第十單元空間幾何體

教材復(fù)習(xí)課/“空間幾何體”相關(guān)基礎(chǔ)知識一課過

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

［過雙基］

1.簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

(1)圓柱可以由矩密繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到；

(2)圓錐可以由直角三角形繞其直魚邊旋轉(zhuǎn)得到；

(3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到,也可由平行

于圓錐底面的平面截圓錐得到;

(4)球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到.

2.簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等,上下底面是全篁的多邊形；

(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共點的三角形；

(3)棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到,其上下底面是相似多邊形.

［小題速通］

1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法中不正確的是()

A.棱柱的側(cè)棱長都相等

B.棱錐的側(cè)棱長都相等

C.三棱臺的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺的側(cè)棱長都相等

解析：選B根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長不一定都相等.

2.下列說法中正確的是()

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫

圓錐

C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線

解析：選D當(dāng)一個幾何體由具有相同的底面且頂點在底面兩側(cè)的兩個三棱錐構(gòu)成時，

盡管各面都是三角形，但它不是三棱錐，故A錯誤；若三角形不是直角三角形或是直角三

角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得幾何體就不是圓錐，故B錯誤；若六棱錐的所有

棱都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，則棱長必然

要大于底面邊長，故C錯誤.選D.

［清易錯］

1.認(rèn)識棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征時，易忽視定義，可借助于

幾何模型強化對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識.

2.臺體可以看成是由錐體截得的，但一定強調(diào)截面與底面平行.

1.已知正方體的棱長為1,點E,尸分別是棱是1C1,B1C1的中點，

過E,尸作一平面a,使得平面a〃平面A31O1,則平面a截正方體的表面所得平面圖形為

()

A.三角形B.四邊形

C.五邊形D.六邊形

解析：選D如圖所示，平面a是平面EBGT/JK,截面是六邊形，故選D.

2.下列幾何體是棱臺的是(填序號).

解析：①③都不是由棱錐截成的，不符合棱臺的定義，故①③不滿足題意.②中的截

面不平行于底面，不符合棱臺的定義，故②不滿足題意.④符合棱臺的定義，故填④.

答案：④

直觀圖與三視圖

［過雙基］

1.直觀圖

(1)畫法：常用斜二測畫法.

(2)規(guī)則:

①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，一軸、了,軸的夾角為45。(或135。),

/軸與X,軸和V軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段

在直觀圖中保持原長度丕變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼耐挂?/p>

2.三視圖

(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、

正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

［提醒］正視圖也稱主視圖，側(cè)視圖也稱左視圖.

⑵三視圖的畫法

①基本要求：長對正，高平齊，寬相等.

②畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高,正俯一樣長,側(cè)俯一樣寬:看不到的線畫虛線.

［小題速通］

1.用一個平行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是（）

解析：選BD選項為正視圖或側(cè)視圖，俯視圖中顯然應(yīng)有一個被遮擋的圓，所以內(nèi)圓

是虛線，故選B.

2.如圖所示，等腰△△'B'C是aABC的直觀圖，那么△43。是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.鈍角三角形

解析：選B由題圖知A'C//y'軸，A'B'//x'軸，由斜二測畫法知，在△ABC

中，AC〃y軸，AB//x^>,.,.AC_LA8.又因為A'C'=A'B',：.AC=2AB^AB,.,.A

ABC是直角三角形.

3.現(xiàn)有編號為①②③的三個三棱錐（底面水平放置），俯視圖分別為圖1、圖2、圖3,

則至少存在一個側(cè)面與此底面互相垂直的三棱錐的編號是（）

A.①B.①②

C.②③D.①②③

解析：選B還原出空間幾何體，編號為①的三棱錐的直觀圖如圖（1）三棱錐P-ABC所

示，平面R4CJ"平面A5C,平面■平面A3C,滿足題意；編號為②的三棱錐的直觀圖

如圖（2）三棱錐P-A3c所示，平面尸3CJ■平面A3C,滿足題意；編號為③的三棱錐的直觀

圖如圖（3）三棱錐P-A5C所示，不存在側(cè)面與底面互相垂直，即滿足題意的編號是①②.

4.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長的棱長為（）

A.eqB.2g

C.3D.3啜

解析：選C依題意，可知該幾何體為如圖所示三棱錐D-ABC,最長的棱AO=

、1+（2何=3,故選C.

［清易錯］

1.畫三視圖時，能看見的線和棱用實線表示，不能看見的線和棱用虛線表示.

2.一物體放置的位置不同，所畫的三視圖可能不同.

1.沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視

圖翅）好」J

解析：1.A給幾何體的各頂點標(biāo)上字母，如圖LA,E在側(cè)投影面上的投影重合，C,G

在側(cè)投影面上的投影重合，幾何體在側(cè)投影面上的投影及把側(cè)投影面展平后的情形如圖2

所示，故正確選項為B.

2.已知以下三視圖中有三個表示同一個三棱錐，則不是該三棱錐的三視圖的是（）

解析：選D對于選項A,相應(yīng)的幾何體是如圖所示的三棱錐A-BC。，其中A

平面BCD,^.BC±BD,AB=3,BC=1,BD=2;對于選項B,相應(yīng)的幾V

何體可視為將選項A中的幾何體按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。而得到的幾何體；對于選

項C,相應(yīng)的幾何體可視為將選項A中的幾何體按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180。而得到的幾何體.綜

上所述，選D.

空間幾何體的表面積與體積

［過雙基］

空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

幾何晨\表面積體積

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S側(cè)+2S底V=Sh

V=1Sh

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=S側(cè)+S底

上下、上下

臺體（棱臺和圓臺）S表面積=s側(cè)+s上+s下V=g(S+S+lSS)h

4

球S=4TTR2V=^nR3

［小題速通］

1.已知某幾何體的三視圖的側(cè)視圖是一個正三角形，如圖所示，則該幾何體的體積等

于（）

A.12^3B.1673

C.2073D.32^3

解析：選C由三視圖畫出該幾何體的直觀圖如圖所示，V梭柱=：

X4X2A/3X3=12V3,V梭聳=§X4X（6—3）X2布=隊。，所以組合體的M\j__j_2：

體積V=V^+V棱錐=20^3.

2.（2017?浙江高考）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：

cm3)M()

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

解析：選A由幾何體的三視圖可得，該幾何體是一個底面半徑為1,高為3的圓錐的

一半與一個底面為直角邊長為也的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，故該幾何

體的體積V=TX^7IX12X3+^X^X^/2X^/2X3=^+1.

3.若圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則其母線與軸所成角的大小是.

R

解析：設(shè)圓錐的母線與軸所成角為，，由題意得疝乜=2九相，即［=2&所以sin0=7=

即即母線與軸所成角的大小是技

/UO

4.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為.

正視圖惻視圖

解析：由三視圖可知該幾何體左側(cè)是一個半圓柱，底面半徑為1,高為2;右側(cè)是一個

棱長為2的正方體，則該幾何體的表面積為S=5X22+7rXlX2+7rXl2=20+3rt.

答案：20+3兀

［清易錯］

1.由三視圖計算幾何體的表面積與體積時，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)

特征認(rèn)識不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤.

2.求組合體的表面積時，組合體的銜接部分的面積問題易出錯.

3.易混側(cè)面積與表面積的概念.

1.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻器,

下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”其意思為：”今有底面為

矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多

少？”已知1丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中圖中小正方體的邊長為1丈，則

該楔體的體積為（）

A.10000立方尺B.11000立方尺

C.12000立方尺D.13000立方尺

解析：選A該楔形的直觀圖如圖中的幾何體A5CZJEF所示，

取A5的中點G,。的中點H,連接FG,GH,HF,則該幾何體可

看作四棱錐F-BCHG與三棱柱ADE-GHF的組合體.三棱柱

AOE-G77萬可以通過割補法得到一個高為EF=2,底面積為S=1x3X2=3的一個直棱柱,

故該楔形的體積V=3X2+；X2X3X2=10（立方丈）=10000（立方尺）.

2.如圖是一個幾何體的三視圖，其中正視圖和側(cè)視圖都是一個兩底長分別為2和4,

腰長為4的等腰梯形，則該幾何體的側(cè)面積是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.6nB.12n

C.187rD.247t

解析：選B由三視圖可得該幾何體的直觀圖為圓臺，其上底半徑為2,下底半徑為1,

母線長為4,所以該幾何體的側(cè)面積為n（2+l）X4=12rt.

3.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是.

解析：由三視圖可知，該幾何體由一個正四棱柱和一個棱臺組成，其表面積S=3X4X2

+2X2X2+4X2^2X2+4X6+1x（2+6）X2X2=72+1672.

答案：72+16^2

一、選擇題

1.如圖所示，若尸為正方體A8CD-A131GO1中AG與BDi的交點，則△MC在該正

方體各個面上的射影可能是（）

A.①②③④

C.①④D.②④

解析：選C由題意，得△協(xié)C在底面ABC。，A131GO1上的射影如圖①所示，△R4C

在其余四個側(cè)面上的射影如圖④所示，故選C.

2.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊A3平行于yy

軸，BC,AO平行于x軸.已知四邊形A5C。的面積為2吸cn?,貝口//<

；

原平面圖形的面積為（）7/

A.4cm2B.4y[2cm2

C.8cm2D.8^2cm2

解析：選C依題意可知NR4Z>=45。，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC,

AO相等，高為梯形A5C。的高的倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.

3.在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；

將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉腌.若三棱錐P-A8C為鱉膈，物，平面ABC,

EL=A5=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為（）

A.87rB.127r

C.207rD.247r

解析：選C如圖，由題意得PC為球。的直徑，而PC=qi阡不=2出,

即球O的半徑R=y[s,所以球O的表面積S=4kR2=20k.選C.

4.（2017?北京高考）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的

長度為（）

A.36

C.2^2

解析：選B在正方體中還原該四棱錐如圖所示,

從圖中易得最長的棱為

ACi=y/AC^+CCi=A/(22+22)+22=2小.

5.（2017?北京高考）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）

A.60B.30

C.20D.10

解析：選D如圖，把三棱錐A-8C。放到長方體中，長方體的長、

C

寬、高分別為5,3,4,△5CZ＞為直角三角形，直角邊分別為5和3,三棱錐的高為4,

故該三棱錐的體積V=1x|x5X3X4=10.

6.已知正四棱錐的頂點都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球

的表面積為（）

、817r

A?才B.167r

解析：選A如圖，設(shè)球心為。，半徑為r,則在RtZiA。月中，

（4—r）2+（-\/2）2=r2,解得r=*所以該球的表面積為4兀戶=4兀＞＜02

_81n

=丁

7.（2018?南陽聯(lián)考）已知一個三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的

正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為（）

解析：選C由已知條件得直觀圖如圖所示，PCJ?底面A5C,正視圖是直角三角形，

中間的線是看不見的線24形成的投影，應(yīng)為虛線，故選C.

8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖中圓的直徑為4,該幾何體的體積為

匕，直徑為4的球的體積為V2,則Vi：V2=（）

A.1：2B.2：1

C.1：1D.1：4

解析：選A由三視圖知，該幾何體為圓柱內(nèi)挖去一個底面相同的圓錐，因此匕=8TT

普=甯）=8=等,%：%=1：2.

二'填空題

9.（2017?山東高考）由一個長方體和兩個:圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾

何體的體積為.

解析：該幾何體由一個長、寬、高分別為2,1,1的長方體和兩個底面半徑為1,高為1

的四分之一圓柱體構(gòu)成，

:.V=2XlXl+2X^XnXl2X1=2+5.

答案：2+5

10.已知某四棱錐，底面是邊長為2的正方形，且俯視圖如圖所示.若

該四棱錐的側(cè)視圖為直角三角形，則它的體積為.

解析：由俯視圖可知，四棱錐頂點在底面的射影為。（如圖），又側(cè)視圖

為直角三角形，則直角三角形的斜邊為BC=2,

s

14

斜邊上的高為SO=1,此高即為四棱錐的高，故V=§X2X2X1=§.

4

答案：3

11.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標(biāo)準(zhǔn)量器

——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若兀取3,其體積為12.6(單位：立方寸)，

則圖中的上的值為.

解析：由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，左側(cè)是一個底面直徑為2r=1、高為x

的圓柱，右側(cè)是一個長、寬、高分別為5.4—x,3,l的長方體，則該幾何體的體積V=(5.4—

x)X3Xl+7rx|xx=12.6,解得X=1.6.

答案：1.6

12.某幾何體的一條棱長為由，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為證的線

段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和》的線段，則a+5的

最大值為.

解析：構(gòu)造長方體，則其體對角線長為由，其在側(cè)視圖中為側(cè)面對角線a,在俯視圖

中為底面對角線方，設(shè)長方體底面寬為1,則興一1+層-1=6,則層+>=8,利用不等式

("I'')』f=4,則4+方式4,當(dāng)且僅當(dāng)a=Z>=2時取等號，即a+Z)的最大值為4.

答案：4

三、解答題

13.已知正三棱錐P-A3C的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示.

(1)畫出該三棱錐的直觀圖；

(2)求出側(cè)視圖的面積.

解：

⑴直觀圖如圖所示.

(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC=2小,

.,.側(cè)視圖中VA=

一停火坐X2#)=2#,

ASAVBC=1X2^3X2^3=6.

14.(2018?大慶質(zhì)檢)如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖.

俯視圖

(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；

(2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積;

(3)求出該幾何體的體積.

解：(1)由題意可知該幾何體為正六棱錐.

(2)其側(cè)視圖如圖所示，其中AB=AC,AD±BC,且BC的長是俯視圖中的正六邊形對

邊的距離，即BC=W，4。的長是正六棱錐的高，即40=#。，

(3)該幾何體的體積V=^X6X^a2Xy[3a=^a3.

高考研究課求解空間幾何體問題的2環(huán)節(jié)——識圖與計算

［全國卷5年命題分析］

考點考查頻度考查角度

三視圖的判斷5年4考空間坐標(biāo)系與三視圖判斷，求最長棱

空間幾何體的面積5年3考求表面積，由表面積求參數(shù)

空間幾何體的體積5年6考求組合體體積、體積比值、圓錐體積

與球有關(guān)的結(jié)合體問題5年4考球內(nèi)接幾何體的體積問題

空間幾何體的三視圖

［典例］(1)(2016?天津高考)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的

幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)（左）視圖為（）

（2）若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是（）

［解析］（1）先根據(jù)正視圖和俯視圖還原出幾何體，再作其側(cè)（左）視圖.由幾何體的正視

圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側(cè)（左）視圖為圖②.

①②

（2）根據(jù)選項A、B、C、D中的直觀圖，畫出其三視圖，只有B項正確.

［答案］（1）B（2）B

［方法技巧］

三視圖問題的常見類型及解題策略

（1）由幾何體的直觀圖求三視圖.

注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實線，不能看到的部分

用虛線表示.

（2）由幾何體的部分視圖畫出剩余的視圖.

先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖

的可能形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合.

（3）由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.

要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還

原為實物圖.

［即時演練］

1.如圖甲，將一個正三棱柱A5C-OE歹截去一個三棱錐A-8C。，得到幾何體8CDEF,

如圖乙，則該幾何體的正視圖（主視圖）是（）

2.（2018?昆明模擬汝口圖，在正四棱柱ABC。-45iGZ）i中，點尸是平面AiBiGA內(nèi)一

點，則三棱錐P-8C。的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為（）

A.1：1B.2：1

C.2：3D.3：2

解析：選A根據(jù)題意，三棱錐P-BCD的正視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面

邊長、高為正四棱柱的高；側(cè)視圖是三角形，且底邊為正四棱柱的底面邊長、高為正四棱

柱的高.故三棱錐P-8c。的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為1:1.

空間幾何體的表面積與體積

［典例］(1)已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

.40034

ATBT

?IUI3ij?oI3

(2)(2017?全國卷I)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直

徑.若平面SCA_L平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球0的

表面積為.

［解析］(1)由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，上面是一個直角邊長分別為1、2

的直角三角形、高是2的直三棱柱，下面是兩個幾何體，左邊是棱長為2的正方體，右邊

是底面是邊長為2的正方形、高是1的正四棱錐，則該幾何體的體積V=1X2X1X2+

2X2X2+jx2X2Xl=y.

(2)

如圖，連接A。，OB,

TSC為球。的直徑，

...點。為SC的中點，

"：SA=AC,SB=BC,

：.AO±SC,BO±SC,

?平面SCAJ■平面see,平面scan平面sc3=sc,

.?.AOJ■平面SCB,

設(shè)球O的半徑為R,

則OA=OB=R,SC=2R.

：?VS-ABC=VA-SBC=^^S^SBC^AO

XAOf

即9=；X(|x2RXR)XR,解得R=3,

二球。的表面積為S=4:d?2=47rx32=36TT.

［答案］(1)B(2)367r

［方法技巧］

___一求解幾何體的表面積與體積的技巧

(1)求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知

幾何體的某一面上.

(2)求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補形的方法，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何

體求解.

(3)求表面積：其關(guān)鍵思想是空間問題平面化.

2.根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積或體積的步驟

(1)根據(jù)給出的三視圖還原該幾何體的直觀圖.

(2)由三視圖中的大小標(biāo)識確定該幾何體的各個度量.

(3)套用相應(yīng)的面積公式或體積公式計算求解.

-［即時演練］

1.如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1才/

的正方形，且△AOE,△■BC廠均為正三角形，EF//AB,EF=2,貝!!\''\n//

該多面體的體積為(----/

解析：選A如圖，分別過點A,5作E尸的垂線，垂足分別為Eq~y---------y~~-1F

G,H,連接OG,CH,容易求得EG=HF=/,AG=GD=BH=HC…J/

S、歷出—匕

=v＞則△BHC中5c邊的高h(yuǎn)=\.

:.S△AGD=S△BHC=5X)X1=4，***v=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+

VAGD-BHC=|X乎X3X2+坐X1=坐

2.已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是()

正視圖側(cè)視圖

T

1

1

1

l--2—

俯視圖

A.9+4（V2+V5）cm2B.10+2（V2+V3）cm2

C.ll+2（V2+V5）cm2D.ll+2（V2+V3）cm2

3.已知正四棱柱A3cz>-Ai5iGd的體積為36,點E,尸分別為棱5/,GC上的點(異

于端點)，且E尸〃8C,則四棱錐4-AE尸。的體積為.

解析：設(shè)正四棱柱的底面邊長為a,高為比則層九=36.又四棱錐

Ai-AEFD可分割為兩個三棱錐Ai-AED,Ax-DEF且這兩個三棱錐體積

相等，貝寸VAi-AEFD=2VA1-AED=2VE-ADA1=2X-?△ADAiXa=

2X7X-aX/zXa=-a2/i=-X36=12.

3乙SS

答案：12

與球有關(guān)的切、接問題

與球有關(guān)的切、接問題是高考命題的熱點，也是考生的難點、易失分點.命題角度多變

常見的命題角度有：

(1)四面體的內(nèi)切球與外接球；

(2)三棱柱或四棱錐的外接球；

(3)圓柱或圓錐的內(nèi)切球與外接球.

角度一：四面體的內(nèi)切球與外接球

1.三棱錐P-ABC中，平面ABC且初=2,△ABC是邊長為噌的等邊三角形，

則該三棱錐外接球的表面積為（）

B.47r

C.8TID.20TT

解析：選C由題意得，此三棱錐外接球即以△4BC為底面、以R4為高的正三棱柱

S2

的外接球，因為△A3C的外接圓半徑r=^xSx：=l,外接球球心到△A3C的外接圓圓

心的距離d=l,所以外接球的半徑以=4戶+解=吊5,所以三棱錐外接球的表面積3=4幾尺2

=8兀

2.已知三棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的體積是（）

中點

俯視圖

A4工8

B?鏟

C.27rD.47r

解析：選A由三視圖可知，三棱錐的底面是直角三角形，三棱錐的高為1,其頂點在

底面的射影落在底面直角三角形斜邊的中點上，則三棱錐的外接球的球心是底面直角三角

44

形斜邊的中點，由此可知此球的半徑為1,于是外接球的體積丫=§九區(qū)3=鏟.

3.若一個正四面體的表面積為Si,其內(nèi)切球的表面積為％,則黑=_______.

解析：設(shè)正四面體棱長為a,則正四面體表面積為Si=4半點=小02,其內(nèi)切球半徑

為正四面體高的;，即?坐4=出°,因此內(nèi)切球表面積為52=4^=^-,

Q4JJL/O

則&=叵=弊

§27T27T

6a

答案：野

角度二：三棱柱或四棱錐的外接球

4.（2018?武漢調(diào)研）已知正四棱錐的頂點都在同一球面上，且該棱錐的高為4,底面邊

長為2巾,則該球的表面積為.

解析：

如圖，正四棱錐P-A3CD的外接球的球心。在它的高POi上，設(shè)球的半徑為A,因為

底面邊長為2、區(qū),所以AC=4.在RtAWOi中，R2=（4-R）2+22,所以R=J,所以球的表

面積3=4九相=25九.

答案：257r

5.（2018?長春模擬）已知三棱柱ABC431G的底面是邊長為加的正三角形，側(cè)棱垂直

于底面，且該三棱柱的外接球的表面積為12兀，則該三棱柱的體積為.

解析：設(shè)球半徑為R,上，下底面中心設(shè)為M,N,由題意，外接球心為MN的中點，

設(shè)為。，則OA=R,由4冗尺2=12再得R=OA=3,又易得4"=也，由勾股定理可知，

、回

OM=1,所以MN=2,即棱柱的高/z=2,所以該三棱柱的體積為\-義（黃/義2=35.

答案：3A/3

6.已知表面積為47r的球有一內(nèi)接四棱錐，四邊形ABC。是邊長為1的正方形，且SA

±WABCD,則四棱錐S-4BC。的體積為.

解析：由S球=4兀催=4兀，解得衣=1,即2尺=2.四棱錐S-HBC。h

的直觀圖如圖所示，其所在的長方體的外接球即四棱錐的外接球，所以/：

SA=y]4-2=y[2,所以四棱錐S-ABCD的體積V=1s四邊形ABCD'SA=2

XIX巾=*.

答案.近

口?3

角度三：圓柱或圓錐的內(nèi)切球與外接球

7.（2017?全國卷III）已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的

球面上，則該圓柱的體積為（）

g37r

A.nB.彳

_n_7r

C,2D,4

解析：選B設(shè)圓柱的底面半徑為r,則戶=12—?2=*所以圓柱的體積V=^7rXl

37t

=不

8.若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1,則圓錐的體積為

解析：過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得截面△ABC及其內(nèi)切圓。01和外接圓。。2,且兩

圓同圓心，即△A3C的內(nèi)心與外心重合，易得△A5C為正三角形，由題意知。01的半徑為

r=l,即△A5C的邊長為2M5,圓錐的底面半徑為小，高為3,itV=|xnX3X3=3rt.

答案：37r

9.（2017?江蘇高考）如圖，在圓柱01。2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、

下底面及母線均相切.記圓柱。1。2的體積為匕，球。的體積為匕，則卷的rjoj

值是—.2運I

解析：設(shè)球。的半徑為R,因為球。與圓柱。1。2的上、下底面及母線均相切，所以圓

柱的底面半徑為R、高為2R,所以整=噌空=*

加2

3

答案：i

［方法技巧］

“切”“接”問題處理的注意事項

（1）“切”的處理

解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點，通過

作截面來解決.如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.

（2）“接”的處理

把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住

外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.

1.（2017?全國卷I）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰

直角三角形組成，正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若

干個是梯形，這些梯形的面積之和為（）

A.10B.12

C.14D.16

解析：選B由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是一個底面是等腰直角三角

形的直三棱柱，上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2,

直三棱柱的高為2,三棱錐的高為2,易知該多面體有2個面是梯形，這些梯形的面積之和

J2+4）X2

為1-彳一X2=12.

2.（2017?全國卷ID如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的

三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）

A.907tB.637t

C.427rD.36n

解析：選B法一：由題意知，該幾何體由底面半徑為3,高為10的圓柱截去底面半

徑為3,高為6的圓柱的一半所得，故其體積V=7tX32X10—：X7rX32X6=637r.

法二：由題意知，該幾何體由底面半徑為3,高為10的圓柱截去底面半徑為3,高為6

的圓柱的一半所得，其體積等價于底面半徑為3,高為7的圓柱的體積，所以它的體積V=

2

nX3X7=63n.

法三：（估值法）由題意，知3V圓柱VV幾何體VV圓柱.

又V圓柱=兀義32X10=90?!,

45n<V兀面體V9(ht.

觀察選項可知只有637r符合.故選B.

3.（2014?全國卷I）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的

三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）

A.6\[2B.4^2

C.6D.4

解析：選C如圖，設(shè)輔助正方體的棱長為4,三視圖對應(yīng)的多面體

為三棱錐A-3CZ>,最長的棱為AD=7（4幣丫+22=6.

4.（2013?全國卷口）一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的

坐標(biāo)分別是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,（0,0,0）,畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面

為投影面，則得到的正視圖可以為（）

5.（2016?全國卷U）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表

面積為（）

A.207tB.247t

C.28nD.327r

解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為T,周

長為c,圓錐母線長為I,圓柱高為瓦由圖得r=2,c=2nr=4n,h=4,由勾股定理得：I

=yj22+（2y[S）2=4,S表=冗/+。力+3。/=4九+16九+8九=28九.

6.（2016?全國卷I）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓

及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是專，則它的表

面積是（）

A.177rB.187r

C.207rD.287r

解析：選A由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的/得到的幾

何體如圖.設(shè)球的半徑為R,則全用一1義全夫3=空九，解得R=2.因此它的表面積為看X4TTR2

3

+~^jtR2=17n.

7.（2015?全國卷U）已知A,5是球。的球面上兩點，NAOb=90。，。為該球面上的動

點.若三棱錐O45C體積的最大值為36,則球。的表面積為（）

A.367tB.647r

C.1447rD.2567r

解析：選C如圖，設(shè)球的半徑為R,VZAOB=9Q°9???SAAOB=

9

：VO-ABC=VC-AOB9而△AQB面積為定值，???當(dāng)點C到平面AOB

的距離最大時，Vo-ABC最大，，當(dāng)。為與球的大圓面A06垂直的直徑的端點時，體積VO4BC

最大，為:X』R2XR=36,；?R=6,工球。的表面積為47rA2=47rx62=1447r.

8.（2015?全國卷I）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問

題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：”在屋

內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為

5尺，問

米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為

3,估算出堆放的米約有（）

A.14斛B.22斛

C.36斛D.66斛

解析：選B設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則%=8,所以r=生，所以米堆的體積為V

L71

=；*；九*/*5=強*償）2乂5=年。（立方尺）.故堆放的米約有年<1.62222（斛）.

J\7lyVV

9.（2014?全國卷口）正三棱柱ABC-A/iG的底面邊長為2,側(cè)棱長為小,。為5c中

點，則三棱錐All。。的體積為（）

3

A.3B.T

C.10今

解析：選C由題意可知AO_L5C,由面面垂直的性質(zhì)定理可得AO_L平面。B1G,又

AZ>=2sin60°=5，所以VA-BiDCi=^AD-SABiDCI=|XV3X|X2X^/3=1.

一、選擇題

1.（2018?大連調(diào)研）如圖，在長方體A5CZ>-43iGZ>i中點P是棱上一點，則三棱錐

P-AiBiA的側(cè)視圖是（）

解析：選D在長方體A5C￡）-A151aoi中，從左側(cè)看三棱錐P-451A,Bi,4,A的

射影分別是G