第14講等可能條件下的概率

內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

匕教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

R-思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

穩(wěn)提升〈小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識(shí)

向知識(shí)點(diǎn)1概率

1.定義：一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A,把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概

率，記為P(A).

(1)一個(gè)事件在多次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性，反映這個(gè)可能性大小的數(shù)值叫做這個(gè)事件發(fā)生的概率。

(2)概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個(gè)數(shù)值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事

件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=-.

n

(1)一般地，所有情況的總概率之和為1。

(2)在一次實(shí)驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有限多個(gè).

(3)在一次實(shí)驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等.

(4)概率從數(shù)量上刻畫了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越

接近1;反之，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0。

(5)一個(gè)事件的概率取值：OWP(A)W1

當(dāng)這個(gè)事件為必然事件時(shí)，必然事件的概率為1,即P(必然事件)=1

不可能事件的概率為0,即P(不可能事件)=0

隨機(jī)事件的概率：如果A為隨機(jī)事件，則0<P(A)<1

(6)可能性與概率的關(guān)系

事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近于I,事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0.

n事件發(fā)生的可能性越來越小I

?.一I概率的值

不可能發(fā)生必然發(fā)生

事件發(fā)生的可能性越來越大

⑤知識(shí)點(diǎn)2求概率的方法

（1）列舉法：通常在一次事件中可能發(fā)生的結(jié)果比較少時(shí)，我們可以把所有可能產(chǎn)生的結(jié)果全部列舉出來，

并且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等時(shí)使用。等可能性事件的概率可以用列舉法而求得。但是我們可以通過用

列表法和樹形圖法來輔助枚舉法。

（2）列表法：當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素（例如擲兩個(gè)骰子），并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重

不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用。

（3）列樹形圖法：當(dāng)一個(gè)實(shí)驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素（例如從3個(gè)口袋中取球）時(shí)，列表就不方便了，

為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果時(shí)使用。

8練習(xí)題講典例

教材習(xí)題01

R兼子中裝有3個(gè)白球和7個(gè)紅娘，這些球除■包外部相

解題方法

同.推勺后從中任意摸出1卜球.

概率的公式計(jì)算

川提到白喙）=_」＞（提到紅球

。（摸軋綠球）=_______J（摸黑白球或紅域）=________.

【答案】

???袋子中共有10個(gè)球，其中白球有3個(gè)

3

?-*P（摸到白球）=而

??袋.子中有紅球7個(gè)

門7

?二尸（摸到紅球）=元

??袋.子中有綠球0個(gè)

0

尸（摸到綠球）=訶=0

??.袋子中只有白球或紅球共有10個(gè)

_10

（摸到白球或紅球）=1萬(wàn)=1

故答案為：±；二；0；1

1010

教材習(xí)題02

一只不透明的能手中裝育I個(gè)大小、.賢地都相間的乒乓球.

球面上分別標(biāo)育數(shù)字L-2.3.-4.拽勺后先從中任急攘解題方法

出1卜球(不放回).再?gòu)挠嘞碌?個(gè)球中任意慢出1個(gè)球.樹狀圖求概率

(1)用樹狀圍列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

(2)求2次操出的乒乓球球面上裝字的次為偈敢的慨率.

【答案】

(1)根據(jù)題意畫樹形圖：

1-23-4

4\小小小

-23-413-41-2-41-23

由圖可知共有12種可能結(jié)果，分別為：(1,—2),

(1,3),(1,-4),(-2,1),(-2,3),

(-2,-4),(3,1),(3,-2),(3,-4),(-4,1),

(—4,-2),(-4,3);

(2)在(1)中的12種可能結(jié)果中，兩個(gè)數(shù)字之積為

5

偶數(shù)的只有1。種，P(積為偶數(shù))).

教材習(xí)題03

如圖.轉(zhuǎn)改A中的4個(gè)由相的面枳粕等.轉(zhuǎn)盤B中的6個(gè)小形的

面較相等.有人設(shè)計(jì)了備下游戲規(guī)JH；甲、乙兩人分別任塞好動(dòng)

小盆A、B1次.當(dāng)小長(zhǎng)停止輯動(dòng)時(shí).將指針?biāo)浔獠手械?個(gè)教

相乘.如果所得的瓶是仙教.那么甲關(guān)勝；如果所得的欽是才4t.解題方法

①樹狀圖求概率

②游戲設(shè)計(jì)

(】)這樣的規(guī)制公平嗎？為什么？/NL>\

⑵m樣的機(jī)則不公平.請(qǐng)OyW

設(shè)計(jì)一個(gè)公平的規(guī)附.并說

___AB

明理由.

【答案】

（】）畫樹狀圖如下：

開始

1234

123456123456123456123456

積123456246810123691215184812162024

由樹狀圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中甲獲勝的

結(jié)果有18種，乙獲勝的結(jié)果有6種，所以甲獲勝的概

率屋=;，乙獲勝的概率=[=:.

244244

（2）這樣的規(guī)則公平.理由如下：

畫樹狀圖如下：

開始

和2345673456784567895678910

由樹狀圖知，共有24種等可能結(jié)果，其中甲獲勝的結(jié)

果有12種，乙獲勝的結(jié)果有12種，所以甲獲勝的概

10I1?1

率或與，乙獲勝的概率或=5,所以甲獲勝的概

率二乙獲勝的概率,所以這樣的規(guī)則公平.

8練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)/8練題型強(qiáng)知識(shí)

考點(diǎn)一概率的意義

1.（24-25九年級(jí)上?山西呂梁?期末）下列說法中正確的是（）

A.種植一種花卉成活率是95%,則種100株這種花一定會(huì)有95株成活

B.天氣預(yù)報(bào)“明天降水概率是20%”是指明天有20%的時(shí)間會(huì)下雨

C.某位體育老師參加賈家莊半程馬拉松比賽一定能獲得大獎(jiǎng)

D.連續(xù)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若3次都擲出“1”，則第4次仍然可能擲出“1”

【答案】D

【分析】本題考查的是概率的意義，熟知概率只是表示某事件發(fā)生的可能性是解答此題的關(guān)鍵.根據(jù)概

率的意義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：A、種植一種花卉成活率是95%,則種100株這種花不一定會(huì)有95株成活，故A說法錯(cuò)

誤，不符合題意；

B、天氣預(yù)報(bào)“明天降水概率是20%”，是指明天有20%的概率會(huì)下雨，故B說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、某位體育老師參加賈家莊半程馬拉松比賽不一定能獲得大獎(jiǎng)，故C說法錯(cuò)誤，不符合題意；；

D、連續(xù)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若3次都擲出“1”，則第4次仍然可能擲出“1”，故D說法正確，符合

題意；

故選：D.

2.（24-25九年級(jí)上?江蘇泰州?期末）某事件A發(fā)生的概率是京，則下列推斷正確的是（）

A.做100次這種實(shí)驗(yàn)，事件A必發(fā)生3次

B.做100次這種實(shí)驗(yàn)，事件A不可能發(fā)生4次

C.做1000次這種實(shí)驗(yàn)，事件A必發(fā)生30次

D.大量重復(fù)做這種實(shí)驗(yàn)，事件A平均每100次發(fā)生3次

【答案】D

【分析】本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)概率的意義，即可解答.

【詳解】解：某事件A發(fā)生的概率是烹，大量重復(fù)做這種實(shí)驗(yàn)，事件A平均每100次發(fā)生3次，

100

故選：D

3.（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?期末）下列說法正確的是（）

A.一顆質(zhì)地均勻的骰子已連續(xù)擲了2023次，其中擲出5點(diǎn)的次數(shù)最少，則第2024次一定擲出5點(diǎn)

B.某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%,因此買100張?jiān)摬势币欢〞?huì)中獎(jiǎng)

C.天氣預(yù)報(bào)說明天下雨的概率是50%,所以明天將有一半時(shí)間在下雨

D.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和一定是180。

【答案】D

【分析】本題考查了概率的意義，理解概率的意義反映的只是這一事件發(fā)生的可能性的大小是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：A.一顆質(zhì)地均勻的骰子已連續(xù)擲了2023次，其中擲出5點(diǎn)的次數(shù)最少，則第2024次不

一定擲出5點(diǎn)，原說法錯(cuò)誤；

B,某種彩票中獎(jiǎng)的概率是1%,買100張?jiān)摬势辈灰欢〞?huì)中獎(jiǎng)，原說法錯(cuò)誤；

C.天氣預(yù)報(bào)說明天下雨的概率是50%,所以明天下雨的幾率是50%,原說法錯(cuò)誤；

D.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和一定是180。，說法正確；

故選：D.

考點(diǎn)二判斷幾個(gè)事件概率的大小關(guān)系

1.（22-23八年級(jí)下?江蘇宿遷?期末）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球、3個(gè)紅球，這些球除

顏色外都相同，將球搖勻，從中任意摸出1個(gè)球，則摸到球的概率最大的是（）

A.白球B.黑球C.紅球D.黃球

【答案】C

【分析】根據(jù)概率公式可知，哪種球的數(shù)量最多，摸到那種球的概率就大.

【詳解】解：袋子中裝有1個(gè)白球，2個(gè)黃球和3個(gè)紅球，

3>2>1

...其中紅球最多，

...摸到紅球的概率最大.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式，隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)?所有可能出現(xiàn)的

結(jié)果數(shù).

2.北京冬奧會(huì)于2022年2月4日至20日勝利舉行.現(xiàn)有3張紀(jì)念郵票，分別是“會(huì)徽”、“冰墩墩”、“雪容融”，

這三張郵票除正面內(nèi)容不同外其余均相同.現(xiàn)將3枚郵票放入一個(gè)不透明的袋子中，攪勻后從中任意抽

出一張，小紅第一個(gè)抽.下列說法正確的是（）

A.小紅抽到“會(huì)徽”的可能性最小B.小紅抽到“冰墩墩”的可能性最大

C.小紅抽到“雪容融”的可能性最大D.小紅抽到三種郵票的可能性相同

【答案】D

【分析】根據(jù)概率公式即可得出答案.

【詳解】解：???共有3張紀(jì)念郵票，分別是“會(huì)徽”、“冰墩墩”“雪容融”，

???小紅抽到三種郵票的可能性相同，抽到的概率都是：；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了基本概率的計(jì)算及比較可能性大小，用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.

3.（22-23九年級(jí)上?浙江杭州?期末）拋一枚均勻的骰子，下列事件中，發(fā)生可能性最大的是（）

A.點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)B.點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)

C.點(diǎn)數(shù)大于5D.點(diǎn)數(shù)小于5

【答案】D

【分析】分別計(jì)算各自概率后判斷即可.

【詳解】A.???奇數(shù)有1,3,5共3個(gè)，.?.點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為：=；

62

B...P的倍數(shù)的數(shù)有3,6,.?.點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的概率為：=；；

63

C.?.,點(diǎn)數(shù)大于5的數(shù)有6共1個(gè)，.?.點(diǎn)數(shù)大于5的概率為3

6

D...?點(diǎn)數(shù)小于5的數(shù)有1,2,3,4共4個(gè)，.?.點(diǎn)數(shù)小于5的概率為；=［；

63

..1112

發(fā)生可能性最大的是點(diǎn)數(shù)小于5.

故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查了概率的計(jì)算方法，如果一個(gè)事件有幾種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事

件A出現(xiàn)機(jī)種結(jié)果，那么事件A的概率P（a）=；

考點(diǎn)三根據(jù)概率公式計(jì)算概率

1.（23-24七年級(jí)下?甘肅蘭州?期末）中國(guó)古代數(shù)學(xué)有著輝煌的成就，《周髀算經(jīng)》、《算學(xué)啟蒙》、《測(cè)

圓海鏡》、《四元玉鑒》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).某中學(xué)擬從這4部數(shù)學(xué)名著中選擇1部作為校本

課程“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，恰好選中《算學(xué)啟蒙》的概率是（）

A.—B.—C.—D.-

2346

【答案】c

【分析】本題考查了概率公式，根據(jù)中學(xué)擬從《周髀算經(jīng)》、《算學(xué)啟蒙》、《測(cè)圓海鏡》、《四元玉

鑒》這4部數(shù)學(xué)名著中選擇1部作為校本課程“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，則運(yùn)用概率公式得出恰好選中《算

學(xué)啟蒙》的概率，即可作答.

【詳解】解：：某中學(xué)擬從《周髀算經(jīng)》、《算學(xué)啟蒙》、《測(cè)圓海鏡》、《四元玉鑒》這4部數(shù)學(xué)名

著中選擇1部作為校本課程“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，

恰好選中《算學(xué)啟蒙》的概率是J,

故選：C

2.（24-25九年級(jí)上?陜西安康?期末）校長(zhǎng)陪餐制度深受學(xué)生家長(zhǎng)的認(rèn)可，一天午餐時(shí)，張校長(zhǎng)已經(jīng)坐在了

④號(hào)座位，學(xué)生甲在①?③號(hào)座位中隨機(jī)選擇一個(gè)座位就坐，則學(xué)生甲恰好坐在張校長(zhǎng)正對(duì)面的概率為

（）

【答案】B

【分析】本題考查了求概率，熟練掌握概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

利用概率計(jì)算公式計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意得，學(xué)生甲恰好坐在張校長(zhǎng)正對(duì)面的概率為右

故選：B.

3.（24-25九年級(jí)上?河南鄭州?期末）在如圖所示的圖形中隨機(jī)撒一把豆子，把“在圖形中隨機(jī)撒豆子”作為

試驗(yàn)，把“豆子落在區(qū)域C中”記作事件W,估計(jì)事件W的概率P（W）的值為（）

【答案】D

【分析】本題考查幾何概率，掌握概率公式是解題關(guān)鍵.分別求出區(qū)域C和最大的圓的面積，再根據(jù)概

率公式求解即可.

【詳解】解：由圖可知區(qū)域C的面積為22xn=4n,

最大的圓的面積為（2+2+27xit=36TT,

二“豆子落在C中”的概率P（l￥）

36119

故選：D.

4.（24-25九年級(jí)上?內(nèi)蒙古烏海?期末）十字路口的交通信號(hào)燈每分鐘紅燈亮28秒，綠燈亮29秒，黃燈亮

3秒，當(dāng)你抬頭看信號(hào)燈時(shí)，是綠燈的概率為.

【答案嚷

【分析】本題主要考查了概率公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握概率是計(jì)算公式，讓綠燈亮的時(shí)間

除以時(shí)間總數(shù)60即為所求的概率.

【詳解】解：一共是60秒，綠燈是29秒，

所以綠燈的概率是「=晨

60

故答案為：

60

考點(diǎn)四已知概率求數(shù)量

1.（24-25九年級(jí)上?福建南平?期末）在一個(gè)箱子內(nèi)放有同種規(guī)格的白球和紅球若干個(gè)，己知白球有20個(gè),

攪勻后多次重復(fù)隨機(jī)摸取，若摸到白球的頻率為0.2,則箱子內(nèi)的紅球大約有（）

A.120個(gè)B.100個(gè)C.80個(gè)D.60個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

設(shè)箱子內(nèi)的紅球大約有x個(gè)，利用概率公式列式計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)箱子內(nèi)的紅球大約有x個(gè)，

解得x=80,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=80是方程的解，

即箱子內(nèi)的紅球大約有80個(gè).

故選：C.

2.（23-24九年級(jí)上.廣西河池.期末）一個(gè)不透明布袋里有3個(gè)紅球，4個(gè)白球和m個(gè)黃球，這些球除顏色外

其余都相同.若從中隨機(jī)摸出1個(gè)球是紅球的概率為0.25,則機(jī)的值為.

【答案】5

【分析】本題考查了概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)題意求出布袋中球的總數(shù).

根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出總的球的個(gè)數(shù)，從而可以求得m的值.

【詳解】由題意可得，布袋中球的總數(shù)為：3+0.25=12（個(gè)），

所以爪=12—3—4=5

故答案為：5.

3.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?期末）一個(gè)不透明布袋里裝有4個(gè)紅球和5個(gè)白球，現(xiàn)在放進(jìn)去n個(gè)黃球（僅顏

色不同）.若從中任意摸出的1個(gè)球是黃球的概率為:，則幾=

4

【答案】3

【分析】本題考查了概率的計(jì)算，分式的運(yùn)用，理解概率的計(jì)算方法，分式的方程的運(yùn)用是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：袋里裝有4個(gè)紅球和5個(gè)白球，w個(gè)黃球，任意摸出的1個(gè)球是黃球的概率為三，

4

.n

??—_―1,

4+5+n4

解得，n—3,

檢驗(yàn)，當(dāng)n=3時(shí)，原分式方程有意義，

n=3,

故答案為：3.

4.（24-25九年級(jí)上?貴州黔南?期末）一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和n個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他

差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，若摸到白球的概率是|,則n的值為.

【答案】2

【分析】本題考查了概率公式和解分式方程，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)概率公式列方程計(jì)算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得啖

n+35

解得：n=2,

經(jīng)檢驗(yàn)：幾=2是分式方程的解，

故答案為：2.

考點(diǎn)五幾何概率

1.（24-25九年級(jí)上?江西贛州?期末）如圖所示是一圓形飛鏢游戲板，大圓的半徑。B=2,小圓半徑。4=1,

向游戲板隨機(jī)投擲一枚飛鏢（飛每次都落在游戲板上），則擊中陰影部分的概率是.

【答案】

4

【分析】本題主要考查幾何概率，熟練掌握幾何概率的求法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)幾何概率的求法進(jìn)行

解答即可.

【詳解】解：,??大圓的半徑。8=2,小圓半徑。2=1,

二大圓面積是小圓面積的4倍，

???陰影部分面積是小圓面積的3倍，

故擊中陰影部分的概率是I

故答案為：

4

2.（24-25九年級(jí)上?湖北武漢?期末）正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,分別以四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑作弧

形成如圖所示的封閉圖形（陰影部分）.在正方形ABCD上做隨機(jī)投針試驗(yàn)，針頭落在陰影部分的概率

是.（用含TT的式子表示）.

【答案】？

【分析】本題考查了幾何概率，求出正方形的面積與陰影部分的面積，再用陰影部分的面積除以正方

形的面積即可得解.

【詳解】解：由題意可得，正方形的面積為2x2=4,陰影部分的面積為4-m

...在正方形ABC。上做隨機(jī)投針試驗(yàn)，針頭落在陰影部分的概率是三二

故答案為：三二

4

3.（22-23九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期末）如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成.向游戲板隨

機(jī)投擲一枚飛鏢（每次飛鏢均落在紙板上），擊中陰影區(qū)域的概率是

【答案】J

【分析】本題考查了求幾何概率，熟練掌握幾何概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

飛鏢游戲板由大小相等的9個(gè)小正方形格子構(gòu)成，陰影區(qū)域由大小相等的4個(gè)小正方形格子構(gòu)成，根據(jù)

概率公式計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：???飛鏢游戲板由大小相等的9個(gè)小正方形格子構(gòu)成，陰影區(qū)域由大小相等的4個(gè)小正方形格

子構(gòu)成，

???擊中陰影區(qū)域的概率是右

故答案為：點(diǎn)

4.（24-25九年級(jí)上?湖北恩施?期末）如圖是4x4的正方形網(wǎng)格飛鏢游戲板，假設(shè)飛鏢擊中游戲板的每一處

是等可能的（擊中邊界或沒有擊中游戲板，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的

概率是

【答案】i

4

【分析】本題考查了幾何概率，掌握幾何概率的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)幾何概率的計(jì)算方法解答即可.

【詳解】解：由題意得：一個(gè)陰影小三角形的面積為IX1=%

則陰影部分面積為［x8=4,

???正方形網(wǎng)格的面積為4X4=16,

???任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是

164

故答案為：

4

考點(diǎn)六列表法或樹狀圖法求概率

1.（24-25九年級(jí)上?四川成都?期末）為了弘揚(yáng)體育文化，強(qiáng)健居民體魄，某社區(qū)組織開展歡樂跑活動(dòng)，該

活動(dòng)受到了轄區(qū)居民的熱烈響應(yīng).為了解選手的年齡結(jié)構(gòu)，隨機(jī)抽取了部分選手進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果

根據(jù)年齡歲)分為四類，A類：x<30；B類:303光<40；C類：40<x<50；D類:x>50.現(xiàn)

將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

請(qǐng)根據(jù)圖中的信息解答下列問題：

(1)此次調(diào)查一共隨機(jī)抽查了名選手；

⑵請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

(3)己知年齡在“。類”的四名選手中，有兩名男性和兩名女性.現(xiàn)需要從這四名選手中隨機(jī)選擇兩名選

手接受采訪，請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法，求所選擇的兩名選手恰好是一男一女的概率.

【答案］⑴20

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖見解析

(3)樹狀圖見解析，兩名選手恰好是一男一女的概率|

【分析】本題考查列表法或樹狀圖法，頻率分布直方圖以及扇形統(tǒng)計(jì)圖.

(1)從兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖可知，樣本中“2類”的有8名，占被調(diào)查人數(shù)的40%,根據(jù)頻率=頻數(shù)+總數(shù)即可求

出被調(diào)查人數(shù)；

(2)求出樣本中“C類”的人數(shù)即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)用樹狀圖表示從“。類”的兩男兩女4人中任意抽取2人，所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的

定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：8+40%=20(名)，

故答案為：20；

(2)解：樣本中“C類”的人數(shù)為20-3-8-4=5(名),

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

個(gè)人數(shù)

8

(3)解：從“D類”的兩男兩女4人中任意抽取2人，所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下:

開始

共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中2人中恰好是一男一女的有8種，

所以從“。類''的兩男兩女4人中任意抽取2人，其中2人中恰好是一男一女的概率備=|.

2.(24-25九年級(jí)上?江蘇泰州?期末)4張相同的卡片正面分別寫有中國(guó)二十四節(jié)氣中的“立春”、“雨水”、“驚

蟄”、“春分”的字樣，將卡片的背面朝上.

⑴洗勻后從中隨機(jī)抽取1張卡片，抽到“立春”的概率為；

(2)洗勻后從中隨機(jī)抽取2張卡片，用樹狀圖或列表的方法，求抽到“雨水”和“春分”的概率(畫圖或列

表時(shí)可將“立春”、“雨水”、“驚蟄”、“春分”分別用A、B、C、。表示).

【答案】⑴；

4

直

【分析】本題考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算、利用樹狀圖法求概率，熟練掌握列舉法是解題關(guān)鍵.

(1)直接利用概率公式計(jì)算即可得；

(2)先畫出樹狀圖，從而可得洗勻后從中隨機(jī)抽取2張卡片的所有等可能的結(jié)果，再找出抽到“雨水”

和“春分”的結(jié)果，然后利用概率公式計(jì)算即可得.

【詳解】(1)解：因?yàn)橄磩蚝髲闹须S機(jī)抽取1張卡片共有4種等可能的結(jié)果，

所以洗勻后從中隨機(jī)抽取1張卡片，抽到“立春”的概率為P=

故答案為：

4

(2)解：由題意，畫出樹狀圖如下：

開始

-----

ABCD

BCDACDABDABC

由圖可知，洗勻后從中隨機(jī)抽取2張卡片共有12種等可能的結(jié)果，其中，抽到“雨水”和“春分”的結(jié)果

有2種,

所以抽至「雨水”和“春分”的概率為P=5=；，

126

答：抽至I]“雨水”和“春分”的概率為3

3.(24-25九年級(jí)上?廣東云浮?期末)人工智能是數(shù)字經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展的引擎，也是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)

變革的重要驅(qū)動(dòng).人工智能市場(chǎng)分為決策類人工智能、人工智能機(jī)器人、語(yǔ)音類人工智能、視覺類人

工智能四大類型.科技小組的同學(xué)打算利用抽簽的方式選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，他們將四個(gè)類型的圖標(biāo)依次制

成4B,C,。四張卡片(卡片背面完全相同)，且將四張卡片背面朝上洗勻放置在桌面上.

A.決策類人工智能B.人工智能機(jī)器人C.語(yǔ)音類人工智能D.視覺類人工智能

(1)從中隨機(jī)抽取一張，抽到人工智能機(jī)器人的卡片的概率為

(2)從中隨機(jī)抽取一張，記錄卡片的內(nèi)容后放回洗勻，再隨機(jī)抽取一張，若兩次抽到的卡片內(nèi)容一致,

則選擇該卡片內(nèi)容學(xué)習(xí).請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求兩次抽取到的卡片內(nèi)容一致的概率.

【答案】⑴]

(%

【分析】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.

(1)直接根據(jù)概率公式求解即可；

(2)根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出

答案.

【詳解】⑴解：:?共有4張卡片，

從中隨機(jī)抽取一張，抽到?jīng)Q策類人工智能的卡片的概率為;;

4

故答案為：:；

4

(2)解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

開始

ABCD

/yv./yv.

ABCDABCDABCDABCD

共有16種等可能的結(jié)果，其中抽取到兩張內(nèi)容一致的卡片的結(jié)果有4種,

所以兩次抽取到的卡片內(nèi)容一致的概率嗚=%

考點(diǎn)七判斷游戲的公平性

1.（20-21九年級(jí)上.安徽六安.期末）小明和小亮玩一個(gè)游戲：取三張大小、質(zhì)地都相同的卡片，上面分別

標(biāo)有數(shù)字3、4、5（背面完全相同），現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下.小明從中任意抽取一張，記下數(shù)字后

放回洗勻，然后小亮從中任意抽取一張，計(jì)算小明和小亮抽得的兩個(gè)數(shù)字之和.

⑴請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法，求出這兩數(shù)和為8的概率.

（2）如果和為奇數(shù)，則小明勝；若和為偶數(shù)，則小亮勝.你認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？做出判斷，

并說明理由.

【答案】⑴|

（2）這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方是不公平的，理由見解析

【分析】此題考查了列表法求概率.注意樹狀圖與列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情況.用

到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

（1）首先根據(jù)題意列表，然后根據(jù)表求得所有等可能的結(jié)果與兩數(shù)和為8的情況，再利用概率公式求

解即可；

（2）分別求出和為奇數(shù)、和為偶數(shù)的概率，即可得出游戲的公平性.

【詳解】（1）解：列表如下：

345

33+3=64+3=75+3=8

43+4=74+4=85+4=9

53+5=84+5=95+5=10

總共有9種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而兩數(shù)和為8的結(jié)果有3種，

因此尸（兩數(shù)和為8）=|；

（2）這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方不公平.

理由：因?yàn)镻（和為奇數(shù)）=\,P（和為偶數(shù)）=|,

因?yàn)椋壑疲?/p>

所以這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方是不公平的.

2.（24-25九年級(jí)上?遼寧葫蘆島?期末）美術(shù)課上，小明和小亮用質(zhì)地均勻的材料做了兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的

轉(zhuǎn)盤，用來做“配紫色”游戲：每個(gè)轉(zhuǎn)盤都被分成面積相等的幾個(gè)扇形，并涂上圖中所示的顏色.游戲

者同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)盤A指針指向紅色，轉(zhuǎn)盤B指針指向藍(lán)色，或者轉(zhuǎn)盤A指針指向藍(lán)色，轉(zhuǎn)盤

B指針指向紅色，那么紅色和藍(lán)色涂在一起就可以配成紫色，如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一

次，直到指針指向一個(gè)顏色為止.

（1）利用列表或畫樹狀圖的方法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）游戲規(guī)定若配成紫色，則小明勝，否則小亮勝；請(qǐng)問這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？說明理由.

【答案】（1）見解析

（2）不公平，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)列表法計(jì)算結(jié)果種數(shù)即可.

（2）利用列表法解答即可.

本題考查了列表法求概率，熟練掌握列表法求概率是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，列表如下：

紅1藍(lán)1紅2黃1

紅（紅1,紅3）（藍(lán)1,紅3）（紅2,紅3）（黃1,紅3）

3

藍(lán)（紅1,藍(lán)2）（藍(lán)1,藍(lán)2）（紅2,藍(lán)2）（黃1,藍(lán)2）

2

黃（紅1,黃2）（藍(lán)1,黃2）（紅2,黃2）（黃1,黃2）

2

（2）解：根據(jù)上述表格可得，共有12種等可能結(jié)果，其中可配成紫色的結(jié)果有3種，

分別為（紅1,藍(lán)2）,（紅2,藍(lán)2）,（藍(lán)1,紅3）,

_3_1

,,,產(chǎn)（配成紫色）=石="

.13

則P（不能配成紫色）=1-]=下

,:一1,〈3一,

44

即不能配成紫色的可能性大一些

???此游戲?qū)﹄p方不公平.

3.（24-25九年級(jí)上?湖北省直轄縣級(jí)單位?期末）一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字-4,-3,3,

4的小球，它們的形狀、大小完全相同.小紅先從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)字為X；小穎在剩下

的3個(gè)小球中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下數(shù)字為y.

（1）請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法表示出由x,y確定的點(diǎn)P（x,y）所有可能的結(jié)果；

（2）若規(guī)定：點(diǎn)PQ,y）在第一象限或第三象限小紅獲勝；點(diǎn)PQ,y）在第二象限或第四象限則小穎獲勝.這

個(gè)游戲是否公平，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見詳解

(2)這個(gè)游戲不公平，理由見詳解

【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n,再?gòu)闹?/p>

選出符合事件4或B的結(jié)果數(shù)目然后根據(jù)概率公式求出事件4或B的概率.

(1)通過列表展示所有12種等可能性的結(jié)果數(shù)；

(2)找出在第一象限或第三象限的結(jié)果數(shù)和第二象限或第四象限的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算兩

人獲勝的概率.

【詳解】(1)列表如下：

—4-334

一4(-4,-3)(-4,3)(-4,4)

-3(-3,-1)(-3,3)(-3,4)

3⑶-4)(3，-3)(3,4)

4(4,-4)(4,-3)(%3)

(2)從上面的表格可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，

其中點(diǎn)(久斤)在第一象限或第三象限的結(jié)果有4種，

第二象限或第四象限的結(jié)果有8種，

所以小紅獲勝的概率=*=%

小穎獲勝的概率=號(hào)=|,

?/i-

33

這個(gè)游戲不公平.

4.(24-25九年級(jí)上?廣東佛山?期中)順德區(qū)某校開設(shè)的研學(xué)課程受到了來自各年級(jí)同學(xué)的熱烈歡迎，其中

在九年級(jí)開設(shè)的廣繡研學(xué)課程更是異?；鸨蛎~有限，每班只能派一個(gè)同學(xué)參加.九年級(jí)一班的

小明、小紅和小亮都想?yún)⒓樱谑侨藳Q定一起做“摸牌”游戲，獲勝者參加.規(guī)則如下：將牌面數(shù)字

分別為1,2,3的三張紙牌(除牌面數(shù)字外，其余都相同)背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從

中隨機(jī)摸出一張，記下數(shù)字后放回并洗勻，小紅再?gòu)闹须S機(jī)摸出一張.若兩次摸到的數(shù)字之和大于4,

則小明勝；若和小于4,則小紅勝：若和等于4,則小亮獲勝.

(1)小明從三張紙牌中隨機(jī)摸出一張，摸到“1”的概率是；

(2)請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，說明小明參加廣繡研學(xué)課程的概率是多少？

(3)你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？為什么？

【答案】(1)小明從三張紙牌中隨機(jī)摸出一張，摸到“1”的概率是(

(2)小明獲勝的概率為?

(3)游戲公平，原因見解析

【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，樹狀圖法或列表法求解概率，

(1)根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；

(2)畫出樹狀圖得到所有符合題意的等可能性的結(jié)果數(shù)，再分別找到兩次數(shù)字之和大于4和小于4的

結(jié)果，再依據(jù)概率計(jì)算公式計(jì)算出兩人獲勝的概率即可得到結(jié)論.

(3)結(jié)合(2)中得一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中，兩次摸到的數(shù)字之和大于4、兩次摸到的數(shù)

字之和小于4和兩次摸到的數(shù)字之和等于4的概率相等，即可判定.

【詳解】(1)解：???一共有3張牌，其中寫有數(shù)字1的牌有1張，且每張牌被摸到的概率相同,

，小明從三張紙牌中隨機(jī)摸出一張，摸至U'T'的概率是

(2)解：畫樹狀圖如下所示：

小明

小紅

和234345456

由樹狀圖可知，一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸到的數(shù)字之和大于4的結(jié)果數(shù)有3種，兩

次摸到的數(shù)字之和小于4的結(jié)果數(shù)有3種，其中兩次摸到的數(shù)字之和等于4的結(jié)果數(shù)有3種，

???小明獲勝的概率為1=3

(3)解：游戲公平；由(2)可知

小明獲勝的概率為|=彳小紅獲勝的概率為|=:；小亮獲勝的概率為

???游戲公平.

8串知識(shí)識(shí)框架

知識(shí)導(dǎo)圖記憶

知識(shí)目標(biāo)復(fù)核

1.概率的意義

2.根據(jù)概率公式計(jì)算

3.幾何概率

4.已知概率求數(shù)量

5.列表法或樹狀圖法求概率

一、單選題

1.（24-25九年級(jí)上?甘肅慶陽(yáng)?期末）下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.如果某彩票的中獎(jiǎng)概率是1%,那么一次購(gòu)買100張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

B.“經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口時(shí)遇到紅燈”是隨機(jī)事件

C.“平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”是必然事件

D.“任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是540?！笔遣豢赡苁录?/p>

【答案】A

【分析】本題考查了事件的分類和概率，根據(jù)概率的意義及隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件的定義

逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、如果某彩票的中獎(jiǎng)概率是1%,那么一次購(gòu)買100張這種彩票不一定會(huì)中獎(jiǎng)，該選項(xiàng)說

法錯(cuò)誤，符合題意；

B、“經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口時(shí)遇到紅燈”是隨機(jī)事件，該選項(xiàng)說法正確，不合題意；

C、“平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”是必然事件，該選項(xiàng)說法正確，不合題意；

D、“任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是540?！笔遣豢赡苁录撨x項(xiàng)說法正確，不合題意；

故選：A.

2.（24-25九年級(jí)上?陜西西安?期末）向空中拋一枚硬幣，硬幣落地后正面朝上的概率為（）

1121

A.-B.-C.-D.-

4332

【答案】D

【分析】本題考查了概率的意義，明確概率的意義及計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

直接利用概率的意義分析得出答案.

【詳解】解：：拋擲一枚硬幣只有兩種情況：正面朝上或反面朝上，

...硬幣落地后正面朝上的概率為

故選：D.

3.（24-25九年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?期末）如圖所示的電路中，當(dāng)隨機(jī)閉合開關(guān)SI、52、S3中的兩個(gè)時(shí)，能夠讓

燈泡發(fā)光的概率為（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了樹狀圖法以及概率公式，正確的畫出樹狀圖是解此題的關(guān)鍵.畫樹狀圖，共

有6種等可能的結(jié)果，其中能夠讓燈泡發(fā)光的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可.

【詳解】解：由電路圖可知，當(dāng)同時(shí)閉合開關(guān)S］和S2，Si和S3時(shí)，燈泡能發(fā)光，

畫樹狀圖如下：

S、

/\/\/\

S.S,

共有6種等可能結(jié)果，其中燈泡能發(fā)光的有4種,

二燈泡能發(fā)光的概率為：=:，

故選：C.

4.（24-25九年級(jí)上?浙江寧波?期末）小鎮(zhèn)和小海玩擲飛鏢的游戲，他們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的矩形靶子力BCD,

點(diǎn)、E,尸分別是邊AB,CD上的點(diǎn)，EF||BC,小鎮(zhèn)投擲的1次飛鏢落在陰影部分的概率是（）

【答案】C

【分析】此題考查矩形的判定和性質(zhì)，概率計(jì)算公式，從圖中找到題目中所要求的信息.用到的知識(shí)

點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.

將圖形分為矩形AEFD和矩形CBE尸兩部分，可得三角形4DG是矩形AEFD面積的一半，三角形8cH是矩

形C8EF面積的一半，從而可得飛鏢落在陰影部分的概率.

【詳解】解：分別是矩形4BCD的兩邊上的點(diǎn)，EF||BC,

:.乙BEF=乙EBC=4BCF="DC=/LDAB=乙AEF=90°,

/.四邊形2EFD和四邊形CBEF是矩形，

,?S4ADG==2s矩形改尸后，

.111

,?S陰影=SAADG+SACBH=5s矩形4EFD+矩形BCFE=5s矩形4BCD，

飛鏢落在陰影部分的概率是也

故選：C.

5.（24-25九年級(jí)上?山西臨汾?階段練習(xí)）如圖1,長(zhǎng)為10cm,寬為8cm的長(zhǎng)方形內(nèi)部有一不規(guī)則圖案（圖

中陰影部分），數(shù)學(xué)小組為了探究該不規(guī)則圖案的面積是多少，進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，通過計(jì)算機(jī)

隨機(jī)投放一個(gè)點(diǎn)，并記錄該點(diǎn)落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（點(diǎn)在界線上不計(jì)入試驗(yàn)結(jié)果），得到如下數(shù)

據(jù)：

由此可估計(jì)不規(guī)則圖案的面積大約為（）

A.32cm2B.24cm2C.16cm2D.8cm2

【答案】B

【分析】本題考查了幾何概率以及用頻率估計(jì)概率，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了題目創(chuàng)新，關(guān)鍵在于讀懂折

線統(tǒng)計(jì)圖的含義，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定于03附近，由此得實(shí)驗(yàn)的頻率，并把它作為概率.這

對(duì)學(xué)生知識(shí)的靈活應(yīng)用提出了更高的要求.根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖知，當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)逐漸增加時(shí)，樣本的頻

率穩(wěn)定在0.3,因此用頻率估計(jì)概率，再根據(jù)幾何概率知，不規(guī)則圖案的面積與矩形面積的比為0.3,即

可求得不規(guī)則圖案的面積.

【詳解】解：由折線統(tǒng)計(jì)圖知，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，小球落在不規(guī)則圖案上的頻率穩(wěn)定在0.3,于是

把0.3作為概率.

設(shè)不規(guī)則圖案的面積為xcm2,則有2=0.3

10X8

解得：x=24,

即不規(guī)則圖案的面積為24cm2.

故選：B.

二、填空題

6.（24-25九年級(jí)上?浙江杭州?期末）某單位組織抽獎(jiǎng)活動(dòng)，共準(zhǔn)備100張獎(jiǎng)券，其中一等獎(jiǎng)10張，二等

獎(jiǎng)30張，其余的獎(jiǎng)券都是三等獎(jiǎng)，則從中隨機(jī)抽出一張獎(jiǎng)券中三等獎(jiǎng)的概率是.

【答案】|/0.6

【分析】本題考查了概率公式，用三等獎(jiǎng)的數(shù)量除以獎(jiǎng)券的總個(gè)數(shù)即可.

【詳解】解：100張獎(jiǎng)券，其中一等獎(jiǎng)10張，二等獎(jiǎng)30張，則三等獎(jiǎng)100-10—30=60張，

一張獎(jiǎng)券中三等獎(jiǎng)的概率為提=|.

故答案為：|-

7.（24-25九年級(jí)上?江蘇鎮(zhèn)江?期末）如圖，可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被分成兩個(gè)扇形區(qū)域，分別標(biāo)有字母A和

8,標(biāo)有A的扇形圓心角的度數(shù)為135。，自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，指針落在標(biāo)有A的扇形區(qū)域內(nèi)的概率為.

【答案】-/0.375/37.5%

8

【分析】本題考查了幾何概率：某事件的概率=這個(gè)事件所占有的面積與總面積之比.根據(jù)幾何概率的

求法，用標(biāo)有A的扇形的面積除以轉(zhuǎn)盤的面積，根據(jù)扇形的面積公式，標(biāo)有A的扇形的面積與轉(zhuǎn)盤的

面積之比等于標(biāo)有A的扇形圓心角的度數(shù)與360。之比.

【詳解】解：自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，指針落在標(biāo)有A的扇形區(qū)域內(nèi)的概率=