限時練習：40min完成時間:一月一日天氣:

寒假作業(yè)01三角形的相關線段

c—積累1S用1-~~~—

1.三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

組成三角形的線段叫做三角形的邊.相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點.相鄰兩邊組成的角叫做三角

形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.

2.三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

3.三角形的穩(wěn)定性：當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有

穩(wěn)定性.這一特性主要應用在實際生活中.

4.三角形的角平分線、中線和高線

（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高.

（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點之間的線段叫做

三角形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點；直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一

條高在三角形內(nèi)部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，

三條高所在直線相交于三角形外一點.

*3鞏固提升練

1.給出下列說法：（1）等邊三角形是等腰三角形；（2）三角形按邊的相等關系分類可分為等腰三角形、等

邊三角形和不等邊三角形；（3）三角形按角的大小分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.其

中，正確的有（）個

A.1B.2C.3D.0

【答案】B

【解析】（1）等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，正確；

（2）三角形按邊分類可以分為不等邊三角形和等腰三角形，錯誤；

（3）三角形按角分類應分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有2個.故選B.

2.下列說法中，①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高

都在三角形內(nèi)部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點.正

確的是（）

A.①B.①④C.②③D.②④

【答案】A

【解析】①三角形的中線、角平分線、高都是線段，故正確；

②鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，故錯誤；

③直角三角形有兩條直角邊和直角到對邊的垂線段共三條高，故錯誤；

④三角形的三條角平分線、三條中線分別交于一點是正確的，三條高所在的直線一定交于一點，高線指的

是線段，故錯誤.所以正確的有①.故選A.

3.下列尺規(guī)作圖，能判斷AD是△A5C的邊上的高的是（）

【答案】B

【解析】A.所作圖的垂線未過點A,故此項錯誤；

B.所作圖過點A作BC的垂線，垂足為。，故此項正確；

C.所作圖過點A作的線不垂直于BC,故此項錯誤；

D.所作圖僅為過點A的邊上的垂線，不符合題意，故此項錯誤.故選B.

4.如圖，在△ABC中，點。是△ABC的重心，則為△A8C的（）

A.角平分線B.高線C.中線D.垂直平分線

【答案】C

【解析】根據(jù)重心的定義：三角形三邊中線的交點為三角形的重心，故選C.

5.如圖，在△A3。中，AB=10，AC=8,為中線，則△ABD與八48的周長之差為（）

A.1B.2

【答案】B

【解析】:AD是中線，...加:CD,

C4on—7八「

△AADUAB+AD+BD,LSCAC.UAD=AC+AD+CD,

??C^ABD-C^ACD=AB-AC=10-8=2.故選B-

6.如圖，在aABC中，ZC=90°,D,E是AC上兩點，S.AE=DE,8。平分/EBC,那么下列說法中不

正確的是（）

A.BE是△A3。的中線B.8。是△8CE的角平分線

C./1=/2=/3D.SAAEB=S"EDB

【答案】C

【解析】A、是△ABD的中線，故本選項不符合題意；

B、平分/班C,.方。是△BCE的角平分線，故本選項不符合題意；

C、平分NEBC,；./2=/3,但不能推出/2、N3和N1相等，故本選項符合題意；

D、■:S“AEB=gxAExBC,S^EDB=gxDExBC,AE—DE,S^AEB=S^EDB,故本選項不符合題意；

故選C.

7.下列是利用了三角形的穩(wěn)定性的有個.

①自行車的三角形車架；②校門口的自動伸縮柵欄門；③照相機的三腳架；④長方形門框的斜拉條

【答案】3

【解析】①自行車的三角形車架，利用了三角形的穩(wěn)定性；

②校門口的自動伸縮柵欄門，利用了四邊形的不穩(wěn)定性；③照相機的三腳架，利用了三角形的穩(wěn)定性;

④長方形門框的斜拉條，利用了三角形的穩(wěn)定性.故利用了三角形穩(wěn)定性的有3個.故答案為：3.

8.如果一個三角形的兩邊長分別為3、4,第三邊最長且為偶數(shù)，則此三角形的第三邊長是.

【答案】6

【解析】根據(jù)三角形的三邊關系，得第三邊大于1,而小于7.

又第三邊最長且是偶數(shù)，則此三角形的第三邊長是6.故答案為：6.

9.如圖，已知△ABC中，A8=15,BC=20.

(1)畫出△ABC的高和CE；(2)若AD=5,求CE的長.

B

【解析】（1）如圖:

(2),?SLABC=7AD-BC=|CE-AB,：.CE=^^-^—.

//1S3

*2能力培優(yōu)練

10.如圖，用四個螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次

為2、3、4、6,且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整.若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框，則任意兩個螺絲間的

距離的最大值為（）

A.6B.7

【答案】B

【解析】已知4條木棍的四邊長分別為2、3、4、6；

①選2+3、4、6作為三角形,則三邊長分別為5、4、6；5-4<6<5+4,能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間的

最大距離為6；

②選3+4、6,2作為三角形，則三邊長分別為2、7、6；6-2<7<6+2,能構(gòu)成三角形，此時兩個螺絲間的

最大距離為7；

③選4+6、2、3作為三角形，則三邊長分別為10、2、3；2+3<10,不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立;

④選6+2、3、4作為三角形，則三邊長分別為8、3、4；而3+4<8,不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立.

綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為7.故選B.

11.如圖，△ABC中，點尸在邊42上，點。為的中點，連接AZXCP相交于點E,若右四=6,SAD￡C=2,

貝US四邊形BDEF=

A

F.

D

1234n22

A.——B.6D.——

5y5

【答案】D

【解析】連接。尸，如圖:

???。為5c的中點???SZXAM二^AADC

.DE1

SvAEC=6,SADEC=2，e?AL——，設S&DEF=X?則^/\EFA~3%,ADF=,

AE3

??S4DBF=SAABD~SADF=8—4x,S^CF~^ADEC+DEF=2+X,

6622

貝U8—4l=2+X,解得X=M,S四邊形50E/=S^DBF+=8—3xg=y.故選D.

12.如圖，點G為△ABC的重心,貝IS^ABG-SMCG*S^BCG的值是()

A.1:2:3B.2:1:2C.1:1:1D.無法確定

【答案】C

【解析】如圖，分別延長AG、CG、BG,交BC、AB>AC于點。、F、E,

因為G是三角形重心，所以A。、BE、b是△A3。的中線，所以SAABD=SAAC0，SABDG=SASG，

即S6ABG=S4ACG>同理S^ABG=S&BCG'所以S△扉G=S4BCG-S4ACG，即SA.G-$4ACG-SABCG=1：1：1，

故選c.

A

E

13.若a,b,c是△ABC的三邊長，則化簡,+6-。|+e一0-4的結(jié)果是.

【答案】2a

【解析】''a,b,c為三角形三邊長，；.a+b-c>0,b-c-a<0,

則原式=a+6-c-6+a+c=2a,故答案為：2a.

14.如圖，已知△ABC的面積為1,分別倍長（延長一倍）邊AB,BC,CA得到△481G,再分別倍長邊

AiBi,BiCi,GAi得到△A2&C2……按此規(guī)律，倍長2021次后得到的△A2021B2021C2021的面積為.

【答案】72021

【解析】如圖，連接AS、BCi、CAi,根據(jù)等底等高的三角形面積相等,

可知△4BC、AAiBiC.AABiC>AABiCi,△ABG、AAIBCK△ABC的面積都相等,

2

所以5△為qq=7s&ABC,同理2G=7s“耳q=75AABC,

依此類推，△A2021B2021C2021的面積為=7?021sAABC,

AABC的面積為1,AA2021B2021C2021的面積=72021.故答案為72021.

W3拓展突破練

15.八一中學校九年級2班學生楊沖家和李銳家到學校的直線距離分別是5km和3km.那么楊沖、李銳兩

家的直線距離不可熊是()

A.1kmB.2kmC.3kmD.8km

【答案】A

【解析】以楊沖家、李銳家以及學校這三點來構(gòu)造三角形，設楊沖家與李銳家的直線距離為。，

則根據(jù)題意有：5-3<?<5+3,即2Va<8,

當楊沖家、李銳家以及學校這三點共線時，a=5+3=8或者。=5-3=2,

綜上，a的取值范圍為：2VaW8,據(jù)此可知楊沖家、李銳家的距離不可能是1km,故選A.

16.等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學解題方法.

(1)如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,AB=5,CD1AB,則CD長為；

(2)如圖2,在中，AB=4,BC=2,則△ABC的高8與AE的比是；

(3)如圖3,在△ABC中，ZC=90°(ZA<ZASC),點、D,尸分別在邊AB,AC上，S.BP=AP,DE±BP,

DFrAP,垂足分別為點E,F.若BC=5,求DE+止的值.

圖1圖2圖3

【解析】⑴.28=9。。，3血.應一小,心一拜?！?的。,

VBC=3,AC=4,AB=5,/.cz)=y；

⑵根據(jù)題意得……:AB=1:2；

（3）?：SAABP=^AP-BC,S^P=^AP-DF,SABDP=^BP-DE,S4ABp=S公麗+S，

：.S=-BPDE+-APDF=-APBC,

A△ABKPP222

又BP二AP,：.-APDE+-APDF=-APBC,即DE+DF=3C=5.

222

17.(數(shù)學經(jīng)驗)三角形的中線能將三角形分成面積相等的兩部分.

(經(jīng)驗發(fā)展)(1)面積比和線段比的聯(lián)系：如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應底邊的比,

SA,rMAM

如圖1,△ABC的邊AB上有一點M,請證明：7-------==7；

bM

ft

2■

A

MBA----------------AM8/VB

圖1圖2圖3圖4

CD1CE1

（結(jié)論應用）（2）如圖2,△（7￡）￡的面積為1,—=-,求△ABC的面積；

AC41CB3

（拓展延伸）（3）如圖3,△ABC的邊AB上有一點M,。為CM上任意一點，請利用上述結(jié)論，證明:

%A￡>C_

S^BCDBM

（遷移應用）（4）如圖4,中，舷是AB的三等分點［AM

,N是BC的中點，若△ABC

的面積是1,請直接寫出四邊形的面積：_________________.

【解析】（經(jīng)驗發(fā)展）如圖1,過C作于4，

上

AMHB

圖1

S-AMxCH.即S/^ACM_AM

7/.-^M_=2------------------=——

■,■S△.ACM^-cAMxCH,SZ.XDBCM=°-BMxCH,C1

22'SABCM-BM'

"△BCM-2BMXCHHW

乂

（結(jié)論應用）如圖2,連接AE,\

AB

圖2

又-烏二-入_lxl5」s

.?.C人D「―-L/，?.?sACDE-L°sAAC￡，人*「口―Q，??-^sAACE-鼻°AABC，S??°ACDi1-430AABC_]2，

/A.I4'CXZJD，

又?.?△（?石的面積為1,二?△ABC的面積為12.

C

（拓展延伸）如圖3,

AMB

圖3

q

%ACMAM

M是AB上任意一點，.二

oq^BCMBM

CDq-CDq

Q。是CM上任意一點，.?.S^S=MXS-CN，、ABCD-CMX'八BCM，

型xS

qq

CM"M△UAADCAM

□ACM即nn《---

qq

^△BCD竺義SQ4BCMJ△BDCBM.

CMABCM

（遷移應用）如圖4,連接3。,

圖4

q

?.?A/是A3的三等分點(AM=gAB),.1^△AC￡)AM1

2qABCDBM2

^q△ACDCN,

是的中點，二-----=1,

QNqBN

===

設S&QM=Q'則S^BDM2。，S&ACD3。，S^CDN=^^BDN耳*^ABCD=3。,

'S四邊形BMDN=5。,S^ABC=12。，/.S四邊形BMDN=不義1=可.故答案為百.

JL乙J.乙_L乙乙

W3仿真考場練

18.（2023?河北?中考真題）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化.當

△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為

A.2B.3D.5

【答案】B

【解析】在△ACD中，AD=CD=2,

：.2-2<AC<2+2,即0<AC<4,

當AC=3C=4時，△ABC為等腰三角形,但不合題意，舍去;

當AC=AB=3時，△ABC為等腰三角形，故選B.

19.（2022.河北?中考真題）如圖，將AABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕/,貝心是△ABC

的（)

A.中線B.中位線C.高線D.角平分線

【答案】D

【解析】如圖,

:由折疊的性質(zhì)可知/C4D=/BAD,是44c的平分線，故選D.

20.（2022?浙江杭州?中考真題）如圖，COLA8于點。，已知/A8C是鈍角，貝|（）

A.線段C。是△ABC的AC邊上的高線B.線段C。是△ABC的A2邊上的高線

C.線段A。是△ABC的BC邊上的高線D.線段AD是△ABC的AC邊上的高線

【答案】B

【解析】???線段CO是AABC的A8邊上的高線，；.A錯誤，不符合題意；

,/線段。是AABC的AB邊上的高線，」.B正確，符合題意；

,/線段AD是△AC。的CD邊上的高線，；.C錯誤，不符合題意；

?.?線段A￡）是△AC。的C。邊上的高線，；.D錯誤，不符合題意.故選B.

21.（2021?湖南懷化?中考真題）如圖，在△ABC中，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、AC

于點M、N；再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連結(jié)AP并延長交BC

2

于點。.則下列說法正確的是（）

A

A.AD+BD<ABB.A。一定經(jīng)過△ABC的重心

C.ZBAD=ZCADD.AD一定經(jīng)過ZiABC的外心

【答案】C

【解析】?.工。平分/54。，二/54。=/。10,故C正確；

在△48。中，由三角形三邊關系可得人。+應）＞45，故A錯誤;

由