第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省莆田二中高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，且f′(x0)=2，則?→0A.2 B.4 C.0 D.?42.已知C12x?2=C122x?4A.2 B.6 C.12 D.2或3.在(1+x)4(1+y)6的展開式中A.36 B.45 C.60 D.724.甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有(

)A.12種 B.24種 C.36種 D.48種5.已知隨機變量X～B(n,p)，若E(X)=4，Y=2X+3，D(Y)=3.2，則下列結論正確的是(

)A.E(Y)=16 B.D(X)=0.5 C.p=0.6 D.P(X=2)=6.某單位選派一支代表隊參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預備隊.選哪支隊是隨機的，其中選“初心”隊獲勝的概率為0.8，選“使命”隊荻勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊參加比賽的概率為(

)A.29 B.25 C.8157.若函數(shù)f(x)=x33?a2x2A.(2,52) B.[2,52)8.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四支球隊進行單循環(huán)比賽，即每兩支球隊在比賽中都要相遇且僅相遇一次，最后按各隊的積分排名(積分多者名次靠前，積分同者名次并列)積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，若每場比賽中每隊勝，平，負的概率都為13，則在比賽結束時，甲隊勝2場且乙隊勝2場的概率為(

)A.2243 B.4243 C.127二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在二項式(x?1A.常數(shù)項是154 B.有理項的個數(shù)為1

C.各項系數(shù)和是164 D.10.某社區(qū)派出A，B，C，D，E五名志愿者全部安排到甲、乙、丙、丁四個社區(qū)協(xié)助開展防護排查工作，每名志愿者只能到一個社區(qū)工作，則下列結論中正確的是(

)A.所有不同的分派方案共45種

B.若甲社區(qū)不安排志愿者，其余三個社區(qū)至少安排一個志愿者，則所有不同的分派方案共150種

C.若每個社區(qū)至少派1名志愿者，且志愿者A必須到甲社區(qū)，則所有不同分派方案共96種

D.若每個社區(qū)至少派1名志愿者，且志愿者A、B不安排到同一社區(qū)，則所有不同分派方案共21611.設函數(shù)f(x)=xlnx，g(x)=f′(x)x，則下列命題正確的是(

)A.不等式g(x)>0的解集為(1e,+∞)

B.函數(shù)g(x)在(0,e)上單調遞增，在(e,+∞)上單調遞減

C.當x1>x2>0時，m三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某電子管正品率為34，次品率為14現(xiàn)對該批電子管進行測試，設第X次首次測到正品，則P(X=3)=______．13.春天來了，萬物復蘇，合肥六中樂之樓樓下的花壇里種了不同顏色的花.如圖，花壇內有五個花池，有五種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則最多有幾種栽種方案數(shù)有______．14.若關于x的不等式(ax?2)e?x≥x?2(a>0)有且只有三個整數(shù)解，則實數(shù)a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知三次函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(a,b,c∈R)過點(3,0)，且函數(shù)f(x)在點(0,f(0))處的切線恰好是直線y=0．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設函數(shù)g(x)=9x+m?1，若函數(shù)16.(本小題15分)

我市擬建立一個博物館，采取競標的方式從多家建筑公司選取一家建鞏公司，經(jīng)過層層師選，甲、乙兩家設計了一個招標方案：兩家公司從6個招標問題中隨機抽取3個問題，已知這6個招標問題中，甲公司能正確回答其中4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為23，甲、乙兩家公司對每題的回答都是相互獨立，互不影響的．

(1)求甲公司答對題數(shù)的分布列；

(2)17.(本小題15分)

一只口袋中裝有形狀、大小都相同的6個小球，其中有紅球1個，白球2個，黑球3個，分別從中用兩種不同方式摸出3個球，方式一：依次有放回；方式二：一次性無放回．

(1)按方式一，求摸出是同一種顏色球的概率；

(2)按方式二，在摸出兩種不同顏色的球的條件下，求摸出2黑1白的概率；

(3)若按方式一、二等可能，抽簽決定，求最終摸出2黑1白的概率．18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx(a∈R)．

(1)當a=1時，求f(x)的最小值；

(2)求函數(shù)g(x)=f(x)?(x?1)lnx的極值；

(3)當a=2時，不等式k(x?1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立，求整數(shù)k的最大值．19.(本小題17分)

某學校為豐富學生活動，積極開展乒乓球選修課，甲乙兩同學進行乒乓球訓練，已知甲第一局贏的概率為12，前一局贏后下一局繼續(xù)贏的概率為13，前一局輸后下一局贏的概率為12，如此重復進行．

(1)求乙同學第2局贏的概率；

(2)記甲同學第i局贏的概率為Pi．

(ⅰ)求Pi；

(ⅱ)若存在i，使參考答案1.B

2.D

3.A

4.B

5.D

6.D

7.C

8.C

9.ACD

10.ABD

11.AC

12.36413.420

14.[1,e15.(1)因為f(x)=x3+bx2+cx+d，

所以f′(x)=3x2+2bx+c，

由題意可知f(3)=27+9b+3c+d=0f′(0)=c=0f(0)=d=0，

解得b=?3c=0d=0，

所以f(x)=x3?3x2．

(2)令y=f(x)?g(x)=0，則m=x3?3x2?9x+1，

設?(x)=x3?3x2?9x+1，

所以?′(x)=3x2?6x?9=3(x?3)(x+1)，

令?′(x)=0，得x=?1或3，

所以在(?∞,?1)上，?′(x)>0，?(x)單調遞增，

在(?1,3)上，?′(x)<0，?(x)單調遞減，

在(3,+∞)上，?′(x)>016.(1)設甲公司答對題數(shù)為隨機變量X，

易知X的所有可能取值為1，2，3，

所以P(X=1)=C41C22C63X123P131(2)由(1)知E(X)=1×15+2×35+3×15=2，

D(X)=(1?2)2×15+(2?2)2×35+(3?2)2×15=25．

設乙公司能正確回答的題目數(shù)為隨機變量Y0123P1248所以E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×827=217.(1)根據(jù)題意，因為是有放回抽樣，則每次摸到紅球的概率是16，每次摸到白球的概率是26=13，每次摸到黑球的概率是36=12，

所以按照方式一，摸出是同一種顏色球的概率P=(16)3+(13)3+(12)3=1+8+27216=16；

(2)根據(jù)題意，設A=“摸出兩種不同顏色的球”，B=“摸出2黑1白”，

一次性無放回摸出三個球的組合數(shù)為C63=20，

則P(A)=1+C32+C21C318.(1)當a=1時，f(x)=x+xlnx，定義域為(0,+∞)，

則f′(x)=lnx+2，

令f′(x)=0，得x=e?2，

當x∈(0,e?2)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，

當x∈(e?2,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，

∴當x=e?2時，函數(shù)f(x)取得最小值，即f(e?2)=e?2+e?2lne?2=e?2?2e?2=?e?2，

∴當a=1時，f(x)的最小值為?e?2，此時x=e?2．

(2)由題意得，g(x)=f(x)?(x?1)lnx=ax+xlnx?(x?1)lnx=ax+lnx，其定義域為(0,+∞)，

則g′(x)=a+1x，

①當a≥0時，g′(x)=a+1x>0恒成立，∴函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調遞增，

∴g(x)不存在極值；

②當a<0時，令g′(x)=a+1x=0，解得x=?1a，

∴當x∈(0,?1a)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增，

當x∈(?1a,+∞)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減，

∴當x=?1a時，g(x)存在極大值g(?1a)=a(?1a)+ln(?1a)=ln(?1a)?1，無極小值；

綜上所述，當a≥0時，函數(shù)g(x)不存在極值；

當a<0時，函數(shù)g(x)存在極大值ln(?1a)?1，此時x=?1a，不存在極小值．

(3)由題意知，當a=2時，不等式k(x?1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立，

即k(x?1)<2x+xlnx，等價于k<2x+xlnxx?1在x∈(1,+∞)上恒成立，

設?(x)=2x+xlnxx?1，即

則?′(x)=(3+lnx)(x?1)?(2x+xlnx)(x?1)2=x?3?lnx(x?1)2，

令t(x)=x?3?lnx，則t′(x)=1?1x，

當x∈(1,+∞)時，t′(x)=1?1x>0恒成立，則t(x)在(1,+∞)上單調遞增，

又t(4)=1?ln4<0，t(5)=