第15講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式6種常見考法歸類

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

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1.能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

2.探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式.

3.探索并掌握點(diǎn)到直線的距離公式.

4.會(huì)求兩條平行直線間的距離.

［隼）基礎(chǔ)知識^

---------------------IIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIII1IIIIIII1IIIII-----------------------

知識點(diǎn)1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1、已知兩條直線的方程是/i：Aix~\-Ci=O,I2：Aix-\-B2y-\~C2=Q9設(shè)這兩條直線的交

點(diǎn)為尸，則點(diǎn)尸既在直線/i上，也在直線/2上.所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)既滿足直線的方程4%+Sy

+Ci=0,也滿足直線，2的方程A2X+Biy+Q=0,即點(diǎn)P的坐標(biāo)就是方程組

Aix+Bi^+Ci=O,

A2x+B2y+C2=Q的解.

2、直線li：Ci=0和直線b：+Biy+C2=0的位置關(guān)系如表所不：

Ci=0

方程組4"的解一組無數(shù)組無解

直線與/2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)

直線與/2的位置關(guān)系相交重合平行

注：（1）判斷兩直線位置關(guān)系的方法，關(guān)鍵是看兩直線的方程組成的方程組的解的情況.

Ci=0,

3+。2=。有唯一解的等價(jià)條件是4-5位。，即兩條直線相交的等價(jià)條件是

AxBi—AiBx^Q.

（2）雖然利用方程組解的個(gè)數(shù)可以判斷兩直線的位置關(guān)系，但是由于運(yùn)算量較大，一般較少使

用.

知識點(diǎn)2兩點(diǎn)間的距離公式

1.公式：點(diǎn)尸1(X1,>1),尸2。2,丁2)間的距離公式|P1P2|=X1)2+(J2—yi)2.

原點(diǎn)。(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離|。尸|=嚴(yán)守.

2.文字?jǐn)⑹觯浩矫鎯?nèi)兩點(diǎn)的距離等于這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差與縱坐標(biāo)之差的平方和的算術(shù)

平方根.

注：(1)兩點(diǎn)間的距離公式與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān).

(2)①當(dāng)直線P1P2平行于X軸時(shí)，|尸1尸2|=任2—刈.

②當(dāng)直線P1P2平行于y軸時(shí)，|PP2|=|y2一川.

③當(dāng)點(diǎn)Pl,P2中有一個(gè)是原點(diǎn)時(shí)，|PlP2|="+y2.

④當(dāng)P1P2與坐標(biāo)軸不平行時(shí)，如圖，在Rt^PiQP中，\P1P2\2=\P1Q\2+\QP2\2,

y笑里

P2(x2>y2)

O\X

所以IP1P2I=yj(X2—xi)2+(j2—yi)2.

即兩點(diǎn)Pl(xi,yi),P2(X2,>2)間的距離|P1P2|=N(X2—二>+⑴-yi)2.

⑤已知斜率為左的直線上的兩點(diǎn)Pi(xi,yi),P2(X2,yi),由兩點(diǎn)間的距離公式可得

IP1P2I=AJ(X2—xi)2+(y2-yi)2=^/l+^2|.X2-xi|,或1P1P21=、Jl+^|v2—yi|.

知識點(diǎn)3點(diǎn)到直線的距離與兩條平行線間的距離

點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離

夾在兩條平行直線間公垂線段的長

定義點(diǎn)到直線的垂線段的長度

度

兩條平行直線li：Ax+B_y+Ci=0

點(diǎn)尸o(xo,yo)到直線Z：Ax+By+

與Z2：Ax+By+C2=0(GWC2)之間

C=0的距離

公式的距離

_|Axo+5yo+C|

d幣』2IC1-C2I

注：(1)應(yīng)用點(diǎn)到直線距離公式的前提是直線方程為一般式.

(2)在使用兩平行線間距離公式時(shí)，兩直線的方程為一般式且x,y的系數(shù)分別相同.

(3)若直線方程為心+或+C=0,則當(dāng)A=0或3=0時(shí)公式也成立，但由于直線是特

殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解.

(4)已知點(diǎn)P(xo,yo)及直線/上任意一點(diǎn)那么點(diǎn)P到直線/的距離|PQ等于兩點(diǎn)間距

離1PM的最小值.

I尸(g,明

(5)點(diǎn)到直線距離的向量表示

如圖，設(shè)〃為過點(diǎn)尸且垂直于/的單位向量，了0就是而在〃上的投影向量，點(diǎn)P到直

線/的距離|￥]|=|由川

(6)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(xo,泗)，直線/：Ax+By+C=0(AW0,3W0),怎樣

求出點(diǎn)P到直線/的距離呢？

方法一：根據(jù)定義，點(diǎn)尸到直線/的距離是點(diǎn)尸到直線/的垂線段的長，如圖，設(shè)點(diǎn)P到直線

/的垂線為廠，垂足為。，由/'可知/'的斜率為*

21

???/'的方程為y—yo=?(x—xo),與/聯(lián)立方程組，

人力/=一.(B2XO-AByo-ACA2yo-ABxo~BC}

解得父點(diǎn)4"2一,交十"J，

.,rni|Axo+Byo+C|

方法二：向量是解決空間距離、角度問題的有力工具，怎樣用向量方法求點(diǎn)到直線的距離呢？

提示PQ可以看作P般在直線/的垂線上的投影向量，直線/：Ax+By+C=O(A3WO)的斜率為

A

一百

所以加=(3,—A)是它的一個(gè)方向向量.

(1)由向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得與直線/垂直的一個(gè)單位向量"=

(2)在直線/上任取點(diǎn)M(x,y),可得向量PM=(x—xo,y~yo).

|Axo+Byo+C|

(3)\PQ\=\PQ\=\PM-n\=

(7)怎樣求兩條平行直線Ax+3y+Q=0與Ac+By+C2=0間的距離？

在直線Ax+3y+G=0上任取一點(diǎn)P(xo,州)，點(diǎn)P(xo,泗)到直線玉+砂+。2=0的距離，就

Hxo+Byo+Czl

是這兩條平行直線間的距離即d=

因?yàn)辄c(diǎn)P(xo,泗)在直線加+或+G=0上,

所以Axo+Byo+Ci=O,

即Axo~\-Byo=—Ci,

lAxo+Byo+Czl|—C1+C2I|CLC2I

因此d—

?^A2+B2—y/A2+B2~y/A2+Br

||豳解題策略

---------------iiiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiiuiii----------------

1.兩條直線相交的判定方法

方法一：聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交.

方法二：兩直線斜率都存在且斜率不等.

2.過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的求法

(1)常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方

程.

(2)特殊解法(直線系法)：運(yùn)用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程：若兩直線h：Axx+Bxy+Cx=

0,b：4加+32丁+。2=0有交點(diǎn)，則過/i與，2交點(diǎn)的直線系方程為Aix+3iy+Ci+7(A2x+B2y

+。2)=0(丸為待定常數(shù)，不包括直線/2),設(shè)出方程后再利用其他條件求解.

3.計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法

⑴對于任意兩點(diǎn)P1(X1,yi)和尸2(X2,>2),則|P1P2|=N(X2—%1)2+32一n產(chǎn)

(2)對于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解.

4.應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問題

(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式.

(2)點(diǎn)P在直線/上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0,公式仍然適用.

(3)直線方程Ax+3y+C=0中，A=0或5=0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐

標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解.

5.求兩條平行直線間距離的兩種方法

(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離，即化

線線距為點(diǎn)線距來求.

(2)公式法：設(shè)直線/i：Ax-\-By-\-C\=Q,h：Ax-\-By-\-Ci=Q,則兩條平行直線間的距離d

IG-C2I

^/A2+B2'

注：利用點(diǎn)到直線的距離公式或兩平行線間的距離公式解綜合題時(shí)，需特別注意直線方程要化

為一般式，同時(shí)要注意構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，本節(jié)中距離公式的形式為一些代數(shù)問題提

供了幾何背景，可構(gòu)造幾何圖形，借助幾何圖形的直觀性去解決問題.

6.直線的對稱問題

關(guān)于中心對稱問題的處理方法：①若點(diǎn)M(xi,yi)及N(x,y)關(guān)于P(a,6)對稱，則由中點(diǎn)

坐標(biāo)公式得X―：：—“'②求直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線的方程，其主要方法是：在已知直線上

y=2b—yx.

取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程,

或者求出一個(gè)對稱點(diǎn)，再利用兩直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程，當(dāng)然，斜率必須存

在.

關(guān)于軸對稱問題的處理方法：①點(diǎn)關(guān)于直線的對稱.若兩點(diǎn)P1(X1,刀)與P2(X2,券)關(guān)于直

線/：加+By+C=0對稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在/上，且連接PP2的直線垂直于/,由方程組

:2.+C=0,

可得到點(diǎn)Pi關(guān)于l對稱的點(diǎn)Pi的坐標(biāo)（右,/）（其中3W0,xi

口一yiA'

、X2—XI

WX2）.②直線關(guān)于直線的對稱.此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題來解決，有兩種情

況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行.

考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：兩條直線的交點(diǎn)問題

例L（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）分別判斷下列直線4與4是否相交.如果相交，求出交

點(diǎn)的坐標(biāo).

⑴4：x-y=0,Z2:3x+3y-10=0；

（2）（：3x-y+4=0,l2:6x-2y-l=0;

⑶4:3x+4y-5=0,4：6x+8y-10=0.

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知“WC的頂點(diǎn)8（2,1）,C（-6⑶，其垂心為m-3,2）,求頂點(diǎn)

A的坐標(biāo).

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）直線2x+沖+1=0與直線y=x+l相交，則機(jī)的取值范圍為

變式3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若直線我+分=2根+1與直線2x+3y=M的交點(diǎn)在第四象限，則

m的取值范圍是（）

A.（-8,2）B.

c~,一目D.m

變式4.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若直線如+4y-2=0與2彳-5嚴(yán)〃=0互相垂直，垂足為（l,p）,

則+0的值為（）

A.20B.-4C.12D.4

變式5.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線/過直線2x+y-5=0和直線x+2y-4=。的交點(diǎn)，且

在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線/的方程為（）

A.x-y-l=0

B.x+y-3=0或x-2y=0

C.%-yT=0或x-2y=0

D.%+y_3=0或％_y_l=0

變式6.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)42,-3）是直線空+g+1=0和%1+姐+1=0的公共點(diǎn),

則相異兩點(diǎn)（44）和?也）所確定的直線方程是（）

A.2x-3y+l=0B.3x-2y+l=0

C.2x-3y-l=0D.3x-2y-l=0

變式7.【多選】（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知平面上三條直線“2y+2=0,x-2=0,x+ky=0,

若這三條直線將平面分為六部分，貝心的可能取值為（）

A.-2B.-1C.0D.1

變式8.（福建省連江第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知直線

4的方程為2x+2y-5=0,若直線4在>軸上的截距為且4，料

⑴求直線4和乙的交點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵已知直線4經(jīng)過4與4的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積為2號5，求直線4的

O

方程.

考點(diǎn)二：兩點(diǎn)間的距離公式（一）求兩點(diǎn)間的距離

注1例2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知AASC三頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-3,1）,2（3,-3）,以1,7）,試求BC邊

上的中線A"的長.

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)A（Tl）,C（l,y）關(guān)于點(diǎn)8（-1,-3）對稱，則|AC|=.

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）直線4：3依-y-2=0和直線6：（2a-l）x+5ay-l=0分別過定點(diǎn)A

和3,則|AS|=|.

變式3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)3在y軸上，A3的中點(diǎn)是軟2,-1）,則

A與3坐標(biāo)分別為,\AB\=.

變式4.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)"（尤1）與點(diǎn)N（2,3）間的距離為7夜，則x=.

變式5.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）在直線2x-y=0上求一點(diǎn)P,使它到點(diǎn)/（5,8）的距離為5,

并求直線PM的方程.

］例3.（江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）在平面直角

坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4（0,-2）,點(diǎn)8（l,0）,P為直線2x-4y+3=。上一動(dòng)點(diǎn)，則四+|冏的最小值

是（）

A.75B.4C.5D.6

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬

事休.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：J可以轉(zhuǎn)

化為點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)㈤的距離，則&+1+-4x+8的最小值為（）.

A.3B.20+1C.2石D.V13

變式2.（四川省德陽市第五中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月月考理科數(shù)學(xué)試題）設(shè)由R,

過定點(diǎn)A的動(dòng)直線*+沖-2=0與過定點(diǎn)8的動(dòng)直線m-y+4=0交于點(diǎn)尸（x,y）,貝1］|尸4］忖目的最大

值是.

變式3.（山東省臨沂市平邑縣第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二10月月考數(shù)學(xué)試題）已知兩點(diǎn)

A（3,0）,3（0,4）,動(dòng)點(diǎn)尸（無4）在線段A3上運(yùn)動(dòng)，則巖的范圍是________,（x-iy+V的范圍是

x-2

（二）判斷三角形、四邊形的形狀

小2|例4.（江蘇省鎮(zhèn)江市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題）已知A（5,-l）,,

C(2,3),則AABC是()

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（l,2）,8（3,4）,C（5,0）,判斷"1SC的類型.

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知四邊形A3CD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1,2）,B

（3,4）,C（3,2）,。（1,1）,則四邊形A3CD是（）

A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.正方形

（三）求三角形、四邊形的周長、面積

例5.（重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐

標(biāo)系xoy中，A（0,l）,B（3,0）,C（l,4）.

⑴求AABC的面積；

（2）判斷O,AB,C四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？并說明理由.

變式1.（遼寧省協(xié)作校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）已知正方形ABCD的

中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,1）,點(diǎn)3在第四象限.

（1）求正方形ABCD的面積；

（2）求直線AB和BC的方程.

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線/過點(diǎn)”（1,2）,且分別與羽y軸正半軸交于A,B

兩點(diǎn).。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴當(dāng)AASO面積最小時(shí)，求直線/的方程；

⑵當(dāng)網(wǎng).|阿值最小時(shí)，求直線/的方程.

考點(diǎn)三：點(diǎn)到直線的距離

d］例6.（上海市青浦區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）點(diǎn)（2,-1）到直線

X-y+3=0的距離為.

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知4。,2）至U直線3x-4y-2=0的距離等于4,則。的值為

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)尸（0,1）且和A（3,3）,B（5,-1）的距離相等的直線方程是

注1例7.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)P（x,y）在直線x+y-4=。上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|。尸|

的最小值是（）

A.V10B.2夜C.40D.2

變式1.（福建省石獅市永寧中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第一次階段考數(shù)學(xué)試題）已知

5x+12y=60,則產(chǎn)方的最小值是（）

A.273B,C.-D.—

20413

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）直線/：*+磔-加+2=0（加€1<）過定點(diǎn),原點(diǎn)到直

線I的距離的最大值為.

變式3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)AQ1）,點(diǎn)3在直線x+y=o上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段A3最短

時(shí)，點(diǎn)3的坐標(biāo)為（）

變式4.（重慶市第十一中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知直線4：

依+，+1=。過定點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸到直線4：y=M》+i）距離的最大值是（）

A.1B.2C.百D.V2

考點(diǎn)四：兩平行線間的距離

例8.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線-3x+4y-3=0與直線6x+沖-14=0平行，則它

們之間的距離是（）.

A.1B.2C.1D.4

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線4：2x-3y+4=04:依-5y-1=0,且《〃兒

⑴求”的值；

⑵求兩平行線4與4之間的距離.

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知兩條直線4：（X+2）x+（l-X）y+2X—5=0,

/?:伏+1.+（1-2左）y+05=0,且“4,當(dāng)兩平行線距離最大時(shí)，A+k=（）

A.3B.4C.5D.6

變式3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線/到兩條平行直線2x+y+l=0與2x+y+3=0的距離

相等，則直線/的方程為.

變式4.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若兩條平行直線/|"-2>+,〃=0（m>0）與/2：2天+〃廠6=0之間的距

離是2石，則〃2+〃=.

變式5.【多選】（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）與直線/：2x+y+l=。平行且到/的距離等于g的直

線方程為（）

A.2x+y=0B.2x+y+2=0

C.2x+y-2=0D.2x+y+l=0

變式6.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線/經(jīng)過點(diǎn)尸（3,1）,且被兩平行直線4：x+y+l=0和

k-.x+y+6=0截得的線段之長為5.則直線I的方程為.

變式7.（上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若直線機(jī)被兩平

行線小屈一y+l=。與4：瓜一y+3=。所截得的線段的長為2,則直線機(jī)的傾斜角為.

變式8.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)A,3分別|在直線4：X+>-7=0和直線4：x+y-5=。上

移動(dòng)，求線段A3的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為,

考點(diǎn)五：距離的綜合應(yīng)用

0rl例9.（上海市上海中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）過點(diǎn)尸（3,0）作一條

直線/,它夾在兩條直線4：2x-y-2=0和公》+>+3=0之間的線段恰被點(diǎn)尸平分，則直線/的

方程為（）

A.8x+y-24=0B.8x-y-24=0

C.8x+y+24=0D.尤+8y+24=0

變式1.（上海師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月第二次月考數(shù)學(xué)試題）已知

點(diǎn)P，。分別在直線4：尤+>+2=。與直線小尤+〉-1=0上，且尸?？?，點(diǎn)A（-3,-3）,3（3,0）,貝I）

\AP\+\PQ\+\QB\的最小值為.

變式2.（山東省苗澤市鄲城縣鄲城第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知

三條直線；l]-2x-y+a=0,l2-4x-2y-l=0,Z3:x+y-l=0,且原點(diǎn)到直線4的距離是手.

⑴求a的值；

⑵若。>0,能否找到一點(diǎn)尸，使P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)P在第一象限；②點(diǎn)尸到4的

距離是點(diǎn)P到4的距離的2倍；③點(diǎn)P到4的距離與點(diǎn)P到4的距離之比是五：行，若能，求點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不能，說明理由.

變式3.（上海市青浦區(qū)2023屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系無力中，若

動(dòng)點(diǎn)尸（。，①到兩直線4：y=x和/2：>=r+2的距離之和為0,則/+〃的最大值為.

變式4.（河北省邢臺(tái)市第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）過定點(diǎn)A

的直線（a+l）xp+2=0與過定點(diǎn)B的直線x+（a+l）y-4a-2=0交于點(diǎn)尸（P與48不重合），則

面積的最大值為（）

A.V2B.2點(diǎn)C.2D.4

考點(diǎn)六：直線的對稱問題

例10.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)尸（2,5）關(guān)于直線x+y=l的對稱點(diǎn)為Q,則點(diǎn)Q的

坐標(biāo)為,過點(diǎn)。且與直線x+y-3=。垂直的直線方程為..

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)人（。+21+2）,3（6-4,4-6）關(guān)于直線以+3丁-11=0對稱，則

a=；b=.

變式2.（上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）直線2x-y+3=0關(guān)

于點(diǎn)P（3,2）對稱的直線的一般式方程為.

變式3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）試求直線，--2=0關(guān)于直線/2：3x-y+3=0對稱的直線/

的方程.

變式4.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知VRC中，8（1,2）,8C邊上的高線AD方程為x-2y+l=0,

角A平分線方程為?。，求AC,BC邊所在直線方程.

變式5.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線4的方程為>2y+4=0.

（1）若直線4和直線4關(guān)于點(diǎn)（。，0）對稱，求直線4的方程;

（2）若直線4和直線4關(guān)于直線>=彳對稱，求直線4的方程.

變式6.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）一條光線從點(diǎn)A?！唬┌l(fā)出，經(jīng)過y軸反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)

3（4,5）.

⑴求反射光線所在的直線方程；

⑵求反射光線所在直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的大小.

變式7.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)加（3,5）,在直線/：尤-2y+2=0和y軸上各找一點(diǎn)P和

。，使AMPQ的周長最小，并求出P和。兩點(diǎn)的坐標(biāo).

||函真題演練f

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

1.原點(diǎn)到直線x+2y-5=0的距離為（）

A.1B.73C.2D.45

2.若直線機(jī)被兩平行線/尸7+1=0與/戶7+3=0所截得的線段的長為2友,則根的傾斜角

可以是①15。，②30。，③45。，④60。，⑤75。.其中正確答案的序號是（寫出所有正確答案的

序號）.

3.直線y=2x關(guān)于％軸對稱的直線方程為（）

A.y=-xB.y=C.y=-2xD.y=2x

4.如果直線丁=6+2與直線y=3x-＞關(guān)于直線y=x對稱，那么（）

A.a=-,b=6B.a=-,b=-6C.a=3,b=-2D.a=3,b=6

33

5.直線2x+3y-6=。關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程是（）

A.3x—2y—10=0B.3x—2y—23=0

C.2%+3y—4=0D,2x+3y—2=0

國過關(guān)檢測

----------------------llllllllllllllillllllllllllllllllllllllll------------------------

1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)4（7,4）,3（4,8）,則A,3兩點(diǎn)的距離為（）

A.25B.5

C.4D.77

2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)（1,-1）到直線x-y+l=0的距離是（）

A.|B.-C.—D.逑

2222

3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）直線x+2y-4=0與直線2尤-，+2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（2,0）B.（2,1）

C.（0,2）D.（1,2）

4.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若直線/:y=依-6與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則

直線/的傾斜角的取值范圍是（）

7171717171兀

A.5B.D.

6?6523,2

5.（廣東省深圳市福田區(qū)紅嶺中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)（a,2）（a>0）

至U直線/：x-y+3=0的距離為1,則。等于（）

A.插B.2-72C.72-1D.V2+1

6.（河南省南陽市六校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）若平面內(nèi)兩條平行

線4：x+（a-l）y+2=O,Z2：分+2y+l=0間的距離為孚，則實(shí)數(shù)。=（）

A.2B.—2或1C.-1D.—1或2

7.（廣西壯族自治區(qū)河池市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期2月期末數(shù)學(xué)試題）已知直線

l1:x+ay+2=O,4：2x+4y+3=。相互平行，則（之間的距離為（）

A.BB.好C.正D.也

10552

8.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知44,0）到直線4x-3y+a=0的距離等于3,則a的值為（）

A.-1B.-13或-19C.-1或-31D.-13

9.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知A（T2）,3（0,4）,點(diǎn)C在％軸上，且恒。=忸。，則點(diǎn)C的坐標(biāo)

為（）

A-1-劌B.（。，-？C.吟D.（劌

10.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若直線依+y-4=0與直線=0的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是（）

A.或。>2B.?>-1C.a<2D.-l<a<2

11.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）使三條直線4無+、一4=0,〃a+，=0,2尤一3,孫一4=0不能圍成三角形

的實(shí)數(shù)機(jī)的值最多有幾個(gè)（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

12.（2022秋.高二單元測試）若直線y=x+2%+l與直線y=一3彳+2的交點(diǎn)在第一象限，則

實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

，5/21、_「51]r2r

I22）I52jL22j152」

二、多選題

12.（安徽省池州市第一中學(xué)等2校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知直線

/：2x-j+5=0,則下列說法正確的是（）

A.直線4：4x-2y+5=0與直線/相互平行B.直線4：x-2y+5=0與直線/相互垂直

C.直線4：x-y=0與直線/相交D.點(diǎn)（3,T）到直線/的距離為3逐

13.（吉林省遼源市田家炳高級中學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列四個(gè)命

題中真命題有（）

A.直線y=x+2在y軸上的截距為一2

B.經(jīng)過定點(diǎn)4（0,2）的直線都可以用方程＞=依+2表示

C.直線2x+沖+6=0（meR）必過定點(diǎn)（-3,0）

D.已知直線3x+4y+9=0與直線6x+陽+24=0平行，則平行線間的距離是：

14.