專題06有理數(shù)與數(shù)軸

寫

目錄導(dǎo)航

\__________/

預(yù)習(xí)目標(biāo).......................................................................................1

新課輕松學(xué).....................................................................................2

新知速通.......................................................................................2

題型探究.......................................................................................4

題型1、有理數(shù)的相關(guān)概念辨析.........................................................4

題型2、有理數(shù)的分類..................................................................8

題型3、數(shù)軸的三要素及其畫法.........................................................13

題型4、用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)及數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系...........................18

題型5、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小....................................................23

題型6、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離........................................................25

題型7、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.............................................................29

基礎(chǔ)通關(guān)......................................................................................36

拓展提優(yōu)......................................................................................46

預(yù)習(xí)目標(biāo)

X_______________________/

1.了解有理數(shù)的定義，會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù)；

2.會(huì)對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類，掌握對(duì)含“非”相關(guān)數(shù)概念；

3.能正確地畫出數(shù)軸，掌握數(shù)軸的三要素；

4.能將已知數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，能指出數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)；

5.結(jié)合所學(xué)知識(shí)熟練解決數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；

6.初步感受數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想。

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新課輕松學(xué)

【思考1】我們?cè)谛W(xué)和上一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)那些數(shù)？這些數(shù)能否寫成分?jǐn)?shù)的形式呢？

【思考2】請(qǐng)讀出圖中溫度計(jì)的讀數(shù)，再比較這些溫度的大小。

【思考3】長(zhǎng)安街是北京一條東西向的主干道。我們把長(zhǎng)安街看作一條直線，如下圖，以天安門為分界點(diǎn)，

向東用“+”表示，向西用表示、根據(jù)圖中的比例尺，西單地鐵站、東單地鐵站的大致位置可以分別用

哪個(gè)有理數(shù)表示？國(guó)家大劇院的北門在長(zhǎng)安街上，若它對(duì)應(yīng)-750m,你能標(biāo)出它的大致位置嗎？

北

天安門匕東

I11111111I1

西單站東單站

0500m

i-i

【思考4】1）對(duì)于有理數(shù)a,b,思考a,b的有哪些數(shù)量關(guān)系？（可借助數(shù)軸理解）

2）我們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)過(guò)自然數(shù)的大小關(guān)系具有傳遞性：對(duì)于自然數(shù)a,b,c,若a>b,b>c,則a>c。

那么對(duì)于有理數(shù)a,b,c,他們也具有傳遞性嗎？

【數(shù)軸的歷史起源】笛卡爾在1637年創(chuàng)立平面直角坐標(biāo)系時(shí)首次提出數(shù)軸概念。據(jù)傳，他在病中觀察到蜘

蛛在墻角織網(wǎng)的動(dòng)作，受到啟發(fā)。他設(shè)想將蜘蛛視為空間中的一個(gè)點(diǎn)，并通過(guò)三條相交線（墻面與地面的

交線）構(gòu)建坐標(biāo)系，用有序數(shù)對(duì)描述點(diǎn)的位置。這種將幾何圖形與代數(shù)方程結(jié)合的思路，突破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)

的局限性。數(shù)軸的發(fā)明不僅是數(shù)學(xué)工具的突破，更體現(xiàn)了從自然現(xiàn)象到抽象理論的思維飛躍。

新知速通

X_______________________Z

1.有理數(shù)的相關(guān)概念

1）整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。其中：正整數(shù)和零稱為自然數(shù)。

2）分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)。有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可化為分?jǐn)?shù)，所以它們也是分?jǐn)?shù)。

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13

正分?jǐn)?shù)：像］，彳，0.24,50%等這樣的數(shù)叫作正分?jǐn)?shù)；

51

負(fù)分?jǐn)?shù)：像-356等這樣的數(shù)叫作負(fù)分?jǐn)?shù)；

3）有理數(shù)：整式和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

亦可將有理數(shù)理解為比例數(shù)，即可以寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)，有理數(shù)都可以表示為/（p、q均為整數(shù)，且p不

為0）.注意在用此定義理解有理數(shù)時(shí)，我們說(shuō)整數(shù)可以寫作是分母為1的分?jǐn)?shù)，但是切記整數(shù)一般情況下

并不是分?jǐn)?shù).

2.有理數(shù)的分類

畤數(shù)｝自然數(shù)‘正整數(shù)

正有理數(shù),

整數(shù)，正分?jǐn)?shù)

（1）有理數(shù),負(fù)整數(shù)（2）有理數(shù)卜零圖既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù)）

.有限小數(shù)'負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)'負(fù)有理數(shù),

,無(wú)限循環(huán)小數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

3.常用數(shù)學(xué)概念

I）正整數(shù)：既是正數(shù)，又是整數(shù)2）負(fù)整數(shù)：既是負(fù)數(shù)，又是整數(shù)

3）正分?jǐn)?shù)：既是正數(shù)，又是分?jǐn)?shù)4）負(fù)分?jǐn)?shù)：既是負(fù)數(shù)，又是分?jǐn)?shù)

5）非正數(shù)：負(fù)數(shù)和06）非負(fù)數(shù)：正數(shù)和0

7）非正整數(shù)：負(fù)整數(shù)和08）非負(fù)整數(shù)：正整數(shù)和0

4.數(shù)軸的定義：在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，它滿足以下要求:

1）原點(diǎn)：畫一條水平直線，并在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0,這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn)。

2）正方向：通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右為正方向（畫箭頭表示），從原點(diǎn)向左為負(fù)方向。

3）單位長(zhǎng)度：選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示1,

2,3,...；從原點(diǎn)向左，用類似的方法依次表示-1,-2,-3,....

像這樣，規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。

原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素.

原點(diǎn)將數(shù)軸分為兩部分，其中正方向一側(cè)的部分叫數(shù)軸的正半軸，另一側(cè)的部分叫數(shù)軸的負(fù)半軸。

5.數(shù)軸的畫法

1）畫一條水平的直線（一般畫水平的數(shù)軸）；

2）在這條直線上適當(dāng)位置取一實(shí)心點(diǎn)作為原點(diǎn)；

3）確定向右的方向?yàn)檎较颍眉^表示；

4）選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作單位長(zhǎng)度，用細(xì)短線畫出，并對(duì)應(yīng)標(biāo)注各數(shù)，同時(shí)要注意同一數(shù)軸的單位長(zhǎng)度要一致。

6.利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

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1）在數(shù)軸上表示出兩個(gè)有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；如：。與6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則。<6。

2）正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)。_______I_______I______

3）對(duì)于有理數(shù)a,b,下列三種關(guān)系有且只有一種成立：a>b,a=b,a<b?

4）對(duì)于有理數(shù)a,b,c,①若a>"b>c,則a>c；②若b<c,則a<c。（不等式的傳遞性）

7.有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系

1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)。

2）數(shù)軸上的點(diǎn)并不全表示有理數(shù)，如兀也可以在數(shù)軸上表示，但兀并不是有理數(shù)。

3）正有理數(shù)位于原點(diǎn)的右邊，負(fù)有理數(shù)位于原點(diǎn)的左邊。

4）與原點(diǎn)的距離是a（a>0）,在數(shù)軸上可以是土a（存在多解的情況）。

注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向。

題型探究

題型1、有理數(shù)的相關(guān)概念辨析

【解題技巧】正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。

27T?___

例1.（24-25七年級(jí)上?山東聊城?期末）在-3,-―,0,18%,—,3.1415926,1.3,0.232232223…（每?jī)蓚€(gè)3之間依

54

次增加一個(gè)2）中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)的定義，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，整數(shù)分正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)；分?jǐn)?shù)分正分

數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù).據(jù)此判斷即可.

2

【詳解】解：-3,-）,0,18%,3.1415926,13是有理數(shù)，有6個(gè).

故選B.

72

例2.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）下列各數(shù)：1.010010001,—,0,-兀、-2.62662662…，0.12,

其中有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，根據(jù)有理

數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.

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7878

【詳解】解：在―，1.010010001,—,0,一萬(wàn)，-2.62662662…，0.i2中，有理數(shù)是一，1.010010001,—,

433433

0,0.12,共有5個(gè)，

故選：D.

例3.（24-25七年級(jí)上?天津?階段練習(xí)）對(duì)于-3.27L下列說(shuō)法不正確的是（）

A.是非正數(shù)B.是分?jǐn)?shù)C.是有理數(shù)D.是非負(fù)整數(shù)

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)的定義，有理數(shù)的分類，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)非正數(shù)，分?jǐn)?shù)，有理數(shù)，非負(fù)整數(shù)的定義即可判斷.

【詳解】解：A、-3.271<0,非正數(shù)是指0和負(fù)數(shù)，故說(shuō)法正確，不符合題意；

B、-3.27i是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，是分?jǐn)?shù)，故說(shuō)法正確，不符合題意；

C、-3.07i是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)，故說(shuō)法正確，不符合題意；

D、非負(fù)整數(shù)是指0和正整數(shù)，則-3.±7i不是非負(fù)整數(shù)，故說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意.

故選：D.

例4.（24-25七年級(jí)上?廣東廣州期中）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有（）

①-24^是負(fù)分?jǐn)?shù)；②1.5不是整數(shù)；③非負(fù)有理數(shù)不包括0；④3.14不是有理數(shù)；⑤0是最小的有理數(shù);

⑥正整數(shù)、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)的兩種分類方法判斷即可.

【詳解】解：①-2T是負(fù)分?jǐn)?shù)，故①正確；

②L5是分?jǐn)?shù)，不是整數(shù)，故②正確；

③非負(fù)有理數(shù)是大于或等于零的有理數(shù)，故③錯(cuò)誤；

④3.14是有理數(shù)，故④錯(cuò)誤；

⑤沒(méi)有最小的有理數(shù)，故⑤錯(cuò)誤；

⑥有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，故⑥錯(cuò)誤；

故選：D.

例5.（24-25七年級(jí)上?江蘇連云港?期中）下列關(guān)于有理數(shù)的描述：（）

①有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)；②o是非負(fù)有理數(shù)；③0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，由此可知0不是有

理數(shù)；④一個(gè)有理數(shù)如果不是整數(shù)，那么它一定是分?jǐn)?shù).其中正確的個(gè)數(shù)是（）

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A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查有理數(shù)的相關(guān)概念和分類.根據(jù)有理數(shù)分為：整數(shù)和分?jǐn)?shù)或者分為：正有理數(shù)，0,負(fù)有

理數(shù)解答即可，熟記這些內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，故①正確；

0是非負(fù)有理數(shù)，故②正確；

0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，是有理數(shù)，故③錯(cuò)誤；

一個(gè)有理數(shù)如果不是整數(shù)，那么它一定是分?jǐn)?shù)，故④正確.

綜上可知正確的個(gè)數(shù)是3個(gè).

故選c.

73

變式1.（24-25七年級(jí)上?廣東清遠(yuǎn)?期中）下列7個(gè)數(shù)」、1.010010001、-s0、-2兀、-3.141441444...（

44

每?jī)蓚€(gè)1之間依次一個(gè)4）、3.3,其中有理數(shù)有（）個(gè)

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都能化成分?jǐn)?shù)，對(duì)各個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷即可.

73

【詳解】解:—、1.01001000k—、0、一2兀、-3.141441444...（每?jī)蓚€(gè)1之間依次一個(gè)4）、3.3,

44

73

其中有理數(shù)為:、1.010010001、;、0、3.3,共5個(gè)，

44

故選：C.

變式2.（24-25七年級(jí)上四川達(dá)州?階段練習(xí)）在3],-8,2025,0,-5,+13,-6.9,1中，有

理數(shù)有4個(gè)，非負(fù)整數(shù)有b個(gè)，分?jǐn)?shù)有。個(gè)，貝IJa-b-c的值為.

【答案】2

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，有理數(shù)的減法運(yùn)算，先根據(jù)有理數(shù)，非負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)的概念確定a、b,c

的值，然后代入即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：有理數(shù)有3，-8,2025,0,-5,+13,-6.9,共8個(gè)，

非負(fù)整數(shù)有2025,0,+13,共3個(gè)，

「.6=3,

3

分?jǐn)?shù)有3,,2025,-6.9,共3個(gè)，

6/53

??Z?—c=8—3—3=2,

故答案為：2.

變式3.（24-25七年級(jí)上?云南昆明,期中）下列有理數(shù)中：-4,2.6,-3.5,10,-1,0,-1,非正

數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)非正數(shù)的定義找到符合題意的數(shù)，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：題中有理數(shù)非正數(shù)有：-4,-3.5,-1,0,-1,共5個(gè)數(shù)，

故選：C.

變式4.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）祖沖之，中國(guó)南北朝時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家.他是世界上

將圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位的第一人，這一研究發(fā)現(xiàn)比西方早了1100多年，他將圓周率的分?jǐn)?shù)近似值

常355稱為密率，2"2稱為約率.請(qǐng)判斷：約率22半是（）

A.有理數(shù)B.整數(shù)C.有限小數(shù)D.無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

【答案】A

【分析】本題主要考查有理數(shù)的定義，利用有理數(shù)的定義，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，故學(xué)22是有理數(shù).

【詳解】解：?.?干22是分?jǐn)?shù),

,年22是有理數(shù)，

故選：A.

變式5.（24-25七年級(jí)上山東濰坊?階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.-1是最大的負(fù)有理數(shù)B.有理數(shù)包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)和零

C.整數(shù)只包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)D.沒(méi)有最小的有理數(shù)

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的分類和意義，逐一分析即可判斷求解，掌握有理數(shù)的分類和意

義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、-1是最大的負(fù)整數(shù)，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

B、有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

C、整數(shù)包括了正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0,該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

D、沒(méi)有最小的有理數(shù)，該選項(xiàng)正確，符合題意；

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故選：D.

變式6.（24-25七年級(jí)上?湖南常德?期中）下列說(shuō)法中正確的有（）

①一個(gè)數(shù)前面加上“-”號(hào)就是負(fù)數(shù)；②非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；③0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；④正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱

為有理數(shù)；⑤正整數(shù)與負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；⑥正分?jǐn)?shù)與負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；⑦0是最小的整數(shù)；⑧最大的負(fù)

數(shù)是-1.

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【答案】D

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的分類，

根據(jù)負(fù)數(shù)的定義可判斷；根據(jù)有理數(shù)的分類可判斷②③④；根據(jù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)的分類可判斷⑤⑥；根據(jù)既沒(méi)

有最小的整數(shù)也沒(méi)有最大的負(fù)數(shù)可判斷⑦⑧,

【詳解】解：①一個(gè)數(shù)前面加上“-”號(hào)不一定是負(fù)數(shù)，如-（-3）=3,故①不正確；；

②非負(fù)數(shù)不僅有正數(shù)還有0,故②不正確；

③0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故③正確；

④正數(shù)，0和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；故④不正確；

⑤正整數(shù)，0與負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)，故⑤不正確；

⑥正分?jǐn)?shù)與負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)，故⑥正確；

⑦沒(méi)有最小的整數(shù)，故不正確；

⑧沒(méi)有最大的負(fù)數(shù).故不正確.

所以，上列說(shuō)法中正確的是③⑥：正確的個(gè)數(shù)是2個(gè)，

故選：D.

題型2、有理數(shù)的分類

【解題技巧】

正整數(shù)：像1,2,3,4等這樣的數(shù)叫作正整數(shù)；負(fù)整數(shù)：像一1,-2,—3等這樣的數(shù)叫作負(fù)整數(shù)；

正分?jǐn)?shù)：像三3，0.24等這樣的數(shù)叫作正分?jǐn)?shù)；負(fù)分?jǐn)?shù)：像一三3，一3.56等這樣的數(shù)叫作負(fù)分?jǐn)?shù)；

44

整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；

有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

例1.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：

21一,

11,—;,6.5,—8,2—,0,1,-1,—3.14.

32

8/53

⑴正數(shù)集合：｛…｝;

⑵負(fù)數(shù)集合：｛…｝;

⑶整數(shù)集合：｛■■■｝;

⑷正整數(shù)集合：｛…｝;

⑸負(fù)整數(shù)集合：｛

(6)正分?jǐn)?shù)集合：｛…｝;

⑺負(fù)分?jǐn)?shù)集合：｛■)；

(8)有理數(shù)集合：｛…｝.

【答案】(1)11,6.5,2g,1

(2)--,-8,-1,-3.14

(3)11,-8,0,1,-1

(4)11.1

(5)-8,-1

(6)6.5,2；

⑺-g,-3.14

(8)11,-|,6.5,-8,2(，0,1,-1,-3.14

【分析】考查有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)的分類和概念求解即可.

【詳解】(1)解：正數(shù)集合：｛11,6,5,21,1-)；

-2

(2)解：負(fù)數(shù)集合：｛一§,-8,-1,-3.14-)；

(3)解:整數(shù)集合:｛11,-8,0,1,-1｝；

(4)解:正整數(shù)集合：｛11,1…｝;

(5)解：負(fù)整數(shù)集合：｛-8,-1-｝；

(6)解：正分?jǐn)?shù)集合：｛6.5,2；…｝;

2

(7)解：負(fù)分?jǐn)?shù)集合：-3.14-｝；

21

(8)解：有理數(shù)集合：｛11,65-8.2-,0.1,-1,-3.14-｝.

例2.(24-25七年級(jí)上?廣西南寧?階段練習(xí))把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的括號(hào)里:

9/53

非負(fù)有理數(shù)集合｛__________________________________…｝.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)有理數(shù)分為正數(shù)、負(fù)數(shù)和零進(jìn)而確定正數(shù)、負(fù)數(shù)集合即可；

根據(jù)整數(shù)分為零和正整數(shù)、負(fù)整數(shù)進(jìn)而確定整數(shù)集合即可；有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是分?jǐn)?shù)來(lái)確定分?jǐn)?shù)集

合，正有理數(shù)和零是非負(fù)有理數(shù)確定非負(fù)有理數(shù)集合即可.

122

【詳解】解：正數(shù)集合｛3,0.02,4-,―,30%,2020,-｝；

負(fù)數(shù)集合｛T,-1,-9.6,-）；

整數(shù)集合｛T,3,0,2020,-｝；

1122

分?jǐn)?shù)集合｛—§,0.02,4“-9.6,y,30%,-｝；

1?2

非負(fù)有理數(shù)集合｛3,0,0,02,4-,―,30%,2020,…｝.

1111?2

故答案為：—4,——,—9.67—4,——,—9.6；—4,3,0,2020；——,0.02,4—,—9.6,--,30%；3,

33337

122

0,0.02,4-,30%,2020.

37

例3.（24-25七年級(jí)上?四川眉山?階段練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：

2TT

5,-2,1.4,-j,-0.14,0,-3.14159,0.101001001……（每?jī)蓚€(gè)1之間逐次增加一個(gè)0）.

正數(shù)集：｛,-）；

非負(fù)整數(shù)集：｛,…｝;

負(fù)分?jǐn)?shù)集：｛,"'）；

有理數(shù)數(shù)集：｛,…｝.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是正數(shù)，負(fù)數(shù)，整數(shù)，有理數(shù)的概念，有理數(shù)的分類，熟悉有理數(shù)的分類是解題的關(guān)

鍵.

根據(jù)正數(shù)，負(fù)數(shù)，非負(fù)整數(shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)，有理數(shù)的概念逐一填空即可.

10/53

JT

【詳解】解：正數(shù)集：｛5,1.4,0.101001001.......｝；

非負(fù)整數(shù)集:｛5,0,-｝；

_2

負(fù)分?jǐn)?shù)集：｛—3.14159,-0.14-｝；

2

有理數(shù)數(shù)集：｛5,-2,1.4,-j,-0.14,0,-3.14159,…｝.

變式1.（24-25七年級(jí)上?山西晉城?階段練習(xí)）將下列各數(shù)填入適當(dāng)?shù)睦ㄌ?hào)內(nèi)：

363

5,—3,—,8.9,TI,---,—3.14,—9,0,2—

475

正整數(shù)集：｛…｝

負(fù)分?jǐn)?shù)集：｛…｝

整數(shù)集：｛…｝

正有理數(shù)集：｛…｝

負(fù)有理數(shù)集：｛…｝

自然數(shù)集：｛…｝

有理數(shù)集：｛…｝

6336

【答案】｛5｝；—3.14｝；｛5,-3,-9,0｝；｛5,—,8.9.2—｝；｛-3,--,-3.14,-9｝；｛5,0｝；｛5,

363

-3,—,8.9,--,-3.14,-9,0,2—）

【分析】此題主要考查有理數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟知有理數(shù)的分類方法.按照有理數(shù)的分類即可求解.

【詳解】解：正整數(shù)集:｛5｝；

負(fù)分?jǐn)?shù)集：｛-|,-3.14）；

整數(shù)集：｛5,-3,-9,0｝；

33

正有理數(shù)集：｛5,8.9.2-｝；

負(fù)有理數(shù)集：｛-3,-y,-3.14,-9）；

自然數(shù)集：｛5,0｝；

有理數(shù)集：｛5,-3,1,8.9,-1,-3.14,-9,0,2?；

11/53

故答案為：｛5｝；｛-1,-3.14）；｛5,-3,-9,0）；｛5,1,8.9,2^]；｛-3,-3.14,-9｝；｛5,0｝；

｛5,—3,—,8.9,--,—3.14,—9,0,2—｝.

變式2.（2024七年級(jí)上,全國(guó)?專題練習(xí)）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合中：

1123

-100.1,6,-7-,0,-100,+3-,-2.25,0.01,+67,--,-10%,—,2018,-18.

347101

正整數(shù)集:｛-｝；

正數(shù)集：｛-｝；

負(fù)分?jǐn)?shù)集：｛-｝；

負(fù)數(shù)集：｛-｝；

非負(fù)整數(shù)集：｛-｝；

分?jǐn)?shù)集：｛…｝.

1312

【答案】6,+67,2018；6,+3-,0.01,+67,—,2018；-100.1,-7-,-2.25,--,-10%；-100.1.

410137

12112

-7-,-100,-2.25,--,-10%,-18；6,0,+67,2018；-100.1-7-,+3-,-2.25,0.01,一一,

37347

-10%,—

101

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，掌握正整數(shù)、正數(shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、非負(fù)整數(shù)、和分?jǐn)?shù)的定義與

特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

直接利用有理數(shù)的相關(guān)概念分析得出答案，特別注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù).

【詳解】解：正整數(shù)集:{6,+67,2018--）；

]3

正數(shù)集：｛6,+3—,0.01,+67,,2018…｝;

1?

負(fù)分?jǐn)?shù)集：｛TOOL-7-,-2.25,,-10%---｝；

負(fù)數(shù)集：｛-100.1,-7；-100,

-2.25,-10%,-18-

7

非負(fù)整數(shù)集:｛6,0,+67,2018-｝；

分?jǐn)?shù)集：{-100.1,-7：,+3：,,熹…｝

-2.25,0.01,-10%

347101

132

故答案為：6,+67,2018；6,+3-,0.01,+67,——,2018；-100.1,-7-,-2.25,—,-10%；

410137

3r1

-100.1,-7-,-100,-2.25,-—,-10%,-18；6,0,+67,2018；-100.1,—1—,+3—,-2.25,

3734

23

0.01,—,—10%,—

7101

12/53

變式3.（24-25七年級(jí)上?貴州遵義?階段練習(xí)）將下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里

+6,-2,TT,1,20%,3-,0,0.63,-4.9,-1.2

4

分?jǐn)?shù)集合：{…};

負(fù)有理數(shù)集合：{…};

非負(fù)整數(shù)集合：{…};

非負(fù)有理數(shù)集合：{…}.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，注意整數(shù)和正數(shù)的區(qū)別，注意0是整數(shù)，但不是正數(shù).分別根據(jù)分?jǐn)?shù)、

負(fù)有理數(shù)、非負(fù)整數(shù)、非負(fù)有理數(shù)的定義進(jìn)行分類即可.

【詳解】解：分?jǐn)?shù)集合：,0%,3；,0.63,-40-1.2,…1

負(fù)有理數(shù)集合：…};

非負(fù)整數(shù)集合:{+6,1,0,-};

非負(fù)有理數(shù)集合：卜6,1,20%,3；0,0.63,…1.

題型3、數(shù)軸的三要素及其畫法

【解題技巧】數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的畫法：1）畫一條水平的直線（一般畫水平的數(shù)軸）；2）在這條直線上適當(dāng)位置取一實(shí)心點(diǎn)作為原

點(diǎn)；3）確定向右的方向?yàn)檎较?，用箭頭表示；4）選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作單位長(zhǎng)度，用細(xì)短線畫出，并對(duì)應(yīng)

標(biāo)注各數(shù)，同時(shí)要注意同一數(shù)軸的單位長(zhǎng)度要一致。

例1.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）數(shù)軸是（）

A.規(guī)定了原點(diǎn)和正方向的一條直線

B.規(guī)定了單位長(zhǎng)度的一條直線

C.規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和長(zhǎng)度單位的一條直線

D.規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的一條直線

【答案】D

【分析】本題主要考查了數(shù)軸的定義，掌握數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的一條直線成為解題的

關(guān)鍵.根據(jù)數(shù)軸的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：???數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的一條直線，

13/53

??.D選項(xiàng)符合題意.

故選:D.

例2.（2025七年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）下列各圖中，數(shù)軸表示正確的是（）

???

A.-101B.-------1-----------1-----------1------>

____11_________1?____?______?______??

C.-101u--101

【答案】D

【分析】本題主要考查數(shù)軸的三要素，熟練掌握數(shù)軸三要素：原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度，正方向，即可得到答案.

【詳解】解：A、缺少正方形，數(shù)軸表示不正確，不符合題意；

B、缺少原點(diǎn)，數(shù)軸表示不正確，不符合題意；

C、單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一，數(shù)軸表示不正確，不符合題意；

D、是數(shù)軸，符合題意；

故選：D.

例3.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）下列數(shù)軸表示正確的是（）

A--2-1012B--1-2-3-401

c--2-1123D--9-6-30369

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)軸的三要素即規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸，解答即可.

本題考查了數(shù)軸的三要素，熟練掌握數(shù)軸三要素是解題的關(guān)鍵.

【詳解】

解：A.&「力I—L具備了三要素，但是單位長(zhǎng)度不同，

該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.「2「3」461＞具備了三要素,但是負(fù)數(shù)的標(biāo)記位置錯(cuò)誤，

該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.i13＞沒(méi)有原點(diǎn),

該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D._’9二6-'36316.表示正確,

該選項(xiàng)正確，符合題意;

14/53

故選：D.

例4.（23-24七年級(jí)上河北唐山?階段練習(xí)）如圖所畫數(shù)軸正確的個(gè)數(shù)為（）

<9_____III____|_____??

0-1-20123

③------1-----1----1----1-----1------>

630-3-6

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】本題考查的是數(shù)軸，熟知規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸是解答此題的關(guān)鍵.根

據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：①單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

②不符合數(shù)軸右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大的特點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③不符合數(shù)軸右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大的特點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④沒(méi)有正方向，不符合數(shù)軸的特點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

⑤不符合數(shù)軸右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大的特點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

⑥規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度，符合數(shù)軸的特點(diǎn)，故本選項(xiàng)正確；

⑦沒(méi)有原點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A.

例5.（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?隨堂練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.規(guī)定了原點(diǎn)、正方向的直線是數(shù)軸

15/53

B.數(shù)軸上原點(diǎn)及原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示的數(shù)是非負(fù)數(shù)

C.數(shù)軸上單位長(zhǎng)度可以不一致

D.任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

【答案】D

【分析】此題主要考查了數(shù)軸，關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的概念.

根據(jù)數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表

示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)可得答案.

【詳解】解：A、規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線是數(shù)軸，故不符合題意；

B、數(shù)軸上原點(diǎn)及原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示的數(shù)是非正數(shù)，故不符合題意；

C、數(shù)軸上單位長(zhǎng)度必須一致，故不符合題意；

D、任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，故符合題意.

故選：D.

變式1.（24-25七年級(jí)上?廣西來(lái)賓期中）下列圖形是四位同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（）

A--2-1012B--1012

c——2-1012D-12345

【答案】c

【分析】本題考查畫數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸的三要素，原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度，正方向，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、沒(méi)有正方向，錯(cuò)誤，不符合題意；

B、單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一，錯(cuò)誤，不符合題意；

C、畫法正確，符合題意；

D、沒(méi)有原點(diǎn)，錯(cuò)誤，不符合題意；

故選C.

變式2.（24-25七年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖所示，所畫數(shù)軸完全正確的個(gè)數(shù)是（）

-J——L—>

-6-4-20123,-1-2-30123

(1)(2)

■?????1??????

-6-4-20369-3-2-10123

(3)(4)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

16/53

【分析】本題主要考查了數(shù)軸的三要素和畫法.根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)“規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫

做數(shù)軸”進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：(1)(3)單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一，錯(cuò)誤；

(2)不符合數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大的特點(diǎn)，錯(cuò)誤；

(4)符合數(shù)軸的特點(diǎn)，正確.

綜上，只有一個(gè)是正確.

故選：A.

變式3.(23-24七年級(jí)上?山東荷澤?階段練習(xí))在數(shù)軸上，原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)是()

A.零B.正數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.非正數(shù)

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸上表示數(shù)的特點(diǎn)即可求解，熟練掌握數(shù)軸上表示數(shù)的特點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)是非負(fù)數(shù)，

故選：C.

變式4.(2024七年級(jí)上,全國(guó)?專題練習(xí))下列有關(guān)數(shù)軸的說(shuō)法：

(1)在畫數(shù)軸時(shí)，原點(diǎn)位置可以任意確定；

(2)一般情況下，取向右的方向?yàn)閿?shù)軸的正方向；

(3)數(shù)軸中的單位長(zhǎng)度可根據(jù)實(shí)際需要任意選??；

(4)數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示整數(shù).

其中正確的有個(gè).

【答案】3

【分析】本題考查了數(shù)軸的畫法及其意義，把握數(shù)軸三要素，即原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，是解答此題的

關(guān)鍵.

根據(jù)數(shù)軸的定義，對(duì)每個(gè)說(shuō)法進(jìn)行分析判斷，即可求解.

【詳解】說(shuō)法(1),數(shù)軸上，原點(diǎn)位置的確定是任意的，符合題意；

說(shuō)法(2),數(shù)軸上，一般情況下，正方向可以是向右，符合題意；

說(shuō)法(3),數(shù)軸上，單位長(zhǎng)度可根據(jù)需要任意選取，符合題意；

說(shuō)法(4),數(shù)軸上的點(diǎn)不僅能表示整數(shù)，還能表示分?jǐn)?shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)等，不符合題意.

???說(shuō)法共有3個(gè)正確.

故答案為：3.

17/53

變式5.（23-24七年級(jí)上?河北邯鄲?期中）已知小紅、小剛，小明、小穎四人自南向北依次站在同一直線

上，如果把直線看作數(shù)軸，四人所在的位置如圖所示，則下列描述不正確的是（）

小紅小剛小明小穎

-------*------1-----1_?->---------1-----*-------1-----*-------1_>

-5-4-3-2-10123

A.數(shù)軸是以小明所在的位置為原點(diǎn)

B.數(shù)軸采用向北為正方向

C.小剛所在的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)有可能是

D.小穎和小紅間的距離為7

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義：包含原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向的直線叫做數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較，數(shù)軸上兩

點(diǎn)之間距離：右邊點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊點(diǎn)表示的數(shù)，即可判斷.

【詳解】解：A.小明所在的位置表示數(shù)0,故此項(xiàng)結(jié)論正確；

B.四人自南向北，且由南向北表示的數(shù)越來(lái)越大，所以向北為正方向，故此項(xiàng)結(jié)論正確；

C.小剛所在的之位置對(duì)應(yīng)的數(shù)在-3與-2之間，而在-2與-1之間，故此項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤；

D.小穎和小紅間的距離為2-（-5）=7,故此項(xiàng)結(jié)論正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸的定義，在數(shù)軸上比較兩數(shù)大小，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，理解定義，能根

據(jù)圖形提供的信息解題是解題的關(guān)鍵.

題型4、用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)及數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系

【解題技巧】數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系：①每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一點(diǎn)來(lái)表示，也可以說(shuō)每

個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一點(diǎn)；②一般地，設(shè)。是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊，與原

點(diǎn)的距離是。個(gè)單位長(zhǎng)度；表示的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度.③若點(diǎn)A表示的數(shù)為

0,點(diǎn)8表示的數(shù)為6,則的中點(diǎn)表示的數(shù)為厘。

2

例1.（2025?山東，中考真題）如圖，數(shù)軸上表示-2的點(diǎn)是（）

MNPQ

——?——i——?——i~?——?——

-3-2-10123

A.MB.NC.PD.Q

18/53

【答案】A

【分析】本題主要考查了數(shù)軸，弄清數(shù)軸上表示數(shù)的位置是解題的關(guān)鍵.

觀察數(shù)軸得到表示-2的點(diǎn)即可.

【詳解】解：如圖，在數(shù)軸上的點(diǎn)“、N、尸、。中，表示-2的點(diǎn)是

故選：A.

例2.（24-25六年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）-0.12在直線的位置是（）

ABC

I1111

-1

469

A.點(diǎn)A左邊B.點(diǎn)A與點(diǎn)3之間

C.點(diǎn)B與點(diǎn)C之間D.點(diǎn)C右邊

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)判斷即可.

o9

【詳解】解：|-0.12|=0.12,=1,1<0.12<1,

1…1

/.——<-0.12<——,

69

.?.-0.12在直線的位置是在點(diǎn)5與點(diǎn)C之間.

故選：C.

例3.（2025?河北唐山?二模）如圖，將一把損壞的刻度尺貼放在數(shù)軸上（數(shù)軸單位長(zhǎng)度是1cm）,刻度尺

上“0cm”和“3cm”分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的-3和0,則數(shù)軸上x的值最有可能是（）

x

A.1.8B.2C.2.3D.5.5

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸上x的值在刻度尺的5和6之間，得出數(shù)軸上x的值的取值范圍，即

可求解.

【詳解】解：數(shù)軸上x的值在刻度尺的5和6之間，

由題意可得，數(shù)軸上x的值的取值范圍是2Vx<3,

1.8<2,5.5〉3,2=2,2<2.3<3

19/53

故數(shù)軸上X的值最有可能是2.3.

故選：C.

例4.（2025七年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示

B.在數(shù)軸上表示3和-2的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是5

C.數(shù)軸上存在可以表示0.00001的點(diǎn)

D.數(shù)軸上表示-。的點(diǎn)一定在原點(diǎn)的左邊

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)軸，數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，直接利用數(shù)軸的性質(zhì)分別分析得出答案即可.

【詳解】解：A、所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，說(shuō)法正確，故選項(xiàng)A不合題意；

B、在數(shù)軸上表示3和-2的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離是3-（-2）=3+2=5,說(shuō)法正確，故選項(xiàng)B不合題意；

C、數(shù)軸上存在可以表示0.00001的點(diǎn)，故原說(shuō)法正確，選項(xiàng)C不合題意；

D、-。可以表示正數(shù)，因此數(shù)軸上表示的點(diǎn)不一定在原點(diǎn)的左邊，說(shuō)法錯(cuò)誤，故選項(xiàng)D符合題意.

故選：D.

例5.（22-23七年級(jí)上嚏慶?期中）紙片上有一數(shù)軸，折疊紙片，當(dāng)表示-2的點(diǎn)與表示6的點(diǎn)重合時(shí)，表

示3的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)重合.

【答案】1

【分析】先求出折痕和數(shù)軸交點(diǎn)表示的數(shù)，再由所求數(shù)表示的點(diǎn)與表示3