高考提能

五大技巧，簡化解析幾何運算專題五

解析幾何板塊三專題突破核心考點解析幾何是通過建立平面直角坐標系，用方程的觀點來研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性.解析幾何題目的難度很大程度上體現(xiàn)在運算上，但有時運算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題的速度，甚至?xí)兄菇忸}的過程，達到“望題興嘆”的地步.因此，探索減輕運算量的方法和技巧，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程就成了突破解析幾何問題的關(guān)鍵.例1

(1)已知點F為拋物線y2＝－8x的焦點，O為原點，點P是拋物線準線上一動點，A在拋物線上，且AF＝4，則PA＋PO的最小值是______.技巧一利用定義，回歸本質(zhì)解析答案(2)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：

＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是_____.解析答案設(shè)雙曲線C2的實半軸長為a，由橢圓及雙曲線的定義和已知，解析答案跟蹤演練1已知橢圓

＝1內(nèi)有兩點A(1,3)，B(3,0)，P為橢圓上一點，則PA＋PB的最大值為______.15解析由橢圓方程可知點B為橢圓的右焦點，設(shè)橢圓的左焦點為B′，由橢圓的定義可知PB＝2a－PB′＝10－PB′，則PA＋PB＝10＋(PA－PB′)，很明顯，(PA－PB′)max＝AB′據(jù)此可得PA＋PB的最大值為10＋5＝15.解析答案(2)拋物線y2＝4mx(m＞0)的焦點為F，點P為該拋物線上的動點，若點A(－m,0)，則

的最小值為______.解析設(shè)點P的坐標為(xP，yP)，由拋物線的定義，技巧二設(shè)而不求，整體代換例2

(1)已知直線l交橢圓4x2＋5y2＝80于M，N兩點，橢圓與y軸的正半軸交于B點，若△BMN的重心恰好落在橢圓的右焦點上，則直線l的方程是______________.6x－5y－28＝0解析答案∴橢圓上頂點為B(0,4)，右焦點F(2,0)為△BMN的重心，故線段MN的中點為C(3，－2).直線l的斜率存在，設(shè)為k，∵點M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，∴4(x1－x2)(x1＋x2)＋5(y1－y2)(y1＋y2)＝0，解析答案解析由題意，得A1，A2兩點關(guān)于原點對稱，設(shè)A1(x1，y1)，A2(－x1，－y1)，P(x0，y0)，因為直線PA2的斜率的取值范圍是[－2，－1]，解析答案解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中點坐標公式得x1＋x2＝－8，y1＋y2＝4.技巧三根與系數(shù)的關(guān)系，化繁為簡例3已知橢圓Γ：

＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸的兩個頂點與F1，F(xiàn)2構(gòu)成面積為2的正方形.解答(1)求橢圓Γ的方程；解因為橢圓C的短軸的兩個端點和其兩個焦點構(gòu)成正方形，所以b＝c，解答解設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx＋m，顯然k≠0，Δ＝8(2k2－m2＋1)>0，(*)即6m4－17m2－3＝0，解得m2＝3，解析答案跟蹤演練3

(2018·連云港期末)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點，若

則直線AB的斜率為________.解析當直線AB的斜率不存在時，不滿足題意.∵拋物線C的焦點F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，技巧四平幾助力，事半功倍例4

(1)已知直線y＝kx＋1(k≠0)交拋物線x2＝4y于E，F(xiàn)兩點，以EF為直徑的圓被x軸截得的弦長為

，則k＝____.解析答案±1解析直線y＝kx＋1(k≠0)恒過定點(0，1)，則EF＝y(tǒng)E＋yF＋p，則yE＋yF＝2(1＋2k2)，代入計算得k＝±1.(2)已知P是拋物線y2＝4x上的動點，點Q在圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上，點R是點P在y軸上的射影，則PQ＋PR的最小值是________.解析根據(jù)拋物線的定義，可知PR＝PF－1，而PQ的最小值是PC－1，所以PQ＋PR的最小值就是PF＋PC－2的最小值，所以PQ＋PR的最小值是3.3解析答案32解析答案所以K(－4,0)，過A作AM垂直于準線，垂足為M，技巧五巧設(shè)參數(shù)，方便計算例5

(2018·無錫期末)在平面直角坐標系xOy中，已知點M是橢圓C：＋y2＝1上位于第一象限的點，O為坐標原點，A，B分別為橢圓C的右頂點和上頂點，則四邊形OAMB的面積的最大值為_____.解析答案跟蹤演練5過拋物線y2＝4x的焦