專題11函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

1、通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語(yǔ)言

表達(dá)能力

2、會(huì)用定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，提高學(xué)生的推理論證能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

3、在經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括，自主建構(gòu)單調(diào)性概念的過程中，讓學(xué)生體會(huì)從具體到抽象，從特殊到一

般，從感性到理性的認(rèn)知過程

知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性

1、增函數(shù)與減函數(shù)

1.1增函數(shù)

一般地,設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?,區(qū)間/,如果Vxi，4eD,當(dāng)石<%時(shí),都有/(七)</(%),

那么就稱函數(shù)/(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞增.(如圖：圖象從左到右是上升的)

特別地，當(dāng)函數(shù)/(%)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是增函數(shù)(increasingfunction).

1.2減函數(shù)

一般地,設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?,區(qū)間?？?，如果V%,9e。，當(dāng)石<々時(shí),都有/(西)>/(x2),

那么就稱函數(shù)/(x)在區(qū)間。上是單調(diào)遞減.(如圖：圖象從左到右是下降的)

特別地，當(dāng)函數(shù)/(X)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是減函數(shù)(decreasingfunction).

2、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=/(%)在區(qū)間。上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)

單調(diào)性，區(qū)間。叫做y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

3、常見函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性

當(dāng)人＞0時(shí)，/(X)在R上單調(diào)遞增

一次函數(shù)/(x)=Ax+人(左wO)當(dāng)左＜0時(shí)，/(%)在R上單調(diào)遞減

當(dāng)左＞0時(shí)，/(%)在(—8,0)和(0,+勾)上單調(diào)遞減

k當(dāng)左＜0時(shí)，/(%)在(—8,0)和(0,+勾)上單調(diào)遞增

反比例函數(shù)/(%)二—(左。0)

X

b

當(dāng)〃＞。時(shí)，/(%)在(-8,-7-)上單調(diào)遞減；

2a

二次函數(shù)/(%)=依2+法+。(〃。0)在(_b+8)上單調(diào)遞增

2a

b

對(duì)稱軸為九=-丁b

2a當(dāng)〃＜。時(shí)，/(?在(-8,-丁)上單調(diào)遞增；

2a

在(_b+8)上單調(diào)遞減

2a

知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

1、定義法：一般用于證明，設(shè)函數(shù)/(幻，證明的單調(diào)區(qū)間為。

①取值：任取苞，X2GD,且X]＜%;

②作差：計(jì)算/a)一/(々)；

③變形：對(duì)/(西)-/(々)進(jìn)行有利于符號(hào)判斷的變形(如通分，因式分解，配方，有理化等)；如有必要

需討論參數(shù)；

④定號(hào)：通過變形，判斷/(西)一/(%)〉0或(/(石)一/(%)＜0),如有必要需討論參數(shù)；

⑤下結(jié)論：指出函數(shù)y=/(x)在給定區(qū)間。上的單調(diào)性

2、圖象法

一般通過已知條件作出函數(shù)的圖象(或者草圖)，利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.

3、性質(zhì)法

(1)函數(shù)y=/(x)在給定區(qū)間D上的單調(diào)性與y=-/U)在給定區(qū)間D上的單調(diào)性相反;

(2)函數(shù)y=/(X)在給定區(qū)間。上的單調(diào)性與y=/(%)+c的單調(diào)性相同；

(3)y=/(x)和y=g(x)的公共定義區(qū)間。，有如下結(jié)論；

y=/(x)y=g(x)y=/(x)+g(x)y=/(x)-g(x)

增/增/增/不確定

增/減\不確定增/

減\減,減,不確定

減\增/不確定減\

知識(shí)點(diǎn)三：函數(shù)的最大(小)值

1、最大值：對(duì)于函數(shù)y=/(x),其定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:

①Vxe/,都有

②叫e/,使得/(%)=〃

那么稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值；

2、最小值：對(duì)于函數(shù)y=/(x),其定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)加滿足:

①祗C/,都有/(X)2772

②叫e/,使得/(%)=加

那么稱〃?是函數(shù)v=/(%)的最小值

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)一：利用定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

典型例題

2Y+］

例題1.(24-25高一上,安徽銅陵?階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)=生

(1)用定義法判斷了(X)在區(qū)間(-2,+?))上的單調(diào)性

(2)求出該函數(shù)在區(qū)間［1,4］上的最大值和最小值.

例題2.(24-25高一上?上海寶山?期末)已知函數(shù)〃尤)=寸-2x.

(1)用定義法證明函數(shù)'=F(尤)在區(qū)間(-8』上是嚴(yán)格減函數(shù)；

(2)寫出函數(shù)y=〃尤)在區(qū)間[-2,2]上的最值，以及相應(yīng)的x的值.

精練

-V-0

1.(24-25高一上?甘肅蘭州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=等，xe[2,3].

x—1

(1)用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)的最大值和最小值.

2.(24-25高一上廣西河池?階段練習(xí))已知函數(shù)無(wú))=x+L

X

(1)判斷函數(shù)/(X)在(0,1)上的單調(diào)性并用定義進(jìn)行證明；

(2)若/(x)〈加對(duì)任意xe恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

2Y+1

3.（2024高二上?河南安陽(yáng)?學(xué)業(yè)考試）已知/（%）=-

x+1

（1）判斷函數(shù)/（X）在區(qū)間U,+8）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；

（2）求該函數(shù)/（X）在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

典型例題

例題1.（23-24高三下■全國(guó)眉主招生）函數(shù)y=-Y-5x+6的單調(diào)遞減區(qū)間為

例題2.（2024高一,全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)y=卜%2+4%+5I的單調(diào)遞增區(qū)間是

精練

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（一00，；）B.（f,T]C.|■，+sjD.

2.（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）函數(shù)/（x）=U的單調(diào)遞減區(qū)間為.

3.（24-25高一上?浙江?期中）函數(shù)〃尤）=,-3元|的單調(diào)遞增區(qū)間是.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)三：利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

典型例題

例題1.（2025高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=VT工+2x,/（2a2-5a+4）＜/（?2+?+4）,則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是（）

AJ-8,；）U（2,+8）B.[2,6）

C.。，；32,6）

D.（0,6）

例題2.(24-25高一上?安徽蚌埠?期末)已知函數(shù)“X)滿足：%,%wR,當(dāng).占片馬時(shí)，月三區(qū)>2

恒成立，且"2)=12,若療+8,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

A.[-72,5/2]B.[-2,2]

C.(-CO,-\/^]口[5/^,+8)D.(-8,-2]u[2,+??)

精練

1.(2024高二上?云南?學(xué)業(yè)考試)函數(shù)/(X)是定義域?yàn)?-8,+8)的增函數(shù)，若/(m-9)>〃-2㈤，則優(yōu)的

取值范圍為()

A.(0,+oo)B.(-oo,-3)C.(3,+00)D.(-co,3)

2.(24-25高一上?北京?期中)函數(shù)是[0,+?>)上是減函數(shù)，那么下述式子中正確的是()

A./(l)>/(a2+2a+2)B./(l)</(a2+2?+2)

C./(1)=/(6Z2+26Z+2)D.以上關(guān)系均不確定

3.(24-25高一上?浙江?期中)已知f(x)是定義在[-1,1]上的增函數(shù)，且f(x-l)</(l-3x),則x的取值范

圍是()

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)四：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

典型例題

1—CLY

-------X-1

例題1.(24-25高一下?遼寧朝陽(yáng)?階段練習(xí))已知函數(shù)“無(wú))=x'，在R上單調(diào)遞

J+(4-a)%+2a-1,%N—1

增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.|,2BC.(1,2]D.[Q

例題2.(24-25高一上?江蘇鹽城?期末)已知/(x)=f-(2a-l)x+l,對(duì)4,x,e[l,4w)都有叢止"^21

成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.[1,+co)B.(-co,l]C.[2,+oo)D.(-oo,2]

精練

1.（24-25高一上?廣西百色?期末）“心-10”是“函數(shù)〃x）=4f一丘—8在區(qū)間（-1,4）上單調(diào)遞增”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（24-25高一上?浙江杭州?期中）已知函數(shù)〃力=*-米-8在[3,4]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)上的取值范圍

是（）

A.[6,8]B.6]U[8,+℃）C.[8,+co）D.0o,6]

,/、「（a—5\x-2,x>2/、

3.（24-25高一上?福建莆田?期中）函數(shù)〃x）=2“八。.，若對(duì)任意。，々€叫芯力赴），

X—Z（<2+1）X+JCl,X<2

都有“內(nèi)）一"々）<0成立,則實(shí)數(shù)”的取值范圍為（）

玉一工2

A.y,l]B.（1,5）C.[1,5）D.[1,4]

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)五：求函數(shù)最值（值域）

典型例題

例題1.（24-25高一上?四川自貢?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=f-2尤-2,xe[-2,2],函數(shù)〃尤）的值域?yàn)?/p>

（）

A.[-3,6]B.[-2,6]

C.[2,10]D.[1,10]

例題2.（24-25高一上?新疆喀什?期末）已知函數(shù)/'（x）=：+2.

（1）判斷函數(shù),f（x）在（0,+“）上的單調(diào)性，并用定義法證明你的結(jié)論；

（2）若xe[2,7],求函數(shù)的最大值和最小值.

精練

1.（24-25高三下?湖南永州?開學(xué)考試）已知〃力=/：：+6卜＞o）,則“力的最小值是（）

A.2B.3

C.4D.5

2.（24-25高一上?貴州畢節(jié)?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，（無(wú)）=上口在區(qū)間［3,4］上的最大值和最小值分別為私租,

X—2

3.（24-25高一上?河南鄭州?期中）已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，且，（。）=1,f（x+l）-f（x）=2x.

（1）求/（X）的解析式并且寫出/（X）的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）求出/（%）在區(qū)間［-1,4］上的最大值和最小值.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)六：二次函數(shù)（含參數(shù)）最值問題

典型例題

例題1.（2025高三下?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x~-2ax—3.

（1）已知/（X）在［3,+8）上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

（2）求/（x）在［-1,2］上的最小值.

例題2.(24-25高一上?江西宜春?期中)已知函數(shù)/(x)=2d—mx+n,不等式/(x)V0的解集［0,5］.

(1)求函數(shù)〃元)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)〃尤)在上,f+1］上的最小值為g?),求g⑺的表達(dá)式及g⑺的最小值.

精練

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知求函數(shù)〃%)=%2+如+3在區(qū)間上的最值.

2.(24-25高一上?江蘇宿遷?期中)二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為A(L16),且圖象在x軸上截得線段長(zhǎng)為8.

(1)求函數(shù)“X)的解析式：

(2)令g(x)=/(尤)+《％-2)-15

①求不等式g(x)>0的解集；

②求函數(shù)g(x)在xe［0,2］的最大值.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)七：根據(jù)最值（值域）求參數(shù)

典型例題

例題1.（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知函數(shù)y=d-2x+3在閉區(qū)間［0,河上有最大值3,最小值2,

則優(yōu)的取值范圍是（）

A.口,+8）B.［0,2］

C.（一亂2］D.［1,2］

例題2.（23-24高一上?四川涼山?期中）已知函數(shù)/（x）=d-依+4

。當(dāng)4=3時(shí),求“X）在區(qū)間［1,3］上的值域；

（2）若/'（X）在區(qū)間［0,2］上的最大值為4,求。的取值范圍.

精練

1.（23-24高一上?北京?期中）已知函數(shù)"-爐-2%+3在區(qū)間［d2］上的最大值為?，貝心等于（）

A.-B.gC.--D.士或

22222

2.（24-25高三上?青海?階段練習(xí)）已知函數(shù)“尤）二竺署2在區(qū)間［0』上的最大值為5,貝IJ"=.

3.（23-24高一上?廣東中山?期中）已知函數(shù)/（尤）=生二.

（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：/（X）在（-1,田）上是單調(diào)遞增；

（2）若函數(shù)/（尤）在區(qū)間上的值域,求a+6的值.

對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)八：恒成立（能）成立問題

典型例題

例題1.（24-25高一上?廣東東莞?期中）已知函數(shù)=且/⑴=一|，〃2）=.

（1）求〃x）的解析式；

（2）判斷/■（》）在（-2,內(nèi)）上的單調(diào)性，并用定義證明.

（3）若對(duì)Vxe[0,3],〃尤）-恒成立，求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

例題2.（23-24高一上?江蘇南通?期中）已知函數(shù)〃x）=2尤2+J

Q）試判斷函數(shù)在區(qū)間[L2]上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；

（2）若存在無(wú)＜1,2],使成立，求實(shí)數(shù)"，的范圍.

精練

1.(24-25高二上?云南玉溪?期末)已知函數(shù)/(x)—Y+ax-2b+1,不等式/(￡)<0的解集為(-2,3).

(1)求實(shí)數(shù)“，》的值；

(2)若對(duì)Vxe[l,2],/(彳)-2+3心0恒成立，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

2.(22-23高一上?全國(guó)?課后作業(yè))已知〃幻=必+笈+*不等式〃力<。的解集是(0,4).

(1)求外力的解析式；

⑵若不等式〃x)+r<2在[7,2]上有解，求，的取值范圍.

/------[HHHK.

（基礎(chǔ)通關(guān)J

一、單選題

1.（24-25高一下?云南昭通?開學(xué)考試）“左＞g”是函數(shù)〃力=（2左+l）x-4在R上是增函數(shù)的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2025高二上?黑龍江?學(xué)業(yè)考試）如圖所示，函數(shù)'=/（司（xw[T,4]）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

3.（24-25高一上?江蘇鎮(zhèn)江期末）已知函數(shù)/（無(wú)）=]：；則不等式/，+》_2）＞〃了-1）的解集是

（）

A.（TDB.（一oo,—l）U（l，+8）C.（—2,1）D.（—1,2）

4.（24-25高一上?江蘇南通?階段練習(xí)）函數(shù)y=-/-4X+1,XG[-3』的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[^4,4]B.[5,+00）C.[^4,5]D?（-00,5]

5.（24?25高一上?廣西?期末）已知函數(shù)〃%）=爐+依-11在（2,y）上單調(diào)遞增，則〃的取值范圍是（）

A.（-00,^4]B.[-4,+00）C.（-oo,-2]D.[-2,+oo）

6.（24-25高一上?黑龍江哈爾濱?期中）函數(shù)/'（X）是定義在[0,+8）的增函數(shù)，則滿足〃2x-l）＜O的

x取值范圍（）

A-（k\d2\B-「k1d2、J門"2）D'「k1d21

7.（23-24高一上?云南昭通?期中）已知〃”=[（2.一1）尸4，*41，是定義域?yàn)镽上的增函數(shù)，則〃的取值

x—辦+3,%＞1

范圍是（）

B.；,+=o

A.（0,1）C.（1,+<?）

8.(24-25高一上?廣西百色?期末)已知函數(shù)〃x)=k-1|和g(x)=-d+2尤+1,設(shè)M(x)=max{〃x),g(x)},

則函數(shù)/(x)()

A.有最大值2,無(wú)最小值B.無(wú)最大值，有最小值0

C.無(wú)最大值，無(wú)最小值D.無(wú)最大值，有最小值1

二、多選題

9.(24-25高一上?廣東廣州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)的圖象由如圖所示的兩條曲線組成，則下列不正確

A./(/(-3))-5B.f(x)是單調(diào)增函數(shù)

C.FQ)的定義域是(-s,0]U23]D./(%)的值域是口,5］

10.(24-25高一上?河北衡水?階段練習(xí))函數(shù)Ax)=/—4x+2在區(qū)間句上的值域?yàn)椋?2,2］,貝!|力-。的

值可能是()

A.1B.2C.3D.4

三、填空題

11,(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))若函數(shù)奴+4的最小值在［0,+⑹內(nèi)取得，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為.

12.(24-25高二下?天津?yàn)I海新?階段練習(xí))若關(guān)于尤的不等式f+辦-2>0在區(qū)間［L5］上恒成立，則實(shí)數(shù)

。的取值范圍為.

四、解答題

13.(2025高三下?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=d—2依一3.

(1)已知在［3,內(nèi))上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(