第05講三角形一邊的平行線（第2課時）（十一大題型）

2

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握三角形一邊的平行線的性質(zhì)中間比代換;

2、學(xué)會構(gòu)造平行的七種技巧；

3、掌握重心的概念及性質(zhì)。

思維導(dǎo)圖

「1.三角形的重心

「2.三角形的重心的性質(zhì)

知識點

、3.三角形一邊的平行線六種解題技巧

4.構(gòu)造平行

題型1:在梯子型中構(gòu)造平行

題型2:連接兩點構(gòu)造平行

題型3:作三角形一邊的平行線

三角形一邊的平行線（第2課時）題型4:截長補短法

廠題型5:作三角形的中位線

題型——題型6:構(gòu)造平行四邊形

'題型7:其他輔助線作法

題型8:三角形一邊的平行線一中間比代換

題型9:三角形的重心概念及性質(zhì)

題型10：三角形的重心性質(zhì)的幾何應(yīng)用

題型11：由三角形的重心性質(zhì)求點的坐標(biāo)

知識清單

一、知識引入（三角形的重心及性質(zhì)）

GEGF￡

例題已知：如圖24-19,BE、CF是AABC的中線，交于點G求正:==

A

分析要證明只要證明EF//BC.根據(jù)已知條件，可知EF是△ABC的中位線，由此可

推出所要證明而結(jié)論：

證明聯(lián)結(jié)EF.

由BE、CF是△ABC的中線，可知EF是△ABC的中位線.

1EP1

EF//BC;EF-\BC，即：.

rEF//BC,

???三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論)..

.GE_GF1

在圖24-19中，如果△ABC的另一條中線ADVBE相交于點G',如圖24-20所示，那么這個交點G'

與交點G是否同一個點？

圖24-20

通過聯(lián)結(jié)DE,運用例題的證明方法，可得':下一,；?—?因為點G，與點G同在中線BE

GBGA2

±,G'F1.II,；G；；E,:1,所以點G與點G是同一點.這就是說，三角形的三條中線交于一點.

二、三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.

(1)重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的二倍.

(2)重心的畫法：兩條中線的交點.

三、三角形一邊的平行線的六種解題技巧：

①中間比代換法證比例式；②等積代換法證比例式；③等比代換法證比例中項；

④平行法證比例式；⑤等比過渡法證線段相等；同分母的中間比代換法。

四、構(gòu)造平行

①連接兩點構(gòu)造平行；②作三角形一邊的平行線；③截長補短法；④構(gòu)造平行四邊形....

【即學(xué)即練1】如圖，在VABC中，。是BC的中點，點G是VA3C的重心.AD=6,貝|AG=

A

【即學(xué)即練2】如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，點G是VABC的重心，如果AC=E,AG=4,那么

AB=_______

【即學(xué)即練3】如圖，DE〃BC,DF〃AC,則下列比例式中正確的是（）

AEDFB-藪器

~EC~~BC

DEDFD蔡啜

~BC~~AC

【即學(xué)即練4】如圖，在中,點2點E為邊A3的三等分點，EF//DG//AC,AR與ZX;交于點a,

PHBFAHEF

AD=HGB吃產(chǎn)

DEAC.BEFHEF~BGHF~DG

【即學(xué)即練5】如圖，點。、E分別在△ABC的邊45、AC上,若A。：30=2：1,點G在上，DG：

GE=1：2,連接5G并延長交AC于點R貝IJAR■等于（）

A

C.3：2D.2：3

04題型精講

題型i：在梯子型中構(gòu)造平行

【典例1]如圖，已知ADIIBEIICF,它們依次交直線4、于點A、B、C和點。、E、F.

(1)如果AB=6,BC=8,DF=21,求DE的長；

(2)如果DE:ZZF=2:5,AD=9,CF=14,求BE的長.

題型2：連接兩點構(gòu)造平行

【典例2].如圖，點。、E分別在AABC的邊鉆、AC上，若AO:3D=2:1,點G在DE上，DG:GE=1:2,

連接BG并延長交AC于點尸，則AF:砂等于()

題型3：作三角形一邊的平行線

【典例3].如圖，已知點尸在池上，且AF:BF=1:2,點。是BC延長線上一點，BC:8=2:1,連接ED與

AC交于點N,求/W:NO的值.

題型4：截長補短法

【典例4】.如圖，點。是等腰RtAABC的斜邊上的一點，AB=3BD,4尸_LCD于點尸交BC于點E.

(1)求證：E是3C的中點；

(2)求AF:CF的值；

(3)求DF:CF的值.

B

【典例5】.如圖，在AA5c中，E,尸是邊BC上的兩個三等分點，。是AC的中點，班＞分別交AE,AF,AC

于P，Q，D,求

【典例6].如圖，A4BC中，。,后是3C邊上的點，且5￡＞:DE:EC=3:2:1,P是AC邊上的點，且

AP:PC=2:1,5P分別交AD,AE于M,N,則3加：肱V:NP等于（）

C.25;12:5D.51:24:10

題型6:構(gòu)造平行四邊形

【典例7】.如圖，AB!/CD.AD!ICE,F、G分別是AC和的中點，過G的直線依次交AB、AD、CD、

CE于點A/、N、P、Q,

【典例8].已知如圖，點。是AABC邊3c上一點，且皮＞:OC=2:3,過點C任作一條直線與AB、分別交

于點F和E,求證：—.

ED3BF

A

題型7：其他輔助線作法

【典例9].如圖，在AABC中，AF=2BF,CE=3AE,CD=4BD.連接Cb交OE于P點，求EP:DP

的值.

【典例101已知：如圖，AB±BD,CDLBD,垂足分別為3、D,AD和BC相交于點E,EFLBD,垂

足為F,我們可以證明一1+—二=—二成立（不要求考生證明）.

ABCDEF

若將圖中的垂線改為斜交，如圖，AB//CD,AD,相交于點E,過點E作EF//AB交BD于點F,貝U：

（1）上+―’還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；

ABCDEF

題型8：三角形一邊的平行線一中間比代換

【典例11].如圖，DE//BC,EFHAB,則下列式子中成立的是（）

ADBF

四一些B組=%C里.任D.

DBECBCAC-ABCE拓一劉

【典例12].如圖，在△ABC中，點。在邊BC上，點G在線段上，GE//BD,且交A8于點E,GF//AC,

且交C。于點R則下列結(jié)論一定正確的是（）

A

BDFC

AECFAEDFEGFGAEAD

A.=；B.-；°r，詼=75；nAG=AB>

ABCDEBFC

【典例13].如圖，在AABC中，MN//BC,DN//MC,下列結(jié)論正確的是（）

A

B乙--------------^C

A3:一里B把一型里一網(wǎng)DNMN

cD.---=----

NCAB'DMMC'MBACMCBC

【典例14].如圖，在AA5c中，點。，點E為邊AB的三等分點，EFHDGHAC,AF與DG交于點H,則

下I列比例式正確的是（）

BFGC

A絲=空B空=空里=變cAHEF

cD.---=----

DEAC'BEFH'EFBGHFDG

題型9：三角形的重心概念及性質(zhì)

【典例151三角形的重心正確的敘述是（）

A.三角形三條角平分線的交點

B.三角形三條中垂線的交點

C.三角形三條中線的交點

D.三角形三條高的交點

【典例16].如圖，在AABC中，AD是3C邊上的中線，G是重心.如果AG=6,那么線段DG的長為（）

A

A.1B.2C.3D.6

【典例17].如圖，在AABC中，AD與MN交于點、G,點G為AABC的重心，點M、N分別在邊A3、AC

上，若AM:AB=3:4,則AN:AC的值為.

【典例18].如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，點G是△ABC的重心，過點G作G/〃A2交BC

于點片若EF=2,那么BC長為

題型10：三角形重心的性質(zhì)的幾何應(yīng)用

【典例19].己知G是等腰直角AABC的重心，若AC=3C=2,則線段CG的長為.

【典例20].如圖，在AABC中，中線ADBE、CF相交于點G,下列說法錯誤的是（）

A.點G為“IBC的重心B.GC=2GF

=

C.當(dāng)AABC為等邊三角形時，GA=GBD.S&ABC2sAGBC

【典例21].如圖，點G為△回€?的重心，連接CG,則

A

【典例22].如圖，在AABC中，中線BF、CE交于點G,且CEJ_BF,如果AG=5,BF=6,那么線段

CE的長是

題型U：由三角形重心的性質(zhì)求點的坐標(biāo)

【典例23].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-8,0）,8（8,0）,C（6,9）,則重心的坐標(biāo)是

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖，在VABC中，AD是2C邊上的中線，G是重心.如果AG=6,那么線段。G的長為（）

A.1B.2C.3D.6

RF

2.如圖，尸是VABC重心，E”小且經(jīng)過點P,則罰的值為（）

A

3.如圖，在A48C中，MN//BC,DNHMC,下列結(jié)論正確的是（）

AMAMADDNAM_ANDN_MN

B.D.

NC~ABDM~MCMB~AC

4.如圖，在△ABC中，點。在邊3C上，點G在線段A。上，GE//BD,且交A8于點E,GF//AC,且交

CO于點F則下列結(jié)論一定正確的是（）

5.如圖，AD是VABC的中線，E是上一點，AE:AD=1:59砥的延長線交AC于R則A尸：C尸的值

為（）

A.1:8B.1:7C.1:6D.1:5

6.如圖，在△ABC中，點D為AB上一點，過點D作BC的平行線交AC于點E,過點E作AB的平行線

交BC于點F,連接CD,交EF于點K,則下列說法正確的是（）

FKBF

A.B.

BCEFKEFC

DEAEBDBF

C.D.

FCECAD-FC

7.如圖，在VABC中，中線gBE、CF相交于點G,下列說法錯誤的是（）

A.點G為VABC的重心B.GC=2GF

C.當(dāng)VABC為等邊三角形時，GA=GBD.SAABC=2S4BC

8.如圖，平行四邊形A5CD中，連接5D,在的延長線上取一點石，點G為3C的中點，連接石G,交A。、

即分別為點F、點K,則下列結(jié)論錯誤的是（）.

FDDK

ABFG~GC~~BK

FKEFCGCD

~KG~^G~CB~~CE

9.如圖，在中，NACB=90。，點〃在邊A3上，線段MC沿著過M的直線折疊，點。恰巧落在

邊AC上的點N處.如果需="，費5那么，與2滿足的關(guān)系式是（）

B

M

ANC

A.2a=36+1B.〃=3"+lC.a-2b+1D.2a-1b+1

AD1

10.如圖，點。，E,b分別在VABC的邊上，—DE//BC,EF〃AB,點M是。尸的中點，連接

BD3

MN

CM并延長交AB于點M0的值是（）

CM

二、填空題

11.在Rt^ABC中，ZACB=90°,點G是重心，如果AG=3,BG=4,那么CG=.

12.如圖，在R3ABC中，NACB=90。，AC=6,點G是△ABC的重心，GH±BC,垂足是H,則GH

的長為.

13.如圖，已知E是AC的中點，C是BD的中點，那么一

ED

14.如圖，已知梯形ABCD中，AD//BC,對角線AC與中位線跖交于點G,如果A￡>=3,EF=5,那么

15.如圖，正方形ABCQ和正方形CERG的邊長分別為3和2,且8、C、E在一直線上，AE與b交于點

16.如圖，AD//EF//GH//PQ//BC,AE=EG=GP=PB,AD=2,BC=10,則EF長為

17.如圖.AABC的中線AD、BE相交于點G,過點G作GH〃AC交BC于點H,如果GH=2,那么AC=

k

18.如圖，點是反比例函數(shù)＞=口A＞0）上的點，過。作。?！ā份S，連接Q4交C￡＞于點2,若=

19.新定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做等高底三角形，這條邊叫做

等底.如圖，VA3C是等高底三角形，3c是等底，點A關(guān)于直線BC的對稱點是點AI連接A4，，如果點8

是△AA'C的重心，那么二的值是

20.折紙游戲：小明剪出一個直角三角形的紙片ABC,其中，ZA=60°,AC=1,找出的中點M,在

A3上找任意一點P,以MP為對稱軸折疊得到AA/PD,點8的對應(yīng)點為點O,小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點尸

的位置不同時，OP與VABC的三邊位置關(guān)系也不同，請幫小明解決問題：當(dāng)。PL3c時，AP的長為.

三、解答題

21.如圖，點G是VABC的重心.

(2)若Z)G=2,求CD長.

22.如圖，G為VA3C的重心，,"=2,求S.c的值.

23.如圖，己知AD〃鹿〃CF,它們依次交直線晨4、4于點A、B、C和點。、E、F和點。、H、P,12

Aft7

與4相交于OE的中點G,若矍=：

AC/

(1)如果跖=10,求￡)區(qū)DF的長;

⑵在(1)的條件下，如果QG=3,求PH的長.

24.如圖，在口ABCD中，對角線AC和3D相交于點。，AD=W,AC=16,BD=12.

1OF

(2)延長5C至點連接。石交CO于點尸，^ZE=-ZACD.求隹的值