單元檢測卷（五）平面向量、復(fù)數(shù)

（分值:150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.[2025?浙江名校聯(lián)考]已知i為虛數(shù)單位，則飛景在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.[2025?嘉興模擬]在平行四邊形A3CD中，點E,R分別在邊3C,CD上，且防=

2EC,&=3FD,記檢=a,AD=b,則而=()

C.4a—D.一平+于

3.[2025?鄭州模擬]已知a=（—3,4）,b=（2,2）,則向量a在向量b上的投影向量

為（）

A（一|，I）B.（y[2,的

C.（L1）D.g（J

4.[2025?廣東六校聯(lián)考]設(shè)復(fù)數(shù)z=T+坐i，其中i是虛數(shù)單位，z是z的共輾復(fù)數(shù)，

下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.zz~~1

B.Z2=Z

C.z是方程x2-x+1=0的一個根

D.滿足z“?R的最小正整數(shù)〃為3

5.［2025?鹽城模擬］已知向量a,滿足|a—。|=#,\a+b\=\2a-b\,貝1］叫=()

A.1B.^2

C.2D.小

6.[2025?衡水三模]已知ei,e2是單位向量，eie=一則ei+2e2與02的夾角為

()

.7171

A6B-4

Ti2n

C.2D可

7.[2025?哈爾濱模擬]復(fù)數(shù)z=a+歷(a,0GR,i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為Z,

設(shè)廠=[0Z|,。是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以0Z所在的射線為終邊的角，貝Ijz

=iz+M=r(cos8+isinff),把r(cos6+isin6)叫做復(fù)數(shù)tz+M的三角形式，利用復(fù)

數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運算，[?cose+isin0)]w=/"(COSH6+isin”

19jr9jr

e)(“GN*),例如：(一/+￥i)3=(cos^_+isirry)3=cos2?i+isin2兀=1,

(l+i)4=(6(cos曰+isin3)4=4(cos兀+isin兀)二-4,復(fù)數(shù)z滿足:z3=l+i,則z

可能取值為()

A.6(cosg+isin五)B.娘(cos苧+isin爭

61-5兀1..526/-17兀..17TI

C.Y2(cos1十ism1)D.^/2(cos^十ism

8.[2025?茂名模擬]如圖，已知正六邊形ABCDER的邊長為4,對稱中心為。，以

。為圓心作半徑為2的圓，點”為圓。上任意一點，則量)?加的取值范圍為()

A.[—24,16]B.[0,32]

C.[—32,0]D.[—12小，0]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.[2025?南通模擬]已知zi,Z2都是復(fù)數(shù)，下列正確的是()

A.若Z1=Z2,則Z1Z2?R

B.若Z1Z2@R,則Z1=Z2

C若|ZI|=|Z2|,則zf=z3

D.若Z?+z3=0,則|zi|=|Z2|

2

10.[2025?杭州模擬]如圖所示，在邊長為3的等邊三角形ABC中，AD=^A<J,且

點尸在以AD的中點。為圓心，。4為半徑的半圓上，若麗=工就+＞慶:，則（）

A.BD=^BA+^BC

一一13

B.BDBO=~Y

C.麗?病存在最大值

D.x+y的最大值為1

11.［2024?濰坊二模］已知向量a,b,c為平面向量,|a|=L\b\=2,ab=0,\c~a\

=；，則（）

A.lWldW,

,,B.，+、，1+2A/5

B.（c-a＞（c—萬）的取大值為4

C.一1W萬cWl

D.若c=Xa+pib,則的最小值為一士

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12J2025?遼陽模擬］寫出一個滿足①z2的實部為5；②z的虛部不為0這兩個條件的

復(fù)數(shù)z=..

13.［2025?濰坊模擬］如圖所示，A,B,C,。是正弦函數(shù)y=sinx圖象上四個點，

且在A,C兩點函數(shù)值最大，在3,。兩點函數(shù)值最小，則（以+/）?（沅+濟(jì)）

14.[2025?天津河西區(qū)模擬]如圖，動點C在以A3為直徑的半圓。上(異于A,B),

DC±BC,DC=BC,AB=2,\CA-BC\=；沅?歷的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.(13分)[2024?濟(jì)寧模擬]已知復(fù)數(shù)zi=/+(?—l)i,Z2=sine+(2cos8+l)i,其中

/GR,。@[0,71].

(1)若zi,Z2@R,且Z1>Z2,求才的值；

(2)若Z1=Z2,求夕

16.(15分)[2024?聊城模擬]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個向量為，OB,沆滿

足條件：|次|=2|麗|=2|沆|=2,麗與沆的夾角為a,且tan?=2,麗與戌7的

夾角為45。.

(1)求點A,B,C的坐標(biāo);

（2）若點P為線段0C上的動點，當(dāng)歷?戌取得最小值時，求點P的坐標(biāo).

17.（15分）［2025?張家口模擬］在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

點。為邊3c上一點，且滿足（量）+戢＞病=0.

（1）證明：AD=b；

12

⑵若AD為內(nèi)角A的平分線，且量）=彳通+酒，求sinA

18.（17分）［2023?鎮(zhèn)江模擬］數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形

就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形A5C,再分別以點A,

B,C為圓心，線段A3長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形.如圖所示，已知A3

=2,。為3C的中點，點P,。分別在弧AC、弧A3上，設(shè)NPBC=NACQ=e.

⑴當(dāng)。專時，求|的;

(2)求舁.麗的取值范圍.

19.(17分)[2025?徐州模擬]通過平面直角坐標(biāo)系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對表示向量.

類似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)對⑵,Z2)(Z1,Z2?C)看作一個向量，記a=(Zl,Z2),

則稱a為復(fù)向量.類比平面向量的相關(guān)運算法則，對于a=(zi,Z2),b=(Z3,Z4),

Zl,7.1,Z3，Z4,丸GC,我們有如下運算法則：

①a±Z>=(zi±Z3,Z2±Z4)；(2)/la=(Azi>Azi);③a?力=ziZ3+z2Z4；@\a\=\]a-a.

⑴設(shè)a=(i,1+i),b=Q,2—i),求a+〃和a0.

⑵由平面向量的數(shù)量積滿足的運算律，我們類比得到復(fù)向量的相關(guān)結(jié)論：①a必

=ba-,②a-(Z>+c)=aZ+a-c.試判斷這兩個結(jié)論是否正確，并說明理由.

(3)若a=(2i,1),集合Q={p\p=(x,y),y=2x+1,x,yGC},對于任意

的cd。，求出滿足條件(a—用仍一c)=0的"并將此時的8記為瓦，證明對任

意的b《Q,不等式|a—加和a—瓦|恒成立.根據(jù)對上述問題的解答過程，試寫出一

個一般性的命題(不需要證明).

參考答案

l+2i（l+2i）（2-i）4+3i6THi,、山--43

l.A［2+j=-（2+j）—（=-5-，其在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（弓，5），

位于第一象限.故選A.］

2.A［因為讀：=2的,CF=3FD,

所以前=存一度=（詼一；宓=

3131

—^AB-h^AD=一平+9故選A.］

,.a'bb—3X2+4X2211

3.D［向量a在向量b上的投影向量為而?而=（啦1^）2方=0（2,2）=（］，］），

故選D.］

4.B［對于A,z-z=（1?+半i）（g一坐i）=l,故A正確；

對于B,z2=(1+坐ip=-g+坐，

z=g一坐i,Z2=—z,故B錯誤;

對于C,

一；十坐i—；—乎i+l=O,則z是方程f—x+l=O的一個根，故C正確;

對于D,ZJ3=Z2-Z—1,故D正

確.故選B.]

5.D[由|a—。|=/，可得層一2很。+辦2=3,①

22222

由|a+例=|2°—。|,可得a+2ab+b=4a—4ab+b,整理得a—2ab=09

代入①得廬=3,解得叫=小，故選D.]

6.A[(ei+2e2)2=ef+4e「e2+4e3=1—2+4=3,故|ei+2e2|=M^.

13、

(ei+2e2>C2=ei,e2+2e3=—1+2=,設(shè)。1+2及與/的夾角為仇

3

則cos6=又?！闧0,71],故0=7,故選A.]

⑶十202|,|改|勺32o

7.D[設(shè)z=r(cos8+isin。)，則z3=l+i=^/2(cos；+isin：)=—(cos38+isin30,

所以『版，3。=2也+去左GZ,即。=竽+$k《Z,

-6r-2%兀?兀?.2防i?兀,

所以z=V2[cos(—+j^)+isin(—+j^)],左GZ,

故左=2時，故z可取版(cos芝^+isin芝"故選D.]

8.C[連接OM,OC,設(shè)〈Ab,OM)=e,依題意，AD=8,OC=4,{AD,OC)

—?—?—?—?—?—?—?—?—?7T

ADCM=AD(OM-OC)=ADOM-ADOC=8X2cos0—8X4cosw=16cos0~

16,由。?[0,兀],得一IWCOSOWI,所以一32W病?漢fWO.故選C.]

9.AD[設(shè)zi=o+0i,Z2=c+di(a,b,c,d?R),

對于A,若zi=Z2,則zi=c—di,故ziZ2=，+d2eR,故A正確；

對于B,當(dāng)zi=Z2=i時，Z1Z2=-1?R,Z2=—iWzi,故B錯誤；

對于C,當(dāng)zi=l,Z2=i時，z?=l,zi=—l,故C錯誤；

對于D,若z?+z3=0,則而=—z3,所以圜=|—z3|=|z3|,

\zi\=\a2—Z?2+2abi\=^cp—b2^)2jr4a2b2=y/(武+廬)2=a2+/?2=|zi|2,

同理圜=|Z2『,所以|ZI|2=|Z2|2,所以憶1|=42],故D正確.故選AD.]

2

10.ABC[對于A,因為屐＞=水，且點尸在以AD的中點。為圓心，。4為半徑

的半圓上，所以O(shè)A=OD=DC=^AC,則就＞=反:+詼=病+!南=病+/蔭一

12

BC)=^BA+^BC,故A正確；

21

"+|

2f2f5f-5i13

=gBA2+gBC2+gBABC=2+2+gX3X3X-=—,故B正確；

如圖，以點。為原點，CA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(l,0),

B(-|,羋)，C(-2,0).因為點P在以AD的中點。為圓心，。4=1為半徑的單

位圓上，且在X軸的下半部分,

所以設(shè)P（cosa,sina）,?！辏圬?

則麗=（cosa+；,sin。一上乎）,

一-33小

又3c=（一］,

a

33小:

所以前.病=一］：cosa一—2sin?+y=-3cos（a-1）+6.

因為。?［兀，27i］,所以a—令，y］,

所以當(dāng)^=兀，即。=與時,

a—3P3C取得最大值9,故C正確;

33^3

因為麗=海+'比，BA=(2,

2)，

所以（cosa+g,sin?—

3^,3巫

2）+＞（—1—2），

即（cosa+；,sinQ事）=（,（%-、）,平f)，

3^33小

所以

sina22Q+〉)，

所以龍+y=—Wina+1.

9

因為。?［兀，2兀］,所以當(dāng)a=??時，x+y取得最大值一r+1,故D錯誤.故選ABC.］

11.BCD［對A,設(shè)a=（l,0）,8=（0,2）,c=（x,y）,根據(jù)匕一.|=3有N（%—1）2+,2

1

即（X—1）2+〉2=/為圓心為（1,0）,半徑為強(qiáng)圓，又|C|=4后手的幾何意義為

一113

原點到圓（X—1）2+>2=^上（羽y）的距離，則］W|C|W］,故A錯誤；

對B,（c—a）-（c—b）=（x—l）x+y（y—2）=x2—x+y2—2y

=（X—1）2+（J—l）2—I，則轉(zhuǎn)化為求圓（X—1）2+y2=］上的點到（3,1）的距離最大值,

為2+：P+B）2_［=（坐+$2_［=1+：書,故B正確；

對C,bc=2y,因為一故一iWbcWl,故C正確；

對D,因為（X—1）2+>2=：,可設(shè)》=箋2+］,尸晉&又因為c=/la+曲故；I

=%,〃=2，

cos。sine吏2#2亞_?I1亞?，2、U_1

x+/z—2十1十4一4（5cos夕十5sin夕）十1一4sin（9十夕）十1,

故當(dāng)sin（0+^）=—1時，其中tan（p=2,丸+〃取最小值1—力-，故D正確.故選

BCD.］

12.3+2i（答案不唯一）［設(shè)z=a+bi（〃，Z?￡R）,則22=Q2—b2+2Qbi,依題意可得

“2—從=5,存0,故可取〃=3,6=2,z=3+2i.（答案不唯一）］

兀3兀5兀7兀

13.12K2［由題圖知，A（2,1）,3（5，—1）,C（-y,1）,D恒,—1）,

所以為=百1）,OB=（c^,—1）,

oc=（v?l）,沆>=母，—1）,

所以為+/=（2兀，0）,OC-\-Ob=（6n,0）,

所以（雨+宿>（沆+而）=2兀*6兀+0><0=12兀2.]

14.22[由題意可知。為A3的中點，且|心|=1,

l)1i]|CA-BC|=|CA+C5|=2|Cd|=2；

TT

設(shè)NBOC=2。,6>e(0,/),DELOE,交0c的延長線于E,

在△BOC中，BC2=OB2+OC2-2OBOCCOS28=2—2COS26?=4sin26?,

故BC=2sin0,則DC=2sin0,

Tl—2。7T

ZOCB=—^—=^-0,又DCLBC,故/DCE=6,

貝!]CE=DCcos6=2sindcos3=sin23,

故沆而=|反H歷|cosNDOE=OCOE=lX(l+sin26)=l+sin20,

當(dāng)。4時，沆而=l+sin26取到最大值21

15.1?(l)VziFR,，戶一1=0,t=±l.

VZ2^R,A2COS0+1=0,cos0=-I，

又?！闧0,兀],.??。=年.

又2i>22,貝1?>sin9=sin與=坐，

故t=l.

(2)YZI=Z2,/.^=sin仇

且Z2—l=2cos」+l,

則sin2<9—l=2cos0+1,則cos20+2cos6+1=0,

即(COS8+1)2=0,得COS6=—1,所以8=71.

16.解⑴由tana=2知a為銳角，

則sina=WcosaT，

故cos(450+a)=->

,3y/ld

sin(45°+a)=,

故點A,B,C的坐標(biāo)分別是(2,0),

f_VTb3師啞2^5]

C10(10)I5，5)'

(2)設(shè)5>=/5^(0W/Wl),

由⑴知，

配延羋卜由,明

昨[一骼,一唔)，

戌=12一塞一唔)，

故走).戌

一啜2筆)+〔一判一甯

又,.?0WW1,

二.當(dāng)/=坐時，曲戌有最小值為一1,

此時點尸的坐標(biāo)為七，I).

17.⑴證明記CD的中點為E,則與)+慶=2施，因為(廢)+慶).病=2%kBC

=0,

所以AEL5C,所以AE為CD的垂直平分線，所以AD=AC=。

12

(2)解記NC4D=仇因為疝>=抻+聲，所以病一屈=2(位:一4))，

所以應(yīng)）=2慶，BD=|a,DC=^a,又AD為內(nèi)角A的平分線，所以搟=筮=2,

c=2b,

在△ACD,△A3。中，分別由余弦定理得:

2

a4a29b2

b2+b2-2b2cosZ?2+4Z?2—4Z?2COSd=~^~,聯(lián)立可得a2=~^,

9戶入2+4〃一絲-------------

21i

在△ABC中，由余弦定理得cosA=后=§，所以sinA=y1—(§)2=

3小

8-

JT

18.解（1）當(dāng)時，設(shè)BP與CQ的交點為M,連接。。，OP,PQ,

則CQ1AB,

BPLAC,

2兀

故/QMP=/BMC=與,

2A/32s

BM=+，MP=MQ=2-^~,

故QP=2X坐—聿

=2^3-2,

即|和|=24—2.

⑵京的=麗+麗）?（沆+汝

=-\+OBCQ+RPOC+RPCQ

-l+2cos|j-6M+2cos8+2X2義小sin6+3cos0-3

=2V3sin^+^)-3,

由e?o,奇，得e+1小y,

故sin(9+§e惇，1,

5

則歷.麗w[o,2V3-3].

即5R的的取值范圍是[0,2^3-3].

19.解⑴由a=(i,1+i),b=(2,2-i),

得a+b=(2+i,3),a-ft=iX2+(l+i)(2+i)=l+5i.

(2)設(shè)。=(Z1,Z2),b—(Z29Z4),C=(Z5,Z6),Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,

則a?》=ziZ3+z2Z4,"a=Z3Zi+z4Z2,故①。?力=Aa不成立，

辦+c=(Z3+z5,Z4+Z6),〃?O=Z1Z3+Z2Z4,〃，C=Z1?Z5+Z2