

z4=cos----ism——=cos----ism——=--------1,

663322

5兀..5兀1.

z=cos----ism——=旦—1，

6622

66元..6兀..1

z=cos----ism——=cos7i-1sin7i=-I.

66

故選：B.

9.AC

【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行計(jì)算即可；選項(xiàng)B：根據(jù)向量加減法的坐

標(biāo)表示計(jì)算出2+石和Z-人再結(jié)合兩向量垂直，數(shù)量積為0判斷即可；選項(xiàng)C：根據(jù)向量夾

答案第3頁，共14頁

角的公式進(jìn)行計(jì)算即可；選項(xiàng)D：根據(jù)向量的投影向量公式計(jì)算即可.

【詳解】對于選項(xiàng)A,>B=(2,-1>(3,1)=2X3+(—1)X1=6-1=5,故選項(xiàng)A正確;

對于選項(xiàng)B,u+b=(2,-1)+(3,1)=(5,0)9u—b=(2,—1)—(3,1)—(—1,—2),

(a+b)?(a—b)=(5,0),(―1,-2)=5x(―1)+Ox(—2)——5w0，故選項(xiàng)B錯誤；

-7a-b(2,-1)*(3,1)550

對于選項(xiàng)C,co=麗飛2+(_1)葭后+1「卬？二刀F，結(jié)合。與后的

TT

夾角范圍為兀],故2與辦的夾角為7,選項(xiàng)C正確；

4

對于選項(xiàng)D,3在￡方向上的投影向量為Wcos<Z,B>'=如x^x笳=；￡,故選項(xiàng)D

錯誤.

故答案為：AC.

10.AB

【分析】對于A,由圖可得函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的周期公式，可得其正誤；對

于B,根據(jù)整體思想，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式，可得其正誤；對于C,根據(jù)整體

思想，由正弦函數(shù)的對稱性，可得其正誤；對于D,根據(jù)對稱性化簡所求式子，利用三角恒

等式，可得其正誤.

【詳解】對于A,由圖可知函數(shù)仆)的最小正周期7=4*||-￡|=44吟=4,解得0=5,

故A正確；

對于B,由04x41,貝心4空尤+四4包加,

4244

由正弦函數(shù)的單調(diào)性，則0V火<>a+l)兀解得故B正確；

4422

ITTT11

對于C,^—x+—=kji^k,角軍得%=—]+2左(％￡Z),顯然一5+2%。-1,故C錯誤；

對于D,由題意可得%+/=2xg=5,即％=5-尤2，

?,「兀/\1(715兀、(71713兀、.(71兀、

則cos-(x2-Xj)=cos^-x2--J=cos|^-x2+--■—J=sin^-X2+-J,

由圖可知?<%<”吟<>2+￡<2兀,則sin]%=-11-cos2=一亭,

故D錯誤.

答案第4頁，共14頁

故選：AB.

11.ACD

【分析】對于A,根據(jù)線面垂直，可作出球心，然后可求外接球半徑得到表面積；對于B,

將平面A5D與平面BBQ。沿8。展開，當(dāng)AP，用三點(diǎn)共線時，|"|+歸4|取得最小值，利用

余弦定理求邊長即可；對于C,過戶作平面A4G則/PQM就是直線PG與上底

面4月。2所成角，可得GM=￥，即點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，半徑為寺的圓弧上

即可求解；對于D,作出截面，利用等體積法可求最小值，根據(jù)端點(diǎn)可得最大值即可判定.

【詳解】對于A,在正方體ABCD-ABiGR中，尸為正方形ABCD的中心時，

CP1BD,2與_L平面ABCD,CPu平面ABCD,

所以CP_LBB],又BDDBB]=B,BD,BB[u平面BgOQ,

所以。尸，平面3A。，即CP,平面尸瓦2,

在尸一瓦CR中，CP=RBF=RP=^,42=2日,

r1/八nn6+6—81

貝UcosZB.PD.=----------=—,

2x63

所以sinNBFQ=竿，設(shè)！尸8Q外接圓半徑為r,

由正弦定理得

2V23

BR2rnr=—

sin/B]PD]2V22

3

過！PBR的外心作平面PBR的垂線與CP的垂直平分線交于點(diǎn)0,

Bi

所以三棱錐P-用CQ外接球的表面積S=4成2=11兀，故A正確;

答案第5頁，共14頁

對于B,當(dāng)P在線段8。上時，將平面ABD與平面842。沿8。展開,

|"|+|尸聞取得最小值,

破=J4+4-2X2>2COS135°=18+4近，故B錯誤;

對于C,過P作a似_L平面A4GA，

則ZPQM就是直線PC,與上底面A^GA所成角,

3gM=禺=盍=5則竽,

所以點(diǎn)尸的軌跡是以G為圓心，半徑為2叵的圓弧上，圓心角為

32

所以點(diǎn)尸的軌跡長度為且兀，故C正確；

3

對于D,當(dāng)P為C。中點(diǎn)時，設(shè)4瓦中點(diǎn)為N,易得四邊形AP￡N為平行四邊形,

即四邊形APQN為截面

設(shè)點(diǎn)3到平面APN的距離為",

答案第6頁，共14頁

在△APN中，AN=AP=5PN=2C，SAAPN=；X2正乂6=迷，

Sh=hV

VB-APN=~^APN~=N-ABP=乂2X2義2=g,

解得h=述,即線段8。的最小值為攻，

33

當(dāng)。在G處時，線段3。取得最大值20，

~［Z-

所以線段BQ長度的取值范圍為之2，20,故D正確；

故選：ACD.

12.±-i

2

【分析】求出V，引入虛數(shù)單位開平方求解即可.

93

［詳解］4爐+9=00/=_=0尤=±_(

42

3

故答案為：±/i

13.6

【分析】連接AM并延長與4耳的延長線交于點(diǎn)P,連接NP與直線3G相交，即為點(diǎn)E,

首先證明4是A,的中點(diǎn)，推出凡耳//6尸、NB1=；C￡,即可利用三角形相似推出

B\G=3B、E,得解.

【詳解】連接AM并延長與A耳的延長線交于點(diǎn)P,連接NP與直線相交交點(diǎn)即為點(diǎn)E,

因?yàn)锳M與NE相交于點(diǎn)P,所以A,M,N、E四點(diǎn)共面，

因?yàn)镸是的中點(diǎn)，且44,//24，所以人包=：朋，MBJ/AA,,

所以加4是△的中位線，則耳是4P的中點(diǎn)，

又因?yàn)镹為4G的中點(diǎn)，所以NBJ/C’P、NB\=；CF，

答案第7頁，共14頁

B,ENB,1

易知公NEBTEC、,則釜=方￡=不，所以4cl=34石=6.

ECqCjTz

故答案為：6

5-Vio

14.

3

r分析】根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可得AP=-PB+-PC,根據(jù)條件化簡可得

aa

AP=/-PB+/,PC即可得尤+y=…，進(jìn)而根據(jù)余弦定理,結(jié)合基本

1一(尤+>)「(x+y)a+b+c

不等式可得即可求解.

【詳解】由于尸為VABC的內(nèi)心，故尸到AB,8C,C4的距離相等，記為r,

貝u-y

由邑?西+SB?麗+品?無=0可得手西+M而+§?無=。,

i^aPA+bPB+cPC=6,所以市^匕麗+5,

aa

又AP=xAB+yAC=X(PB—PA^+y(^C—PAj=xPB+yPC+(x+y)AP,

Q=J.而+小畫

bx

ai-(x+y)b+c

則所以x+y=

cya+b+c"

ai-(x+y)

又cos/BAC=g，則=從+02一|歷=修+°)2_*北修+靖_?.^^=|修+4,

時取等號,

15-710

~3-

故答案為：三巫

15.(1)證明見解析

⑵條

【分析】(1)要證明線面平行，可通過構(gòu)造線線平行，利用直線與平面平行的判定定理來證

明;

答案第8頁，共14頁

（2）求異面直線所成角，可通過平移其中一條直線，使其與另一條直線相交，得到異面直

線所成角的平面角，再利用解三角形的知識求解.

【詳解】（1）

連接BG，設(shè)BQ與BC的交點(diǎn)為0

在直三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面BCQB,為矩形，故。是8G的中點(diǎn)。

又D是48的中點(diǎn)，因此OD是A4BG的中位線，即OD〃AG

因?yàn)镺Du平面BC。，人弓0平面用。^，所以AG〃平面BCD

（2）由（1）知ODHAC、,故直線AQ與所成的角等于OD與CD所成的角（或其

補(bǔ)角）

只需在平面圖形中求NODC的余弦值.

直三棱柱底面VABC中，ZACB=90°,。為AB中點(diǎn)，故==2（直角三角形斜

邊中線性質(zhì)）

OD是AA5G的中位線，AC；=[AC。+CC；=物+4?=2遙,故OD=；AC、=-B

側(cè)面BCC內(nèi)為矩形，。是BG中點(diǎn)

在ABCG中，BC=2百,CCj=4故BQ=?2琦+4?=7^71?=2不則OC=；2G=B

在AODC中，由余弦定理：

(灼+2?_(⑺_5+4-7__2__6

OD1+CD2-OC2

cosZODC二

-2ODCD2x,y/5x2-46-4A/5-10

故直線AC1與直線CD所成角的余弦值為好.

10

16.⑴[T2]

答案第9頁，共14頁

(2)4+25/5

【分析】(1)利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求取值范圍.

(2)由〃A)=2及角A的范圍求出角A,結(jié)合三角形面積公式、余弦定理及完全平方公式

求出》+c,即可求得周長.

【詳解】(1)/(x)=6sin龍一cos尤=2sin(無一二),

,r?T,7LJC5兀

當(dāng)了￡[0,兀]時，'

oLoo

711(5兀一

因?yàn)閥=sim在-2,0上單調(diào)遞增，在°，工上單調(diào)遞減，

L6」I6」

所以sin(尤-聿)€-；』，貝!I"無)=2sinCx-*e[-l,2].

(2)/(A)=2,貝l]sin?=l,

-r-,人/八、iJ兀|兀5兀)A兀兀427c

又A￡(OK),故A—二￡一工，高，所以A—二=不，A=—,

6166/623

因?yàn)镾='/?csinA=>百=,所以be=4,

24

由余弦定理得42="+。2-2x4x|—：]=>16=〃+。2+4,〃+。2=12,

因?yàn)?b+c)2=。2+。2+2》。=12+2x4=20,所以人+(?=2右，

所以周長為。+b+c=4+2石.

17.(1)-BA+-BC

33

(2)24

⑶迎

3

【分析】(1)根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可；

(2)由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的定義、運(yùn)算律計(jì)算即可得解；

(3)利用向量的線性運(yùn)算求出2,再由數(shù)量積的運(yùn)算律及向量模的概念求解.

【詳解】(1)

"一旗W網(wǎng)一網(wǎng)+麗=押+網(wǎng)

(2)因?yàn)锽E=4,

答案第10頁，共14頁

i^AE=AC+CE=AC+^^CB=AC+^CB=AC+j(AB-AC^=^AB+^AC,

所以AE.AB=|jAB+§AC}AB=§AB+-AC-AB=-X62+-X6X6COS60°=24.

(3)由2P,8三點(diǎn)共線，可設(shè)Q=r詬+(1-。通，

由。是AC上靠近A的三等分點(diǎn)，

可得Q=(就+(1T)麗=：(而+就)+(1-)荏而+：而，

所以2=1—2tt=25解得2=2，

—?5—■2—■

所以AP=§AB+薩C,

又網(wǎng)=|BC|=6,AB,BC=120o,

所以

（衿河=焉而+】通—+六/=后><62+學(xué)62—120。+〉62

2M

3

18.（1）證明見解析

⑵等

（3）?

【分析】（1）先證平面AAW,再根據(jù)面面垂直的判定定理證明面面垂直.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，表示出點(diǎn)A到平面肱V。的距離，結(jié)合體積法求點(diǎn)M到平面⑷⑦的

距離.

(3)先利用。表示S.AND，利用S.ANDx+S^AMD?cos8=S.D可求cos8的值.

【詳解】（1）如圖:

圖1中，因?yàn)锳D〃3C,AD=AB=1,08=0.

答案第11頁，共14頁

四邊形ARVO為正方形，所以3D_LAN.

把沿8。翻折，，如圖2：則班＞，3￡4,BD±MN,

又〃A,MVu平面AAW,MA^\MN=M,

所以即上平面

又應(yīng))u平面BCD,所以平面3CD_L平面AWV.

(2)因?yàn)锽D工MN,所以NAMN即為二面角A—fiD-C的平面角.

所以Z4MZV=<9=60。.

過點(diǎn)A作AH_LMN于H.

因?yàn)槠矫?cD_L平面AAW,平面8C￡)n平面A/MN=MN,AHu平面AM2V,

所以A“_L平面BCD

又AM=立,所以A”=AM-sin60°=亞

24

所以VA_MND=TS^MND-AH=-x—x.

334448

在△AAW中，MA=MN=—,ZAMN=60°,所以⑷V=2^

22

又DA=DN=\,

設(shè)M到平面AND的距離為用，

則VA—MND=^M-ANDn=—X=k=.

483814

即M到平面AND的距離為叵.

14

(3)因?yàn)锳?/?=+MN?—2MA,MNcos9=^-+^--2x^-cos3=l—cos。，

222

所以SAND=~XJl—COS。X|1—cos'=—xJ