第21講銳角的三角比單元綜合檢測(cè)（難點(diǎn)）

一、單選題

1.如果0。<-4<60。，那么sinA與cosA的差（）.

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

【答案】D

【分析】利用銳角三角函數(shù)的增減性分類討論，即可得到答案.

【解析】解：當(dāng)00</A<45°時(shí)，45°<90°-ZA<90°,

/.sinA<sin（90°-ZA）,

sinA<cosA,

sinA-cosA<0；

當(dāng)NA=45。時(shí)，90°-ZA=45°,

sinA=sin（90。-ZA）,

sinA=cosA,

丁?sinA-cosA=0；

當(dāng)45。</4<60。，30°<90°-ZA<45°,

/.sinA>sin（90°-ZA）,

.1?sinA>cosA,

「?sinA-cosA>0,

綜上所述，sinA與cosA的差不能確定，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，解題關(guān)鍵是掌握在0。90。之間（不包括0。和90。），角度變

大，正弦值、正切值也隨之變大，余弦值隨之變小.注意分類討論.

2.在RMABC中，ZC=90°,CD是高，如果A3=如，那么CD的長(zhǎng)為（）

A.msinatanaB.m-sina-cosa

C.mcoscrtancrD.m-coscrcotcr

【答案】B

【分析】此題根據(jù)題意作圖根據(jù)銳角三角函數(shù)表示出AC,再表示出CD即可求出結(jié)果.

【解析】解：根據(jù)題意作圖如下：

由題意知：AB=m,NA=。，

AC=AB-cosor,

?*.CD=AC-sintz=AB-cos??sin,

即CD=m-cosa-sina,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，主要涉及到正弦和余弦，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊是解題關(guān)鍵.

3.如圖，在矩形A3CD中，E為邊CD上一點(diǎn)，將A4DE沿直線AE翻折，使得點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)歹落在2c邊

上.若AO=4,ND4E=15。，則CE的長(zhǎng)度是（）

A.8-4百B.4A/3-6C.273D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)得到AF=4O=4,ZDAE=ZFAE=15°,ZD=ZAFE=90°,進(jìn)而得到NAF8=30。，解

RtAABF,求出2尸=26，進(jìn)而求出CF=4-2有，求出NEFC=60。，解RtAC￡尸，即可求解.

【解析】解：：四邊形ABC。是矩形，

AZDAB=ZB=ZC=ZD=90°,AD=BC=4,

由折疊可知，AF=AD=4,ZDAE=ZFAE=15°,ZD=ZAFE=90°,

：.ZBAF=ZBAD-ZDAEZM￡=60°,

ZB=90°,

ZAFB=30°,

：.BF=AF.cosNAFB=4xcos30=2^3,

：.CF=BC-BF=4-2y/3,

?：ZAFB=30°,NAFE=90°,

：.ZEFC=60°,

：.在RtAC￡F中，CE=CF.tanNEFC=（4一26）xtan60=（4一2』）x6=4/一6.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問(wèn)題，解直角三角形等知識(shí)，理解矩形與折疊性質(zhì)，根據(jù)特殊角三角形函

數(shù)值解直角三角形是解題關(guān)鍵.

4.如圖，某大樓。石樓頂掛著“眾志成城，抗擊疫情”的大型宣傳牌，為了測(cè)量宣傳牌的高度。，小江從樓

底點(diǎn)E向前行走30米到達(dá)點(diǎn)A,在A處測(cè)得宣傳牌下端D的仰角為60。.小江再沿斜坡AB行走26米到達(dá)

點(diǎn)、B,在點(diǎn)2測(cè)得宣傳牌的上端C的仰角為43。，已知斜坡AB的坡度i=l：2.4,點(diǎn)A、B、C、D、E在同

一平面內(nèi)，CD±AE,宣傳牌C。的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin43°?0.68,cos43°?0.73,tan43°?0.93,

73-1.73）

C.8.7米D.8.9米

【答案】A

【分析】過(guò)B分別作AE、的垂線，設(shè)垂足為尺G.分別在RtAABF和R3ADE中，通過(guò)解直角三角形

求出BP、AF,DE的長(zhǎng)，再求出所即BG的長(zhǎng)；在RtACBG中求出CG的長(zhǎng)，根據(jù)CD=CG+GE-DE1即可

求出宣傳牌的高度.

【解析】解：過(guò)B作BFLAE,交EA的延長(zhǎng)線于憶作于G.

BF1

Rt^ABF中，i=tanXBAF=---=---,AB=26米,

AF2.4

.?.*10（米），AF=24（米），

：.BG=AF+AE=54（米），

RtABGC中，ZCBG=43°,

：.CG=JBG?tan43°=54x0.93=50.22（米）,

Rt/iADE中，ZDAE=60°,AE=30米，

；.DE="4E=300（:米），

/.CD=CG+GE-DE=5022+10-30^3=8.3（米）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題化歸為解直角三角形

的問(wèn)題是解答此類題的關(guān)鍵.

5.如圖，在等腰三角形ABC中.AB^AC,ZA=a（0°<a<90°）.點(diǎn)。，E在AB邊上，點(diǎn)尸，G分別在2C

和AC邊上.若四邊形DEFG為正方形，則=()

DARC

E]

BL

FC

sma2sin2a

(l+sincr)

【答案】B

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的

條件.

作CH，于H,設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為機(jī)，證明―AZBAHC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得段=罷，

HCAC

根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得AG=/L,求出"C=m(l+sina),表示出正方形。班G和VABC的面積，即

可求解.

【解析】解：作CHLA3于設(shè)正方形。砂G的邊長(zhǎng)為機(jī)，

四邊形DEFG是正方形,

Hh/\

\

BpC

二/EDG=900,

:.DG//CH,DE〃FG,

:.^ADG^AHC,

.DGAG

DE//FG,

.\ZB=ZCFGf

AB=AC,

../B=NC,

:.NC=NCFG,

設(shè)CG=/G=m，

在RtADG中，sinA=-,

AGAG

AG=------

sina

DGAG

HCAC

m

msina

HCrn

--------\-m

sina

HC=m(l+sincr),

…S正方形￡）EFG=m，

m

S=-ABHC=-ACHC=---------1-m?制1+sina),

ARC221sina

S正方形0EFG2sina

2

,ABC(1+sincr)

故選：B.

6.如圖，在四邊形ABC。中，NA8C=N3CD=90。，A3=3,5C=石，把用ABC沿著AC翻折得到必,AEC,

若tan/CED=氈，則線段。E的長(zhǎng)度（）

3

A.逅B.五C."D.也

3325

【答案】B

【分析】作。MLCE,根據(jù)折疊的性質(zhì)得NACE=/ACB,BC=EC,然后結(jié)合已知條件求出。M和EM的長(zhǎng)

度，最后在氏公即河中運(yùn)用勾股定理求解即可.

【解析】如圖所示，作于M點(diǎn)，

VZABC=90°,AB=3,BC=6

：.tanZCAB=—,則Z048=30。，

3

,/ZABC=ZBCD=90°,

：.CD//AB,

：./ACD=/CAB=30。，

根據(jù)折疊的性質(zhì)得：ZACE=ZACB=6Q°,BE=BC=拒,

：.NECD=30°,

DM=x,貝ljCD=2x,MC=^3X,

：.EM=EC-MC=B6x,

”e_DM_26

?tan/CED=------=------,

EM3

.X_2y/3

2

解得：X=],

2

經(jīng)檢驗(yàn)，x=：是上述分式方程的解，

DM=-,EM=,

33

.?.在中，DE=y/DM2+EM2=

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的翻折問(wèn)題，涉及到勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，理解并熟練運(yùn)用正切函

數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

二、填空題

7.如圖，是AABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)C作A。的垂線交邊A8于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)O,當(dāng)CE為“8C邊

A8上的中線，且時(shí)，貝l|sin/C4B=.

12

【答案】百

【分析】過(guò)E點(diǎn)作所〃AD,對(duì)應(yīng)邊成比例，令A(yù)D=CE=8k,貝|?！?=2L。4=6晨作CHLAE于點(diǎn)由勾

股定理求出AC,在AACE中用等面積法求出CH,從而得出答案.

【解析】如圖，作EF〃AD交BC于點(diǎn)F,

'：AD±AE,AO平分NCAB,

二。是CD中點(diǎn)，唱號(hào)=（，

ErC/s2

YCE是AABC的中線，

.?.E為AB中點(diǎn)，三斤斤=；1,

AD2

'：AD=CE,

令A(yù)D=CE=8k,則OE=OC=4k=EF,OD=2k,OA=6k,

在/?/△ACO中，AC=yjAO-+CO-=,（64）2+（44）2=2岳k,

：AO垂直平分CE,

.,.AC=AE='2.y/i3k；

過(guò)C點(diǎn)作AHLAE交AE于點(diǎn)H,

在AACE中，通過(guò)等面積法可得：-AOCE^-AECH,

22

?”_AO-CE24A/13,

??CH----------=---------K,

AE13

12

在Rt^ACH中，sinNCAB==—；

AC13

12

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)之間的線段和角度轉(zhuǎn)化是

解題的關(guān)鍵.

S

8.如圖，VABC和V"史都是等邊三角形，點(diǎn)。是VABC的重心，那么/些=______

3ABC

【答案】I

【分析】如圖，延長(zhǎng)AO交BC于尸，由題意得AD=2AP,AF=ABsinB=—AB,則AO=?^AB,由

323

AADE^AABC,可得鼠巫=〃竺］,計(jì)算求解即可.

【解析】解：如圖，延長(zhǎng)AD交BC于凡

:點(diǎn)。是VABC的重心，

/.AD=-AF,

3

???VABC是等邊三角形，

/.AF=AB-sinB=—AB,

2

AD=—AB,

3

；VADE和VABC都是等邊三角形，

/.AADES^ABC,

,'5ABCUBJ3'

故答案為：:.

【點(diǎn)睛】本題考查了重心，等邊三角形的性質(zhì)，正弦函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于對(duì)

知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

9.如圖，已知VABC與△ABD相似，ZACB=ZABD=9(f,AC=瓜,BC=6，BD<AB,連接CD,

交邊AB于點(diǎn)E,那么線段AE的長(zhǎng)是—.

12

【答案】y

【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)和勾股定理，過(guò)C作于點(diǎn)P,構(gòu)造相似

三角形，再通過(guò)性質(zhì)即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用.

【解析】如圖，過(guò)C作于點(diǎn)尸，

D

2

在Rt^ABC中，由勾股定理得：AB=飛BC，+AC=J㈣'+(呵=3

：VABC與相似，ZACB=NAB￡)=90。，BD<AB,

.BD_AB^明嘰巨

"BC~AC'5/3A/6'

BD=,

2

ApAC屈.CPBC也

在RtZkAPC中，cosZCAP=——=-----=-----,sinACAP-------=-----=-----

ACAB3ACAB3

：.AP=2,CP=6,

在RtZ\5尸C中，由勾股定理得：BP=VBC2-CP2==I,

u：CP//BD,

；,_BDEs_pCE,

.EPCP2

?*BE~BDIg'

22

??.EP=-BP=~,

55

212

AE=EP+AP=-+2=—.

55

3

10.如圖，ZkABC中，ZABC>90°,tanZBAC=-,BC=4,將三角形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在直線A8

4

上的點(diǎn)。'處，點(diǎn)B落在點(diǎn)？處，若C、B、&恰好在一直線上，則A8的長(zhǎng)為_____.

C'

R'

【答案】乎

【分析】作B'M_LAS于點(diǎn)M,作CN_LAB于點(diǎn)N.則此“8”.人（，設(shè)CN=3y,則AM=4x,

AN=4y,即可利用y表示出3N的長(zhǎng)，在直角ABNC中利用勾股定理求得V的值，進(jìn)而求得》，得到A8的

長(zhǎng).

【解析】解：作于點(diǎn)M,作CV_LAB于點(diǎn)N.則ABMB5ABNC.

B'MCN3

tanAB'AC=tanABAC=——=—

AMAN4

.,.設(shè)EM=3x,CN=3y,貝ljAM=4%,AN=4yf

「?在直角△A5'N中，AB'=JAM2+B'M2=5X，

貝!jAB=AB'=5x,

/.BM=x,

/B'MB=NCNB=90°,NB'BM=/CBN,

.CN=B，M=3x=3

BNBMx'

nzCN3y

/.BN=——=—=y.

33

則5x+y=4y,

3

解得：x=~^y-

又RrABOV中，BN2+CN2=BC2

即V+(3y)2=16,

解得：y=亞，

-5

畫6屈6而

則x=----,AB=5x=-----.

255

故答案是：處.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出

輔助線，得到x和丫的關(guān)系.

11.如圖，在等邊VABC內(nèi)有一點(diǎn)。，AD=5,BD=6,CD=4,將繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使A3與AC

重合，點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E,則NOCE的余弦值為.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明AADE是等邊三角形和AAB￡>=AACE得：AD=DE=AE=5,CE=BD=6,過(guò)點(diǎn)E作

EHLCD,垂足為H.設(shè)貝UCH=4-x.由勾股定理得出62-(4-x)2=52-x2,求出。H,CW的長(zhǎng)，由

銳角三角函數(shù)的定義可得出答案.

【解析】解：：VABC是等邊三角形

：.AB=AC,ZBAC=60°

:△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且與AC重合，

AZDAE=ZBAC=60°,AD=AE

：.AADE是等邊三角形，

AD=DE=AE=5,

,/ABAC-NDAC=NDAE-ADAC

ZBAD=ZCAE

XAB=AC,AD=AE

：.A4B￡>sMCE

/.CE=BD=6

過(guò)點(diǎn)E作EHLCD,垂足為H.

設(shè)=貝i]S=4—x.

由勾股定理得：EH2=CE2-CH2=DE2-DH-,

即6-(4-x)2=5?-尤:

解得：尤=。,

o

5527

:.DH=~,CH=4——=—

888

27

「H?_9

cosZ.DCE=-----

EC616

9

故答案為：—

16

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到某地面目標(biāo)在點(diǎn)3處，此時(shí)飛行高度AC=1200米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)8

的俯角為37。飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條平行直線上同向運(yùn)動(dòng).當(dāng)飛機(jī)飛行943米到

達(dá)點(diǎn)。時(shí)，地面目標(biāo)此時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處，從點(diǎn)E看到點(diǎn)。的仰角為47.4。，則地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離BE約為一

310

米.（參考數(shù)據(jù)：tan37°?-,tan47.4°?--）

49

【分析】根據(jù)題意可得，AC=1200m,ZC=90°,NABC=37°,AD=943m,NE=474°,ADBE,

如圖所述，過(guò)點(diǎn)。作止±于點(diǎn)/，在中，根據(jù)正切的計(jì)算方法可求出的值，在RtADEF

中根據(jù)角的正切值可求出族的值，由此即可求解.

【解析】解：根據(jù)題意可得，AC=1200m，ZC=90°,NABC=37°,AD=943m,ZE=47.4°,ADBE,

如圖所述，過(guò)點(diǎn)。作。尸，3c于點(diǎn)尸，

ZC=90°,即AC//CE，且Db_LBC,ADBE,

ZC=Z.CFD=ZFDA=ZDAC=90°,

四邊形ACFD是矩形，即AD==943(m),AC=DF=1200(m),

itRtAACB,AC=1200m，NABC=37°,

AC1200

AC?1600(m)

tan/ABC=tan37°=—,則tan37。一]

BC

4

/.BF=BC-CF=1600-943=657(m),

在RtADE尸中，DF=1200(m),ZE=47.4°,

/.BE=EF-BF=\080-657=423（m）,

故答案為：423.

【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用仰俯角的正切值計(jì)算邊的長(zhǎng)度，掌握構(gòu)成直角三角形，三角函數(shù)的計(jì)算方法是

解題的關(guān)鍵.

13.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形Q4BC的頂點(diǎn)4-2指,0）,C（0,2）將矩形。繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A恰好落在直線02上的點(diǎn)A處，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B,的坐標(biāo)為.

>

X

【答案】（-2,26）或（2,-2方）

【分析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)A在02上時(shí)：連接。耳作用于H,證明,AOB=/汨。得到

BXH=OA=2"O"=AB=2,即可得到答案；②當(dāng)點(diǎn)A在80延長(zhǎng)線上時(shí):過(guò)點(diǎn)與作B2M，x軸,連接OB2,

根據(jù)對(duì)頂角相等和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出ZOB2M=30°,再根據(jù)勾股定理求出OB],根據(jù)30度所對(duì)的直角邊等于

斜邊的一半得出OM,然后利用勾股定理求得星知即可得出答案.

【解析】解：①當(dāng)點(diǎn)A在08上時(shí)：

連接。用作8/，04于如圖所示，

由題意知：OA=2同AB=OC=2

.\ZBOA=30°

ZOBA=60°

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZB,OB=ZBOA=30°

NBQH=60°

ZBAO=ZOHBt

在NAOB和。中<ZABO=ZHOBt

OB=0Bt

AOB=HBQ(AAS)

:.B、H=OA=2&OH=AB=2

二點(diǎn)Bi的坐標(biāo)為(-2,2百)

②當(dāng)點(diǎn)A在80延長(zhǎng)線上時(shí)：

過(guò)點(diǎn)與作星軸，連接。層，如圖

由①知，ZBOA=30°

Z^OM=30°

O

由旋轉(zhuǎn)可知，ZB2OA,=ZB（9A=30

ZB2OM=60°

ZOB2M=30°

A（-2^0）,C（0,2）

OA=BC=273,OC=2

OB2=OB=4

:.OM=2

222

B2M=ylOB^-OM=V4-2=2G

..當(dāng)2,-2⑹

故答案為：（-2,26）或（2,-2石）.

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，正方形中，AB=4,E為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在AE上，過(guò)點(diǎn)尸作MVLAE,分別交邊A3、

0c于點(diǎn)/、N.連接尸C,如果、WVC是以CN為底邊的等腰三角形，那么FC=.

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，利用已知條件通

過(guò)添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.延長(zhǎng)AE,DC交于點(diǎn)4,過(guò)點(diǎn)尸作切LCD于H,易證

..ABE金ACE(AAS),得出AB=AC=4；利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出sin/AL利用互余角的三

角函數(shù)的關(guān)系，得出cos/2,在RtAfHV和Rt_A7W中利用cos/2的值列出方程，即可求得結(jié)論.

【解析】解：延長(zhǎng)AE,OC交于點(diǎn)4,過(guò)點(diǎn)F作FH_LCD于H,

：.AB=BC=4,AB//CD,

：.Zl=ZAf.

在，ABE和ACE中，

"Z1=/A

，ZAEB=ZA'EC.

BE=EC

：.tABE.ACE(AAS).

/.AB=AC=4.

為邊2C的中點(diǎn)，

Z.BE=EC=-BC=2.

2

???AE=VAB2+BE2=275-

：.sinZl=—=

AE5

sin/A=—.

5

AELMN,

：.ZAW=90°.

JZA'+N2=90。.

cosZ2=sinZA'=75

5'

,/FN=FC,FH±CN,

：.NH=CH^-CN.

2

設(shè)NH=x,則NC=2x.

A!N=AC+NC=4+2x.

在RtzXFHN中，cosZ2=—=—,

FN5

，F(xiàn)N=島.

在Rt_A/W中，cosZ2=—=—,

A'N5

?y/5x_y/5

4+2x5

..?x4—-i.

3

FC=FN=45x=-45.

3

故答案為：—\/5.

15.定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為90。，那么這樣的三角形叫做準(zhǔn)直角三角形.已知在直角△ACB中,

NC=90。，AC=4,AB=12,如圖，如果點(diǎn)。在邊BC上，且AD6是準(zhǔn)直角三角形，那么CD=—.

B

【答案】及或2友.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，利用分類討論思想解決問(wèn)題是

本題的關(guān)鍵.分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可求解

【解析】當(dāng)NAZ)3-/D4B=90。時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)。作。耳，84于X,

在RtK4c中，ZBCA=90°,AC=4,AB=12,

BC=AB1-AC1=7122-42=8夜，

,?ZADB-ZDAB=90°,ZADB=ZDBC+Z.C=ZDBC+90°,

ZDAB=ZDBC,

又,：DHIBADCYAC,

：.DH=DC,

...DHAC1

?sin5R=-----=-----=-,

BDAB3

/.DH=-BD=DC,

3

?.DC=-BC=242,

4

當(dāng)/AD3-/3=90°時(shí)，

VZADB-ZB=90°,ZADB=ZDAC+ZC=ZDAC+900,

：.ZB=ZDAC,

又：ZC=ZC,

^ACD^ABCA,

.ACCD

"BC-AC'

.4_CD

"8A/2-4'

CD=e,

綜上所述：CD=2枝或6；

16.如圖，在菱形ABCD中，AB=6,ZA=80。，如果將菱形ABC。繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A恰好落

在菱形ABCD的初始邊上的點(diǎn)E處，那么點(diǎn)E到直線BD的距離為.

A

BD

【答案】3

【分析】由旋轉(zhuǎn)、菱形的性質(zhì)可知，DE=AD=AB=6,貝UNDE4=NA=80°,ZABDZADB=50°,

ZADE=20°,NBDE=30°,根據(jù)EE到直線3。的距離為計(jì)算求解即可.

【解析】解：如圖，菱形ABCD繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后為菱形。EFG,

由旋轉(zhuǎn)、菱形的性質(zhì)可知，DE=AD=AB=6,

1QQO_/4

ZDEA=NA=80°,NABD=ZADB=-------------=50°,

ZADE=1800-ZDEA-ZA=20°,

Z.?BDE?ADB1ADE30?,

/.E到直線8□的距離為DE-sinNBDE=6xsin30。=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理、三角函數(shù)等知識(shí).解

題的關(guān)鍵在于對(duì)相關(guān)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

17.如圖1,含30。和45。角的兩塊三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與砂重合，BC=EF=24cm,

點(diǎn)尸為邊BC（班）的中點(diǎn)，邊ED與AB相交于點(diǎn)a,現(xiàn)將三角板ABC繞點(diǎn)尸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度。（如圖

2）,設(shè)邊與所相交于點(diǎn)。，則當(dāng)。從0°至IJ90。的變化過(guò)程中，點(diǎn)。移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

【答案】46cm

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變化，解直角三角形，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)旋轉(zhuǎn)角度畫出圖形，在。變化的過(guò)程中，。點(diǎn)從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到3。與防垂直時(shí)，A3與匹的交點(diǎn)處，進(jìn)行

計(jì)算即可得到答案.

【解析】解：當(dāng)。從0。至IJ90。的變化過(guò)程中，如圖所示，

EF=24cm,

BP=12cm,

當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)從E點(diǎn)開始向F方向運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)a=60。時(shí)，QE的移動(dòng)到最大距離，

此時(shí)541.EF,

在Rt8尸。中，/B=30°,BP=12cm,

/.QP—6cm,

當(dāng)60。＜。＜90。時(shí)，。點(diǎn)開始離開。點(diǎn)向E點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng),

當(dāng)a=90。時(shí)，。點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，

在RtBP。中，QP=4,cm,

E2=(12-4V3)cm,

■--Q點(diǎn)返回運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為6-(12-473)=(4季)-6)cm,

點(diǎn)。移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為6+46-6=46，

D（C）

故答案為：4A/3.

18.如圖，△OAB是等腰直角三角形，ZAOB=90°,OA=OB=3近,點(diǎn)C、。分別在邊。4、03上，且

CD//AB,已知a史是等邊三角形，且點(diǎn)E在△OA3形內(nèi)，點(diǎn)G是“CDE的重心，那么線段OG的取值

范圍是?

AB

【答案】0<OG<V3

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)，解直角三角形，勾

股定理，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，連接EG并延長(zhǎng)交C￡>于尸，連接。尸，連接CG并

延長(zhǎng)交OE于由點(diǎn)G是,CDE的重心，可得RM分別為CD、的中點(diǎn)，進(jìn)而由心CDE是等邊三角形

可得EF1CD,CMIDE,ZMCD=-ZECD=30°,設(shè)CD=x,貝=解RtACFG得FG=@x,

226

又證明△。。?-△。鉆得，OCD是等腰直角三角形，得到OF_LCD,點(diǎn)。F、G、E四點(diǎn)共線，即得OE平

分NCOD,OE平分NAO3,延長(zhǎng)OE交于"，則垂直平分A3,由勾股定理可得AB=6,由直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=；AB=3,OF=^CD=^x,得至1］切=O"-。尸=3-gx,

根據(jù)點(diǎn)E在△OAB形內(nèi)，EF<FH,RJW—x<3--x,得至lJx<3/-3,又根據(jù)x>0可得0<x<34一3,

22

由OG=O尸+尸G=2^x,0〈尤<3相-3,即可求出線段OG的取值范圍，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6

【解析】解：如圖，連接EG并延長(zhǎng)交于尸，連接OF,連接CG并延長(zhǎng)交DE于M,

:點(diǎn)G是..CDE的重心，

:.F、M分別為CZXED的中點(diǎn)，

?..,CDE是等邊三角形，

Z.EF1CD,CMLDE,ZMCD=-ZECD=30°,

2

設(shè)CD=尤，則CT=^x,

2

在RtZkCFG中，ZFCG=30°,

?"6「口Vs

??FG=——CF=——尤，

36

CD//AB,

：.AOCD^AOAB,

?：△OAB是等腰直角三角形，

乙。8是等腰直角三角形，

OFLCD,

...點(diǎn)。、尸、G、E四點(diǎn)共線，

，OE平分NCOD,OE平分ZAOB,

延長(zhǎng)OE交于77,則C汨垂直平分A3,

VZAOB=90°,OA=OB=3近,

AB=y/o^+OB2=小我了+(3夜J=6,

Z.OHAB=3,

2

同理可得■尤，

22

Z.FH=OH-OF=3--x,

2

在RtCPE中，ZECF=60°,

，EF=^[3CF=—x,

2

?.?點(diǎn)E在△OAB形內(nèi)，

EF<FH,

?*—x<3—x，

22

/.x<3拒-3,

又：尤>0,

：.0<x<3y/3-3,

?：OG=OF+FG=-x+—x=^^-x,0<x<3右一3,

266

0<06<3yx(3/一3卜

：.0<OG<s/3,

故答案為：。<OG<6.

三、解答題

19.如圖，已知AC是矩形A8CO的對(duì)角線，DE//AC,DE交3C延長(zhǎng)線于E,AE交QC于歹，BF交AC

于G.

(1)求證：點(diǎn)G是aABE的重心；

(2)如果3G=J?C=2,求NAE3的正弦值.

【答案】(1)見解析

⑵如

3

【分析】本題主要考查重心的判定，三角函數(shù)的定義，熟練掌握求正弦值的方法是解題的關(guān)鍵.

(1)證明是AE的中線，AC是BE的中線即可得到結(jié)論.

(2)根據(jù)重心的性質(zhì)得到3尸=3,求出小3E的值，再根據(jù)勾股定理求出答案即可.

【解析】(1)證明：；矩形ABCD，

:.AD//BE,AD=BC,

DE//AC,

???四邊形ACE。是平行四邊形，

:.AF=EF,AD=CE,

.?.■8戶是AE的中線，

AD=BC,

BC=CE,

二.AC是郎的中線，

??.點(diǎn)G是/AB石的重心；

(2)解：/點(diǎn)6是一鉆石的重心，

BG=-BF,

3

BG=BC=2,BC=EC,

；.BF=3,EC=2,

..BE=4,

QZABE=90°,AF=EF,

:.BF=-AB=AF=EF=3

2f

AE=6,

在RtA4BE'中,ABNAE-BE?=后-4?=26,

.AB2A/5小

sinZ/4AFERB=----=------=——.

AE63

20.如圖，在VABC中，ZABC=45°,AD1BC,垂足為點(diǎn)O,BEA.AC,垂足為點(diǎn)￡,AO和相交于

點(diǎn)、F,過(guò)點(diǎn)A作AGBC,交邊班延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,點(diǎn)M是5G邊上一點(diǎn)，AMLAB.

⑴求證：DF=DC；

lAG

(2)求證：V2cos=——.

GM

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)垂直得出=/A￡B=90。，再由對(duì)頂角相等及等量代換確定，利用

等角對(duì)等邊得出BD=AD，再由全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；

(2)過(guò)點(diǎn)M作MHLAG于點(diǎn)H,根據(jù)平行線的性質(zhì)及垂直的定義得出NM4H=45。，確定=

(ZAAT

再由相似三角形的判定和性質(zhì)得出=7二=,利用等量代換確定4止石=/加4石，再由余弦函數(shù)的定義

GMHM

進(jìn)行等量代換即可證明

【解析】(1)證明：9：AD1BC,BELAC,

：.^BDA=^AEB=90°,

JNFBD+NBFD=NAFE+NFAE=90°,

NBFD=NAFE,

：.NFBD=NFAE,

???ZABC=45°,

：.ZBAD=ZABD=^5°f

：.BD=AD,

，_BDF-ADC(ASA),

：.DF=DC；

(2)過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H,如圖所示:

??.，R4G=135。，

*：AMLAB,

：.^MAH=45%

：.^MAH=^AMH=45°,

:.AH=MH，

AM=42MH，

?；NGHM=NGEA=90。,NG=NG,

:?LGHMSGEA,

.GAAE

,?GM-HM'

「ZABE+ZBAE=ZBAE+ZMAE^9Q0,

：.NABE=NMAE,

AE

/.cosABE=cos^MAE=-----,

AM

；.拒cosNABE=4IcosZMAE=應(yīng)x—=應(yīng)x=—=—,

AM6MHHMGM

-4G

BPV2cosZABE=——.

GM

【點(diǎn)睛】題目主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)，余弦函數(shù)的定

義等，理解題意，作出輔助線求解是解題關(guān)鍵.

21.小明為測(cè)量河對(duì)岸大樓的高度，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)角儀，如圖1所示.

圖1圖2圖3

測(cè)量方法：如圖2,人眼在P點(diǎn)觀察所測(cè)物體最高點(diǎn)C,量角器零刻度線上43兩點(diǎn)均在視線PC上，將鉛

錘懸掛在量角器的中心點(diǎn)。.當(dāng)鉛錘靜止時(shí)，測(cè)得視線尸C與鉛垂線OD所夾的角為a,且此時(shí)的仰角為夕.

實(shí)踐操作：如圖3,小明利用上述工具測(cè)量河對(duì)岸垂直于水平地面的大樓跖的高度.他先站在水平地面的

點(diǎn)H處,視線為GE,此時(shí)測(cè)角儀上視線與鉛垂線的夾角為60。；然后他向前走10米靠近大樓站在水平地面

的點(diǎn)R處，視線為QE,此時(shí)測(cè)角儀上視線與鉛垂線的夾角為45。.

問(wèn)題解決：

(1)請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示仰角P；

(2)如果G〃、QR、所在同一平面內(nèi)，小明的眼睛到水平地面的距離為L(zhǎng)6米，求大樓所的高度.(結(jié)果保

留根號(hào))

【答案】⑴尸=90°-。

(2)(5■+6.6)米

【分析】本題考查了解直角三角形-仰角俯角問(wèn)題，列代數(shù)式，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)延長(zhǎng)交PK于3根據(jù)題意可得：OLYPK,從而可得：=90°,然后利用直角三角形的兩

個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

(2)延長(zhǎng)GQ交所于點(diǎn)根據(jù)題意可得：GMLEF,GH=QR=MF=1.6米,GQ=HR=10^,然后

設(shè)EM=x米，分別在Rt,EGM和RtEQW中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出GM和的長(zhǎng)，從而列出關(guān)

于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解析】(1)解：如圖：延長(zhǎng)0。交尸K于L,

由題意得：OL±PK,

：.NO"=90。，

■:NPOD=a,

：.NOPL=90°-APOD=90°—tz,

：.j3=90°-a；

(2)解：延長(zhǎng)GQ交所于點(diǎn)河,

由題意得：GM±EF,GH=QR=MF=1.6m,GQ=HR=10m,

設(shè)=x米，

在RtEGM中，ZGEM=60°,

GM=EM-tan60°=（米）,

在RtEQM中,Z.QEM=45°,

QM=EM?tan^50=x（米）,

?：GM-QM=GQf

**?A/3X-％=10

解得：x=5石+5

/.EM=（54+5）米，

EF=EM+FM=5A/3+5+1.6=（573+6.6）＞|e,

二大樓EF的高度為卜用+6.6）米.

22.在中，ZACB=90°,ZB=60°,點(diǎn)。為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接C￡）.

圖1

(1)如圖1,若AC=9,BD=4i,求線段A。的長(zhǎng).

(2)如圖2,以CD為邊在C。上方作等邊.CDE,點(diǎn)尸是DE的中點(diǎn)，連接B尸并延長(zhǎng)，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

G.若NG=NBCE,求證：GF=BF+BE.

【答案】(D5V3

(2)見詳解

ACr-

【分析】(1)在RtAABC中，由—3=60。，AC=9,可得2。=方=343,AB=2BC=6y/3,即得

AD=AB—BD=50

(2)取A3的中點(diǎn)。，連接OC,證明3OC為等邊三角形，得CO=CB,7OCB7BOC60?,可得

OCD&BCE(SAS),有ZEBC=ZDC?C=120。，iiOC/ZBE,在GF上截取HF=3尸，連接可證

BEF絲HDF(SAS),得BE=HD,?BEF?HDF,有DH〃BE,DH//OC,可得Z/TOG=NOCD,知

ZG=ZHDG,HG=HD,從而HG=BE,GF=HG+FH=BE+BF.

【解析】(1)解：在RtZXABC中，ZACB=9Q°,

ZB=60°,AC=9,

ArArl

，tan6(F=茄，BC=-^=3y/3,AB=2BC=673

QBD=6

\AD=AB-BD=5y/3；

(2)證明：取AB的中點(diǎn)。，連接OC,如圖:

在Rt^ABC中，點(diǎn)。為斜邊AB的中點(diǎn),

OC=OB,

ZABC=60°,

/.H9C為等邊三角形，

:.CO=CB,20cB2BOC60?,

/.ZZX)C=120o,

-COE為等邊三角形，

..CD二CE,NDCE=60。,

\?DCE?OCB60?,

Z.OCD+Z.OCE=AOCE+Z.BCE,

\?OCD?BCE,

在工OCD和13CE中，

CD=CE

<ZOCD=/BCE,

CO=CB

OCD"BCE(SAS),

\?EBC?DOC120?,

\1OCB1EBC180?,

:.OC//BE,

在GP上截取=連接

.,點(diǎn)f是￡>E的中點(diǎn)，

:.FE=FD,

在△BEF和AHZ卯中，

BF=HF

<ZBFE=ZHFD,

FE=FD

BEF"HDF(SAS),

:.BE=HD,?BEF?HDF,

DHBE,

:.DHOC,

\?HDG?OCD,

又一；NG=ZBCE,

\?G?HDG,

\HG=HD,

\HG=BE,

\GF=HG+FH=BE+BF.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，解直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半,

等邊三角形的判定與性質(zhì)，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)稱變換等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是

作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

23.在菱形ABCD中，/DAB=60°,點(diǎn)E在射線A3上,連接CE、BD.

備用圖

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E是邊A3的中點(diǎn)，求—ECD的正切值;

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段A3的延長(zhǎng)線上，連接DE與邊BC交于點(diǎn)尸，如果AO=6,,￡FC的面積等于36,

求取的長(zhǎng);

(3)當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上，CE與3D交于點(diǎn)H,連接DE并延長(zhǎng)DE與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,如果AD=6,NBCH

與以點(diǎn)E、G、8所組成的三角形相似，求AE的長(zhǎng).

【答案】(D—ECD的正切值是更

2

Q)EF=百

(3)AE=9-3A/5

【分析】(1)如圖，連接DE,根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合己知判定△鈿￡>是等邊三角形，證明

ZAED=NCDE=90。,后利用正切函數(shù)計(jì)算即可；

(2)取的中點(diǎn)連接DM,結(jié)合(1)的解答，利用平行線的性質(zhì)，三角形面積的性質(zhì)，三角形相似的

判定和性質(zhì)，勾股定理計(jì)算即可；

(3)過(guò)E作ENLCG點(diǎn)，垂足為N,判定相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合等腰三角形的判定和性質(zhì)，列出

方程解答即可.

【解析】(1)解：連接OE,

??,四邊形ABCD是菱形，

DC//AB,DA=AB=DC,

?：DAB=60°,

：.△ABD是等邊三角形，

丁點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，

AE=EB=-AB,DE.LAB,

2

/.ZAED=90。,

又DC〃AB,

Z.ZAED=NCDE=90°,

設(shè)AE=x,

AD=CD=lx,DE=A/3X,

在中，tanZECr>=—