第24練函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

fii課后培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練

一、單選題

1.某地西紅柿從2月1日起開始上市.通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本。（單位：元〃00kg）與上市時間

t（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：

時間150120150

種植成本°26005002600

由表知，體現(xiàn)。與/數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是（）

A.Q=at+bB.Q=at2+bt+c

C.Q=atD.Q=alogbt

【答案】B

【分析】由提供的數(shù)據(jù)知，描述西紅柿種植成本。與上市時間［的變化關(guān)系函數(shù)不可能是單調(diào)函數(shù)，故可求

得.

【詳解】由提供的數(shù)據(jù)知，描述西紅柿種植成本。與上市時間f的變化關(guān)系函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，

也不是單調(diào)函數(shù)；而A,C,D對應(yīng)的函數(shù)，在4W0時，均為單調(diào)函數(shù)，

這與表格提供的數(shù)據(jù)不吻合，所以，選取B,

故選：B.

2.下列函數(shù)中，當(dāng)x很大時，y隨x的增大而增大速度最快的是（）

A.y=」—e*B.y=1001nxC.y=100xD.y=1002x

100

【答案】A

【分析】根據(jù)各函數(shù)的增長快慢逐個判斷即可.

【詳解】由題意，當(dāng)x很大時，指數(shù)函數(shù)增長速度大于一次函數(shù)的增長速度，一次函數(shù)的增長速度大于對數(shù)

函數(shù)的增長速度，又e>2,所以當(dāng)x很大時，>隨x的增大而增大速度最快的是y

故選：A

3.下面對函數(shù)"x）=bg「，g（尤）=口與〃⑴=在區(qū)間（0,+動上的衰減情況的敘述正確的是（）

A.〃尤）的衰減速度逐漸變慢，g（x）的衰減速度逐漸變快，〃（對的衰減速度逐漸變慢

B.〃尤）的衰減速度逐漸變快，g（x）的衰減速度逐漸變慢，〃（力的衰減速度逐漸變快

C.〃尤）的衰減速度逐漸變慢，g（x）的衰減速度逐漸變慢，〃（力的衰減速度逐漸變慢

D.〃尤）的衰減速度逐漸變快，g（x）的衰減速度逐漸變快，力（尤）的衰減速度逐漸變快

【答案】C

【分析】根據(jù)嘉指對函數(shù)的圖象以及性質(zhì)即可求解.

【詳解】由函數(shù)"x）=l°g；x,g（x）=gj與〃0）=工*在區(qū)間（°，+8）上的圖象以及性質(zhì)知函數(shù)”"，8（",

h（x）的衰減速度均逐漸變慢，

故選:C.

4.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)極大地提高了數(shù)據(jù)傳輸速率，最大數(shù)據(jù)傳輸速率C取決于信道帶寬W,

經(jīng)科學(xué)研究表明：C與W滿足C=Wlog2（l+T）,其中T為信噪比.若不改變帶寬W,而將信噪比T從9提

升到39,則C大約增加了（）.（附：lg2土0.3）

A.20%B.40%C.60%D.80%

【答案】C

【分析】將T=9與39代入，作差后得到Cz-G=2W,進(jìn)而求出C大約增加了60%

【詳解】當(dāng)7=9時，G=Wlog2（l+9）=Wlog210,

當(dāng)T=39時，C2=Wlog2（1+39）=W（2+log210）,

2W

則G-G=2W,所以C大約增加了后一-=21g2。0.6,

VVIvz/

即C大約增加了60%

故選：C

5.某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質(zhì)減少50%.若雜質(zhì)減少到原來的10%

以下，則至少需要過濾（）

A.2次B.3次C.4次D.5次

【答案】C

【分析】列不等式后求解

【詳解】由題意得（；）"＜七，〃為正整數(shù)，則“最小取4.

故選：C

6.在。型病毒疫情初始階段，可以用指數(shù)函數(shù)模型/（。=/描述累計感染病例數(shù)/⑺隨時間，（單位：天）

的變化規(guī)律.指數(shù)增長率「與&、T近似滿足&=1+4,其中國為病毒基本再生數(shù)，T為兩代間傳染所需

的平均時間，有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出5=3.22,7=10.據(jù)此，在a型病毒疫情初始階段，累計感染病

例數(shù)增加至/（。）的4倍，至少需要（）（參考數(shù)據(jù)：In2ao.69）

A.6天B.7天C.8天D.9天

【答案】B

【分析】代入已知數(shù)據(jù)求出廠，即可求出/?）的解析式，進(jìn)而可以求解.

【詳解】解：由4=1+",&=3.22,7=10可得10+1=3.22,

所以r=0.222,

則/?）=e"=e"如，

設(shè)題中所求病例增加至4倍所需天數(shù)為。天，

所以/（0）=e°=l,/（?!）=e022211=4,即0.222%=ln4=21n2,

所以「卷“書翳"6216,所以累計感染病例數(shù)增加至/（0）的4倍’至少需要7天；

故選：B.

二、多選題

3

7.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的要使存留的污垢不超過1%,則要洗的次數(shù)是（）

4

A.2B.3

C.4D.5

【答案】CD

【分析】由題意，設(shè)至少要洗x次，列指數(shù)不等式求解即可.

3111

【詳解】設(shè)至少要洗x次，貝版1-所以二，4*2100,因此至少洗4次，

41004100

故選：CD.

8.如圖某池塘中的浮萍蔓延后的面積y（n?）與時間f（月）的關(guān)系：y="（。＞0且。21）,以下敘述中正

確的是（）

A.這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2B.第5個月時，浮萍的面積就會超過35m2

C.浮萍從4m2蔓延到16m2需要經(jīng)過2個月D.浮萍每個月增加的面積都相等

【答案】AC

【解析】由圖像中的數(shù)據(jù)可求出函數(shù)關(guān)系式，然后逐個分析判斷即可

【詳解】解：將點(diǎn)（L2）代入＞=或中，得。=2,所以y=2「所以A正確,

當(dāng)/=5時，y=25=32＜35,所以B錯誤；

當(dāng)y=4時，t=2,當(dāng)y=16時，t=4,所以浮萍從4m2蔓延到16m2需要經(jīng)過2個月，所以C正確;

由指數(shù)函數(shù)y=2,的性質(zhì)可得浮萍每個月增加的面積不相等，所以D錯誤，

故選：AC

三、填空題

9.某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，一組同學(xué)得到下面的試驗(yàn)數(shù)據(jù):

1.99345.18

y0.991.582.012.353.00

現(xiàn)有如下4個模擬函數(shù)：

@y=0.58x-0.16；②y=2,-3.02；③y=Y_5.5x+8；@y=log2x.

請從中選擇一個模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選.

【答案】④

【分析】作出散點(diǎn)圖，結(jié)合散點(diǎn)圖可選擇合適的函數(shù)模型.

【詳解】畫出散點(diǎn)圖，由圖分析增長速度的變化，可知符合對數(shù)函數(shù)y=log?x,

y

4

3

2

1

0123456789%

故答案為：④.

10.2021年3月20日，國家文物局公布，四川三星堆考古發(fā)掘取得重大進(jìn)展，考古人員在三星堆遺址內(nèi)新

發(fā)現(xiàn)6座祭祀坑，經(jīng)碳14測年法測定，這6座祭祀坑為商代晚期遺址，碳14測年法是根據(jù)碳14的衰變程

度測度樣本年代的一種測量方法，已知樣本中碳14的原子數(shù)N隨時間f（單位：年）的變化規(guī)律是

N=N.聶,則該樣本中碳14的原子數(shù)由乂個減少到七個時所經(jīng)歷的時間（單位：年）為.

【答案】H460

【分析】代入函數(shù)值，求出自變量.

【詳解】當(dāng)/=0時，N=N。,若N=?,貝必-蠢一戶，所以一高=-2,『=11460.

4乙一乙5730

故答案為：11460

四、解答題

3

11.用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的設(shè)漂洗前衣服上的污垢量為1,寫出衣服上存留的污垢量y與漂

洗次數(shù)X之間的函數(shù)關(guān)系式.若要使存留的污垢不超過原有的1%,至少要漂洗幾次?

【答案］'=(xeN*)；4次

【分析】由題意列出指數(shù)函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=(xeN*),從而得出不等式＜1%,解不等式即可求解.

【詳解】由條件可知，每次存留的污垢是上一次存留污垢的I，

故存留污垢y與漂洗次數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=(xeN*),

若了41%,則<1%,

x>4,

故至少要漂洗4次.

12.候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模的遷徙，研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn)，該種鳥類的飛行速度v(單

位：〃心)與其耗氧量。之間的關(guān)系為片葉以冤3K(其中。，6是實(shí)數(shù)).據(jù)統(tǒng)計，該種鳥類在靜止時其耗氧

量為30個單位，而其耗氧量為90個單位時，其飛行速度為1燧.

⑴求出a,b的值；

(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2〃/，則其耗氧量至少要多少個單位？

【答案】(1)a=-l,b=l(2)270個單位.

【分析】⑴將1，=0,。=30和v=1,。=90這兩組值代入尸a+bi°g3差,即可求得答案；

(2)由v22，解不等式即可求得Q的最小值.

【詳解】解:⑴由題意可知，當(dāng)這種鳥類靜止時，它的速度為0m/s,此時耗氧量為30個單位,故有a+b\og3^

=0,

90

即〃+b=0；當(dāng)耗氧量為90個單位時，速度為lm/s,故有〃+01og3記=1,

整理得〃+2。=1.

a+b=0

解方程組

a+2b=1

(2)由(1)知，V=—1+log3t?所以要使飛行速度不低于2m/s,

則有佗2,即一l+log3左2,即Iog3導(dǎo)3,解得貶270,

所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要270個單位.

【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解對數(shù)不等式，本題屬于基礎(chǔ)題.

13.若物體的初始溫度為環(huán)境溫度為第C(a>4),則經(jīng)過rmin后物體的溫度。⑺℃滿足

附)-4=(，-(左為常數(shù)).若經(jīng)過〃min后物體的溫度滿足伏/0-4=；(4-4),則稱/?為半

衰期，經(jīng)測定/z=12.

(1)求上的值；

(2)中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，等

茶水降至60℃時飲用，可以達(dá)到最佳飲用口感，那么在20℃的環(huán)境溫度下，用85℃的水泡制該綠茶，大約

需要放置多長時間茶水才能達(dá)到最佳飲用口感？(附：坨220.3,lgl3?l.l)

【答案】(1)左上

(2)8min

【分析】(1)根據(jù)半衰期建立方程組，可求解左的值；

(2)明確題目中各個參數(shù)的含義，代入。⑺-4=幽-a""可求答案.

(1)

。(12)-4"為產(chǎn)

由題意，知N.八1,八、，所以:=eT2",解得左=詈.

.6(12)-4'(a-4)212

(2)

設(shè)剛泡好的茶水大約需要放置flmin才能達(dá)到最佳飲用口感，

由題意，可知優(yōu)二85,。0=20,0(a)=60,所以60_20=(85.20)屋五"，解得。二一,8］)一

-igz

所以剛泡好的茶水大約需要放置8min才能達(dá)到最佳飲用口感.

14.根據(jù)專家對高一學(xué)生上課注意力進(jìn)行的研究，發(fā)現(xiàn)注意力集中程度的指數(shù)P與聽課時間f之間的關(guān)系滿

足如圖所示的曲線.當(dāng)r?0/2］時，曲線是二次函數(shù)圖像的一部分，其中頂點(diǎn)410,80),且過點(diǎn)3(12,78)；

當(dāng)兵(12,40］時，曲線是函數(shù)p=log〃Q-7)+79(0<a<l)圖像的一部分.專家認(rèn)為，當(dāng)指數(shù)〃大于或等于77

時定義為聽課效果最佳.

(1)試求p=y⑺的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若不是聽課效果最佳，建議老師多提問，增加學(xué)生活動環(huán)節(jié)，問在什么時間段老師多提問，增加學(xué)生活

動環(huán)節(jié)？

r1,

——(r-10)-+80,re(0,121

［答案］(l)P=f⑺=2

log,(/-7)+79,Ze(12,40］

、5

⑵當(dāng)te(0,10-指)和(32,40)這兩個時間段老師多提問，增加活動環(huán)節(jié)

【分析】(1)先利用待定系數(shù)法求出二?0,12］時的解析式，再將點(diǎn)4280)的坐標(biāo)代入

P=bg。0-7)+79(0＜。＜1)中求出fe(12,40]時的解析式，從而可得p=/⑺的函數(shù)關(guān)系式，

(2)由題意可得分別在re(O,12],fe(12,40]使其對應(yīng)的關(guān)系式。大于或等于77,求出聽課效果最佳的時

間段，然后從(0,40]去掉這個時間段即可

(1)

re(0,12],p="/)=〃"-10)2+80,將(12,78)代入得〃?=_；

所以“2e(0,12]時，p=/(f)=—](/■—10)+80

re[12,40]將(12,78)代入。/⑺=10gti7)+79得a=2

所以f412,40]時,P="/)=log[G-7)+79

r1,

-一(Z-10?+8O,/e(O,121

所以P=/(f)=(2

logj(r-7)+79,Ze(12,40]

、5

(2)

tG(0,12],———10)+80N77得10—4L2

當(dāng)/412,40],1叫（"7）+79277得i2</W32

所以當(dāng)fe（0,10-網(wǎng)和（32,40）這兩個時間段老師多提問,增加活動環(huán)節(jié).

培優(yōu)第二階一一拓展培優(yōu)練

一、單選題

1.火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪音，假設(shè)所有聲音的聲強(qiáng)級d（無）（單位：dB）與聲強(qiáng)x（單位：w/m2）

滿足d（x）=101g贏，若火箭發(fā)射時的聲強(qiáng)級約為140dB,人交談時的聲強(qiáng)級約為50dB,則火箭發(fā)射時的

聲強(qiáng)與人交談時的聲強(qiáng)的比值約為（）

A.109B.IO10C.1011D.1012

【答案】A

【分析】由已知計算可得丫_10**,計算出火箭發(fā)射時的聲強(qiáng)與人交談時的聲強(qiáng)，相除可得結(jié)果.

A-LV

【詳解】d（x）=101g能，得.I。零^2.

因?yàn)榛鸺l(fā)射時的聲強(qiáng)級約為140dB,人交談時的聲強(qiáng)級約為50dB,

14050

所以火箭發(fā)射時的聲強(qiáng)約為10元=102（w/m2），人交談時的聲強(qiáng)約為10記=101w/m2），

所以火箭發(fā)射時的聲強(qiáng)與人交談時的聲強(qiáng)的比值約為備=10，

故選：A.

2.當(dāng)生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.

當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14的含量不足死亡前的萬分之一時，用一般的放射性探測器就測不到碳14了.若用一

般的放射性探測器不能測到碳14,那么死亡生物體內(nèi)的碳14至少經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)是（參考數(shù)據(jù)：

213=8192）（）

A.15B.14C.13D.12

【答案】B

【分析】設(shè)死亡生物體內(nèi)原有的碳14含量為無，由題意列得”（〃eN*）個半衰期后不能被測到碳14的不等

關(guān)系式片/<布焉無，求解即可得到答案.

【詳解】設(shè)死亡生物體內(nèi)原有的碳14含量為x,經(jīng)過“（aeN*）個半衰期后不能被測到碳14,

11

由題意得:X—<--------X

2〃10000

即L_1

2"10000

所以2">10000,

又213=8192<10000,214=16384>10000,

所以“N14,即至少經(jīng)過的“半衰期”個數(shù)是14.

故選：B

3.每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越千山萬水來到美麗的昆明過冬，科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以

表示為函數(shù)V=；log3志-lgx°（單位：km/min）,其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，常數(shù)與表示測

量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.若雄鳥的飛行速度為L3km/min,雌鳥的飛行速度為0.8km/min,則此時

雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的（）

A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍

【答案】B

【分析】根據(jù)題意列式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算求解即可.

1.3=一log,—-lgx

30

【詳解】設(shè)雄鳥每分鐘的耗氧量為毛，雌鳥每分鐘的耗氧量為々，由題意可得:2100，兩

0.8=一log---lgx

[231000

式相減可得;=；1。5生,所以1。8五=1,即生=3,故此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的3倍.

22%x2x2

故選：B.

4.第19屆亞洲運(yùn)動會將于2022年9月10日至2022年9月25日在浙江省杭州市舉行，換上智慧腦、聰

明肺的黃龍體育中心將承辦足球、體操、水球等項目.為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的

污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水污染物數(shù)量詈]與時間r的關(guān)系為雙='。片”（No為最初污

染物數(shù)量）.如果前4小時消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要（）

A.3.6小時B.3.8小時C.4小時D.4.2小時

【答案】C

ln0.8

【分析】根據(jù)題意先求出％,再得出o.64N°=N°e丁"即可求出.

【詳解】因?yàn)榍?小時消除了20%的污染物，所以0.8N°=N°e』，解得左=—電”，

4

設(shè)經(jīng)過/小時污染物消除至最初的64%,則0.64N。=N°e二"，

即電"f=ln0.64,解得/=8,

4

所以污染物消除至最初的64%還需要8-4=4小時.

故選：C.

5.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量尸（單位：mg/L）與時間/（單位：h）

間的關(guān)系為尸=品片"，其中綜，k是正的常數(shù).如果在前10h污染物減少19%,那么再過5h后污染物還剩

余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

【答案】D

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型及已知可得e'=0.9,再計算5h后污染物剩余量.

【詳解】由題設(shè)，（1一19%）尼=與e-叫可得ef=0.9,

再過5個小時，尸=（1-19%）*.=（0.81x0.9）《=0.7291,

所以最后還剩余72.9%.

故選：D

6.牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為心，則經(jīng)過一定時間/分鐘后

的溫度T滿足T一北一（），川稱為半衰期，其中刀是環(huán)境溫度.若［=25。。，現(xiàn)有一杯80℃的熱

水降至75℃大約用時1分鐘，那么水溫從75℃降至45℃,大約還需要（參考數(shù)據(jù)：1g2ao.30,Igl1^1.04）

（）

A.9分鐘B.10分鐘

C.11分鐘D.12分鐘

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件代入公式計算可得再把該值代入，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式即可

求解.

【詳解】解：由題意，1=25。。，由一杯80℃的熱水降至75℃大約用時1分鐘，可得75-25=弓了（80-25），

所以仕y萼」，

UJ5511

tt

又水溫從75℃降至45℃,所以45-25=］；）（75-25），B|jQJ=|2=|,

所以水溫從75℃降至45℃,大約還需要10分鐘.

故選：B.

二、多選題

7.某食品的保鮮時間，（單位：小時）與儲存溫度x（單位：°C）滿足函數(shù)關(guān)系>=*+&（e=2.718…，k、

b為常數(shù)）.若該食品在0°C的保鮮時間是120小時，在20℃的保鮮時間是30小時，則關(guān)于該食品保鮮的

描述正確的結(jié)論是（）

A.k<Q

B.儲存溫度越高保鮮時間越長

C.在10°C的保鮮時間是60小時

D.在30°C的保鮮時間是20小時

【答案】AC

【分析】本題首先可根據(jù)題意得出y=e-"是減函數(shù)，則A正確，B錯誤，然后根據(jù)120=eJ30=?2"+"得

出3伙=：,最后通過求出廿”一歷=60（°C）、eso或nisrc）即可得出C正確、D錯誤.

【詳解】因?yàn)樵?°C的保鮮時間是12。小時，在20℃的保鮮時間是30小時，

所以易知>=*+"是減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知％<0,A正確，

則儲存溫度越高保鮮時間越短，B錯誤；

120=eJ3Q=e20k+b=e20k?eb,

則e2°%=l,e1M

42

故才；？12060（°C）,C正確，

3

e30k+b=e3M?eb>?12015(°C),D錯誤,

故選：AC.

8.某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求該溶液的雜質(zhì)含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%,

現(xiàn)進(jìn)行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少g,若使這種溶液的雜質(zhì)含量達(dá)到市場要求，則過濾次數(shù)可以為

(參考數(shù)據(jù)：1g2?0.301,lg3?0.477)()

A.7B.8C.9D.10

【答案】BCD

【分析】由2x[2]＜」一解不等式可得答案.

100⑶1000

【詳解】設(shè)經(jīng)過"次過濾，這種溶液的雜質(zhì)含量達(dá)到市場要求，則二＜—

100⑶1000

噌]$，兩邊取對數(shù)，得理夫-坨20，即〃(lg2-lg3)W—(l+lg2),

l+lg2

得“N?7.4,

lg3Tg2

故選：BCD.

三、填空題

9.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是心，經(jīng)過一定時間單位:

min)后的溫度是T,則其中4稱為環(huán)境溫度，場為常數(shù)，現(xiàn)有一杯用85℃熱水沖的

速溶咖啡，放在2FC的房間中，如果咖啡降到37°。需要16min,那么這杯咖啡要從37℃降到25℃,還需要

______min.

【答案】16

【分析】根據(jù)所給函數(shù)模型，由h=21℃.令n=85℃,T=37℃,求得力，然后令To=37℃,T=25℃,

求得J

16

【詳解】由題意知h=21℃,令To=85℃,T=37℃,得37-21=(85-21)(口'，

.*./?=8.

令To=37°C,T=25℃,則25-21=(37-21)2

；"=16.

故答案為：16.

10.牛奶中細(xì)菌的標(biāo)準(zhǔn)新國標(biāo)將最低門檻（允許的最大值）調(diào)整為200萬個/毫升，牛奶中的細(xì)菌常溫狀態(tài)

下大約20分鐘就會繁殖一代，現(xiàn)將一袋細(xì)菌含量為3000個/毫升的牛奶常溫放置于空氣中，經(jīng)過

分鐘就不宜再飲用.（參考數(shù)據(jù)：1g2。0.301,1g3“0.477）

【答案】188

【分析】根據(jù)題意列出不等式計算即可.

【詳解】設(shè)經(jīng)過x個周期后細(xì)菌含量超標(biāo)，

即3000x2工>2000000,即2*>,

▼,,20001g2000-1g3lg2+3-lg3C“

所以x>log2—^二°1。?。29.4,

3lg2lg2

而20x9.4=188,因此經(jīng)過188分鐘就不宜再飲用.

故答案為：188.

四、解答題

11.科學(xué)家通過古生物遺體中某種放射性元素的存量來估算古生物生活的年代.己知某放射性元素的半衰

期約為4200年（即每經(jīng)過4200年，該元素的存量為原來的一半），已知某古生物遺體中該元素的初始存量

為a.

⑴寫出該元素的存量y與時間x（年）的關(guān)系式；

（2）經(jīng)檢測，該古生物遺體中該元素現(xiàn)在的存量為告，請推算該古生物生活在距今大約多少年前.（參考數(shù)

據(jù)：lg2?0.3）

【答案】⑴y=疝，x>0

（2）5600年前.

【分析】（1）根據(jù)半衰期的定義，寫出該元素的存量y與時間x（年）的關(guān)系式;

（2）在第一問的基礎(chǔ)上，解方程，代入1g2。0.3,求出答案.

(1)

由半衰期的定義可知，每年古生物中該元素的存量是上一年該元素存量的

所以該元素的存量y與時間X（年）的關(guān)系式為y=

(42002420024

=—a，

因此，該古生物生活在距今大約5600年前.

12.研究發(fā)現(xiàn)，放射性元素在一定時間內(nèi)會通過核衰變過程轉(zhuǎn)換成其他元素，放射性水平隨著時間的推移

而呈指數(shù)級下降，已知放射性元素在f時刻的放射性水平N⑺滿足關(guān)系式N（f）=Noe.k,其中是初始水

平，%為常數(shù).

（1）若放射性元素X在7=10時的放射性水平是f=5時的3，求左的值；

（2）設(shè)2（。=等表示放射性元素的放射速率，當(dāng)放射速率低于IO-時，該元素的放射性水平趨于“絕零”，

求使得（1）中放射性元素X的放射性水平趨于“絕零”的最小整數(shù)f.（參考數(shù)據(jù)：2.321<log25<2.322）

【答案】（1）%=*

（2）,=150.

【分析】（1）由題可列出方程，利用指數(shù)式對數(shù)式互化即得；

（2）由題可得片吟〈ICT，進(jìn)而可得泮乎=45（1+log?5）,即得.

（1）

由題可知，陽10）=乂J"，N（5）=Nf.

1p-10*1

因?yàn)镹（10）=；；N（5）,所以』=e3==,

2e2

所以-5左=ln!即左=H.

25

⑵

由（1）可知，力（。=笆。=「噢，

N。

由eM'vlOq,得一（f<lnlO9=-91nlO,

即/>L=45（1+log,5）.

因?yàn)?.321<log?5<2.322,

所以149.445<45（l+log25）<149.49,

所以所求的最小整數(shù)”150.

13.每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越數(shù)千公里來到美麗的昆明過冬，科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可

1x

以表示為函數(shù)V=]log3而-1g%,單位是km/min,其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，常數(shù)觀表示

測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.（結(jié)果保留到整數(shù)位.參考數(shù)據(jù)：坨5乜）.70,3L%4.66）

（1）若無o=5,候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位.

（2）若雄鳥的飛行速度為1.3km/min,雌鳥的飛行速度為0.8km/min,那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥

每分鐘耗氧量的多少倍.

【答案】（1）466個單位

（2）3倍

【分析】（1）將％=5,v=0代入函數(shù)解析式，求出尤的值即可答案；（2）設(shè)出雄鳥每分鐘的耗氧量和雌鳥

每分鐘耗氧量，得到方程組，兩式相減后得到土=3,得到答案.

x2

（1）

IY1X

將無o=5,v=0代入函數(shù)丫=3。3訴-1g%，得：5丘3同75=°，

因?yàn)檑?。0.70,所以logs志=2炮5句.40,所以意=33°。4.66,所以x=466.

答：候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量約為466個單位.

（2）

設(shè)雄鳥每分鐘的耗氧量為耳，雌鳥每分鐘耗氧量為巧，由題意可得：

13=5幅志-3。

<

0.8=—log3義--lgx0

[231000

兩式相減可得"=如?所以1。吐=1,即13,

答：此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的3倍.

14.低碳環(huán)保，新能源汽車逐漸走進(jìn)千家萬戶.新能源汽車采用非常規(guī)的車用燃料作為動力來源，目前比較

常見的主要有兩種：混合動力汽車、純電動汽車.為了提高生產(chǎn)質(zhì)量，有關(guān)部門在國道上對某型號純電動汽

車進(jìn)行測試，國道限速80km/h.經(jīng)數(shù)次測試，得到純電動汽車每小時耗電量。（單位：wh）與速度無（單位:

km/h）的數(shù)據(jù)如下表所示:

X0104060

Q0132544007200

為了描述該純電動汽車國道上行駛時每小時耗電量。與速度》的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：

①。i（x）=￡三+法2+CX；②0式彳）=1000-1g[+a；③Q3（x）=3001og?x+b.

（1）當(dāng)0VxW80時，請選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)

式；

（2）現(xiàn)有一輛同型號純電動汽車從A地行駛到B地，其中，國道上行駛30km,高速上行駛200km.假設(shè)該電

動汽車在國道和高速上均做勻速運(yùn)動，國道上每小時的耗電量。與速度x的關(guān)系滿足（1）中的函數(shù)表達(dá)式;

高速路上車速v（單位：km/h）滿足ve[80,120],且每小時耗電量N（單位：wh）與速度v（單位：km/h）

的關(guān)系滿足N（v）=2v2-10v+200（80<v<120）.則當(dāng)國道和高速上的車速分別為多少時，該車輛的總耗電量

最少，最少總耗電量為多少？

【答案】（1）選①，理由見解析；e?=^x3-2x2+150x

（2）高速上的行駛速度為80km/h,在國道上的行駛速度為40km/h；33800wh

【分析】（1）判斷③、②不符合題意，故選①，再利用待定系數(shù)法求解即可.

（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及對勾函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

（1）

解:對于③。3（工）=3001og“x+b,當(dāng)x=0時，它無意義，故不符合題意，

對于②，。23=1000-令+0,2⑼=1000-0+a=0,解得。=-999,

則。心）=1-e,,當(dāng)x=10時，02（10）=1-1:，又。

所以=故不符合題意，

故選①。i（x）=上了3+bx2+cx,

1

xlO3+/?xlO2+cxlO=1325

40

由表中數(shù)據(jù)，可得＜1

X403+Z?X402+CX40=4400

40

1a、

Q(x)=——x3-2x2+150x.

40

200,

-----h

(2)解：高速上行駛200km,所用時間為v,

貝U所耗電量為/(v)=—-N(v)=—?(2V2-10V+200)=400(V+—)-2000,

VVV

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，/(V)在［80,120］上單調(diào)遞增，

/(v)=/(80)=400x(80+—)-2000=30500wh,

min80

國道上行駛30km,所用時間為型h,

V

3030I3

則所耗電量為g(n)=—?e(v)=—?(—V3-2V2+150V)=-V2-60V+4500,

VV404

0<v<80,...當(dāng)u=40時，gOLn=g(40)=3300wh,

???當(dāng)這輛車在高速上的行駛速度為80km/h,在國道上的行駛速度為40km/h時,

該車從A地行駛到3地的總耗電量最少，最少為30500+3300=33800wh.

培優(yōu)第三階——高考沙場點(diǎn)兵

一、單選題

1.（2020.海南.高考真題）基本再生數(shù)&與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個

感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指

數(shù)模型：/?）=e”描述累計感染病例數(shù)/⑺隨時間f（單位:天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R。，T近似滿足

Ro=l+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出Ro=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加

1倍需要的時間約為(1地巾.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天