暑假預(yù)習(xí)專題15指數(shù)函數(shù)

預(yù)習(xí)三步曲

第一步：導(dǎo)

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握

第二步：學(xué)

所教材學(xué)知識教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第三步：測

小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

口串知識?訊框架

‘知竊導(dǎo)圖慌理

指數(shù)函數(shù)1定義

的概念

I定義域

H指數(shù)函數(shù)的圖像

「定義域?yàn)镽,函數(shù)值恒正

,圖像特征卜

I嚴(yán)格減函數(shù)

「定義域?yàn)镽,函數(shù)值恒正

函數(shù)性質(zhì)_

I單調(diào)性

r匕徽大小

-解不等式

-性質(zhì)應(yīng)用-

一求參數(shù)的取值范圍

在實(shí)際問題中的簡單應(yīng)用

好析教材學(xué)知識

知識點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)的定義I重點(diǎn)

定義當(dāng)?shù)讛?shù)。固定，且。>O,awl時，等式>=優(yōu)確定了變量V隨變量了變化的規(guī)律，稱為底為a的指數(shù)函

數(shù)

需要注意的是:定義域?yàn)镽,函數(shù)值恒為正.

*知識剖析

I

形式上的嚴(yán)格性：只有形如y=ax(a>0且awl)的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)，像y=2-3xy=27y=

3X+1等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù).

特別提醒

判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法

1.判斷其解析式是否符合y=a*(a〉O且aH1)這一結(jié)構(gòu)特征.

2.看是否具備指數(shù)函數(shù)解析式具有的三個特征：

(1)底數(shù)a為常數(shù)，。>0且,(2)自變量x的位置在指數(shù)上，且x的系數(shù)是1,(3)ax的

系數(shù)是1.

知識點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)的圖像

用五點(diǎn)法作指數(shù)函數(shù)的圖像.

拓展

(1)指數(shù)函數(shù)y=ax與y=的圖像關(guān)于y軸對稱.

(2)指數(shù)函數(shù)y=a\a>1)的圖像經(jīng)過第一象限和第二象限，且當(dāng)%越來越大時，圖像離x軸越來越

遠(yuǎn)，y=a*(0<a<l)的圖像經(jīng)過第一象限和第二象限，且當(dāng)%越來越大時，圖像離x軸越來越近.

知識點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

y=axa>l0<a<l

y

圖像J(04)

0-------------;

⑴函數(shù)圖像都在X軸上方，無限趨近于X軸，但永不相交

圖像

(2)過定點(diǎn)(0,1)

特征

(3)由左至右圖像上升(3)由左至右圖像下降

(1)定義域?yàn)镽,函數(shù)值恒正

(2)當(dāng)x=0時,y=l

(3)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)(3)在R上是嚴(yán)格減函數(shù)

函數(shù)性質(zhì)

)的圖像關(guān)于y

⑷對稱性:指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)的圖像與指數(shù)函數(shù)y=\-

軸對稱

*知識剖析

指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律如圖所示:

(1)y=罐，(2)y^bx.

(3)y=c",(4)y=(T.

則：0<b<a<l<d<c.

即當(dāng)xe(0,+oo)時，(底大賽大).

當(dāng)xe(-oo,0)時，Z/>aX>dx>c，(底大賽小).

■練考點(diǎn)圈知識

題型1指數(shù)函數(shù)的判定與求值

例1函數(shù)y=(/-3a+3)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，求。的值.

1T給出下列函數(shù)：①尸，，②y=(-3)',③y=-3，,④尸(兀-3)，.其中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

1-2(24-25高一上?上海奉賢?期末)已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時,〃耳=233+2工+1,

貝葉(-2)+/(0)=.

1-3(24-25高一上?上海寶山?階段練習(xí))若函數(shù)y=滿足對任意的都有〃x)〃r)=l成立,

則稱函數(shù)y=〃x)為“倒函數(shù)”.

⑴判斷函數(shù)/⑺=產(chǎn)和g(X)=3'是否為“倒函數(shù)”.

⑵若h(x)=正+m+nx(n>0)為“倒函數(shù)”，求實(shí)數(shù)砥”的值.

(3)若夕(x)=[p(切如(p(x)為正數(shù))，其中p(x)是偶函數(shù),q(x)是奇函數(shù),求證：。⑺是“倒函數(shù)”.

題型2根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)

/例2若函數(shù)y=⑷-3°+3)/為指數(shù)函數(shù)，則a=.

2-1函數(shù)y=(a-2)"是指數(shù)函數(shù)，則。=

2-2(23-24高一上?上海浦東新?階段練習(xí))已知函數(shù)丫=(4-3”’是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值是.

2-3(1)已知指數(shù)函數(shù)y=(2a-l廣，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

(2)已知指數(shù)函數(shù)y=a\a>0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(-1,2)，則%=2時，函數(shù)值為.

題型3求指數(shù)函數(shù)解析式

例3(24-25高一上?上海奉賢?期中)已知指數(shù)函數(shù)y=(〃-2),的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,加),則機(jī)=.

3-1(24-25高一上?上海?期中)已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4),則該指數(shù)函數(shù)的解析式為

3-2（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）指數(shù)函數(shù)〃x）的圖像經(jīng)過則〃-1）=

題型4判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀

例4已知函數(shù)“X）=優(yōu)在（0,2）內(nèi)的值域是（。2,1），則函數(shù)y=/（X）的圖象是

4-3函數(shù)y=2*的圖像與函數(shù)y=的圖像關(guān)于對稱，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是

題型5根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的范圍

j、，/例5若函數(shù)y="-0+i）m>OMRi）的圖像經(jīng)過第一，三，四象限,則必有（）

A.0<a<l,Z?>0B.0<a<l,Z?<0C.a>l,b<0D.a>l,b>0

5-1（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）若直線y=3a與函數(shù)y=|式-21（a>0,"1）圖像有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)?

的取值范圍是.

5-2（24-25高一上?上海長寧?期末）函數(shù)y=+%的圖象不經(jīng)過第一象限，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為

5-3（24-25高一上?上海嘉定?期末）若函數(shù)y=5-+機(jī)的圖象不經(jīng)過第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

題型6指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題

、、/7例6函數(shù)〃同="+2（a>0且"1）的圖象恒過定點(diǎn)尸，則尸點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（1,2）D.（0,3）

6-1（24-25高一上?上海閔行?期中）函數(shù)〉=。1。24+2024（。>0,。*1）的圖像恒過定點(diǎn).

6-2.（23-24高一上?上海徐匯?期末）函數(shù)y=。向+3（a>0且。*1）的圖像過定點(diǎn).

6-3對任意實(shí)數(shù)函數(shù)y=（l-a）*+4的圖象必過定點(diǎn).

題型7指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用

例7若函數(shù)y=的圖像可由函數(shù)y=2'的圖像向右平移一個單位長度得到,則函數(shù)j=/（x）的解

析式為（）

A.y=2A+1B.y=2*TC.y=2x+lD.y=2x-l

7-1（23-24高一上.上海浦東新?階段練習(xí)）若函數(shù)和g（x）=10”的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)

小）=_______

7-2（22-23高一上?上海楊浦?期中）若x<0時，指數(shù)函數(shù)y=（a-的值總大于1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

7-3幕的基本不等式是：當(dāng)a>l,s>0時,°、1恒成立

7-4函數(shù)y=/（X）的圖像向右平移1個單位長度，所得圖像與函數(shù)y=，的圖像關(guān)于y軸對稱，則/（%）=

7-5在圖中畫出函數(shù)>=3*-1的圖像，說明函數(shù)、=3前-1的圖像與y=3*圖像的關(guān)系.

題型8求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域

7/例8函數(shù)〃*=示匕的定義域是.

2

8-1（23-24高一上.上海浦東新?階段練習(xí)）己知函數(shù)/（耳=/三+氏其中a>0且是實(shí)數(shù)常數(shù).

⑴求函數(shù)y=〃力的定義域.

（2）是否存在常數(shù)b,使函數(shù)V=/（X）為奇函數(shù)？

8-2求下列函數(shù)的定義域：

（1）y=g*-1-

1

（2）y=5*4?

（3）1產(chǎn)一9.

題型9求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域

7/例9（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）設(shè)A="|y=x，,8={y|y=2，}jpJAB=.

9v+1

9-1（24-25高一上?上海寶山?階段練習(xí)）已知。=-----8l,c=3-x,d=2%,x￡R,則下列命題中真命題

x-l

的個數(shù)為（）

①至少有一個不小于1,②至少有一個不大于1.

③a+Z?+c+d24恒成立，④a+/?+c+d<4恒成立

A.1B.2C.3D.4

[y%<1

9-2（24-25高一上?上海徐匯?期末）若函數(shù)y=1"[的值域?yàn)椋▂，3],則實(shí)數(shù)，的取值范圍

[—尤+a,x>1

是.

9-3（24-25高一上?上海浦東新?階段練習(xí)）已知函數(shù)4%）=尤+1,g（x）=3'+若對任意的占e[O,l]，存在

%oe[0』,使得/（占）=g（x0），則整數(shù)m的取值集合真子集的個數(shù)為

題型10求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

例10求下列函數(shù)的定義域:

2

(l)y=

⑵7田,

10-1（24-25高一上?上海長寧?期末）若關(guān)于X的不等式9%-4-3%-心0的解集為R,則實(shí)數(shù)上的取值范圍

是（）

A.H，0]B.(-co,-4]C.[-3,0]D.

10-2（24-25高一上?上海閔行?期中）已知函數(shù)〃x）=，則于8的值域?yàn)?/p>

(a—2)x+4a+1,x<2

10-3（24-25高三上?上海寶山?階段練習(xí)）已知函數(shù)y=2/1>2,若該函數(shù)存在最小

值,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

題型11根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù)（定義域）

、一7/例11（24-25高一上?上海金山?階段練習(xí)）函數(shù)>的定義域?yàn)?,可,值域?yàn)?,1，則b-a的最

大值為?

11-1（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）已知a〈人，若函數(shù)y=,-4卜e[a,可的值域?yàn)閇0,4]廁b-a的取值范

圍是.

11-2（22-23高一上?上海徐匯?期末）已知函數(shù)y=2，+。的值域?yàn)椋?,y）.

⑴求實(shí)數(shù)。的值.

⑵求函數(shù)y=f-4了+a,彳€上,4］（/＜4）的最小值.

11-3.（24-25高一上?上海閔行?期中）已知函數(shù)其中。＞0且awl.

⑴若4=2,求“X）的最小值.

⑵若/（X）在區(qū)間。1］上的最大值為2,求“的值.

⑶若a=2,且/'（力+4＞切?2,對任意xe［-1,1］恒成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

題型12判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

一3

?例12（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=＜（2"一八+""2：1在區(qū)間（9,+8）上對任意

ax,x＜l

的XW，都滿足"％）一"%）＜0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.

xi—x2

A［。'1B.團(tuán)C.］。,1D.

12-1（24-25高一上?上海?期末）已知函數(shù)/（力=3"則下列命題正確的是（）

①對于任意4,尤2eR,都有“可?%）=/（孑）+/）成立.

②對于任意為,馬eR,且王w尤2，都有孚="二一"*）＞0成立.

Ax石一%2

③對于任意X］,超eR,且玉片%，都有"%）；""）＞f［%）成立.

④存在實(shí)數(shù)”,使得對于任意實(shí)數(shù)無，都有〃x+a）=〃=尤）成立.

A.①②B.③④C.②③④D.②③

12-2（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）己知〃x）=gJ,A=審］,G=f（畫,H=（言］，試

寫出A,G,H的大小關(guān)系.

12-3（24-25高一上?上海?期末）已知函數(shù)y=/（x）的表達(dá)式一-a（aeR）.

3+1

（1）證明：函數(shù)y=/（x）在其定義域上是嚴(yán)格減函數(shù).

（2）是否存在實(shí)數(shù)“，使得函數(shù)y=/（尤）是奇函數(shù)？并說明理由.

12-4（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）已知M是滿足下列性質(zhì)的所有函數(shù)/（X）組成的集合：對于函數(shù)/'（力,

存在常數(shù)k，使得對函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩個自變量為,x2，均有7（%）-"%）歸根「可成立.

⑴己知函數(shù)g（x）=^+bx+ceM,寫出實(shí)數(shù)a/,c必須滿足的條件.

⑵對于集合M中的元素Mx）=^/m,尤20,求出滿足條件的常數(shù)％的最小值.

⑶判斷。"）=3”是不是集合M中的元素,并說明理由.

題型13由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)

一、7例13（24-25高一上?上海?期末）函數(shù)y=a'+6-1（a>0,且"1）單調(diào)遞增且圖象不經(jīng)過第四象限,

則滿足的條件為（）

A.a>l,b<lB.a>l,b>0

C.0<6/<l,Z?<lD.0<a<l,b>l

（3+（a—l）x,x<0

13-1（24-25IWJ一上?上海寶山?期末）若函數(shù)/（%）={%、八（〃>0且々。1）,任取芯,元2￡1^,且玉。％2,

［a+a,x>0一

都有〃為）一/伍）>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

xl-x2

13-2（24-25高一上?上海普陀?期末）若,（X）=F［：；）：；；。（。>0且0片1）在（。，8）上是嚴(yán)格增函數(shù)，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

13-3（24-25高一上?上海寶山?階段練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)〃》）=（2。-1）工在R上是嚴(yán)格增函數(shù),則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是.

題型14判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

例14⑵3高一上.上海虹口.期末）函數(shù)廣：在區(qū)間［-1,2］上的最小值是——.

14-1（23-24高一上?上海?階段練習(xí)）函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是.

14-2（24-25高一上?上海虹口?期末）設(shè)f（x）=3x-（k-l）3-x（keR）,已知y=/（元）是R上的奇函數(shù).

⑴求k的值，并判斷函數(shù)y=/（x）的單調(diào)性.

（2）若不等式于（X1+4）+0對任意Xe［1用恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

1一W

14-3（23-24高一下?上海嘉定?階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)/（%）=」-（a>0且"1）.

1+優(yōu)

（1）判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由.

⑵若"l）=-g試判斷函數(shù)Ax）的單調(diào)性并加以證明，并求/（x）+l-根=0在［-2,3］上有解時，實(shí)數(shù)，〃的取值

范圍.

題型15比較指數(shù)幕的大小

例15（24-25高一上?上海?期末）已知/>丁,則（）

A.2x>2yB.x4>j4

c.x|x|>y|j|D.Igx2>Igy2

15-1已知a=更二L函數(shù)y=,若實(shí)數(shù)加，〃滿足H">a",則加,?的關(guān)系為.

2

15-2已知o=V03,b=2°\c=O.30-2，則”,6,c三者的大小關(guān)系是.

15-3不使用計(jì)算器，比較下列各題中兩數(shù)的大?。?/p>

4

⑴2鴻盯?

34

（2）小與“萬（其中a>0且。*1）.

題型16由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

7/例16（24-25高一上?上海?期中）不等式2,—<]￡|"3與不等式/+辦+6<0解集相同，則

a+b=.

16-1（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0,3],則函數(shù)/（2工-1）的定義域?yàn)椋ǎ?

A.[1,4]B.[0,2]C.[0,4]D.[1,2]

16-2（24-25高一上?上海?期中）關(guān)于x的不等式39岫T49的解集為.

16-3（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：/S+3（。>0且。工：1）.

題型17求已知指數(shù)型函數(shù)的最值

/例17函數(shù)y=3一'在區(qū)間上的最小值是

17-1函數(shù)y=的最大值為.

17-2函數(shù)y-l,xe[T,2]的最大值為.

17-3已知xe[0,3],求函數(shù)>=-2X+2+3的最大值與最小值?

題型18根據(jù)指數(shù)函數(shù)的最值求參數(shù)

一、，,例18（23-24高一上?上海嘉定?階段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)y=a*在口,2］上的最大值與最小值之差為

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是；

18-1（24-25高一上?上海楊浦?期中）指數(shù)函數(shù)y="（a＞O,aHl）是一種重要的基本初等函數(shù)模型.

（1）指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)（。＞0,a*1）在區(qū)間［1,2］上的最大值比最小值大I，求實(shí)數(shù)a的值.

（2）說明＞=2,與y=的圖像關(guān)于y軸對稱.

18-2指數(shù)函數(shù)了=就在區(qū)間［1,2］上的最大值比最小值大。，求〃的值.

18-3指數(shù)函數(shù)y=ax在區(qū)間［-1,1］上的最大值和最小值的和為|■，求。的值.

題型19含參指數(shù)函數(shù)的最值

一、,/例19（23-24高一上?上海?階段練習(xí)）給機(jī)器人輸入一個指令（犯2"，+48）（其中常數(shù)機(jī)＞0）后，該機(jī)

器人在坐標(biāo)平面上先面向x軸正方向行走優(yōu)個單位距離，接著原地逆時針旋轉(zhuǎn)90。后再面向》軸正方向行走

2"，+48個單位距離,如此就完成一次操作.已知該機(jī)器人的安全活動區(qū)域滿足龍，若開始時機(jī)器人在函數(shù)

/?=2*圖象上的點(diǎn)尸處面向X軸正方向,經(jīng)過一次操作后該機(jī)器人落在安全區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)Q處，且點(diǎn)Q恰好

也在函數(shù)，=/(尤)圖象上，則.

19-1(23-24高一上?上海青浦?期中)已知函數(shù)y=b"'(a、6為常數(shù),。>0且awl)

(1)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(l,6)和3(3,24)，求實(shí)數(shù)a、b的值；

(2)若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1,求該函數(shù)的表達(dá)式.

19-2已知二次函數(shù)滿足=力,〃0)=3,若不吃是/⑴的兩個零點(diǎn)，且忱-刃=2.

(1)求〃x)的解析式.

(2)若g(x)=§,求函數(shù)g(尤)的值域:

(2)若不等式g(2')-A?2工2。在x目-1,1］上恒成立,求對數(shù)k的取值范圍.

題型20指數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題

/例20已知函數(shù)y=恁，+2(a,b>0)的最小值為2,貝Ua+b的最小值為

20-1(24-25高一上?上海寶山?階段練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=［￡|與g(x)=f-2依+4,若對任意的xe(O,+8),

總有了［g(x)］〈l恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

20-2已知a為常數(shù)，設(shè)函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式為〃x)=2*.

⑴若函數(shù)y=為偶函數(shù)，求a的值.

(2)若a>0,求函數(shù)y=〃x)d(r)的最小值.

(3)若方程〃力=6有兩個不相等的實(shí)數(shù)解七,%，且W-引<1，求。的取值范圍.

@過關(guān)測?穩(wěn)提升

A組夯實(shí)基礎(chǔ)

1.（24-25高一上?上海?期中）函數(shù)工扇+區(qū)與函數(shù)y=f+6（"0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能

為（）

2.（24-25高一上?上海?期中）設(shè)aeR,“a>l”是“/<i”的一個（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要

3.（24-25高一上?上海浦東新?期末）已知=*「則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.不等式的解集為{布>0}

B.函數(shù)y=〃x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱

C.若為實(shí)數(shù)，且。+人>0,則/⑷+〃。）>1

D.若為實(shí)數(shù)，且。+%>0，則

4.（24-25高一上?上海閔行?期末）已知〃x）=e\則函數(shù)y=的值域?yàn)?/p>

5.(21-22高一上.上海楊浦?期中)指數(shù)函數(shù)>=優(yōu)3>0,。。1)在區(qū)間［0,4］上的最大值與最小值之和為17,則

a=；

6.(24-25高一上?上海?期中)已知。是常數(shù)，命題P：存在實(shí)數(shù)%,使得〃2+2』-2<0.若P是假命題，則。

的取值范圍是.

7.(24-25高一上?上海松江?期末)同構(gòu)式通俗講是結(jié)構(gòu)相同的表達(dá)式，如：

f(x)=x+cx,/(lnx)=lnx+e電=lnx+x,稱x+ex與lnx+x為同構(gòu)式.已知實(shí)數(shù)石、%滿足

_____3

x,

e+x1=6,ln^5x2+3+x2,則玉+5X2=.

B組能力提升

8.(23-24高一上?上海?期末)對于定義在區(qū)間［a,可上的函數(shù)〃力,若與(x)=max{〃以a<rWx}(x目/目).

⑴己知=,g(x)=￡,xe［O』試寫出P,(x),P.(x)的表達(dá)式.

⑵設(shè)a>0且awl,函數(shù)“x)=/+(3-a)d-l,xe，如果P,(x)與/'(x)恰好為同一函數(shù)，求。的取值范

圍.

⑶若Qf(x)=min{/(r)|a</<x)(xe，存在最小正整數(shù)k，使得Pf(工)&k(x-a)對任意的

尤成立，則稱函數(shù)/(X)為［。㈤上的“左階收縮函數(shù)”，已知函數(shù)〃力=/,無?-1,4］,試判斷f(x)是否為

［T,4］上的2階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應(yīng)的k，如果不是,請說明理由.

9.(24-25高一上?上海?期末)對于定義在［0,+<?)的兩個函數(shù)y=和y=g(x),若函數(shù)y=〃x)+g(x)滿

足：①是嚴(yán)格減函數(shù),②其函數(shù)值恒大于零，則稱函數(shù)y="X)和y=g(x)為“在［0,”)上的尸函數(shù)對”.

(1)分別判斷下列各組中兩個函數(shù)是否為“在［0,+◎上的尸函數(shù)對“，并說明理由

①g(x)=-4x,〃x)=_%2

②g(x)=_%_1"(%)=x+l+^^.

⑵設(shè)常數(shù)〃zeR,若g(x)=m和〃x)=g)+2024為“在［0,內(nèi))上的尸函數(shù)對”，求m的取值范圍

(3)設(shè)常數(shù)左eR,若g(x)=丘和/(x)=2X+V771為“在［0,+8)上的P函數(shù)對“，求證：k的值有且僅有一個.

暑假預(yù)習(xí)專題15指數(shù)函數(shù)

預(yù)習(xí)三步曲

第一步：導(dǎo)

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握

第二步：學(xué)

教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第三步：測

小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

口串知識?訊框架

,知竊導(dǎo)圖燒理

在實(shí)際問題中的簡單應(yīng)用

@析教材?學(xué)知識

知識點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)的定義重點(diǎn)

定義當(dāng)?shù)讛?shù)。固定，且。>O,awl時，等式>=優(yōu)確定了變量V隨變量了變化的規(guī)律，稱為底為a的指數(shù)函

數(shù)

需要注意的是:定義域?yàn)镽,函數(shù)值恒為正.

*知識剖析

I

形式上的嚴(yán)格性：只有形如y=ax(a>0且awl)的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)，像y=2-3xy=27y=

3X+1等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù).

特別提醒

判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法

1.判斷其解析式是否符合y=a*(a〉O且aH1)這一結(jié)構(gòu)特征.

2.看是否具備指數(shù)函數(shù)解析式具有的三個特征：

(1)底數(shù)a為常數(shù)，。>0且,(2)自變量x的位置在指數(shù)上，且x的系數(shù)是1,(3)ax的

系數(shù)是1.

知識點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)的圖像

用五點(diǎn)法作指數(shù)函數(shù)的圖像.

拓展

(1)指數(shù)函數(shù)y=ax與y=的圖像關(guān)于y軸對稱.

(2)指數(shù)函數(shù)y=a\a>1)的圖像經(jīng)過第一象限和第二象限，且當(dāng)%越來越大時，圖像離x軸越來越

遠(yuǎn)，y=a*(0<a<l)的圖像經(jīng)過第一象限和第二象限，且當(dāng)%越來越大時，圖像離x軸越來越近.

知識點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

y=axa>l0<a<l

y

圖像JI)(04)

0

⑴函數(shù)圖像都在X軸上方，無限趨近于X軸，但永不相交

圖像

(2)過定點(diǎn)(0,1)

特征

(3)由左至右圖像上升(3)由左至右圖像下降

(1)定義域?yàn)镽,函數(shù)值恒正

(2)當(dāng)x=0時,y=l

(3)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)(3)在R上是嚴(yán)格減函數(shù)

函數(shù)性質(zhì)

)的圖像關(guān)于y

⑷對稱性:指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)的圖像與指數(shù)函數(shù)y=\-

軸對稱

*知識剖析

指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律如圖所示：

(1)y^ax,(2)y=b：

(3)y=c"，(4)y=d，.

則：0<b<a<l<d<c.

即當(dāng)xe(0,+oo)時，(底大賽大).

當(dāng)xe(-oo,0)時，//>優(yōu)>4*>°、(底大賽小).

崎練考點(diǎn)播知識

題型1指數(shù)函數(shù)的判定與求值

、<、)例1函數(shù)>=(/-34+3)罐是指數(shù)函數(shù)，求。的值.

【答案】2

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義直接求解即可.

【詳解】由丁=(/-3°+3)/是指數(shù)函數(shù).

ci~—3a+3=1

可得，a>0，解得a=2.

awl

17給出下列函數(shù)：①尸，，②y=(-3)',③y=-3=④尸(兀-3)”.其中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念來判斷.

【詳解】對于①，函數(shù)y=1的自變量尤在底數(shù)位置,不在指數(shù)位置，故不是指數(shù)函數(shù).

對于②，函數(shù)y=(-3)'的底數(shù)-3<0,故不是指數(shù)函數(shù).

對于③，函數(shù)丁=-3工中的指數(shù)式3工的系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù).

對于④，函數(shù)y=(%-3)，的底數(shù)滿足0<兀-3<1,符合指數(shù)函數(shù)的定義，是指數(shù)函數(shù).

故選：A.

1-2(24-25高一上?上海奉賢?期末)已知函數(shù)y=〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時,/(x)=2城+2，+1,

則/(一2)+/(0)=.

【答案】-21

【分析】利用給定的函數(shù)式，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求得答案.

【詳解】依題意,〃一2)+/(O)=-/(2)+0=-(2X23+22+1)=-21.

故答案為：-21.

1-3(24-25高一上?上海寶山?階段練習(xí))若函數(shù)y=/(x),尤eD滿足對任意的xeD都有=l成立,

則稱函數(shù)y=〃x)為''倒函數(shù)

1_1_Y

⑴判斷函數(shù)/(x)=產(chǎn)和g(無)=3'是否為“倒函數(shù)”.

1-X

⑵若h(x)=ylx2+m+加(〃>0)為“倒函數(shù)”，求實(shí)數(shù)mn的直

（3）若°（x）=［p（x）F㈤（p（x）為正數(shù)），其中p（x）是偶函數(shù),q（x）是奇函數(shù),求證:夕⑺是“倒函數(shù)”.

【答案】⑴函數(shù)〃尤）和g（x）都不是“倒函數(shù)”

（2）=1,H=1

（3）證明見解析

【分析】（1）求出函數(shù)“X）定義域即可判斷，利用給定定義計(jì)算判斷g（x）即可作答.

（2）利用給定定義直接計(jì)算可得m,n的值.

（3）探討姒尤）的定義域,再利用給定的定義計(jì)算即可作答.

【詳解】（1）依題意，函數(shù)y=為“倒函數(shù)”,函數(shù)y=的定義域必關(guān)于數(shù)0對稱.

函數(shù)/（彳）=早的定義域?yàn)椋?，以（1，y）,顯然-1在定義域內(nèi),而1不在定義域內(nèi).

即“X）不是"倒函數(shù)

函數(shù)g（X）=3向定義域?yàn)镽,而g（X）?g（-X）=3f3*1=921,即g（x）不是“倒函數(shù)”.

所以函數(shù)和g⑺都不是“倒函數(shù)”.

（2）顯然，函數(shù)/7（x）的定義域關(guān)于數(shù)0對稱，又旗X）是倒函數(shù).

1_〃2二0

，又〃>0,解得m=l,n=l.

m=l

所以實(shí)數(shù)m,n的值分別為根=1,?=1.

（3）因函數(shù)p（x）是偶函數(shù),q（x）是奇函數(shù)，則它們的定義域必關(guān)于數(shù)0對稱.

依題意,。（尤）的定義域是函數(shù)P（x）與4（x）定義域的交集，也必關(guān)于數(shù)0對稱.

因此*）夕（/切（可口卜（-力產(chǎn)=卜（切叱［P?TMP（X）］°=L

所以9（x）是倒函數(shù).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：正確理解給定定義，是解決新定義題的關(guān)鍵.

題型2根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)

7例2若函數(shù)y=（儲-3a+3）4為指數(shù)函數(shù)，則a=

【答案】2

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義得到方程(不等式)組，解得即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)>=(片-34+3)，為指數(shù)函數(shù).

所以6—3a+3=1且。>0且。21,解得。=2.

故答案為：2

2-1函數(shù)y=(a-2)2優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則。=

【答案】3

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義得到方程和不等式，求出答案.

(0-2『=1

【詳解】由指數(shù)函數(shù)定義知a>0，解得a=3.

(7H1

故答案為：3

2-2(23-24高一上?上海浦東新?階段練習(xí))已知函數(shù)y=(〃-3)爐是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值是

【答案】2

【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)定義列式計(jì)算即得.

a>0

【詳解】由函數(shù)，=(〃-3"、是指數(shù)函數(shù)，得力1，解得a=2.

a2—3=1

所以實(shí)數(shù)。的值是2.

故答案為：2

2-3(1)已知指數(shù)函數(shù)y=(21)，,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

(2)已知指數(shù)函數(shù)y=a'(a>0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(-1,2)，則x=2時，函數(shù)值為.

【答案】(1,+應(yīng)：

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義求解.

(2)把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求得。后，再計(jì)算函數(shù)值.

【詳解】(1)由已知2a—1>0且2/2-lwl,解得a>5且awl,所以a的范圍是(5，l)U(l,+8).

(2)由已知2=4-1,。=；,函數(shù)式為丁=(；)",工=2時,丁=(：)2=；.

故答案為：(-J)1,I(1,+8),g.

題型3求指數(shù)函數(shù)解析式

、、，7例3（24-25高一上?上海奉賢?期中）已知指數(shù)函數(shù)＞=（租-2尸的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,〃?）,則根=

【答案】4

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義及圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,〃。求解即可.

m=（777-2）-

【詳解】由題意得,＜"—2＞。，解得〃工=4.

-2w1

故答案為：4.

3-1（24-25高一上?上海?期中）已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,4）,則該指數(shù)函數(shù)的解析式為.

【答案】y=2，

【分析】設(shè)出解析式為丫=優(yōu),a＞0且awl,將（2,4）代入，求出。=2,求出解析式.

【詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)解析式為y=疝＞0且a/1,將（2,4）代入得

/=4，解得a=2,負(fù)值舍去,故指數(shù)函數(shù)解析式為y=2,.

故答案為：＞=2"

3-2（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）指數(shù)函數(shù)/（x）的圖像經(jīng)過則〃-1）=.

【答案】；/0.25

【分析】首先設(shè)指數(shù)函數(shù)，再代入點(diǎn)求函數(shù)的解析式，最后求函數(shù)值.

【詳解】設(shè)函數(shù)"（。＞0且"1）.

/（一2）=得a=4,即/■（尤）=4工

lo

所以/（-I）

故答案為：;

4

題型4判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀

一、7例4已知函數(shù)/。）=優(yōu)在（0,2）內(nèi)的值域是（廣1），則函數(shù)y=/（x）的圖象是

【答案】A

【分析】利用函數(shù)的值域確定。的取值范圍，進(jìn)而確定指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案.

【詳解】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知〃O）=1J（2）=〃.

所以由函數(shù)=a，在（0,2）內(nèi)的值域?yàn)椋?,1）.

可得函數(shù)/'（X）為單調(diào)遞減函數(shù)，即所以函數(shù)/（力對應(yīng)的函數(shù)圖象為選項(xiàng)A.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中利用指數(shù)函數(shù)的值域確定函數(shù)的單調(diào)性,得出實(shí)

數(shù)。的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.

4-1函數(shù)y=2；；￡的部分圖象大致為（）

【答案】A

【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性,再對尤＜0和x＞0時函數(shù)值的情況討論，利用排除法即可判斷.

【詳解】解：因?yàn)椋?/（切=”:定義域?yàn)镽,又〃Y）=匕/=一（2；2-*）=_〃對.

所以y="x)=23;為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故排除B.

當(dāng)x<0時0<2，<1.2-工>1.2H>1,所以2，-2T<0,所以/(x)<o,故排除D.

,X__］_11

當(dāng)尤>0時一2'-2-一吩1，因?yàn)?<小<1,所以0<1-吃<1,即0<〃力<1,故排除C.

八町一少一》不'44

故選：A

【分析】f(x)中含有兇,故/(X)是分段函數(shù)，根據(jù)x的正負(fù)寫出分段函數(shù)的解析式,對照圖象選擇即可.

(詳解］“X)是分段函數(shù)，根據(jù)X的正負(fù)寫出分段函數(shù)的解析式,“X)=(X<j.

.?.x>0時,圖象與丁=優(yōu)(。>1)在第一象限的圖象一樣是增函數(shù).

x<0時,圖象與y=ax(a>1)的圖象關(guān)于無軸對稱.

故選：B.

4-3函數(shù)y=2,的圖像與函數(shù)y=的圖像關(guān)于對稱，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是

【答案】y軸(o,i)

【分析】由指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】y=2,與y=(；］中，由于2-*=弓］,它們的圖象關(guān)于y軸對稱，交點(diǎn)在y軸上為點(diǎn)(0,1).

故答案為：y軸,(o,i).

題型5根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的范圍

一、/例5若函數(shù)y=(6+1)(。＞0,。N1)的圖像經(jīng)過第一，三，四象限,則必有(

A.0<tz<l,Z?>0B.0<<2<1,&<0C.a>l,b<0D.a>l,b>0

【答案】D

【解析】函數(shù)y="-(6+1)的圖像是由y=優(yōu)的圖像向下平移S+D個單位長度得到,根據(jù)題意得到。＞1且

6+1＞1,計(jì)算得到答案.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)y=ax圖像的性質(zhì)知函數(shù)y=ax的圖像過第一，二象限，且恒過點(diǎn)(0,1).

而函數(shù)＞=優(yōu)-0+1)的圖像是由y=優(yōu)的圖像向下平移3+1)個單位長度得到的.

故若函數(shù)y=a*-S+l)的圖像過第一，三,四象限，則。＞1且6+1＞1,從而。＞1且6＞0,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的平移，意在考查學(xué)生對于函數(shù)圖像的應(yīng)用能力.

5-1(24-25高一上?上海?階段練習(xí))若直線y=3。與函數(shù)y=|/、21(a＞0,"1)圖像有兩個公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

【答案】[。，3

【分析】根據(jù)。＞1和0＜。＜1分類討論，作出函數(shù)＞-斗的圖象與直線y=3a,由它們有兩個交點(diǎn)得出。

的范圍.

【詳解】時，作出函數(shù)了=,用-2|的圖象，如圖，此時在xw—l時,04”2.

而3。＞3＞2,因止匕y=3。與函數(shù)y=\ax+i-4的圖象只有一個交點(diǎn)，不合題意.

斗片|川1-2](。＞1)

y=3a

:片20＜。＜1時,作出函數(shù)〉=|產(chǎn)-2|的圖象，如圖，此時在xN—1時,

OX

0<y<2,

若y=3“與函數(shù)丫=卜用-2|的圖象有兩個交點(diǎn)，則0＜3a＜2,解得0＜a＜g.

綜上所述,ae（0,—）.

故答案為：（O,,）.

5-2（24-25高一上?上海長寧?期末）函數(shù)y=（￡|+根的圖象不經(jīng)過第一象限，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

【答案】

【分析】借助函數(shù)圖像即可求解.

【詳解】畫出y=的圖像（紅線），同時向下平移一個單位得到＞=[3]-1（黑線）

結(jié)合圖象可知：〃zW-L

故答案為：（-00,-1]

5-3（24-25高一上?上海嘉定?