清單03整式的乘除

（4個考點(diǎn)梳理+14種題型解讀+提升訓(xùn)練）

考點(diǎn)儕單

/./=尸（”為整數(shù)）底數(shù)不變

相乘

瞰相加

底數(shù)不變

同底數(shù)鬲m,n為整數(shù)）

指數(shù)相減

相除￡7°=1(^0)

an=\(<7*0)

an

底數(shù)不變

幕的運(yùn)算幕的乘方（廠）”=廣（凡〃為整數(shù)）

指數(shù)相乘

先把積的每一個因式分別乘方

積的乘方（川7）**=江力**（11為整數(shù)）

再把所得的幕相乘

底數(shù)相同比較颼大小

利用幕的運(yùn)算法則比較大小

整式的乘除颼相同I:嘀浜數(shù)大小

系數(shù)相乘

單項式X單項式法則同底數(shù)幕相乘

乘單獨(dú)的幕

\

單項式X多項式法則乘多項式的每一項所得的積相加

整式的乘法轉(zhuǎn)化每每相乘所得的積相加

(x+a)(x+Z>)=x2+(a+5)x+￡76

多項式x多項式

平方差公式(a+h)(a-h)=a2-h2

乘法^式(a+b)'=a2+2ab+b

完全平方公式(,a-b)2=a2-2ab+b2

清單01塞的運(yùn)算

幕的運(yùn)算法則中底數(shù)a的規(guī)定:底數(shù)a可以是單項式，也可以是多項式.

1）同底數(shù)塞相乘

底數(shù)不變，指數(shù)相加，即就了.就?1伊—（m,n都是正整數(shù)）

【補(bǔ)充】1.逆用公式：a"y=a'?a'（小，n都是正整數(shù)）

2.三個或三個以上同底數(shù)塞相乘時，這一法則同樣適用，如：a二,建濟(jì).,小二/跖M（m,n,p都是正

整數(shù)）

2）幕的乘方

底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即I謠」『二腐差（m,n都是正整數(shù)）

【補(bǔ)充】1.逆用公式：a==|aH廣（m,n都是整數(shù)）

2.拓展：=a"；（m,n,p都是正整數(shù)）

3）積的乘方

積的乘方等于把每一個因式分別乘方，再把所得的積相乘，即fa￡『=，a產(chǎn)標(biāo)'■”（n為正整數(shù)）

【補(bǔ)充】1.逆用公式：；￡濟(jì)-'：盛甯（n為正整數(shù)）

2.拓展：（abc「:a'b飛'（n為正整數(shù)）

4）同底數(shù)幕的除法

底數(shù)不變，指數(shù)相減，即加刎.制烈=；，制$（aWO,m,n都為正整數(shù)，且m>n）

［補(bǔ)充］1.關(guān)鍵：看底數(shù)是否相同,指數(shù)相減是指被除式的指數(shù)減去除式的指數(shù).

2.逆用公式：就融.'=符秒>，清（aW0,m、n都是正整數(shù)）.

3.拓展：需匕濯崇臚二潦i'k（aW0,m,n,p都是正整數(shù)且m>n+p）.

【注意】L注意指數(shù)為1的情況，如：a8-a=a7,計算時容易遺漏或?qū)的指數(shù)當(dāng)做0.

2.多個同底數(shù)幕相除時，應(yīng)按順序計算.

5）零指數(shù)塞

任何不等于0的數(shù)的0次幕都等于1,即a°=l（aWO）.

清單02整式的乘法

1）單項式乘單項式

運(yùn)算法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母,

則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.

2）單項式乘多項式

運(yùn)算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即

mQa+b+c）=ma+mb+me■

【補(bǔ)充】

1.運(yùn)算的結(jié)果是多項式，積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.

2.計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.

3.對單項式乘多項式，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.

3)多項式乘多項式

運(yùn)算法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即

^a+b)(^c+d^=ac+ad+bc+bd.

【補(bǔ)充】

L多項式乘多項式時，要按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏.

2.多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應(yīng)該帶上它前面的正負(fù)號.

3.運(yùn)算結(jié)果仍是多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)之積.

4.若結(jié)果中含有同類項，則一定要進(jìn)行合并同類項，使得結(jié)果為最簡形式.

5.多項式乘多項式法則也適用于多個多項式相乘，即按順序先將前兩個多項式相乘，再把乘積和第三個多

項式相乘，依次類推.

6.特殊二次項相乘：(x+a)(x+b)=x?+(a+b)x+ab,其中：a,b為常數(shù).

清單03乘法公式

1)平方差公式

平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.即：(a+b)(a-b)=a2-b2

特點(diǎn)：等號左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；等號右邊是一

個二項式，這個二項式是左邊兩個二項式中相同項與相反項的平方差.

平方差公式的常見變化形式：

①位置變化：I11-!，I=??=<廣-：廣

②符號變化：I—<7—511-51=I—-5*=-5*

【注意事項】

1)對因式中各項的系數(shù)、符號要仔細(xì)觀察、比較，不能誤用公式.如：(a+3b)(3a-b),不能運(yùn)用平方差公

式.

2)公式中的字母a、b可以是一個數(shù)、一個單項式、一個多項式，所以，當(dāng)這個字母表示一個負(fù)數(shù)、分式、

多項式時，應(yīng)加括號避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯誤..

2)完全平方公式

完全平方公式：兩個數(shù)的和(或差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)乘積的兩倍.即.

（。士b）-a'±2ab+b*

特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的

2倍.

口訣：首平方，尾平方，二倍乘積放中央，中間符號同前方.

完全平方式的常見變形（①-⑤基礎(chǔ)必須掌握）：

@?2+b2+_2ab=（a-b）~+2ab?^a+by=（?-&）"+4ab

③（a-，？=（a+Z?y-4"④（a+Z?y+（a-Z?）2=2（/+/）⑤

（o+Z?）2—（^a—by=4-ab

清單04整式的除法

1）單項式除以單項式

運(yùn)算法則：一般地,單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)幕分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，

則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.

【注意】

1.系數(shù)相除時，不要遺漏系數(shù)前面的符號；

2.不要遺漏只在被除式里含有的字母.

2）多項式除以單項式

運(yùn)算法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.

實(shí)質(zhì)：把多項式除以單項式轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式.

【注意】

1.在計算時，多項式各項要包括前面的符號，商的各項的符號由多項式中各項的符號與單項式的符號決定.

2.在進(jìn)行多項式除以單項式的計算時不要漏項，所得結(jié)果的項數(shù)應(yīng)與被除式的項數(shù)相同.

型精單

【考點(diǎn)題型一】同底數(shù)哥的乘法（★★）

1.（21-22七年級下?浙江紹興?期末）若優(yōu)=2,ay=3,貝。.

2.（23-24七年級下?浙江杭州?期末）已知2%+3〃=3,則4"x8"的值為（）

A.4B.6C.8D.10

3.（23-24七年級下?浙江?期末）信息技術(shù)的存儲設(shè)備常用B,KB,MB,GB等作為存儲的單位.例

如，我們常說某移動硬盤的容量是80GB,某個文件大小是156KB等，其中1GB=7MBJMB=,

lKB=2i°B,對于一個存儲量為8GB的硬盤，其容量是（）

A.213BB.223BC.233BD.243B

4.（23-24七年級下?浙江嘉興?期末）我們知道,同底數(shù)日的乘法法則為肥.濟(jì)=曖+"（其中

加，〃為正整數(shù)）.類似地，我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)機(jī)，〃的一種新運(yùn)算：=./（?）.若

“4）=%（%工0）,那么“2024）的結(jié)果是（）

A.2024左B.醇24c.506左D.k506

【考點(diǎn)題型二】幕的乘方（★★）

5.（22-23七年級下?浙江嘉興?期末）若3.=a,9"=b,則3nl+?"=.

6.（22-23七年級下?浙江衢州?期末）計算：85x^,正確結(jié)果是（）

A.1B.1C.2D.4

7.（22-23七年級下?浙江金華?期末）若/+2/=3曖，（-叫"=產(chǎn)，貝（）

A.3B.4C.5D.6

8.（20-21七年級下?浙江?期末）已知8=1=4”,化簡并求值：

2

（2Q—b￥—（Q+1—b）（a+1+/?）+（Q+1）.

【考點(diǎn)題型三】積的乘方（★★）

9.（20-21七年級下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）42020X（-0.25）2°21=.

10.（23-24七年級下?浙江紹興?期末）下列等式中，從左到右計算正確的是（）

326

A.（2x）3=6J?B.（"）4=4//C.=4a"D.（-m）=m

11.（2024?安徽合肥?二模）計算（-2孫3）3的結(jié)果是（）

A.-6x3y6B.-8x3y6C.-6x3y9D.-8x3y9

12.（23-24七年級下?浙江寧波?期末）對正整數(shù)n,規(guī)定n!=nx(n-l)x(n-2)...x2xl,記對正整

數(shù)n,規(guī)定加="（〃-1）＞＜（〃-2）.二2*1,記S=l!x2!x…x24!,若正整數(shù)上色＜100）使得SxZ!為完全

平方數(shù)，請寫出一個符合條件的k的值：

【考點(diǎn)題型四】同底數(shù)幕的除法（★★）

13.（24-25七年級上?浙江杭州?期末）20255是20254的（）倍.

A.5B.2025C.-

4

14.（23-24七年級下?浙江金華?期末）若實(shí)數(shù)），〃滿足2〃-利-1=0,則4"=16"=.

15.（23-24七年級下?浙江紹興?期末）已知二元一次方程2x-3y-4=0,求32丁33>=.

16.（23-24七年級下?浙江杭州?期末）我們規(guī)定兩數(shù)a、6之間的一種運(yùn)算，記作[。,可：如果不=6,

那么[。,可=。；例如23=8,記作[2,8]=3,

（1）根據(jù)以上規(guī)定求出：[4,64]=；[2024,1]=；

⑵小明發(fā)現(xiàn)[5,3]+[5,4]=[5,12]也成立，并證明如下

設(shè)：[5,3]=x[5,4]=y

.'.5'=35〉=4

5c-5y=5V+J=12

[5,12]=x+y

.-.[5,3]+[5,4]=x+y=[5,12]

根據(jù)以上證明，請計算[2024,6]+[2024,7]=[2024,J

（3）猜想[4,14]-[4,7]=[4,],并說明理由.

【考點(diǎn)題型五】用科學(xué)記數(shù)法表示小于1的數(shù)（★★★）

17.（22-23七年級下?浙江寧波?期末）太空中微波理論上可以在0.000006秒內(nèi)接收到相距約2km的信

息，數(shù)據(jù)0.000006用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為.

18.（24-25七年級下?浙江杭州?期中）2025年3月27日，在SEMICONChina2625展會現(xiàn)場,深圳新凱

來工業(yè)機(jī)器有限公司首次對外公開半導(dǎo)體產(chǎn)品線，被市場稱為國產(chǎn)芯片設(shè)備的“重大突破”.已知某國產(chǎn)

芯片制程為0.00000007米，則0.00000007用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.7x10-8B.7x10"

C.7x10-D.7xl09

19.（23-24七年級下?浙江杭州?期末）1納米TO-米，1微米=0.001毫米，則1納米=微米

（用科學(xué)記數(shù)法表述）.

20.（2024?四川廣元?中考真題）2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們

“為研究物質(zhì)中的電子動力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實(shí)驗(yàn)方法”.什么是阿秒？1阿秒是10飛秒，也就是十

億分之一秒的十億分之一.目前世界上最短的單個阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒.將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示

為秒.

【考點(diǎn)題型六】單項式乘單項式（★★）

2L(2025七年級下?全國?專題練習(xí))計算:

(1)3x2y^-2xy3^=；

(2)(―8。/)=；

(3)(-21,2)3.4盯2=.

22.(2025七年級下-全國-專題練習(xí))計算:

(2)(-1.4xIOz7*(5xIO3)3x(2x104)2；

(3)^-|xyJ.(2xy2)2-^|x4/J-x3/

23.(2025七年級下?全國?專題練習(xí))計算：

(1)；

(2)［一■|。3“：0加；

⑶(-2a%3)｛一+“；

(4)(~3a2b)2-(-a2c3)3.

【考點(diǎn)題型七】單項式乘多項式(★★)

24.(2025七年級下?浙江?專題練習(xí))計算-3加〃(根-;w］的結(jié)果是()

A.3m2w+mn2B.n——mrt

2

3

C.—3m2n+—mn2D.—3m2nd■一mn2

22

25.(2025七年級下?全國?專題練習(xí))計算：

(1)(2X)2^2X2-|X-^；

(2)一片(―2〃Z?)+3a-1)；

(3)^—2ab2).(3a2b—lab—4b)；

(4)2ab(a2b+ab-ab2)-ab1(儲-3ab+2aj.

26.(22-23七年級上?吉林長春?期末)代數(shù)式3〃(/+而)—6a3b+5/+3劭(2/一〃)的值(

A.與字母a,b都有關(guān)B.只與a有關(guān)

C.只與6有關(guān)D.與字母。涉都無關(guān)

27.（22-23七年級下?浙江?階段練習(xí)）若要使（％2+仆+5＞（-6三）+6*4的展開式中不含公的項，則常數(shù)

a的值為.

【考點(diǎn)題型八】多項式乘多項式（★會會）

28.（23-24七年級下?浙江寧波?期末）已知（尤+4（2/-4x+l）的展開式中不含x項，則常數(shù)a的值

為.

29.（23-24七年級下?浙江寧波?期末）若等式/+皿-8=@+2）（%-〃）對任意實(shí)數(shù)x都成立，那么利〃

的值分別是（）

A.m=29n=4B.m=-2,n=4C.m=2,n=—4D.m=-2,n=—4

30.(23-24七年級下?浙江杭州?期末)已知%2-?a+n=(jf-3)(x+4),則(〃?+〃)"'=

31.（23-24七年級下?浙江寧波?期末）如圖，4張如圖1的長為“，寬為可。＞6）長方形紙片，按圖2

的方式放置，陰影部分的面積為耳，空白部分的面積為S?,若$2=25一則。，6滿足的數(shù)量關(guān)系

為.

圖I圖2

32.（23-24七年級下?浙江金華?期末）一個長方形的長、寬分別為“（cm）、6（cm）,如果將長方形的長和

寬分別增加2cm和3cm.

（1）新長方形的面積比原長方形的面積增加了多少？

（2）若a=4cm,6=3cm,求長方形增加的面積.

（3）如果新長方形的面積是原長方形面積的2倍，求（。-2）（6-3）的值.

【考點(diǎn)題型九】單項式除單項式（★★）

33.（23-24七年級下?浙江溫州?期末）計算：6/十（2〃4=.

34.（21-22七年級下?浙江舟山?期末）計算-，尤，3-13辦49）=.

35.（20-21七年級上?浙江?期末）小紅家的收入分農(nóng)業(yè)收入和其他收入兩部分，今年農(nóng)業(yè)收入是其他收

入的1.5倍，預(yù)計明年農(nóng)業(yè)收入將減少20%；而其他收入將增加40%,那么預(yù)計小紅家明年的全年總收入

比今年（）

A.增加了4%B.增加了8%C.減少了4%D.減少了8%

【考點(diǎn)題型十】多項式除單項式（★★★）

36.（23-24七年級下?浙江溫州?期末）若3沖.A=6fy一15孫,，則力代表的整式是.

37.（23-24七年級下?浙江杭州?期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.14a}b6+（2加-助=la2b3-14a2b6

B.14a%6+（2仍2-ab）=la2b4-14加

C.（14a%6_2ab2）+=14a2b5-2b

D.（14aV-2ab2）^ab=14a3*6-2b2

38.（21-22七年級下?浙江湖州?期末）小偉同學(xué)的錯題本上有一題練習(xí)題，這道題被除式的第二項和商

的第一項不小心被墨水污染了（污染處用字母M和N表示），污染后的習(xí)題如下：

（30x4y2+M+nx2y2）^（-6x2y）=N+3xy-2y.

（1）請你幫小偉復(fù)原被污染的“和N處的代數(shù)式，并寫出練習(xí)題的正確答案；

（2）愛動腦的小芳同學(xué)把練習(xí)題的正確答案與代數(shù)式+9+y相加，請幫小芳求出這兩個代數(shù)式的和,

并判斷所求的和能否進(jìn)行因式分解？若能，請分解因式；若不能，請說明理由.

39.（22-23七年級下?浙江湖州?期末）先化簡，再求值：（x+3y）（x-3y）+（6x、-2y3）+2丫，其中

x=-<y=-i.

【考點(diǎn)題型十一】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計算（★★★）

40.（22-23七年級下?浙江金華?期末）下列能用平方差公式計算的是（）

A.（x—B.（―x+l）（x—1）C.（x—l）（x+2）D.（2x+y）（2y—x）

4816

41.（22-23七年級下?浙江嘉興?期末）計算：（才+1）（3?+1）（3+1）（3+1）（3+1）=）

A.B.332-1D.332+1

42.（22-23七年級下?浙江金華?期末）若（a+b）（p+q）能運(yùn)用平方差公式計算，則P,4滿足的條件可

能是（）

①P=a,q=b?②P=a,q=—b、（§）p=-a9q=b-@p=-a9q=-b.

A.①③B.①④C.②③D.②④

43.（21-22七年級下?浙江寧波?期末）若f-36y2=（冗+沖）（入一根,），則/的值為

【考點(diǎn)題型十二】求完全平方式中的字母的系數(shù)（★★）

44.（23-24七年級下?浙江寧波?期末）若關(guān)于x的代數(shù)式尤2-2的+4（⑷是常數(shù)）是一個完全平方式,

貝|］相=.

45.（23-24七年級下?浙江寧波?期末）若（丈+，〃）2=無2+加+49是一個完全平方式，則〃的值是

46.（22-23七年級下?浙江杭州?期末）若d+2（機(jī)-3卜+9是一個完全平方式，則，"的值是（）

A.0B.6C.0或6D.6或3

【考點(diǎn)題型十三】運(yùn)用完全平方式進(jìn)行計算（★★★）

47.（23-24七年級下?浙江紹興?期末）己知工=后+2,則代數(shù)式f-4x+4的值為

48.（23-24七年級下?浙江杭州?期末）（1）計算：（3x+l）（x+2）.

1

（2）當(dāng)》=-不時，求代數(shù)式（3x+5）0--（3x-5）（3x