專題08二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

1、經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義

2、借助二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系，體會數(shù)學的整體性

3、能夠借助二次函數(shù)，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解決一些實際應用問題，提升數(shù)學

運算素養(yǎng)

1、一元二次不等式

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式，一元二次不等式的一般形

式：

①加+/?x+c>0（?豐0）（其中”,仇c均為常數(shù)）

?ax1+bx+c<0（a0）（其中a,4c均為常數(shù)）

@cuc2+bx+c>0（a0）（其中a,dc均為常數(shù)）

④ax?+bx+c<0（aw0）（其中a,dc均為常數(shù)）

2、一元二次不等式的解與解集

使某一個一元二次不等式成立的x的值，叫作這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次

不等式的解集.

將一個不等式轉化為另一個與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形.

知識點二：四個二次的關系

2.1一元二次函數(shù)的零點

一般地，對于二次函數(shù)y^ax2+bx+c,我們把使ax2+bx+c=Q的實數(shù)》叫做二次函數(shù)y^a^+bx+c

的零點.

2.2次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應關系

對于一元二次方程以2+法+。=0（?！?）的兩根為石、々且石<々，設A=Z?2—4ac，它的解按照

A>0,A=0,△<€）可分三種情況，相應地，二次函數(shù)了=以2+法+。（口>0）的圖象與犬軸的位置關

系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式依2+法+c>0（a>o）或

ax2+bx+c<0(">0)的解集.

判別式△=〃—4acA>0A=0A<0

二次函數(shù)y=6/x2+法+c(a>0工a

的圖象

aX

有兩個相等的實數(shù)根

一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)

b沒有實數(shù)根

2

ax+bx+c=0(a>0)的根根玉，x2(x；<x2)…=-五

,b、

2f

ax+Z?x+c>0(d；>0)的解集{x\x<x^x>x2}{九|尤w——}R

2a

2

ax+bx+c<G(a>0)的解集{x\Xj<x<x2}00

知識點三：一元二次不等式的解法

1：先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù);

2：寫出相應的方程依2+法+c=o(“>O),計算判別式△：

①A〉。時，求出兩根為、x2,且西<%2(注意靈活運用十字相乘法)；

b

②A=0時，求根X]=X,=----；

2a

③A<0時，方程無解

3：根據不等式，寫出解集.

知識點四：解分式不等式

4.11、分式不等式

4.1.1定義：

與分式方程類似,分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如44<o或44>o(其中/(%),

g(x)g(x)

g(?為整式且g(x)手0的不等式稱為分式不等式。

4.1.2分式不等式的解法

①移項化零：將分式不等式右邊化為0：

②44<0o/(x)?g(x)<0

g(x)

③朗〉°o"g(x)〉。

F(x),g(x)40

g(x)g(x)豐0

⑤/?。=尸)

g(x)[g(x)H。

對點集訓一：一元二次不等式（不含參）的求解

典型例題

例題1.（24-25高一下?安徽阜陽?階段練習）不等式f2+3x_2<0的解集為（）

A.{x|l<x<2}B.{x|x<l或x>2}

C.{%[-2<^<-l}D.{小<-2或x>-l}

例題2.（24-25高一上?福建福州?期中）解下列一元二次不等式

（1）X2-6X+8<0

（2）-2%2+7%+9<0

精練

1.（24-25高一上?重慶?期中）不等式/一3>4<0的解集為（）

A.{x|-l<x<4}B.{%|Tv%vl}

C.{%|%>4或％<—1}D,或％v-4}

2.（23-24高一上?湖南衡陽?階段練習）不等式x（x-2）>0的解集為（）

A.{x|0<x<2）B.{x|x<0或x>2}C.{x|x>0）D.R

3.（24-25高二下,福建廈門,階段練習）不等式（x-D（x-2）<。的解集為（）

A.{x[l<x<2}B.{x|-2<x<-l}

C.{小>2或x<l}D.

對點集訓二：一元二次不等式（含參）的求解

角度1:二次項系數(shù)不含參數(shù)

典型例題

例題1.（24-25高一上?陜西西安?期中）當。<-1時，不等式（a-x）（尤+1）>。的解集為

例題2.（23-24高二上?河南周口）求不等式12x?-ax>a2R）的解集.

精練

1.（24-25高三上?湖北隨州?階段練習）若0<加<1,則不等式的解集為（）

A.jx|—<x<mjB.卜>工或x<wi}

C.{x|x>相或x<一1D.jx

2.（24-25高一上?全國?隨堂練習）若0<加<1,

3.（2024高三■全國?專題練習）解關于x的不等式：%2-（a+a2）x+a3>0（aeR）.

角度2：二次項系數(shù)含參

典型例題

例題1.（多選）（24-25高一上?江蘇蘇州?期中）關于x的不等式（ox-l）（x+2）<0（aeR）的解集可以

B.R

D,卜卜工工或讓一2

例題2.（2024高三?全國?專題練習）解關于％的不等式：依2_伽+1卜+3<0（其中a>0）

精練

1.（多選）（24-25高一下?河北保定?階段練習）已知關于x的不等式加+bx+c>0的解集為3-3<%v2｝,

則（）

A?av0

B.a+Z?+c>0

c.不等式ex2+bx+a<0的解集為｛冗Ix<或x>g｝

D.不等式ex2+bx+a<0的解集為｛尤T<x<；｝

2.（24-25高一上?浙江麗水?期中）已知不等式03?+Zzx+C<0的解集為｛X1—2cx<3｝.

Q）解不等式ex2+bx+a<09

⑵若〃=1,當相VO時，解關于X的不等式如2—（m—2b）x+2a>0.

3.（24-25高一上?四川成都?階段練習）已知y=—+（2a-l）x-2.

（1）當a=5時，求滿足y40的x值的集合；

（2）求滿足y>0的x值的集合；

對點集訓三：一元二次不等式與對應函數(shù)、方程的關系

典型例題

例題1.（24-25高一上?陜西西安?期末）已知關于x的不等式加+Zzr+c>0的解集為{x“<x<7},其中

a,b,c為常數(shù)，則不等式cd+bx+oNO的解集是）

B.“IxW-g或xN；1

A.

CJ幻-卜心D或xN；,

例題2.（24-25高一上?湖南長沙?期末）已知關于x的不等式62+法+c>0的解集為（-2,4）,則不等式

o?_"+々<0的解集是（）

或MB.卜4<x<l}

A.<

C1XX一或D,卜

精練

<0,則關于x的不等式a（x+2）]尤+￡]<0的解集為（）

1.（24-25高一上?浙江溫州?期中）若。

.11

A.<—2<x<一卜

a]

x卜>—<—2j>-1〕

D.x>—<—:

a]

2.（24-25高一上?云南昭通?期中）已知不等式ax2+Zzx+c<0的解集為3X<-1或x>3},則下列結論正確

的是（）

A.a>0

B.c<0

C.a+Z?+c>0

—bx+a<0的解集為\x-1<

D.ex2

2

3.（24-25高一上?內蒙古包頭?期中）不等式ax2+bx+c>。的解集為xI〈尤<3>，則不等式ex+bx+a>0

的解集為（）.

A.{%Ix<>—

B.>x_2<x<—

C.-^x|——<x<2j,D.1x|x<—§或x>2,

對點集訓四：分式不等式的解法

典型例題

2尤+1

例題1.（24-25高一上?北京延慶?期末）不等式學立VI的解集為（）

x-2

A.{尤|尤4—3}B.{x|-3<x<2}C.{尤114尤<2}D.{x|—3W尤<2}

__2x

例題2.（24-25高三下?上海,階段練習）不等式旦VI的解集為________________.

x-1

精練

1.（24-25高三上?上海,階段練習）不等式口<0的解集為

2.（24-25高一上?上海寶山?期末）不等式生1>0的解集為

X+1

3.（24-25高一上?安徽合肥?期末）不等式三工22的解集是

5-x

對點集訓五：不等式恒成立問題

角度1：A判別法

典型例題

例題1.（2025高一上?河北保定?專題練習）“不等式〃￡+尤+4m>0在R上恒成立”加的取值范圍是（）

A.m>—B.0<m<—

44

clc1-1

C.m<——D.m<——或加>一

444

例題2.（24-25高一上?福建廈門?期中）“不等式-2/+丘丁<0對一切實數(shù)x都成立”，貝心的取值范

O

圍為.

精練

1.（24-25高一上?山東德州?期中）若關于x的不等式f+（a-1卜+1>0的解集為R,則實數(shù)。的取值范圍

為.

2.（24-25高一上?上海?期中）已知對于任意xcR,kx2+2kx-k-2<Q,則實數(shù)上的取值范圍為.

3.（24-25高一下?浙江?階段練習）若不等式（。+1）/_了+0+140對任意的xeR恒成立，則實數(shù)”的最大

值是.

角度2:分離變量法

典型例題

例題1.（24-25高一上?遼寧朝陽?階段練習）若對任意的x>l,關于x的不等式f+（4-a）x+920恒成立，

則”的最大值為（）

A.13B.12C.10D.9

例題2.（24-25高一上?山西?期中）（1）解關于x的不等式/-（a+1b+7〃4。；

（2）當Wx>0時，關于x的不等式1+（2-〃川+5-力20恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

精練

1.（24-25高一上?安徽宿州?期中）已知VxNO,丁+6+420恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.-A<a<4B.a>^\

C.a<4D.a<T或a>4

2.（2025,遼寧■二模）命題p:"3—l<x<3,x2-2x—m<0"是假命題，則"?的取值范圍是.

3.（24-25高一上?河南許昌?期末）若不等式-d+2x+機W0對任意0VXV2者B成立，則實數(shù)，”的取值范圍

為■

對點集訓六：一元二次不等式的實際問題

典型例題

例題1.（2024高二下?湖北?學業(yè)考試）若不計空氣阻力，豎直上拋的物體距離拋出點的高度”（單位：m）

與時間f（單位：s）滿足關系式〃=%/一;g?,其中galOm/sz,%為初速度.向盼歸同學以%=llm/s豎直

上拋一個排球，該排球在拋出點上方2m處及以上的位置最多停留時間為（）

A.1.8sB.2.8sC.3.8sD.4.8s

例題2.（24-25高一上?湖北襄陽?期中）如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面

圖是由兩個周長均為28m的相同的矩形ABC。和EFG〃構成的十字形地域.計劃在正方形MNPQ上建一

座花壇，造價為2000元/n?;在四個相同的矩形（圖中陰影部分）鋪上鵝卵石，造價75元/n?;在四個空

角（圖中四個三角形）鋪上草坪，造價為200元/m?.若要使總造價不高于28000元，則正方形MNPQ周長

的最大值為m.

精練

1.（24-25高一上廣東廣州?階段練習）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m?的

內接矩形花園（陰影部分），則其邊長x（單位：加）的取值范圍是（）

A.15<x<20B.12<x<25C.10<x<30D.20<x<30

2.（24-25高一上?陜西西安?階段練習）某花卉店售賣一種多肉植物，若每株多肉植物的售價為30元，則

每天可賣出25株；若每株多肉植物的售價每降低1元，則日銷售量增加5株.為了使這種多肉植物每天的

總銷售額不低于1250元，則每株這種多肉植物的最低售價為（）

A.25元B.20元C.107ED.5元

3.（24-25高一上?江蘇南通?階段練習）為配制一種藥液，進行了二次稀釋，先在體積為M（單位：升）

的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出5升后用水補滿，攪拌均勻第二次倒出4升后用水補滿，若此

時桶中純藥液的含量不超過容積的60%,則V的取值范圍為.

/--------------[HHHK.

（基礎通關J

一、單選題

1.（24-25高二上?廣西南寧?階段練習）不等式%_2<0的解集是（）

A.{x|-l<x<2|B,或%>2}C.{x|x<—2或x>l}D.{x|-2<x<l}

2.（2025?甘肅白銀?模擬預測）使不等式d+3?4x成立的一個充分不必要條件為（）

A.l<x<3B,0<無<3C.x>3D.l<x<3

3.（24-25高一上?北京?期中）不等式合4°的解集為（）

A.jx||<x<2B?卜

C.[x\x<2]D.或x>2}

2r-1

4.（24-25高一下,湖南邵陽?階段練習）不等式笠」之1的解集是（）

1-x

A,卜

B.

D?\x\犬<?或x>l}

5.（2025高一上?河北保定?專題練習）若0<%vl,則關于“的不等式（X-力（x-1）<0的解集為（）

B.{x\x>,或x<%}

A.{x\-<x<t}

D.{x\t<x<-}

g

6-（24儂高一下?云南德宏?開學考試）一元二次不等式小+33了°對任意xeR恒成立,則實數(shù)左的

取值范圍是（）

A.0<^<1B.04kvlC.左<0D.Q<k<l

7.（24-25高一上?山西呂梁?期末）已知關于x的一元二次不等式一2f+Mf.o的解集為卜”觸2j,

則上的值為（）

n

A3c5-2-5

A.-B.-C.-D.——

5252

8.（24-25高一上廣東惠州?期末）已知命題玄￡巳2一+以-三20為假命題，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

8

A.a<-3^a>0B.-3<a<0

C.〃W—3或