第11講平面向量的線性運算（八大題型）

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、理解向量的數(shù)乘；

2、掌握向量的線性運算；

3、會用向量的線性組合表示向量。

02思維導(dǎo)圖

/1.實數(shù)與向量相乘

------2.平行向量定理

I3.向量的線性運算

r題型1:作圖理解向量的數(shù)乘

'題型2:向量的數(shù)乘及運算律、判定向量平行

廠題型3:與單位向量有關(guān)的概念及表示

「題型4:平面向量的線性運算

J題型5:用兩個不平行向量的線性組合表示向量

'題型6:重心的性質(zhì)在平面向量的應(yīng)用

（題型7:平行線分線段成比例在平面向量的應(yīng)用

I題型8:畫出平面向量的分向量

03知識清單

一、實數(shù)與向量相乘

1.實數(shù)與向量相乘的意義：

一般地，設(shè)〃為正整數(shù)，「為向量，我們用就表示〃個〉相加；用一而表示"個相加.又當(dāng)加為

正整數(shù)時，衛(wèi)行表示與7同向且長度為衛(wèi)|a|的向量.

mm

【方法規(guī)律】

設(shè)P為一個正數(shù)，pa就是將a的長度進(jìn)行放縮，而方向保持不變；-P。也就是將口的長度進(jìn)行放縮，

但方向相反.

2.向量數(shù)乘的定義

一般地，實數(shù)左與向量之的相乘所得的積是一個向量，記作％%,它的長度與方向規(guī)定如下：

(1)如果kwO,且AwO時，貝U：

①左a的長度：|6|=|左||￡|；②左a的方向：當(dāng)左＞0時，左。與。同方向；當(dāng)左＜0時，ka與a反

方向；

(2)如果k=0,或￡=0時，貝ij：ka=O,左3的方向任意.

實數(shù)左與向量％相乘，叫做向量的數(shù)乘.

【方法規(guī)律】

(1)向量數(shù)乘結(jié)果是一個與已知向量平行(或共線)的向量；

(2)實數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運算；

(4)左公表示向量的數(shù)乘運算，書寫時應(yīng)把實數(shù)寫在向量前面且省略乘號，注意不要將表示向量的箭頭寫

在數(shù)字上面；

(5)向量質(zhì)數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

3.實數(shù)與向量的相乘的運算律：

設(shè)根、八為實數(shù)，貝U：

(1)m(na)=(mn)a(結(jié)合律)；

(2){m+n)a=ma+na(向量的數(shù)乘對于實數(shù)加法的分配律)；

(3)m(a+b)=ma+mb(向量的數(shù)乘對于向量加法的分配律)

二、平行向量定理

1.單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.

【方法規(guī)律】

—*-------?-?I—?|??I—?

任意非零向量a與它同方向的單位向量a0的關(guān)系：a=aa0,a=a.

0RH

2.平行向量定理：如果向量6與非零向量占平行，那么存在唯一的實數(shù)m,使6=

【方法規(guī)律】

b一一

(1)定理中，|m|==，m的符號由b與a同向還是反向來確定.

a

(2)定理中的°”不能去掉，因為若5=0,必有6=6,此時m可以取任意實數(shù)，使得b=m￡成立.

(3)向量平行的判定定理：;是一個非零向量，若存在一個實數(shù)m,使6=m￡,則向量6與非零向量;平

行.

(4)向量平行的性質(zhì)定理：若向量6與非零向量占平行，則存在一個實數(shù)m,使6=m/

(5)A、B、C三點的共線o贏〃肥o若存在實數(shù)九，使AB=^BC.

三、向量的線性運算

1.向量的線性運算定義：

向量的加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算.

【方法規(guī)律】

(1)如果沒有括號，那么運算的順序是先將實數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.

(2)如果有括號，則先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行.

2.向量的分解：

平面向量基本定理：如果,最是同一平面內(nèi)兩個不共線(或不平行)的向量，那么對于這一平面內(nèi)的

任一向量￡,有且只有一對實數(shù)4,4,使得

【方法規(guī)律】

(1)同一平面內(nèi)兩個不共線(或不平行)向量,叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

一組基底中，必不含有零向量.

(2)一個平面向量用一組基底6,02表示為a=4q+402形式，叫做向量的分解，當(dāng)q,e2相互垂直時，

就稱為向量的正分解.

(3)以平面內(nèi)任意兩個不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個向量都可表示成這組基底的線性組

合，基底不同，表示也不同.

3.用向量方法解決平面幾何問題：

(1)利用已知向量表示未知向量

用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一

些定理，因此在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)

邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解.

(2)用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲”：

①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.

②通過向量運算，研究幾何元素的關(guān)系.

③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

【即學(xué)即練1］如圖，已知兩個不平行的向量占,工先化簡，再求作：萬+〃.(不要求寫作

法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量)

【答案】化簡得-a+2b;作圖見解析.

【分析】首先利用平面向量的加減運算法則化簡原式，再利用三角形法則畫出圖形.

【解析】解：［^a+3b^-［^d+b^=^a+3b-a-b=-a+2b.

如圖：AB=2b，BC=-a-

則AC=_a+26，

即配即為所求.

【點睛】此題考查了平面向量的運算法則以及作法.注意作圖時準(zhǔn)確利用三角形法則是關(guān)鍵.

【即學(xué)即練2】下列說法中，正確的是（）

A.a+（-a）=OB.如果巨是單位向量，那么e=l

如果同=忖，那么了=5D.如果日非零向量，且6=-2。，那么￡〃石

【答案】D

【分析】本題考查向量的相關(guān)概念，根據(jù)向量的概念和性質(zhì)逐項判斷即可.

【解析】解：A、a+（-a）=6,所以A錯誤，不符合題意.

B、如果Z是單位向量，那么同=1,所以B錯誤，不符合題意.

C、如果同=忖，那么4=5,這兩個向量方向不一定相同，所以C錯誤，不符合題意.

D、如果￡非零向量，且人=-2〃，那么￡〃石，D正確，符合題意.

故選：D.

【即學(xué)即練3］若+C-3兄）+5=0,其中葭5、e為已知向量，求未知向量啟

【答案】無=三”《6+、

2177

【分析】數(shù)乘向量滿足結(jié)合律、分配律，計算求出亍即可.

21-13--

【解析】解：^x--a--b-—c+—x+b=0

3222

/乙1-1X

—X——a-\--b——c=0

2322

X——a—b~\—C

2177

【點睛】本題考查了平面向量的計算，熟練掌握平面向量的計算法則是解決本題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練4】如圖，在VA5C中，點。是邊BC的中點，AB=a,AC=b，那么而等于（）

—?11-

A.AD=-a——bB.AD=——a+—b

2222

.11-

C.AD=——a——bD.AD=-a+-b

2222

【答案】D

【分析】本題考查了向量的線性運算，根據(jù)力=通+而、BD=^BC,前=-碼即可求解.

【解析】解：：而=通+防，點。是邊2C的中點,

AD=AB+^BC=AB+^[AC-AB^=^AB+^AC

22

故選：D

【即學(xué)即練5】如圖，點。是等邊三角形A3C的重心，OA=a,OB=b,那么無可以表示為（用

向量M、5的線性組合表示）.

2

【分析】本題考查向量的線性運算，重心的性質(zhì)，延長4。交BC于點。，根據(jù)重心的性質(zhì)，得到OA=、ZM,

CB=2DB,利用三角形法則得到荏=麗-函=麗-方彳，求出而，進(jìn)而求出無即可.

【解析】解：延長AO交BC于點。，

:點0是等邊三角形ABC的重心,

/.CB=2DB,OA=2DO,

：.OA=-DA,

3

__.3__?__,__.

DA=-OA,CB=2DB,

2

AB^OB-OA=DB-DA>

____3_

b—Q=DB—Q,

2

__.__3__]_

??DB—b—QH—a=bT—a,

22

JCB=2DB=2b+a;

故答案為：2b+a-

題型精講

題型1:作圖理解向量的數(shù)乘

【典例1].已知非零向量求作3萬、-2a..

~a

------>?

【答案】見解析

【分析】3m與日方向相同，長度是M的3倍，據(jù)此作圖即可;

-2方與M方向相反，長度是五的2倍，據(jù)此作圖即可；

1與商方向相反，長度是商的《倍，據(jù)此作圖即可.

22

【解析】解：⑴才

------->?

3才

?---------------------?

(2)

-la

【點睛】本題考查了向量的作圖，明確各向量與已知向量的方向及長度關(guān)系是作圖的關(guān)鍵.

【典例2].已知非零向量九求作(人-3a.

——-------->

【答案】見解析

【分析】作向量題=向量反=-3日即可.

【解析】解：如圖，向量通和向量反即為所作.

-3a

cD

【點睛】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量基礎(chǔ)知識，屬于中考?？碱}型.

題型2：向量的數(shù)乘及運算律、判定向量平行

【典例3].下列命題中，正確的是（）

A.如果左=0或￡=6,那么旌Z=oB.如果那么￡=無（人為實數(shù)）

C.如果°（％為實數(shù)），那么D.如果卜|=忸「那么a=2方或a=—25

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)之一判斷即可得到答案.

【解析】解：A.如果無=0或￡=6,那么人2=6,原說法錯誤，不符合題意，選項錯誤；

B.如果Z〃萬，且力力6,那么2=好a為實數(shù)），原說法錯誤，不符合題意，選項錯誤；

c.如果2=以（％為實數(shù)），當(dāng)人=o時，Z和B不平行，原說法錯誤，不符合題意，選項錯誤;

D.如果問=%，那么￡=2萬或2=-21，說法正確，符合題意，選項正確，

故選D.

【點睛】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【典例4].己知同=1,忖=2,且坂與￡的方向相反，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A.a=1bB.a=—lbC.b=2aD.b=—2a

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)即可解決問題.

【解析】v|a|=l,|5|=2,而且萬和萬的方向相反

??h=-2a?

故選D.

【點睛】本題考查平面向量的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.

【典例5].計算：（-3）x52=;

7（a+3）-4（a-萬）+3a=；

一1f5-

【答案】-15a6a+11b-+~

oo

【分析】（1）根據(jù)實數(shù)與向量相乘的運算定律計算即可;

（2）根據(jù)實數(shù)與向量相乘的運算定律計算即可；

（3）根據(jù)實數(shù)與向量相乘的運算定律計算即可.

【解析】解：（I）（-3）X5￡=-15￡；

（2）7（a+B）-4（a-B）+3a=7a+75-4a+45+3a=6a+115；

（3）-（a+b>]-—（a-b]=—a+—b-—a-^—b=—a+—b.

2、,3、,223366

【點睛】此題主要考查實數(shù)與向量相乘的運算定律，以及去括號法則，掌握運算定律是解決問題的關(guān)鍵.

【典例6】.下列命題中，埼送的是（）

A.如果左=0或〃=0,那么版=0

B.如果加、幾為實數(shù)，那么"怎）=0"）￡

c.如果〃（%為實數(shù)），那么〃〃B

D.如果二=3力或二=-3力，那么自=3慟

【答案】C

【分析】本題主要考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的性質(zhì)，根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷

即可.

【解析】解：A.如果左=0或￡=6,那么后=6,正確，故本選項不符合題意.

B.如果加、〃為實數(shù)，那么根（點）=（m〃）￡,正確，故本選項不符合題意.

C.如果2=癌（左為實數(shù)），那么￡〃以錯誤，k=0時，不成立，故本選項符合題意.

D.如果建3）或建』，那么口=3忖，正確，故本選項不符合題意.

故選：C.

【典例7].已知向量。與B是互不平行的非零向量，如果拓=2々+3反用那么向量3與而是否

平行？答：.

【答案】否

【分析】本題主要考查了向量的線性運算，若向量）與前平行，則百=左肩（左為常數(shù)，且上力0）,據(jù)此可得

答案.

【解析】解：n=2a+3b,m--—a--b,

23

**?nkm（左為常數(shù)，且左。0）,

二?向量[與正不平行，

故答案為：否.

【典例8].已知非零向量⑦反"下列條件中不一定能判定的是（）

A.同=2忖B.a=2bC.a//c,b//cD.a=2c,b//c

【答案】A

【分析】本題考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解題關(guān)鍵是對向量性質(zhì)的理解.根據(jù)向量的

性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解析】解：A、只能判定2,B的模的數(shù)量關(guān)系，不能判定不〃B，符合題意；

B、a=2b能判定不符合題意；

c、〃△根據(jù)平行的傳遞性得到雙〃不符合題意；

D、2=2",得到苕〃“平行的傳遞性得到a〃方，不符合題意；

故選A.

題型3：與單位向量有關(guān)的概念及表示

【典例9].下列判斷不F9的是（）

A.2（7+5）=2萬+25；

B.如果向量4與5均為單位向量，那么0=5或雙=-方；

C.如果=那么同=W；

D.對于非零向量B,如果濟=無?”人70）,那么L〃1.

【答案】B

【分析】本題考查了平面向量、平行向量、單位向量，根據(jù)平面向量的性質(zhì)逐一判斷即可得出答案，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.

【解析】解：A、2（a+b）=2a+2b,計算正確，原說法正確，故本選項不符合題意；

B、如果向量日與B均為單位向量，那么它們的模相等，即同=問，原說法錯誤，故本選項符合題意；

C、如果4=5,那么同=忖，原說法正確，故本選項不符合題意；

D、對于非零向量方，如果商=公5（左/0）,那么萬〃原說法正確，故本選項不符合題意；

故選：B.

【典例10].下列說法中，正確的是（）

A.益+（-乃=0B.如果，是單位向量，那么e=l

C.如果同=|可，那么"5D.如果Z非零向量，且八-2a,那么

【答案】D

【分析】本題考查向量的相關(guān)概念，根據(jù)向量的概念和性質(zhì)逐項判斷即可.

【解析】解：A、a+（-a）=0,所以A錯誤，不符合題意.

B、如果Z是單位向量，那么同=1,所以B錯誤，不符合題意.

C、如果同=忖，那么4=5,這兩個向量方向不一定相同，所以C錯誤，不符合題意.

D、如果％非零向量，且b=-2a,那么Z〃B，D正確，符合題意.

故選：D.

【典例111向量2和單位向量2的方向相反，且忖=4,那么2=.（用工表示）.

【答案】-4e

【分析】本題考查了向量的定義，根據(jù)向量Z和單位向量工的方向相反，且向量的長度為4即可求解.

【解析】解：由題意得：a=-4e;

故答案：-4e.

【典例12].下列命題中，正確的是（）

A.如果％=0或￡=0，那么屈=0B.如果￡〃雁司，那么不=防

C.如果1和乙都是單位向量，那么冢=￡D.如果日=3很，那么

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)，逐項判斷即可求解.

【解析】解：如果左=0或3=。，那么質(zhì)=0,故本選項錯誤，不符合題意；

B、如果Z〃碓力可，那么防或"一小，故本選項錯誤，不符合題意；

c、如果[和￡都是單位向量，那么1或[=-￡,故本選項錯誤，不符合題意；

D、如果萬=3方，那么2〃坂，故本選項正確，符合題意；

故選：D

【點睛】本題主要考查了平面向量的性質(zhì)，熟練掌握平面向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【典例13].已知Z是非零向量，如果與￡同方向的單位向量記作配那么下列式子中正確的是（）

1-]

A.目￡第B-訐“=1C.忖?€=〃D.

【答案】C

【分析】根據(jù)實數(shù)與向量相乘，對各選項進(jìn)行判斷作答即可.

【解析】解：由題意知，付GuZT,，A錯誤，故不符合要求；

1-,

口"=B錯誤，故不符合要求；

同L=￡,c正確，故符合要求；

---=|a|#a,D錯誤，故不符合要求；

e

故選：C.

【點睛】本題考查了實數(shù)與向量相乘.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握實數(shù)與向量相乘結(jié)果是向量.

【典例14].已知一個單位向量。，設(shè)慶、力是非零向量，下列等式中，正確的是（）

A-同人'B.同玩=用C.\n\e=nD,同*同亢

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可.

1r

【解析】解：A、鬧”與9的模相等，方向不一定相同，故本選項不符合題意.

B、\e\m=m,計算正確，故本選項符合題意.

C、同々和為的模相等，方向不一定相同，故本選項不符合題意.

1r1一

D、肉山和同〃的模相等，方向不一定相同，故本選項不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

【典例15].已知工為單位向量，向量Z與工方向相反，且其模為R的4倍；向量B與工方向相同，且其模

為，的2倍，則下列等式中成立的是()

_一一1-1-

A.a=2bB.a=—2bC.〃=#D.a=~~b

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)得到2=屋22，從而得到及=-2人

【解析】解：根據(jù)題意知，及=*,b=2e>

貝！|e=——a,e=—b,

42

則萬=-2心觀察選項，只有選項B符合題意.

故選：B.

【點睛】此題考查了平面向量的知識.此題比較簡單，注意掌握單位向量的知識.

題型4：平面向量的線性運算

]—[qf

【典例16].如圖，已知兩個不平行的向量,和向量5.先化簡，再求作：2(a--&)--(3a--&).

【答案】CB

【分析】

此題考查了平面向量的運算.注意掌握三角形法則是解答本題的關(guān)鍵.首先利用平面向量的運算法則，化

簡原式，再利用三角形法則畫出向量.

【解析】

角軍：原式=2M—Z?—萬+]〃

1r

=4——b.

2

AB=a,*=35,

2

則無即為所求.

343

【典例171——a+2a=,3b——b+—b=，OA-OB=-----

7------54

iiSQ

【答案】y?塞戰(zhàn)

【分析】根據(jù)向量的加減運算法則進(jìn)行運算.

3「3、11

【解析】--a+2d=\--+2\a=-a；

一4一3-

3b——b+—b=

54

OA-OB=OA+BO=BA'

1159-4

故答案是：—a；—；晶.

【點睛】本題考查向量的加減運算法則，需要注意向量的加減運算法則和數(shù)的加減運算有所區(qū)別.

【典例18].化簡：2a+3行一；（96-35）=.

【答案1-a+4b/4b-a

【分析】本題考查向量的加減運算，根據(jù)向量加減運算法則求解即可

【解析】解：2a+3b-^（9a-3b）

—2H+3b—3a+b

=—a+4b，

故答案為：—a+4b.

【典例19].如果向量M、B和元滿足土一元=2（4一行），那么元=___.

【答案1—a+2b/2b—a

【分析】本題考查的是平面向量，正確利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等式的性質(zhì)變形，得到答案.

【解析】解：a-x=2（a-b）,

-x=a-2b

x=-a+2b，

故答案為：-萬+25.

【典例20].Ma=-2b（商、5均為非零向量）那么下列結(jié)論錯誤的是（）

A.同=2忖B.a//bC.a+2b=0D.m與B方向相反

【答案】C

【分析】根據(jù)平行向量的定義與性質(zhì)，逐一對選項判斷即可.

【解析】解：A>*.*a=—2bt

???I司=2陣故該結(jié)論正確，不符合題意；

B.'：a=-2b（a,5均為非零向量），

???日與5是方向相反的向量，即苕〃5,故該結(jié)論正確，不符合題意；

C、g=-2b，

：.a+2b=o,故該結(jié)論錯誤，符合題意；

D、'：a=-2b（.a,方均為非零向量）,

???日與5是方向相反的向量，故該結(jié)論正確，不符合題意.

故選：c

【點睛】本題考查了平面向量的定義與性質(zhì)，熟練掌握平面向量的定義與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.平面向量

的定義：平面內(nèi)既有大小，又有方向的量；平行向量，也叫共線向量，是指方向相同或相反的非零向量；

零向量和任何向量平行.

【典例21].在平行四邊形ABCD中，點￡是4。的中點，BE、AC相交于點尸.

（1）設(shè)通=方，而=5,試用5表示而；

⑵先化簡，再求作：（2。+勺-夕2萬+5）（直接作在圖中）.

1-1-

【答案】（i）Db

3o

(2)-a-^b,見詳解

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理和平面向量,

（1）根據(jù)題意得AD〃3c和BC=也，進(jìn)一步得到會=空,則訪詼+超］，代入向量即可.

BCrD

（2）化解得-@-家，將對應(yīng)線段代入得到須+題），過點E作EG〃AB,則屈=旃，-a-^b=GA,

連接G4即可.

【解析】（1）解：：四邊形ABCD為平行四邊形,

AD//BC,BC=AD,

：.^AFE^CFB,

AEEF

則

???點￡是的中點,

???AE=-AD,

2

貝1］石尸=，尸3,

2

...EF=LFB=LEB=L(EA+AB)=-(-DA+

233、)3(2

*：AB=a9AD=bf

.1(1r1_1r

..EF=———b+a\=-a——b.

312J36

(2)(2日+6)—3(24+5)=2a+b-3a-^b=一萬一;5,

9

：AB=a,AD=bf

1一一?1—?

—a—b=—AB—AD=^AB-AE=-(AB+AE),

22

過點E作￡G〃A5,則通=旃,

.\-a-1^=-(AB+AE)=-(AB+BG)=-AG=G4,如圖，目即為所求.

題型5：用兩個（不平行）向量的線性組合表示向量

【典例22].如圖，已知44BC中，中線A"、BN相交于點G,設(shè)蔗=商，函=B，那么向量起用向量

a>b表示為.

【答案1a+2b/2b+a

【分析】本題考查了三角形的重心，三角形法則等知識.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.根

據(jù)重心的性質(zhì)可得AG=2GM,BC=2BM,利用三角形法則求出麗7，進(jìn)而可得結(jié)果.

【解析】解：：中線4W、3N交于點G,

AAG=2GM,BC=2BM,

：.GM=-AG,

2

___,__.----.1_

BM=BG+GM，即1+6,

?*-BC=iBM=a+7b.

故答案為：a+2b.

CN1

【典例23】.如圖,在平行四邊形ABC。中，點"是邊CD中點，點N是邊3C上的點，且W=：.設(shè)通=1，

BN2

BC=b，那么兩可用4、B表示為.

【分析】本題考查的知識點是向量的線性運算、平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握向量的線性運算.

首先由四邊形ABCD是平行四邊形，求得成=通=1，又由點"是邊CD中點，點N是邊3C上的點，且

CN

=7=彳1，求得就與祝，再利用三角形法則求解即可.

BN2

【解析】解：,??四邊形ABCD是平行四邊形，

/.DC=AB=a，

CN

???點M是邊CO中點，點N是邊3c上的點，且三=彳1，

BN2

—.1—,1—.1—.1_

:.MC=-DC=-a,NC=-BC=—b,

2233

―.―.―.11_

:.MN=MC-NC=-a——b.

23

故答案為：—S--&.

題型6：重心的性質(zhì)在平面向量中的應(yīng)用

【典例24].如圖，AZ）經(jīng)過AABC的重心，設(shè)通=￡,~AC^b＞那么應(yīng)可以用向量Z，B表示為:

DA=?

.1.1_1-

【分析】先求出就=3-3,再根據(jù)重心是三角形三條中線的交點得到M==由此可由

222

囪=_而=_（通+而）求出答案.

【解析】解：：荏乂，AC^b，

；?BC=AC-AB=b-a^

*/A￡）經(jīng)過"IBC的重心，

，AD是AABC的中線，

—■1—■1-1一

/.BD=-BC=-b——a,

222

DA=-AD=-（AB+BD^=-\2+^b-a^=-^a-^b,

1-1一

故答案為：~~a~^■

【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，重心的定義，正確表示出訪是解題的關(guān)鍵.

【典例25].如圖，在44BC中，中線4￡＞、BE交于點F,設(shè)麗=a，BC=b，那么向量善用向量乙，b

表示為.

A

21一

【答案】

【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)可得AF=2”，利用三角形法則求出而，進(jìn)而可得結(jié)果.

【解析】解：???中線AD、BE交于點F,

???AF=2DF,

：.AF=-AD,

3

—?1_

?；AD=AB+BD，即AD=-M+/Z?，

—?21一

AF=——a+—b.

33

71一

故答案為：——^+―.

【點睛】本題考查了三角形的重心，三角形法則等知識.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

【典例26].如圖，已知G為AABC的重心，過點G作BC的平行線交邊和AC于點。、E,設(shè)須=￡、

GC—b?用+yB（x、y為實數(shù)）的形式表示向量DEu.

【答案】o+—5

【分析】由于G是三角形ABC的重心，根據(jù)平行線分線段成比例定理與三角形重心的性質(zhì)，可得到

AG:AM=2:3,再根據(jù)平面向量加減運算可求得答案.

【解析】解：連接4G并延長交8C于點

DE//BC

.AGADDE

???點G是融。的重心，

?AG-2

**AM-3

?DE2

**BC-3

DE=-BC

3

BC=GC-GB=b-a

:,DE=_la+-b

33

2-2-

故填：

【點睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定義，熟練運用平面向量

加減運算是解答本題的關(guān)鍵.

【典例27].如圖，在AABC中，G是AABC的重心，聯(lián)結(jié)AG并延長交BC于點O.

(1)如果A8=°,AC=b＞那么AZ)=(用向量a、B表小);

(2)已知AD=6,AC=8,點E在邊AC上，且NAGE=/C,求AE的長.

【答案】(1卓+“

(2)3；

【分析】

本題主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定與性質(zhì)，

(1)利用平面向量的定義解答即可；

(2)利用三角形的重心的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【解析】(1)

解：AB=a,AC=b>

BC=BA+AC=—a+b

?.?G是AABC的重心，聯(lián)結(jié)AG并延長交8c于點O,

為AABC的邊上的中線，

即點。為BC的中點，

而」而=」￡+匕

222

??AZ)=AB+BD=ci—aH—b=—QH—b,

2222

1-1一

故答案為：—a+—b.

22

(2)

?.?G是△回(3的重心，

22

:.AG=-AD=-x6=4.

33

vAAGE=AC,ZGAE=ZCAD,

:.^GAE^ACAD,

.AEAD

,~AG~~AC

.一￡_6

**V-8

AE=3

題型7：平行線分線段成比例在平面向量中的應(yīng)用

【典例28].如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,對角線AC、相交于點0,BC=2AD,OD=1.

(1)求3。的長；

(2)如果BC=b試用。石表示向量礪.

【答案】⑴3

2i

⑵丁丁

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平面向量，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)得出AAODSACOB,貝U型=四=2,進(jìn)而得出03=2,最后根據(jù)3￡>=03+8即

OBBC2

可求解；

―?1—?1-—?1-―?—?―?1-,0D1

(2)先得出A0=—5C=—。，貝IJZM=——力，進(jìn)而得出。3=A3+ZM=萬—一b,由(1)可得——二—,則

2222OB2

2—?2—?

OB=-DBf進(jìn)而得出=即可求解.

【解析】(1)解：???5C=2AD,

?AD_1

??—―,

BC2

?：AD//BC,

:?小AODs^COB,

.OPAD

??麗―茄―5'

OD=1,

,X-1

「OB~2"

解得：OB=2,

BD=OB+OD=2+1=3；

(2)解：VBC=2AD,AD//BC,BC=b,

__1—>1一

AD=-BC=-b,

22

???DA=--b,

2

**AB=a,

：.DB=AB+DA=a--b,

2

由(1)可得y—=—，

OB2

OB=-DB,

3

—?2.2(1八21-

OB=-DB=-\a——b\=-a——b.

3312J33

【典例29].如圖，在金。中，AB=5fBC=4,平分/ABC交AC于點。，DE〃BC交AB于點、E.

A

⑴求?！甑拈L;

(2)連結(jié)CE交BD于點凡設(shè)AD=b，用日、B的線性組合表示向量而=，BF=

【答案】⑴/20：

一9-9

(2)6-心X4b~14a-

【分析】本題考查等腰三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平面向量.

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到=設(shè)DE=BE=x,根據(jù)△AEQSAABC得到

三DF=A%F，分別代入即可解答；

JDCAB

(2)根據(jù)平面向量三角形減法法則得出而，根據(jù)可求得所與5。的關(guān)系，即可求解.

【解析】(1),??3。平分/ABC,

:.ZABD=/CBD,

DE//BC,

：./CBD=/EDB,

JZABD=ZEDB,

DE=BE,

設(shè)DE=BE=x,貝！JAE=AB—BE=5—x,

,:DE〃BC,

：.AAED^AABC，

.DEAE

**BC-AB

解得X=g，

DE=—.

(2)?AB=q,AD=b，

**?BD=AD—AB=b-a-

*.?DE〃BC,

???ADEF^ABCF,

20

DF_DE_9_5,

CB~4~9

：.DF=-BF

9f

5149

；.BD=BF+DF=BF+—BF=—BF,^BF=—BD,

9914

—?9—?9/一八9一9一

BF=-BD=—(b-a]=—b——a.

1414v)1414

19-9

故答案為：S-a,—

1414

【典例30].如圖，已知A8〃CD,AD3c相交于點E,過E作砂II。交3。于點八AB:CD=1:3.

⑴求而的值；

⑵設(shè)&5=。,帝=5,用向量a、B表示前.

【答案】⑴:

4

-3—

(2)3/?——

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)以及平面向量的加減運算.

RFFF

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)，可證明VASE:VOCE和ABEF?"CD,得到CE=3的和==*,即可得出

BCCD

結(jié)論；

1___.1.1——.一1一RF1

(2)根據(jù)(1)中結(jié)論得所=78,則有=進(jìn)一步求得=,由不二=彳，結(jié)合平面

4444CE3

向量的加減運算即可得出結(jié)論即可求得答案.

【解析】(1)解：??,AB〃CD,

:?NEAB=EDC,ZABE=ZDCE,

：.NABE:VDCE,

.AB_BE

，eDC-CE-3?

:.CE=3BE,

EF//CD,

：.ZBEF=ZBCD,

ZB=ZB,

**.ABEF~/^BCD,

,BEEF

??一，

BCCD

,:BC=BE+CE=BE+3BE=ABE,

EF1

???一-.

CD4

1—.1—?1一

(2)由(1)得EF=—CD,貝!JM=—C0=—Q,

444

?*BE+EF=BF，

BE=BF-EF=b--a,

4

BE_1

由(1)得氏=3

，CE=3BE,

則成=3麗=3X“1]=3B_/.

題型8：畫出平面向量的分向量

【典例31].如圖，在平行四邊形A3Q)中，點E為。C上的一點，CE=2DE,AC與BE相交于點尸，如

果AB=a，AD=b，

(1)用向量4、方分別表示下列向量；BE=_;AF=_；

(2)在圖中求作前分別在4、B方向上的分向量.(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論)

—244~

【答案】⑴5-??；-?+-&:

(2)見解析.

【分析】本題考查了向量的線性計算，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)

鍵.

__.o__.__.__ko

(1)根據(jù)已知條件得出反=1萬，根據(jù)三角形法則得出屁=配-比=石-§4,根據(jù)相似三角形得出

3

AF=-AC,AC=AD+DC=a+b9即可求解；

(2)根據(jù)平行四邊形法則構(gòu)造平行四邊形AGFFZ,即可求解.

【解析】(1)解：:四邊形ABCD是平行四邊形

AB=CD,AB//CD,

??DC=AB=a,BC=AD=b，

???CE=2DE

--2

??.EC=-a

3

AD=b

_____.___2

：.BE=BC-EC=b——a；

3

?:AB//CE

/\ABF^/\CEF

.CFCE2

99AF~AB~3

3

AF=-AC,

AC—AD+DC=a+b

—?33-3-

AF=-AC=-a+-b；

555

(2)如圖，而,而即為而分別在益、5方向上的分向量.

【典例32].如圖，已知在平行四邊形A3CO中，點E,尸分別是邊。C、AB的中點，AE,CF與對角線

3。分別交于點G,H,設(shè)/=%,AD^b.

（1）向量而=,向量萌=.（用人方表示）

⑵畫出向量而在向量Z和B方向上的分向量.（畫圖不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）.

,一1一11

【答案】⑴—^+―

Q)見解析

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運

用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

(1)根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)得四邊形A￡C尸為平行四邊形，再由平行線分線段成比例確定0G=GH,

BH=GH,利用向量的三角形法則得出瓦=21次即可確定亦，GE;

(2)利用平行四邊形法則分解向量即可.

【解析】(1)解：??,平行四邊形ABC。，

/.CD=AB,CD//BA,

??,點E,尸分別是邊QC、A3的中點，

DE=CE,AF=FB,

：.CE=AF,CE//AF,

???四邊形AECF為平行四邊形，

：.AE//CF,

VEG//CH,DE=EC,

：.DG=GH,

同理得：BH=GH,

：.DG=GH=HB,

,?*AF=a，AD—b，

**?DA=—b,AB—2〃，

?**DB=2a-b

―.—.1—?2—1一

JGH=DG=-BD=-a——Z?；

333

__k2—1一

VGE=GD+DE.GD=--a+-bf詼=赤=々，

—?1一1一

GE=-a+-b

33f

2_1_]_1_

故答案為：-5M彳4+16；

(2)如圖所示：質(zhì),而即為所求.

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.已知％、B為非零向量，下列判斷錯誤的是（

A.如果〃=26，那么〃〃行B.如果=那么a〃石

C.如果同=W，那么Z=B或Z=D.如果工為單位向量，且￡=2配那么同=2

【答案】C

【分析】根據(jù)單位向量、平行向量以及模的定義進(jìn)行判斷即可.