2025北京初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編

圓（下）章節(jié)綜合（京改版）（解答題）

一、解答題

1.（2025北京順義初三上期末）如圖，點P為。外一點，過點P作。。的切線外和尸3,切點分別是點

（2）若tan/AEP=：,BE=亞,求C￡）的長.

2.（2025北京朝陽初三上期末）如圖，在&中，ZOAB=90°,/ABO=30。，C為。2邊的中點,

。經(jīng)過點C,BD與。相切于點。.

⑴求證：與:。相切；

⑵若AB=2,求AD的長.

3.（2025北京朝陽初三上期末）北京天壇，原名“天地壇”，是中國現(xiàn)存最大的古代祭祀性建筑群.天壇內(nèi)壇

由圜丘、祈谷壇、齋宮三組古建筑群組成，某數(shù)學(xué)興趣小組想測量圜丘壇（圖1）最下層圓形石壇的直

徑，先畫出直徑再直接測量不太可能，先測量周長再計算直徑也比較麻煩，研討后他們自制了一個直角曲

尺，制定了測算方案并畫出了示意圖.

直角曲尺的短邊AC長為0.5m,在測量時，用直角曲尺的長邊AB貼緊圓形石壇的邊緣，并使短邊AC與

圓形石壇的邊緣接觸，此時長邊A8與圓形石壇的接觸點記為點。，量得AD的長為5.2m,示意圖如圖2

所示.請根據(jù)以上信息計算圜丘壇最下層圓形石壇的直徑.

4.(2025北京昌平初三上期末)如圖，O直徑為AB,點、CD為。上的兩個點，OCLOD,過點C的

直線交A3延長線于點E,S.ZBCE=-ZBOC.

2

⑴求證：CE為。的切線；

(2)連接若BC=2有,tan/BCE=；,求的長.

5.(2025北京大興初三上期末)如圖，等腰AABC內(nèi)接于「O,AB=BC,為〔。直徑，連接交

AC于點E,延長至點P,使得AP=AE,連接AP.

⑴求證：R4是：。的切線；

(2)若AB=4,PE=6,求DE的長.

6.(2025北京門頭溝初三上期末)如圖1,平面中的線段A3和直線A3外一點P,對于P,A,2三點確定

的圓，如果—AP3所對的弧為優(yōu)弧，我們就稱點尸為線段的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點”.

圖1圖2圖3

(1)如圖2,已知點0(0,0),C(2,0).

①在點片(1,1),粗2,1),巴中，是線段℃的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點”的是」

②如果直線＞=-工+》上存在線段oc的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點”，直接寫出6的取值范圍.

(2)如圖3,已知點0(2,2),E(2,-2),*-2,2),M(a,0),N(a+l,0),如果在MEF邊上存在線段MN

的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點”，直接寫出。的取值范圍.

7.（2025北京西城初三上期末）如圖，A3是：。的直徑，弦CD〃AB,過點。作〈。的切線交A8的延

長線于點E,連接BC,BD.

8.（2025北京密云初三上期末）如圖，AB是（。的直徑，AC是：。的弦，延長BC至。，BC=CD,過

C作CELAD交AD于點E.

⑴求證：CE是：。的切線；

（2）連接8E,若ZECD=30。，DE=1,求BE長.

9.（2025北京東城初三上期末）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AC邊為直徑作。交AB于點

D,連接。。并延長交的延長線于點E,點尸為BC的中點，連接DP.

（1）求證：RD是二，。的切線；

⑵若：。的半徑為3,48=30。，求PE的長.

10.（2025北京平谷初三上期末）如圖，已知△ABC中，AB=BC,點。是邊上一點，連接AD,以

為直徑畫。，與AB邊交于點￡,與AC邊交于點FEF=AF,連接DE.

BD

⑴求證：BC是的切線;

3

⑵若BC=10,cosZAFE=~,求AC的長.

11.（2025北京燕山初三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點〃在x軸上，以點M為圓心的圓與x軸交

于A（l,0）,B（4,0）兩點，對于點P和,M,給出如下定義：若拋物線>=以2+法+以。片0）經(jīng)過42兩點

且頂點為P,則稱點尸為"的“圖象關(guān)聯(lián)點”.

F,G,反中，M的“圖象關(guān)聯(lián)點”是「

（2）已知點尸為M的“圖象關(guān)聯(lián)點“，且3QP=5PM,

①判斷OP與M的位置關(guān)系，并證明;

②直接寫出拋物線的頂點坐標(biāo).

（3）已知C（4,2）,D（1,2）,當(dāng)9M的“圖象關(guān)聯(lián)點”尸在M外且在四邊形ABC。內(nèi)運動時，直接寫出拋物線

y=ax2+6x+c中a的取值范圍.

12.（2025北京燕山初三上期末）如圖，48是。的直徑，過點B作；。的切線覦f,點A、C、D分別

為：，。的三等分點，連接AC,AD,DC,延長AD交8時于點E,CD交48于點P.

⑴求證：CD//BM-

⑵連接OE,若DE=m,求△OBE的面積.

13.（2025北京豐臺初三上期末）下面是小明設(shè)計的“過圓外一點作己知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

PO

己知：如圖，點尸在（。外.

求作：。的切線，使它經(jīng)過點P.

作法：①作射線P。交于A、B兩點；

②以點尸為圓心，以尸。的長為半徑作??；以點。為圓心，以A3的長為半徑作弧，兩弧相交于點

N；

③連接加，0N分別交。于點C,D；

④作直線尸C,PD.

直線PC,為所作的切線.

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明

證明：連接

在。中，點A,B,6;在〈。上，

AB=OM,

:.OC=-AB=-OM,

22

:.OC=MC.

PO=PM,

:.PC±OM（）（填推理依據(jù)）.

直線PC是。的切線（）（填推理依據(jù)），

同理可證，直線尸。是：，。的切線.

14.（2025北京豐臺初三上期末）如圖，A3是。的直徑，點C在上，連接AC,3c.作OD〃AC

交于點。，交BC于點E.

⑴求證：BD=CD；

（2）過點。作（。的切線交AC的延長線于點孔若CF=1,BC=4.求AC的長.

15.（2025北京通州初三上期末）如圖，在AABC中，AB=AC,。是A3的中點，到點。的距離等于

：A3的所有點組成圖形G,圖形G與邊BC交于點。，過點。作OESAC于點E.

2

(1)依題意補全圖形，判斷直線DE與圖形G的公共點個數(shù)并加以證明；

(2)C4延長線交圖形G于點孔如果AE=3,AF=4,求。E的長.

16.(2025北京海淀初三上期末)如圖，AB,AC分別與《。相切于8,C兩點，8。的延長線交弦。于

點、E,CE=DE,連接OO.

(1)求證：ZA=ZDOE-,

(2)若OD〃AC,。的半徑為2,求A3的長.

17.(2025北京西城初三上期末)己知：如圖1,點A,B在。。上，點尸在：。外.

求作：。的切線PC,且切點C在劣弧A3上.

6圖1圖2

作法：如圖2,

①連接OP；

②作線段。尸的垂直平分線/,交。尸于點M；

③以點M為圓心，的長為半徑畫圓，交劣弧于點C；

④畫直線尸C.直線尸。即為所求.

(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明.

證明：連接OC.

尸是「"的直徑，

/.ZPCO=°()(填推理的依據(jù)).

OCLPC.

:oc是。的半徑，

.?.直線PC是。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

18.（2025北京東城初三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，。的半徑為1,對于的弦和不在直

線A5上的點C,給出如下定義：若NACB=c,且點C關(guān)于弦AB的中點M的對稱點在＜。上或其內(nèi)部，

則稱點C為弦的“a關(guān)聯(lián)點”.

缶用圖

（1）已知點個-展彳］，B（X°）?

①在點G（T,-1）,C2（2,0）,6倒，石）中，點一是弦AB的關(guān)聯(lián)點，其中。=_°;

②若直線y=上存在AB的“60。關(guān)聯(lián)點”，則b的取值范圍是二

⑵若點C是A3的“60。關(guān)聯(lián)點"，且OC=石，直接寫出弦AB的最大值和最小值.

19.（2025北京三帆中學(xué)初三上期末）已知：是。的直徑，弦。。，45垂足為6,半徑。8上有兩

點M和N,EN=EM,射線射線CN分別交1。于點尸、H,連接交C。于點G,過點。

作所的平行線I.

（1）證明：直線/是。的切線；

（2）當(dāng)。暇=8N時，求/CG尸的度數(shù).

20.（2025北京房山初三上期末）如圖，BE是。的直徑，點A在一。上，點C在8E的延長線上,

ZEAC=ZABC,平分立"4E交：。于點。，連結(jié)。E.

BC

O\E

D

⑴求證：C4是。的切線；

（2）當(dāng)AC=8,CE=4時，求DE的長.

21.（2025北京門頭溝初三上期末）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。為AC上一點，以點。為圓

心，OC為半徑的圓恰好與AB相切，切點為。，。與AC的另一個交點為E.

（1）求證：8。平分工ABC；

（2）若ZA=30。，AE=1,求8。的長.

22.（2025北京燕山初三上期末）下面是小石設(shè)計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程.

已知：如圖1,。。及。。上一點P.

求作：直線PN,使得PN與。。相切.

作法：如圖2,

①作射線OP;

②在。。外取一點Q（點Q不在射線OP上），以Q為圓心，QP為半徑作圓，OQ與射線OP交于另一點

M；

③連接MQ并延長交。Q于點N；

④作直線PN.

所以直線PN即為所求作直線.

根據(jù)小石設(shè)計的尺規(guī)作圖的過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：是。。的直徑,

:.NMPN=°（）（填推理的依據(jù)）.

OP±PN.

又?:0尸是。。的半徑，

，PN是。。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

圖1圖2

參考答案

1.(1)證明見解析

(2)。=；

【分析】(1)根據(jù)切線長的性質(zhì)可證△R4E四△PBE,得到/場=鹿，由等腰三角形的定義即可求解;

(2)連接BC,可得NEBC=90。，由全等三角形的性質(zhì)可得Z4￡P(guān)=N3￡P(guān),則

tanZAEP=tanZBEP=-=|，可得BC=@,根據(jù)同弧所對圓周角相等可得NA￡P(guān)=NABC,則有

BE22

CD1

tanZAEP=tanZABC=—=-,設(shè)CD=x,則5D=2x,根據(jù)勾股定理C。2+B￡)2=臺。?，即可求解.

BD2

【詳解】(1)證明：PA,PB是。的切線，

PA=PB,PA±OA,PBLOB,

尸。平分ZAP6,

:.ZAPE=ZBPE.

在ZX/VIE和△P8E中，

PA=PB

<NAPE=NBPE,

PE=PE

:.PAE"PBE(SAS),

AE=BE,

.,._AEB是等腰三角形.

(2)解：連接3C,

EC是。的直徑，

ZEBC=90°f

Z\PAE烏APBE,

,\ZAEP=ZBEP.

1

/.tanZAEP=tanZBEP==—,

BE2

又1BE=y/5,

：.BC=—,

2

PA=PB,尸。平分/AP5,

.\PO±AB,

.\ZCDB=90°

ZAEP=ZABC,

CD1

/.tanZAEP=tanZABC=——二一，

BD2

設(shè)CD=x,則瓦＞=2x,CD2+BD2=BC2,

即1+(2x)2=［豐］,

11

解得：X(負(fù)根舍去)，即CD=；.

22

【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)，切線長的性質(zhì)，直徑對的圓周角是直角，等腰三角形的判定和性質(zhì)，

三角函數(shù)的計算，勾股定理等知識的綜合運用，掌握切線及切線長的性質(zhì)，三角函數(shù)的計算方法是解題的

關(guān)鍵.

2.(1)見解析

⑵2

【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角

形的性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)在血。鉆中，ZOAB=90°,/ABO=30。，得到。A=由C為02邊的中點，求得

2

OC=go2,根據(jù)切線的性質(zhì)得到結(jié)論；

(2)連接0D,根據(jù)切線的性質(zhì)得到M=BD,證明11AB。絲ADBO(SSS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

ZDBO^ZABO^30°,根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在必OLB中，ZOAB=90°,NABO=30。，

:.OA=-OB,

2

C為02邊的中點，

OC=-OB,

2

.\OA=OC,

J.Q4是。的半徑，

二鉆與。相切；

(2)解：連接OD,

；BD與，O相切于點。，A3與(0相切,

AB=BD,

在/ABO與中，

OA=OD

<AB=BD,

OB=OB

ABO^DBO(SSS),

:.NDBO=ZABO=3。。,

.\ZABD=a)°,

/.ABD是等邊二角形，

AD=AB=2.

3.54.58m

【分析】本題考查圓切線的實際應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握圓切線性質(zhì)，勾股定理解解三

角形.

如圖，連接0D,過點C作C^，O￡＞于點，設(shè)OD=OC=rm,利用勾股定理構(gòu)建方程求解.

【詳解】解：如圖，連接OD,過點C作CTLOD于點T.設(shè)OD=OC=r

AB是：O的切線，

:.OD±AB,

'：AC±AB,

ZCTD=ZCAD=ZADT=90,

，四邊形ADTC是矩形，

：.CT=AD=5.2,DT=AC=0.5,

在RtZkOCT中，OC-^OT2+CT1,

r-=(r-0.5)2+5.22,

解得r=27.29.

所以圓形石壇的直徑：27.29X2=54.58(m).

4.(1)證明見解析

(2)3A/10

【分析】(1)方法一：根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得出N54C+NABC=90。，根據(jù)等邊對等角可得出

ZABC=NOCB,然后結(jié)合已知可得出/3CE+/OCB=90o=/OCE,最后根據(jù)切線的判定即可得證；

方法二：根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理可得出NQBC=NOCB=90O-gzBOC,結(jié)合已知可得出

ZOCB^900-ZBCE,則NOCB+N3CE=90。，根據(jù)切線的判定即可得證；

(2)方法一：連接C。，過點C作CFLB。于點尸.根據(jù)勾股定理可求出3尸=。/=可，根據(jù)圓周角定

理并結(jié)合已知可得出NCnB=gzBOC=ZBCE,根據(jù)正切的定義可求出=29，即可求解；

方法二：過點CD作48的垂線段CG,OH,連接AC.判斷/BCE=NC鉆=/fiCG,根據(jù)正切的定義可

求出AC=4^后,A3=1。,CG=2BG=4,OG=3.證明△COG四△OD”.得出

DH=OG=3,OH=CG=4.最后在中，根據(jù)勾股定理求解即可8。=3師；

方法三：連接ACBD交于點K,連接AO.根據(jù)正切的定義可求出AC=47L根據(jù)圓周角定理

ZCBD=ZCAD=45，根據(jù)等邊對等角可求C7/=3C,進(jìn)而求出AK,根據(jù)勾股定理可求DK和3K,即

可求解.

【詳解】(1)證明：方法一：

連接AC.

9是直徑，

:.ZACB=90°.

ABAC+ZABC=90°.

QOC=OB,

:.ZABC=/OCB.

/BAC=L/BOC=/BCE,

2

ZBCE+NOCB=90°=ZOCE.

:.OCLCE.

；.CE是i。的切線.

方法二：

QOC=OB,

ZOBC=ZOCB=180°-/'"=90°--NBOC.

22

ZBCE=-ZBOC,

2

ZOCB=90°--ZBOC=90°-NBCE.

2

ZOCB+ZBCE=90°.

:.OC1CE.

:.CE是。的切線.

（2）解：方法一：

連接C。，過點C作CF，&）于點

,90。,；."30=45°.

...在Rt3CF中，BC2=BF2+CF-=2BF1=20.

.-.BF=CF=M.

.NCDB=工NBOC=NBCE,

2

1CF

tanZCDF=tanZBCE=一=——.

2DF

DF=2回.

BD=BF+DF=3y[l0.

方法二：

過點C,。作的垂線段CG,?！埃B接AC.

ZBCG=90°-ZABC=ABAC=-ZCOB=ZBCE,

2

tanZBCE=tanZCAB=tanZBCG=-=—=—.

2ACCG

/.AC=475,AB=10,CG=2BG=4,OG=3.

ZCGO=ZOHD

/.在COG和ODH中，＜/COG=/DOH,

OC=OD

:ACOGgAODH.

:.DH=OG=3,OH=CG=4.

..在RtABZW中，BD=3回.

方法三：

連接AC,即交于點K,連接AD.

又ZACB=ZADB=90°,

AC=4A/5.

/COD=90。,BO=CO,

:.ZCBD=ZCAD=45,

又ZACB=ZADB=90°f

ZDAK=ZDAK=45°,ZCBK=ZCKB=45°,

:.AD=DK,CK=BC=2非,

AK=AC-CK=245,

BK=^BC2+CK2=2A/10>DK2+AD2=AK2=20,

DK=>/10,

:.BD=BK+DK=3^W>■

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理以及推論，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知

識，明確題意，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.⑴見解析

⑵L

3

【分析】(1)由圓周角的性質(zhì)可得NAAD=90。，由等腰三角形的性質(zhì)可證/R4S=/B4C=/C=〃，可

^ZPAB+ZBAD=90,即可求解；

(2)通過證明PABS&ADB,可得箕=￡，可求8。的長，即可求解.

【詳解】(1)證明：AB=BC,

:.ZC=ZBAC,

4)是直徑，

:.ZABD=90,

AP=AE,

:.ZPAB=/BAC,

NC=ND,

.\ZPAB=ZBAC=ZC=ZDf

ND+/BAD=90,

ZPAB+ZBAD=90,

:.PA±AD,

又,4)是直徑，

二.PA是。的切線；

(2)解：AP=AE,ZABD=90%

:.PB=BE=-PE=3

2f

ZPAB=/D,ZABP=ZABD=90,

:二PABsADB,

.PB_AB

??瓦―訪’

.3_4

?7茄，

:.BD=—,

3

izr7

:.DE=BD-BE=——3=—.

33

【點睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確的作

出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.⑴①鳥②1-V2<Z?<1+V2

/C、1cyf2+1yfl-1

(2)1<a<2,<a<—

【分析】(1)根據(jù)定義得出ZAPS所對的弧為優(yōu)弧，90°<ZAPS<180°,進(jìn)而得出結(jié)果；

(2)以O(shè)C為直徑作I,求出直線y=f+b與(/相切時的b的值，進(jìn)而得出結(jié)果；

(3)求出以MN為直徑的/與砂相切時a的值，/與ERV相切時。的值，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：①如圖1,

.*.90°<ZAPB<180°,

???Z.0尸。=90°,4。尸2c<90。，900<ZOP3C<180°,

E是線段OC的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點”，

故答案為：片；

②如圖2,

圖2

以O(shè)C為直徑作（I,

當(dāng)y=-x+方切L/于點A或點8時，設(shè)其分別交y軸于點。，交無軸于E,

則AB_L直線y=-x+》，

:直線y=_尤+6,當(dāng)x=0時，y=b-

當(dāng)y=0時，x=b；

，直線y=-尤+6與X軸所成的銳角是45。，

ZAIC=ZOIB=45°,

：.OI=OF=\,

.??直線A3交y軸于點/（0,-1）,

BT^ZADF=ZAFD=45O,AF=V2+1,

二。尸=也〃=2+亞，

：.OD=DF-OF=?+1'

同理得出：￡7=同/=應(yīng)，

：.OE=6-1,

此時直線與y軸交于值,1-閭,

；.1-?<b<?+l；

當(dāng)以MN為直徑的，/與直線所相切于點A或點B時,

連接2A,

貝?IALEF,Ol=^2/A=卑'

當(dāng)《/在E尸左側(cè)時（除去A點），I--,0,

n-夜

2，

當(dāng)（/在E尸的右側(cè)時（除去切點）,

此時：。=迫二1,

2

-0-1

???-----―<a<2-，

如圖4,

此時M(1,0)或(2,0),

:.l<a<2,

綜上所述：J-&-1或1<。<2.

22

【點睛】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系等知識，解決問題的關(guān)鍵是將題意轉(zhuǎn)化為直

線和圓的位置關(guān)系.

7.(1)證明見解析

(2)CD=y

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

(1)作CD于點連接OC,OD,先由平行的性質(zhì)易得NZX?尸+NDOE=90。，再由切線的性質(zhì)

得ODJ.DE,進(jìn)而得N￡+"OE=90。，即可得=尸，再由垂徑定理和圓周角定理可得

ZDOF=~ZDOC,ZCBD=~ZDOC,繼而可得結(jié)論；

22

(2)作ZX7LAE于點G,設(shè)。的半徑為「，則。4=OD=r,OE=S-r,由勾股定理列方程得

/+7=(8-rf,解方程得r=3,進(jìn)而可得OE、0P的值，再由勾股定理可得。尸的值，最后由

CD=2DF可得答案.

【詳解】(1)證明：作CD于點/，連接OC,OD,如圖1,

ZDFO=90°,

■:CD//AB,

：.NDFO+NEOF=180°,

：.ZEOF=90°,

：.Z.DOF+Z.DOE=90°,

?；DE是。的切線，。是切點，

：.ODJ.DE,

：.ZE+ZDOE=90°,

ZE=ZDOF,

OC=OD,

：.ZDOF=-ZDOC,

2

?：ZCBD=-ZDOC,

2

JNDOF=ZCBD,

ZE=ZCBD；

(2)解：作于點G,如圖2

u：CD//AB,OFLCD于點F,

：.DG±CD,OF_LAE,

???四邊形。尸GO為矩形，

JDG=OF,

設(shè)，:。的半徑為一，則Q4=QD=〃，

???AE=8,

OE=S-r,

???在RtzXODE中，NODE=90°,DE=4,

：.r2+42=(8-r)2,

解得廠=3,

；?OE=5,

,：S=-ODDE=-GDOE,

nOnDFE22

ODDE12

，OF=DG=

OE5

???在中，DF=^OD2-OF2=|,

1Q

CD=2DF=——

5

8.(1)見解析

⑵舊

【分析】(1)連接。C,根據(jù)三角形中位線定理得到OC〃AD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OCLCE,根據(jù)切

線的判定定理即可得到結(jié)論;

(2)設(shè)AD交。于連接初，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到"=60。，根據(jù)圓周角定理得到

AC1BD,推出一ABD是等邊三角形，得到AB=AD=8C,/胡。=60。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

CD=2DE=2,根據(jù)勾股定理得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接OC,

AO=BO,BC=CD,

??.OC是,ABD的中位線

OC//AD,

CELAD,

：.OCICE,

OC是：。的半徑,

.?.CE是：。的切線;

(2)解：設(shè)AD交。于H,連接3”,

CE1AD,

:.ZCED=90°,

ZDCE=30°,

「.ZD=60。，

AB是。的直徑，

/.AC1BD,

BC=CD,

:.AB=AD^

...ABD是等邊三角形，

:.AB=AD=BC,ABAD=60°,

ZCED=90°,ZDCE=30°,DE=1,

:.CD=2DE=2,

：.AB=AD=BD=4,

AB=BD,BH±AD,

:.AH=DH=-AD=2,

2

BH=^AB2-AH2=2A/3

HE=DH-DE=1,

BE=yjBH2+HE2=713?

9.⑴見解析

（2）673

【分析】（1）連接CO,由“直徑所對的圓周角等于90?！笨傻肗CC?=90。，由“直角三角形中斜邊上的中線

等于斜邊的一半”可得尸。=尸3,進(jìn)而可得=又由Q4=QD可得/OD4=NA,則可得

ZPDO=90°,即可得證.

（2）先根據(jù)三角形外角定理可得NEPD=60。，進(jìn)而可得/E=30。，則OE=2OC=6,進(jìn)而可得

DE=9.在RtAPDE中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出PE的長.

【詳解】（1）證明：如圖，連接C。，

「AC是。的直徑，

:.ZCDB=90°.

在RtZiBCD中，點P為的中點,

:.PD=-BC=PB,

2

:.ZB=ZPDB,

OA=OD,

:.ZODA=ZA,

NACB=90。，

/.ZB+ZA=90°,

.?.NPDB+NODA=900,

NPDO=90。,

..OD1PD,

；?PD是，。的切線.

(2)解：ZB=ZPDB,且NB=30。，

:.ZPDB=30°,

/.ZEPD=NB+NPDB=60°,

NPDE=900,

.?.NE=30。，

ZACB=90°,

/.ZACE=90°,

:.OE=2OC=6,

QOD=3,

:.DE=OD+OE=9,

在Rt△尸DE中，cosZE=—=cos30°=—,

PE2

2￡=阜=搭=66

V3y/3

~T~T

【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，切線的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，直角三角形斜邊上

的中線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

10.(1)見解析

(2)AC=4行

【分析】(1)由為。的直徑得NAED=90。，由等邊對等角和等量代換得N5C4=NFE4,結(jié)合

NO￡F=NDAC可證/DAC+/BG4=NDE4+NAEF=90。，進(jìn)而可證5c為。的切線；

(2)證明=石得cosZAFE=g,求出6。=6,由勾股定理得求出AD=8,Z)C=10-6=4,再利用

勾股定理即可求出AC=4行.

【詳解】(1)證明：???A。為。的直徑，

JZAED=90°

,:BA=BC

：.ZBAC=ZBCA

,:EF=AF

：.ZBAC=ZFEA

???ZBCA=ZFEA

丁NDEF=NDAC

：.ZDAC+ZBCA=ZDEA+ZAEF=90°

:.ADJ.BC

:?BC為O的切線

(2)TBC為一。的切線

ZADE+ZBDE=90°

：.NB+NBDE=90。

:.ZB=ZADE

3

VcosZAFE=-

5

3

cosZB=—

5

.BD_3

**AB-5

.BD3

"10~5

：.BD=6

由勾股定理得，AD=8

,?BC=10

，DC=10-6=4

由勾股定理得，AC=475

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，等邊對等角，解直角三角形，以及勾股定理等知識，靈活

運用各知識點是解答本題的關(guān)鍵.

11.(1)H

(2)①OP與"相切.證明見解析析；②拋物線的頂點坐標(biāo)是或［，-三|

82

【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合、切線的證明、解直角三角形等知識，解題關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)

的性質(zhì)和切線判定定理進(jìn)行求解與證明.

(1)根據(jù)拋物線的對稱性求出頂點橫坐標(biāo)，然后判斷即可；

(2)連接尸過點M作又N_LOP于N,證明肱V=AM即可得到結(jié)論，由題意可得

PMMN/_________15

tanZPOM=--=—,ON=^MO2-MN2=2求出加二入，即可得到頂點坐標(biāo)；

OMON8

(3)求出點尸縱坐標(biāo)為1.5或2時的函數(shù)解析式，再判斷"的取值范圍即可.

【詳解】(1)解：：拋物線丁=改2+樂+4"工0)經(jīng)過4(1,0),3(4,0)兩點且頂點為尸，

則頂點尸的橫坐標(biāo)為彳=彳，

22

?.?在點E,F,G,H中，哈工的橫坐標(biāo)為

...在點E,F,G,X中，M的“圖象關(guān)聯(lián)點”是H；

故答案為：H；

（2）①。尸與，:M的位置關(guān)系是：相切.

AB為M的直徑,

M為AB的中點.

VA（l,0）,B（4,0）,

2

：.OM=-.

2

連接尸河，

?.?尸為（W的“圖象關(guān)聯(lián)點”，

...點尸為拋物線的頂點.

，點P在拋物線的對稱軸上.

二是43的垂直平分線.

二PM±AB

過點〃作MN_LQP于N.

Si&XOUlMVIrP=-2OM-PM=2-OPMN

?.?OP=-PM

3

???0尸與〃相切

②當(dāng)拋物線開口向上時,

???。尸與"相切

3

：.MN=AM=-,

2

PMMN_______

VtanZPOM=—=—,ON=<M(f-MN?=2，

3

.?_2

~~2

2

即點P的坐標(biāo)為

同理可得，當(dāng)拋物線開口向下時，點P的坐標(biāo)為［3-區(qū)）

,拋物線的頂點坐標(biāo)為（I，。］或||，-藍(lán)］

（3）由（1）可知，頂點P的橫坐標(biāo)為由（2）可知M的半徑為1.5,

2

已知C（4,2）,￡>（1,2）,當(dāng)M的“圖象關(guān)聯(lián)點“尸在|M外且在四邊形ABC。內(nèi)時，

頂點P的縱坐標(biāo)范圍是大于1.5且小于2,

當(dāng)拋物線頂點坐標(biāo)為（2.5,2）時，設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2.5y+2,把A。,0）代入得，

Q

0=Q（1—2.5）2+2,解得，ci=——；

當(dāng)拋物線頂點坐標(biāo)為（2.5,1.5）時，設(shè)拋物線解析式為y=〃（x-2.5>+1.5,把A（l,0）代入得,

2

0=6?（1-2.5）2+1.5,解得，〃=一§；

⑵S&OBE=E"

【分析】本題主要考查了垂直平分線的判定、三角形的外心、圓切線的性質(zhì)、平行線的判定，等邊三角形

的判定與性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角、勾股定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點推

理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三等分點，得出AO=DC=AC，ACD內(nèi)接于。，推出AD=OC=AC,點。是AC。的外

心，得出ASLCD,根據(jù)切線的性質(zhì)，得出3EJLAB,根據(jù)“同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線

平行”，即可得證CD〃BAf；

(2)連接。3,由(1)得AD=OC=AC,ABLCD,BE工AB,得出二ACD是等邊三角形，

ZABE=90°,得出NC4￡>=60。，計算出角度NEAB=30。，NA￡B=60。，根據(jù)“直徑所對的圓周角是直

角”，得出/AD3=N3DE=90。，求出"3E=30。，根據(jù)“30。角所對的直角邊是斜邊的一半”，結(jié)合勾股

定理，推出鹿二？%,OB=>j3m,根據(jù)三角形面積公式，計算S.BE=；xBExO8,得出答案即可.

【詳解】(1)證明：：點A、C、。為(O的三等分點，

AD=DC=ACAC￡>內(nèi)接于？。，

.?.?ir)=DC=AC,點。是,ACD的外心，

.?.點A、。在線段C。的垂直平分線上，

AB1.CD,

,過點8作O的切線

BE±AB,

：.CD〃BM；

(2)解：如圖，連接Q8,

;由(1)得：AD=DC=AC,ABLCD,BE上AB,

.?…ACO是等邊三角形，ZABE=90°,

：.ZG4D=60°,?EAB-?CAD-^60=30?,

22

ZAEB=90°-30°=60°,

：A3是C。的直徑，

?.ZADB=NBDE=90。,

：.?DBE90??AEB30?,

又：DE=m,

BE=2DE=2m,BD=BE2-DE2=^(2/n)2-m2=6m，

又；在RtAADB中，ZZMB=30°,

/?AB=2BD=2?i,OB=^AB=拒m,

2

在RtOBE中，SOBE=；xBExOB=^-x2mxs[3m=A/3/7/.

13.⑴見解析

（2）見解析

【分析】本題考查切線的判定，等腰三角形三線合一，關(guān)鍵是通過作圖構(gòu)造等腰三角形和三線合一.

（1）根據(jù)要求即可畫出圖形即可；

（2）根據(jù)等腰三角形三線合一即可解決問題.

在。。中，點A,B,。在〈。上,

AB=OM,

OC=-AB=-OM,

22

:.OC=MC.

PO=PM,

:.PC±OM（在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合）.

???直線PC是O的切線（經(jīng)過半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線）

同理可證，直線是；。的切線.

故答案為：在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合，經(jīng)過半徑的外

端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線.

14.（1）見解析

⑵3

【分析】(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，平行線的性質(zhì)可得出OD，BC,然后根據(jù)垂徑定理即可得

證；

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)以及(1)的結(jié)論可證明四邊形CEDE是矩形，則DE=CF=1,根據(jù)垂徑定理得出

BE=CE=3BC=2,在RtBOE中，根據(jù)勾股定理求出OE,然后根據(jù)三角形中位線定理求解即可.

【詳解】(1)證明：???48是：。的直徑，

ZC=90°,

OD//AC,

：.Z(9￡B=ZC=90°,

OD±BC,

?*-BD=CD；

(2)解:如圖，

*/。的切線，

ODLDF,

又OD工BC,ZBCF=1800-ZACB=90°,

四邊形CEDE是矩形，

DE=CF=1,

,：OD1BC,BC=4,

：.BE=CE=-BC=2,

2

在Rt3OE中，BO2=OE2+BE2,

/.(OE+l)2=OE2+22,

3

解得OE=],

VBO=AO,BE=CE,

：.AC=2OE=3.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌

握上述知識并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

15.(1)補全圖形見解析，直線OE與圖形GQO)只有一個公共點，或直線。E與。相切，證明見解析

（2）D￡=A/21

【分析】本題考查了圓的切線證明、垂徑定理、勾股定理等知識點，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

（1）由題意得圖形G是以點。為圓心，［AB為半徑的圓；連接0D,可證直線DE與，O相切;

（2）過點。作OGLA廠于點G.可得AG=1AF=2,推出四邊形。OGE是矩形；根據(jù)

2

OG2=OA2-AG2=52-22=21,即可求解；

【詳解】（1）解：補全圖形；

結(jié)論：直線DE與圖形G（C。）只有一個公共點，或直線。E與。相切

證明：連接0D,

OB=OD,

：.ZBDO^ZB,

,?AB=AC,

NC=N3,NBDO=NC,

：.DO//CA,

'：DE.LAC,

：.DOLDE,

:點。在圖形G（CO）上，

.??直線OE與圖形G（＜。）只有一個公共點.

（2）解：過點。作OGLAR于點G.

AG=-AF=2

2

'：DEJ.AC,DOLDE,

.??四邊形。OGE是矩形，

ADO=EG=5,DE=OG,

在RtOGA中，OA=DO=5,

，OG2=OA2-AG2=52-22=21,

?*.OG=V21（舍負(fù)），

?*-DE=標(biāo).

B

CEAF

16.⑴見解析

⑵2+20

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì).

（1）連接CO,由切線的性質(zhì)得/OB4+NOC4=180。，再由四邊形內(nèi)角和得NA+N8OC=180。，由平角

的性質(zhì)得NCOE+/30c=180。，進(jìn)而得/COE=NA,再由垂徑定理得/COE=/OOE,繼而可得結(jié)論；

（2）過點C作〃，居于點先由已知得四邊形是矩形，進(jìn)而得CM=3E,BM=CE,

CE//AB,結(jié)合（1）易得QEO是等腰直角三角形，進(jìn)而可得AM=CM=2E=2+夜，

BM=CE=^,，再由AB=AM+3Af即可得出答案.

【詳解】（1）證明：如圖，連接CO,

OCA.AC,OBLAB,

：.ZOS4+ZOC4=180°,

ZA+ZBOC=180°,

又??NCOE+ZBOC=180°,

ZCOE=ZA,

'：CE=DE,OC=OD,

：.OEYCD,OE平分NCOD,

NCOE=NDOE,

：.ZA=ZDOE；

(2)解：如圖，過點C作Q/1加于點M,

VOBLAB,OELCD,CMLAB,

：.ZCMB=ZBME=ZBEC=ZECM=90°,

四邊形CEBM是矩形，

；.CM=BE,BM=CE,CE//AB,

：.ZA+ZACE=1SO°,

???OD//AC,

：.ZACD+ZODC=180°,

：.ZA=ZODC,

由⑴得NA=NDOE,

NODE=NDOE,

：.OE=DE,

是等腰直角三角形，

/ODE=/DOE=NA=45°,

/ACM=45°,

AM=CM,

，。的半徑為2,即OD=O3=2,

OE=ED=CE=yf2，

:.AM=CM=BE=2+&，BM=CE=母,

AB=AM+BM=2+2g.

17.（1）圖見解析

（2）90,直徑所對的圓周角是直角，經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【分析】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、圓周角定理、圓的切線的判定定理，熟練掌握圓的切線

的判定定理是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題中的作法步驟：根據(jù)線段垂直平分線和圓的畫法即可得；

（2）先根據(jù)圓周角定理可得/PCO=90。，再根據(jù)圓的切線的判定定理即可得證.

【詳解】（1）解：使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形如下：

（2）證明：連接OC.

尸是0M的直徑,

=90°（直徑所對的圓周角是直角）.

OCVPC.

:oc是。的半徑，

.?.直線PC是，。的切線（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）.

故答案為：90,直徑所對的圓周角是直角，經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

18.⑴①G（。，6），60；0<&<>/3+2

（2）最大值和最小值分別為占和1

【分析】（1）①反向思考，作出。關(guān)于點"的對稱圓。'，只要滿足C2（2,0）,C3（0,右）在

o'上或內(nèi)部，均符合題意，先根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出加，再求出根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即

可求解；

②同上作出）0關(guān)于點〃的對稱圓O',連接。AO'BO'M,可求/ONB=O3A=30。，ZAO,B=120°,

貝|JNACB=6O°,故A3的“60。關(guān)聯(lián)點”在優(yōu)弧AC2上（不包括端點），若直線y=-氐+b上存在AB的

“60。關(guān)聯(lián)點”，貝U直線丫=-岳+》與優(yōu)弧AC2上（不包括端點）有交點，當(dāng)直線>=-屈+6經(jīng)過點A

時，把代入y=-J5x+b,求出/?=0,當(dāng)直線y=+b與。相切時，記切點為H,連接

O'H,記直線與％y軸交于點U,T,TOtanT=—=—,則NT=30。，過。作O'R〃，軸

OT3

_（\Ry_

交直線丫=-&+6于點R,求出點尺石,12，代入y=-瓜+b,求得：b=6+2,那么

（22J

0<b42+百時，直線y=-6x+）上存在的“60。關(guān)聯(lián)點”；

（2）先確定點C在以。為圓心行為半徑的圓上，對于弦AB，我們固定點3。,0），調(diào)整點A位置即可,

同上作出。關(guān)于點M對稱的O',則根據(jù)關(guān)聯(lián)點的定義可知：點C首先需要在。關(guān)于點M對稱的O'

上或者內(nèi)部（不包括A、B）,以為底邊，作頂角為120。的等腰.ABH,由圓周角定理可得

ZACB=60°,故點C又得在以H為圓心，曲為半徑的優(yōu)弧AB上，那么優(yōu)弧AB必須與以。為圓心行為

半徑的圓有交點，才符合題意，當(dāng)優(yōu)弧A8必須與以。為圓心石為半徑的圓相切時，A3最小，設(shè)切點為

點K,由圓的對稱性可知共線，MKA.AB,設(shè)=則同上可得

AM=MB=#>x,AH=HK=2x,由OM+MH+HK=OK,得至（j+x+2x=6，解得：x=—,

6

則A3=2jlr=l,當(dāng)O'恰好經(jīng)過優(yōu)弧A8時，此時AB最大，那么此時