第13講函數(shù)的圖象

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激活思維

1.將函數(shù)加）的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與函數(shù)-的圖象關于y軸對

稱，則作）的解析式為（D）

A.y（x）=ex+1B.y（^）=eY1

C.y（x）=er+i—e-x-1

【解析】與^=^的圖象關于y軸對稱的圖象對應的函數(shù)為y=er.由題意知"）的圖象

向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)=er的圖象，所以y（x）的圖象是由y=ef的圖象向左平移1

個單位長度得到的，所以負x）=e-，L

2.（人A必一P159復習參考題Tl（3））如圖，①②③④中不屬于函數(shù)y=logx,y=logx,

11

y=logu的一個是（C）23

（第2題）

A.①B.②

C.③D.@

【解析】①②③④分別對應函數(shù)y=logx,y=logx,y=log3X,y=log2X.

11

23

3.（人A必一P160復習參考題T7改）已知指數(shù)函數(shù)/=D的圖象如圖所示，則二次函

數(shù)y=ax2+6x圖象頂點的橫坐標的取值范圍是

所以一；＜一得＜。，所以二次函

【解析】由指數(shù)函數(shù)了=0￡

a

數(shù)尸加十/圖象頂點的橫坐標的取值范圍是R°

4.已知圖(1)中的圖象對應的函數(shù)為y=/(x),則圖(2)中的圖象對應的函數(shù)在下列給出的

四式中只可能是(C)

(第4題)

A.尸加|)

C.y=A-M)D.尸一加|)

聚焦知識

1.作函數(shù)圖象的兩種方法：

(1)描點法：①一列表」②一描點」

③—連點成線

運用描點法作圖前，必須對圖象的特征(包括圖象的存在范圍、大致形狀、變化趨勢等)

做到心中有數(shù)，這樣可減少列表的盲目性和連點成線的隨意性，從而確保表列在關鍵處，線

連在恰當處.

(2)圖象變換法：包括包變換、X變換、變換等.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)平移變換

(2)對稱變換

y=/(x)的圖象包上地區(qū)y=一三)的圖象;

y=/(x)的圖象與上幽塵"=十一x)的圖象;

y=/(x)的圖象里)應%y=-W—X)的圖象;

x

y=a(a>Q且aWl)的圖象logflx(a>0且aWl)的圖象.

(3)伸縮變換

y=/(x)的圖象一旦邈我會、建"fy=/(ax)的圖象；

變?yōu)樵瓉淼?a>0)

v=/a)的圖象*y=4/(x)的圖象.

變?yōu)樵瓉淼?(4>0)倍

(4)翻折變換

三陽工史即空逝到出火

y=/(x)的圖象一—菊送五奇荏---尸網(wǎng)x)|_的圖象:

y軸右側(cè)部分翻折到y(tǒng)軸左側(cè)

y=/(x)的圖象，=的圖象?

原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變

注意：圖象的左右平移僅僅是相對于X而言，如果X的系數(shù)不是1,常需把系數(shù)提出來,

再進行變換.圖象的上下平移僅僅是相對于y而言的，利用“上加下減”進行.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目幀II作函數(shù)的圖象

例1分別作出下列函數(shù)的圖象.

(l)y=|lg(x-l)|；

【解答】(1)首先作出y=lgx的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)=lg(x

—1)的圖象，再把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數(shù)y=|lg(x—1)|

的圖象，如圖(1)所示(實線部分).

(例1(1)答)

(例1(2)答)

(2)y=2"i—1；

【解答】將了=2工的圖象向左平移1個單位長度，得到了=2饃的圖象，再將所得圖象

向下平移1個單位長度，得到y(tǒng)=2"i—1的圖象，如圖(2)所示.

(3)j=x2—|x|—2；

丫2—丫—2丫0

【解答】y=N—忻―2=?，_'1'其圖象如圖(3)所示.

XIx2,x0,

(例1(3)答)

2x—11i

【解答】因為>=￡^=2+-1所以該函數(shù)的圖象可由>=上的圖象向右平移1個

X—1X-1x

單位長度，再向上平移2個單位長度得到，如圖(4)所示.

〈總結提煉〉

作函數(shù)圖象的一般方法：(1)直接法.(2)圖象變換法：若所求函數(shù)圖象可由某個基本

初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對稱得到，則可利用基本初等函數(shù)的圖象變換作出

所求函數(shù)圖象，并應注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

變式1作出函數(shù)y=|x—2|(x+l)的圖象.

9

【解答】當工三2,即x—220時，y=(x—2)(x+l)=x2—x—2=12J—當x<2,

9

即％—2<0時，y=—(x—2)(x+1)=—x2+x+2=—I2J+1.所以；v=

L2J—,

4

n2其圖象如圖所示.

2)~\"—,x<2,

h4

(變式1答)

目幀回函數(shù)圖象的識別

_四三

例2(1)(2022?全國甲卷)函數(shù)》=(3]—3-%)cosx在區(qū)間12,2」上的圖象大致為

AB

【解析】設段)=(3*—3F)C0SX,則大-x)=(3r—3"cos(―x)=一/)，所以大X)為奇函

數(shù),排除B,D.令x=l,則/U)=(3—3」)cos1>0,排除C,故選A.

(2)(2023?天津卷)若函數(shù)於)的圖象如圖所示，則於)的解析式可能為(D)

(例2(2))

50—eN

A./x)=

x2+2

5sinx

B.?=

x2+l

5?+■工)

C./)=

x2+2

5cosx

D.?=

x2+1

【解析】由圖知，函數(shù)圖象關于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且八—2)=人2)<0.由?

(―x)2+1

=—干且定義域為R,得B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當x>0時，5(—)>0,號士￡3

x2+l爐+2爐+2

>0,即A,C中函數(shù)在(0,+8)上的函數(shù)值為正，排除.經(jīng)檢驗D符合.

，總結提煉A

函數(shù)圖象的識別可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復.

(5)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.

目幀幻函數(shù)圖象的應用

視角1利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)

例3-1(1)若VxdR,兀v+l)=/(l—X),當時，/(x)=x2—4x,則下列說法正確的

是(C)

A.7(x)為奇函數(shù)

B.7(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增

C.y(X)min=-4

D.〃)在(一8,1)上單調(diào)遞減

【解析】由八x+l)=/(l—X),得兀0=人2—X),則人X)的圖象關于X=1對稱.當X<1

工2—4xX1

時，2—x>l,所以於)=/(2—x)=(2—X)2—4(2—X)=N—4,所以兀r)=,作

x2—4,x<l,

出人%)的圖象如圖所示.由圖象可知，人x)不關于坐標原點對稱，所以八%)不是奇函數(shù)，A錯

誤；人X)在(1,2)上單調(diào)遞減，B錯誤；處0min=/(0)=X2)=—4,C正確；正)在(0,1)上單調(diào)

遞增，D錯誤.

(例3-1(1)答)

⑵(2024?重慶聯(lián)考)(多選)已知函數(shù){x)={-x),且加)的對稱中心為(1,0),當xd[2,

3]時，加)=3—x,則下列說法正確的是(AC)

A.y(x)的最小值是一1

8..危)在(一3,—2)上單調(diào)遞減

C./)的圖象關于直線x=-2對稱

D.y(x)在(3,4)上的函數(shù)值大于0

【解析】由火x)=/{—X)可得/(X)為偶函數(shù)，由對稱中心為(1,0),可知外)的圖象關于

點(1,0)對稱，結合xG[2,3]時，人x)=3—x,可畫出外)的部分圖象如圖所示.由圖象可知,

的最小值是一1,外)在(一3,—2)上單調(diào)遞增，的圖象關于直線x=—2對稱，人x)在(3,

4)上的函數(shù)值小于0,故A,C正確，B,D錯誤.

視角2解方程(或不等式)

卜+3,xWO,一

例3-2(1)已知函數(shù)<x)=，廠若人。-3)=人。+2),則人。)=(B)

yjx,x>0,

A.2B,也

C.1D.0

【解析】作出函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，因為人口-3)=/(q+2),且。-3<。+2,所以

a—3W0,

即一2VaW3,此時/(Q—3)=4—3+3=a,/(.+2)=AJQ+2,所以a=y/a+2,

a+2>0,

即a2=a~\~2,解得Q=2或。=—1(不滿足舍去)，則/(4)=/.

（例3-2⑴答）

(2)(2024—北京期末)已知函數(shù)4)=1082(》+1),若｛則x的取值范圍是(0,1).

【解析】作出函數(shù)y=log2(x+l)和函數(shù)>=慟的圖象如圖所示，兩個函數(shù)的圖象相交于

點(0,0)和(1,1),當且僅當xd(0,1)時，y=log2(x+l)的圖象在夕=忖的圖象的上方，即不

等式/)>|x|的解集為(0,1).

（例3-2（2）答）

視角3求參數(shù)的范圍

例3-3已知函數(shù)4x)=?若對任意的都有於)2。(%+2)恒成立，則

2x，X>1,

實數(shù)Q的取值范圍為(A)

B.[0,1]

D.[1,e]

亂xWl,

【解析】畫出函數(shù)的圖象如圖所示，因為對任意的x￡R都有

2x,x>l

/(x)2a(x+2)恒成立，即y=/(x)的圖象恒在歹=〃(%+2)的上方(或重合).又^=〃(%+2)表示過

定點(一2,0)的直線,設函數(shù)>=守(工忘1)在(配，exoXxoWl)處的切線恰好過點(一2,0),由了

=ex,則j/|x=xo=exo,所以切線方程為y—exo=exo(x一配)，則0—exo=exo(—2—祀)，解得

xo=-1,此時切線方程為y=e，x+2e-i,切線的斜率為e」.所以當xWl時，?r)三e」(x+2).

當%>1時,2x-e-1(x+2)=(2-e-1)x-2e-1>2-3e-1>0,由圖可知OWoWeL即實數(shù)a的取

「0」

值范圍為1，ej.

新視角I類周期函數(shù)

例4(2024?新鄉(xiāng)三模)設函數(shù)兀0的定義域為R,滿足2)="x),且當xd(0,2］

時，/(x)=x(2—x).若對任意的xG［a,+8),都有成立，則a的取值范圍是(A)

8

+-1

2J

C.I'2JD.I'2_

【解析】因為當xe(0,2］時，/x)=x(2-x)；＞-2)=2/(x),所以人x)=/x—2).即若

;(x)在(0,2］上的點的橫坐標增加2,則對應y值變?yōu)樵瓉淼?；若減少2,則對應y值變?yōu)樵?/p>

來的2倍.當工￡(0,2］時，｛工)=%(2—%)=—(%—1)2+1,/(X)max=/(1)=1,故當。＜0時，

「0-

對任意的XG⑷+8)&6不成立.當后2,4］時必尸加-2)=f—3)2+H'2」,

同理當x￡(4,6］時，外)=一：(x—5)2+：^］'4」，以此類推，當x＞4時，必有於作

出函數(shù)小)的部分圖象和直線＞=3如圖所示.因為當x￡(2,4］時,危)=—l(x—3)2+lw［°'2］

822

令一l(x—3)2+；=j,解得X1=(,X2='(舍去).因為當xW［a,+8)時，y(x)C恒成立，所以

228228

(例4答)

變式4(2024?深圳期末)已知定義在R上的函數(shù)＞=/)，滿足於)=孫+2),當xd(0,

2］時，｛x)=4x(2—x).若方程｛x)=a在區(qū)間b'+s］內(nèi)有實數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍為

【解析】當xG(2,4］時，x-2e(0,2］,所以加-2)=4。-2)(4—x)=Mc),即火x)

=2(x—2)(4—x).當xd(4,6］時，x—26(2,4］,所以4c—2)=2(x—4)(6—x)=M0,即")

回313

=(x-4)(6-x),則人2」=：*：=：.當xd(6,8］時，x—26(4,6］,所以"-2)=&-6)(8

Fo,

—x)="x),即/(x)=#x-6)(8-x).畫出y(x)的部分圖象如圖所示，由圖象可知，當'J

時，方程在區(qū)間b'+8］內(nèi)有實數(shù)解，所以實數(shù)。的取值范圍為“’力.

隨堂內(nèi)化

—N+2X,XWO,

2.已知函數(shù)人x）=,若心）|三"，則。的取值范圍是（D）

In(x+1),x>0,

A.(—8,0]B.(—8,1]

C.[-2,1]D.[-2,0]

3.（多選）已知函數(shù)〉=空二1，那么下列有關該函數(shù)圖象的說法中正確的是（BC）

X—2

A.一定存在兩點，這兩點的連線平行于％軸

B.任意兩點的連線都不平行于y軸

C.關于直線＞=%對稱

D.關于原點中心對稱

【解析】由題知尸二=*^=2+工，作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可

知BC正確.

（第3題答）

2%+Q,XWO,

4.(2025?珠海期初考)已知函數(shù)人x)="og](x+l)+a,x>0(Q￡R)在R上沒有零點，

、2

則實數(shù)。的取值范圍是(A)

A.(-8,-l)U{0}B.(-8,-1)

C.(-1,+8)D.(0,+8)

2X,xWO,

【解析】設g(x)=1og](x+l),x>0,作出g(x)的圖象如圖所示，問題轉(zhuǎn)化為g(x)

-2

的圖象與直線y=―。沒有交點，所以一a=0或一a>l,解得a=0或a<-1.

(第4題答)

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I

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一、單項選擇題

1.將函數(shù)於)=ln(l—x)的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度后的

大致圖象為(C)

AB

【解析】將函數(shù)/(x)=ln(l—x)的圖象向右平移1個單位長度，得到函數(shù)y=ln[l—(x

—l)]=ln(2—x)的圖象，再向上平移2個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)為y=ln(2—x)+2.

根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知y=ln(2—x)+2在(-8,2)上為減函數(shù)，且y=ln(2—》)+2的

圖象過點(1,2),故C正確.

fl+11

2.(2025?宿遷期中)函數(shù)y=sin2;HnI的圖象大致是(D)

【解析】y=sin2rJnlEJ的定義域為兇不力。},關于原點對稱，令段)=sin2xTn

「+為F1+-U

Ix2J,則義一x)=sin(—2x)Tn[(—%)“=—sin2xTnIEJ=—/(x),因此y=sin2x?ln

[1+%2]為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排除AB；當xwP'J時，2x^(0,7i),則sin2x

>0,1+4>1.則ln]+以>0,于是y=sin2x-ln[1+j>0,排除C,故選D.

X2

3.(2024?臨汾二模)已知函數(shù)")=幺=，則下列結論正確的是(C)

,一

A.函數(shù)人x)在(1,+8)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)人x)的圖象關于直線x=l對稱

C.Vm>2,方程外)=僅都有兩個不等的實根

D.不等式兀r)>—x+1恒成立

【解析】因為人2)=6,八3)=4,犬2)>{3),所以A不正確；若函數(shù)兀0的圖象關于直

線x=l對稱，則人0)=人2),而負0)=2,負2)=6,所以函數(shù)外)的圖象不關于直線x=l對稱，

2丫+24

所以B不正確；當%>1時，4)=-------=2+——,此時的值域為(2,+8)；當

X—1x~l

時，/(%)=2三x+斗2=一2+4±,此時於)的值域為(一2,+8),作出簡圖如圖所示，所以V冽

1—x1—%

>2,方程人外=加都有兩個不等的實根，所以C正確；八一1)=0,顯然八一l)V—(—1)+1

=2,所以D不正確.

y=-2?

x=l

(第3題答)

4.(2019?全國甲卷)設函數(shù)於)的定義域為R,滿足於+1)=況x),且當xe(0,1］時，於)

=x(x—1).若對任意xd(一8,團，都有外)2—8,則m的取值范圍是(B)

9

【解析】因為xG(0,1］時，7(x)=x(x—1),人X+1)=賀X),所以人x)=〃(x—1)，即曲

線人%)右移1個單位長度，圖象變?yōu)樵瓉淼?倍，作出八X)的大致圖象如圖所示.當2<xW3

時，火工)=欽》—2)=4(x—2)(x—3).令4(x—2)。一3)=一整理得9/—45x+56=0,所以(3x

—7)(3x—8)=0,解得xi=Z,X2=-,根據(jù)圖象可知mW?.

333

(第4題答)

二、多項選擇題

5.如圖是函數(shù)加)的圖象，則下列說法正確的是(ABD)

A./0）=-2

B.7（x）的定義域為［―3,2］

C.段）的值域為［—2,2］

D.若加）=0,貝!|x=g或x=2

【解析】由圖象知/（0）=-2,故A正確；函數(shù)的定義域為［—3,2］,故B正確；函數(shù)

的最小值為一3,最大值為2,即函數(shù)的值域為［—3,2］,故C錯誤；若/（x）=（）,則x=；或

x=2,故D正確.

6.（2024?常州期初）已知函數(shù)於）=N—4慟+1,則下列說法正確的是（BD）

A.函數(shù)>=危）在（-8,—2］上單調(diào)遞增

B.函數(shù)歹=於）在［-2,0］上單調(diào)遞增

C.當x=0時，函數(shù)y=/（x）有最大值

D.當％=—2或x=2時，函數(shù)歹=外）有最小值

N—4x+1x20

【解析】於）=/一4.|+1=?'’作出函數(shù)｛x）的圖象如圖所示.由圖

x2+4x+l,x<0,

象可知函數(shù)y=/（x）在（一8,—2］上單調(diào)遞減，在［—2,0］上單調(diào)遞增，故A錯誤，B正確；

由圖象可知外）在x=-2或x=2時，函數(shù)y=/（x）有最小值，沒有最大值，故C錯誤，D正

確.

（第6題答）

7.（2024?婁底聯(lián)考）函數(shù)y=N（“>0）的圖象的大致形狀可以是（AB）

慟

xQXX0

【解析】>=旦=?'‘當。>1時，>="在（0,+8）上單調(diào)遞增，且當X

㈤【一"，x<0,

趨于+8時，y趨于+8；>=—/在(一8,0)上單調(diào)遞減，當X趨于-8時，y趨于0,故

B正確，D錯誤.當0<°<1時，在(0,+8)上單調(diào)遞減，當X趨于+8時，y趨于0；

y=—〃在(一8,0)上單調(diào)遞增，當X趨于一8時，y趨于-8,故A正確，C錯誤.

三、填空題

8.把函數(shù)人x)=ln|x—3的圖象向左平移2個單位長度，所得函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞

增，則。的最大值為2.

【解析】把函數(shù)y(x)=ln以一°|的圖象向左平移2個單位長度，得到函數(shù)g(x)=ln|x+2

—a|的圖象，則函數(shù)g(x)在(a—2,+8)上單調(diào)遞增，又因為所得函數(shù)在(0,十8)上單調(diào)遞

增，所以a—2W0,即aW2,所以。的最大值為2.

9.已知函數(shù)兀0=2&—x—1,則不等式.左)>0的解集是」一8,o)u(l,+8).

【解析】因為")=2'—x—1,所以{x)>0等價于2，>x+l.在同一平面直角坐標系中

作出y=2*和y=x+l的圖象如圖所示，兩函數(shù)圖象的交點坐標為(0,1),(1,2).由圖可知，

當x<0或x>l時，2，>x+l成立，所以不等式於)>0的解集為(-8,0)U(l,+°°).

9Z+1

,一

/io|12X

(第9題答)

10.(2024?石家莊三模)給定函數(shù)於)=|N+H，g(x)=x+L用M(x)表示於)，g(x)中的較

大者，記M(x)=max{/(x),g(x)}.若函數(shù)y=M(x)的圖象與y=a有3個不同的交點，則實數(shù)

a的取值范圍是.hVu(2,+8).

______,|x2+x,xW—1或x20,i

【解析】由八%)=,2+可=?g(x)=xH--,且M(x)=max{/(x),

—X2—x,—l<x<0,X

g(x)},作出圖象如圖.設啟)與g(x)在第一象限的交點為尸，即當x〉0,>>0時，聯(lián)立

Xx)=|x2+x|,

'g(x)=x+l解得尸(1,2).由題意知與函數(shù)y=MX)的圖象有3個不同的交點，由

、x

數(shù)形結合易知0<。<1或a>2.

4

(第10題答)

四、解答題

X2—1,—1Wx<2,

11.已知函數(shù)外)=，

加一3),24W5.

(1)作出函數(shù)加)的圖象，并寫出加)的單調(diào)區(qū)間;

【解答】由解析式知

X-1012345

fix)0-100-100

則本)的圖象如圖所示.

由圖象知，xx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),(3,5),單調(diào)遞減區(qū)間為[—1,0],[2,3].

(第11題答)

(2)求不等式/)一1<0的解集.

【解答】令x2—1=1,解得X=S或一/(舍去)，結合")的圖象知火X)一1<0的解集

為[―1,A/2)U[2,3+^2)U{5}.

12.已知函數(shù)g(x)的圖象由{x)=N的圖象向右平移1個單位長度，再向下平移1個單

位長度得到.

(1)求g(x)的解析式，并求函數(shù)y=2g㈤的最小值；

【解答】根據(jù)平移變換可得g(x)=(x—I/—1=爐一2x,則〉=2蛉)=2爐一2一》.設y=2",u

=g(x),顯然y=2"在R上單調(diào)遞增，〃=g(x)在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞

增，則>=2x2—2X在(一8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故當》=1時，ymin=

212-2X1=-.

2

(2)解方程lg[g(x)]=lg[Wx)—3].

g(x)>0,

【解答】因為1g[g(x)]=lg[2/(x)-3],所以?道彳)一3>0,即

g(x)=2Ax)-3,

x>2或x<0,

或x<—所以x=-3.

22

x~1或3,

B組能力提升練

13.已知函數(shù)兀r)=|x+a|+|x—〃|算g(x)——x2+lax+4tz,其中

y

一4

-3

一2

-3-2-10123x