專題07數(shù)列

?HI

2025高考真題

一、單選題

1.（2025?全國(guó)二卷?高考真題）記S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若53=6,邑=-5,則久=（）

A.—20B.—15C.—10D.—5

【答案】B

【分析】由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項(xiàng)4和公差”的方程求出首項(xiàng)可和公差"，再由等差

數(shù)列前〃項(xiàng)和公式即可計(jì)算求解.

、f3a[+3d=6[d=—3

【詳解】設(shè)等差數(shù)列（。"的公差為"，則由題可得<I<,

[5。]+1?！?一5[q=5

所以$6=64+15d=6x5+15x（—3）=75.

故選：B.

2.（2025?北京?高考真題）已知｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，q=-2,若的,%，4成等比數(shù)列，則〃io=（）

A.-20B.-18C.16D.18

【答案】C

【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,（dw。），

因?yàn)閍3M414成等比數(shù)列，且〃1=-2,

所以即（-2+34）2=（_2+2d乂-2+5"）,解得d=2或d=0（舍去）,

所以%o=%+9d=—2+9x2=16.

故選：C.

1/42

3.（2025?天津?高考真題）S'=-"+8〃，則數(shù)列仙小的前12項(xiàng)和為（）

A.112B.48C.80D.64

【答案】C

【分析】先由題設(shè)結(jié)合=S“-ST求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再結(jié)合數(shù)列｛%｝各項(xiàng)正負(fù)情況即可求解.

【詳解】因?yàn)镾“=-/+8〃，

所以當(dāng)〃=1時(shí)，/=H=-12+8X1=7,

當(dāng)“W2時(shí)，=S"+8〃）一[—（〃-1）+80/-1）]=—2〃+9,

經(jīng)檢驗(yàn)，q=7滿足上式，

所以%=-2〃+9（”eN"）,令a“=-2”+920="V4,an=-In+9<0=>n>5,

設(shè)數(shù)列Ml｝的前〃項(xiàng)和為北，

則數(shù)列｛㈤｝的前4項(xiàng)和為7；=54=4+8x4=16

數(shù)列仙』｝的前12項(xiàng)和為

T],=…+卜]2|=%+?+%+%_“5_“6-%2

2

=2S4-S12=2X16-（-12+8X12）=80.

故選：C

4.（2025?上海?高考真題）已知數(shù)列｛%｝、也｝、匕,｝的通項(xiàng)公式分別為%=10"-9,bn=2'\,

0“=24+（1-田”.若對(duì)任意的2?0,1],a“、b”、c”的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)”有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.1個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【答案】B

【分析】由的="+（1-幾）”可知。“范圍，再由三角形三邊關(guān)系可得為也,c,的不等關(guān)系，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)解

不等式可得.

【詳解】由題意％也C>0,不妨設(shè)/（〃,4）,3（"也）,C（〃,c.）,

三點(diǎn)均在第一象限內(nèi)，由。"=7%+（1-⑷，可知，BC=ZA4,Ae[0,l],

2/42

故點(diǎn)C恒在線段上，則有min{a“也}Wc“<max\an,bn}<an+bn.

即對(duì)任意的4e[0,1],%<%+6“恒成立，

令10無(wú)一9=2*,構(gòu)造函數(shù)/(x)=2'-10x+9,x>0,

則八x)=2-2-10,由/''(X)單調(diào)遞增，

又廣⑶<0,八4)>0,存在％e(3,4),使/'(%)=0,

即當(dāng)0<x<x°時(shí)，r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>x0時(shí),r(x)>0,/(X)單調(diào)遞增；

故“X)至多2個(gè)零點(diǎn)，

又由〃1)>0,/(2)<0,/(5)<0,/(6)>0,

可知/(X)存在2個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)再,苞(不</)，且玉e(1,2),%e(5,6).

①若a"Wb“,即10〃_9V2"時(shí)，此時(shí)〃=1或"26.

則a“4C"4"，可知或+g成立，

要使巴、4、，的值均能構(gòu)成三角形，

所以?！?c”>”恒成立,故，<2an,

所以有I。""'，解得〃=6；

[2"<2(10"9)

②若見(jiàn)地,即10〃-922"時(shí),此時(shí)〃=2,3,4,5.

則可知?！?c”>"成立，

要使。"、4、%的值均能構(gòu)成三角形，

所以。+9>見(jiàn)恒成立,故。“<2”，

所以有110〃-9<2用'解得"=4或5；

綜上可知，正整數(shù)"的個(gè)數(shù)有3個(gè).

故選：B.

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5.（2025?全國(guó)二卷?高考真題）記S,為等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，9為｛%｝的公比，q>0,若號(hào)=7,%=1，

則（）

C.S$=8D.??+S?=8

【答案】AD

【分析】對(duì)A,根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前"項(xiàng)和公式得到方程組，解出％國(guó)，再利用其通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)

和公式一一計(jì)算分析即可.

%=4

aa=111

【詳解】對(duì)A,由題意得H2r，結(jié)合4>0,解得1或1（舍去），故A正確;

+aq+aq=7q=-=

ll、/ID

對(duì)B,貝!]Q5=%/=4=—,故B錯(cuò)誤；

1——

%

對(duì)C,S5132故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,an=4x

則。"+S“=23-"+8-23-"=8,故口正確;

故選：AD.

6.（2025?上海?高考真題）己知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)%=-3,公差d=2,則該數(shù)列的前6項(xiàng)和為.

【答案】12

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【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S6=6%+/〃=12.

故答案為：12

7.(2025?全國(guó)一卷?高考真題)若一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前4項(xiàng)和為4,前8項(xiàng)和為68,則該等

比數(shù)列的公比為.

【答案】2

【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和的定

義，得到關(guān)于“的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前"項(xiàng)和性質(zhì)得到關(guān)于“的方程，解之即可

得解.

【詳解】法—：設(shè)該等比數(shù)列為｛4｝,邑是其前〃項(xiàng)和，則$4=4,$8=68,

設(shè)｛%｝的公比為q(q>0),

當(dāng)q=l時(shí)，邑=4%=4,即q=1,貝!]$8=8%=8/68,顯然不成立，舍去；

兩式相除得冷中,即

則1+/=17,所以4=2,

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

法二：設(shè)該等比數(shù)列為｛七｝,S,是其前”項(xiàng)和，貝！]邑=4,$8=68,

設(shè)｛0｝的公比為“伍>0),

所以邑=。［+42+%+。4=4,

+/+%++%

=%+。2+。3+。4+。2夕+。40

5/42

=(%+4+%+&)(i+q4)=68,

所以4(1+力=68,則1+/=17,所以4=2,

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

法三：設(shè)該等比數(shù)列為｛%｝,5,是其前〃項(xiàng)和，則邑=4,$8=68,

設(shè)｛叫的公比為q(q>0),

因?yàn)?8_$4=。5+。6+。7+。8=(。1+。2+%+&)/=68—4=64,

又8=%+〃2+。3+〃4=4,

所以心V邑="=4=16,所以q=2,

d44

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

四、解答題

8.(2025?全國(guó)一卷?高考真題)設(shè)數(shù)列｛g｝滿足%=3,號(hào)=3+舟萬(wàn)

(1)證明：｛〃g｝為等差數(shù)列；

2m

(2)設(shè)/(x)=a1x+a2x+L+amx,求/'(一2).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)+

【分析】(1)根據(jù)題目所給條件」包=3+不^化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論；

(2)先求出｛%｝的通項(xiàng)公式，代入函數(shù)并求導(dǎo)，函數(shù)兩邊同乘以x,作差并利用等比數(shù)列前“項(xiàng)和得出導(dǎo)

函數(shù)表達(dá)式，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)由題意證明如下，〃eN*,

6/42

/.(?+l)a?+1=nan+l,即(zj+l)--%=1,

是以為=3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

(2)由題意及(1)得，“eN*,

在數(shù)列｛〃?！埃?，首項(xiàng)為3,公差為1,

2

/.nan=3+lx(n-l),艮|3%=1+—,

2m

在f(x)=axx+a2x+???+amx中,

f(x)—3x+212----1~xm,/'(x)=3+4x+…+(加+2*T

/'(x)=3+4xd—+(m+2)xW1-1

=3x+4x2H—++2)xm

當(dāng)xwl且"0時(shí),

x

??(1-x)/'(x)=3+x+x2H---Fxm~]-[m+2)xm=3H——

?2)=31-2[l-(-2門(加+2卜21

1-(-2)[1-(-2)]2J卜2)

1J-2)[l-(-2)y(加+2)(-2)，

2(-2)…+2)(-2)

99

7(3〃z+7)(-2)'

9.(2025?天津?高考真題)已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，低,｝是等比數(shù)列，%=4=2,電=4+1，。3=

⑴求｛%｝，｛￡｝的通項(xiàng)公式；

7/42

（2）V?GN*>/e{O,l},有北={pwe]+p2a2打+…+P"T%-瓦I+PMAJPI，P2,…,P,T，P"E/}，

(i)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)小北,均有/<氏+也用;

(ii)求北所有元素之和.

【答案】⑴―也=2'；

(2)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)2"-1.[8+(3?-4)2"+1]

【分析】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為"，數(shù)列他,｝公比為以《二0),由題設(shè)列出關(guān)于〃和q(qNO)的方程求解,

再結(jié)合等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解；

(2)(i)由題意結(jié)合⑴求出。"+a+1和。凸4+。2a也+…/也的最大值,再作差比較兩者

大小即可證明；

(ii)法一：根據(jù)百,P2,…,P”T，P“中全為1、一個(gè)為0其余為1、2個(gè)為0其余為....全為0幾個(gè)情況將「

中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后將所有系列所得的和加起來(lái)即可得解；

法二：根據(jù)(元素的特征得到(中的所有元素的和中各項(xiàng)。也2,出現(xiàn)的次數(shù)均為2”T次即可求

解.

【詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為"，數(shù)列也｝公比為q(qNO),

2+d=2q+1

則由題得

2+2d=2q2

所以&=2+3（.-1）=3"-1也=2><2"一i=2n；

（2）（i）證明:由⑴P/也=（3〃-1）23=0或4°也=（3“-1）2”>0,用=⑶?+2）2用，

當(dāng)"。也=（3"-1）2">0時(shí)，

設(shè)E,=。問(wèn)4+。2。2&+…+=2x2+5x22+...+（3所4）2"」+（3"-Ip",

所以2S,,=2x2?+5x2,+...+（3〃一4）2"+（3〃-1）2用，

所以-5“=4+3、（22+23+...+2"）-（3〃-1）2角=4+3、^^1-（3"-1）2向=-8+（4-3"2向，

1-2

所以S=8+（3I）2用,為北中的最大元素，

8/42

此時(shí)。"他+「=(3"+2)2向-[8+(3〃-4)2“=6?2"+1-8>0恒成立，

所以對(duì)V/eT；,均有/也+i.

(ii)法一：由⑴得5“=8+(3〃-4)2向，為注中的最大元素,

由題意可得T?中的所有元素由以下系列中所有元素組成：

當(dāng)RM?,...,。.」。"均為1時(shí)：此時(shí)該系列元素只有5“=8+(3〃-4)2用即C：個(gè)；

當(dāng)PI，P2，...，P?T，P"中只有一個(gè)為0,其余均為1時(shí)：

此時(shí)該系列的元素有S”-。瓦S“-。2%區(qū)-aibi,...,Sn-anbn共有C；個(gè)，

則這“個(gè)元素的和為cl,,-(3+貼2+…+3)=?-《凡；

當(dāng)Px，Pl，-,Pn^Pn中只有2個(gè)為0,其余均為1時(shí)：

此時(shí)該系列的元素為S.-a^-ajbj(力e{1,2,…"/)共有C；個(gè)，

則這〃個(gè)元素的和為C況-C"(噌+a2b2+…+。也)=?-%)Sni

當(dāng)口,〃2,…,。"T，P”中有2個(gè)為0,其余均為1時(shí)：此時(shí)該系列的元素為

S"-她r*L。也左e{1,2,/"上)共有C：個(gè)，

則這〃個(gè)元素的和為C漢-C"(她+a2b2+...+anbn}=?-C3)S”；

當(dāng)口，2，...,21，°“中有”_1個(gè)為0,1個(gè)為1時(shí)：此時(shí)該系列的元素為。瓦。24，也共有C/個(gè),

則這〃個(gè)元素的和為C/S“-C學(xué)(3+碰+...+地)=(C：T-Cf居；

當(dāng)月,2,P,T，2均為0時(shí)：此時(shí)該系列的元素為0=(C：-C：：；)S),即C；=1個(gè)，

綜上所述，4中的所有元素之和為

s.+(C-i)s.+(C-cL)S.+(c；-c3)S.+...+(c7-cH)S"+o

=[?+《+...+0^+a)一(4+c>..y+，他

1+1

=(2"-2"-)S?=21Sn=2"T-[8+⑶l4)2"]；

法二：由(i)得S“=8+(3〃-4)2向，為(中的最大元素，

9/42

由題意可得

T"=｛S",S”-她,S“-她“-她-ae-a也,…，她+%%她,0｝,（，,）,左e｛1,2,..”｝/Wj手k）,

所以Z,的所有的元素的和中各項(xiàng)咕（ze｛1,2,...,〃｝）出現(xiàn)的次數(shù)均為C3+CM+...+C^+C：2；=2”一次,

所以北中的所有元素之和為2啟（地+出4+…+?A）=2"TSn=2f[8+（3〃-4）2"1.

....?91___

.2025高考模擬題

一、單選題

1.（2025?陜西漢中?三模）已知等差數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為邑，若%+%=12,則與=（）

A.30B.40C.60D.120

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求品,.

【詳解】因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，故洋=1°（"；"'=5&+。7）=6故

故選：C.

2.（2025?江蘇南通?三模）在等比數(shù)列｛對(duì)｝中，％/7=8,%+&=20,則。4=（）

A.36B.±6C.-6D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】等比數(shù)列包｝中6a7。68,??。6=2,^^218,

a4=±yja2a6=±6,由于%故%＞。，所以〃4=6,

故選：D.

3.（2025?山東青島?三模）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有“分錢問(wèn)題”：現(xiàn)有5個(gè)人分5錢，5

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人分得錢數(shù)依次成等差數(shù)列，前兩人分得錢數(shù)之和等于后三人分得錢數(shù)之和，則分得錢數(shù)最少的一人錢數(shù)

為()

A.-B.YC.—D.—

3236

【答案】C

【分析】設(shè)第所得錢數(shù)為凡錢，設(shè)數(shù)列可、出、/、%、%的公差為人根據(jù)已知條件

可得出關(guān)于q、d的值，即可求得出的值.

【詳解】設(shè)第"(lW"V5,〃eN*)所得錢數(shù)為.”錢，則數(shù)列多、電、％、&、生為等差數(shù)列，

設(shè)數(shù)列。1、出、％、。4、a5的公差為1，

fc.[4

_5x47ci,——

則5al1H----2--d—5，解得3a故牝=為+4/=^4_4x!1=2!.

2a,+d=3a+9dd=——‘'"

1]I6

故選：c

4.(2025?山西呂梁?三模)已知等差數(shù)歹支。“｝的公差1>0,%=1,蠟一/=9,則"=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將出、與用生和1表示出來(lái)，再代入已知等式求解

【詳解】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式%=%+(〃-1R可得：出=%+”，

已知41=1,所以。2=1+d；a3=ax+2d=\+2d.

將%=l+d,%=1+2〃代入=9可得：(1+t/)2-(1+2(7)=9,

貝！11+21+屋一1-2d=9,化簡(jiǎn)可得：屋=9,解得d=3或d=-3.

因?yàn)橐阎頳>0,所以舍去d=-3,得到d=3.

故選：B.

5.(2025?遼寧大連三模)已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為工，=253-52+6,a2=1,則a$=()

A.16B.32C.27D.81

11/42

【答案】c

【分析】應(yīng)用S"-S.T=??,再結(jié)合等比數(shù)列基本量運(yùn)算計(jì)算求解.

【詳解】因?yàn)镾4=2S-$2+6,%=1,則凡一國(guó)二員一邑+6,

所以&=。3+6,

因?yàn)椤?=1,所以=q+6,q>0,

所以4=3或q=-2舍，

所以。5=1'33=27.

故選：C.

6.（2025?湖南岳陽(yáng)?三模）已知工為正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，%%%=%/，$3=7,則%=（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】等比數(shù)列的性質(zhì)可得%=1，即％/=1，再結(jié)合題干條件S3=7,利用等比數(shù)列求和公式，得到關(guān)

于’的一元二次方程，解出公比即得％的值.

q

【詳解】由題意，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的公比為其中9>0,

1

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知=。4。8，由題干可得。3=1，即％夕?=1=%==，

q

若9=1,則S3=3%=3,不合題意，故

所以S產(chǎn)業(yè)內(nèi)=業(yè)皿5M（1+4+力馬（1+4+0二+'1=7，

解得'=2或1=-3（舍去），故為=4=4.

qqq

故選：c.

7.（2025?北京海淀?三模）漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長(zhǎng)退休年齡.對(duì)于男職工,

新方案將延遲法定退休年齡每4個(gè)月延遲1個(gè)月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲至六十

三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對(duì)照表如表所示：

12/42

1965年1月一41965年5月一81965年9月一121966年1月一4

出生時(shí)間

月月月月

新方案法

定退休年60歲+1個(gè)月60歲+2個(gè)月60歲+3個(gè)月60歲+4個(gè)月

齡

那么1970年5月出生的男職工退休年齡為（）

A.61歲+4個(gè)月B.61歲+5個(gè)月

C.61歲+6個(gè)月D.61歲+7個(gè)月

【答案】B

【分析】解法一：出生年月在1965年1月一4月的人的法定退休年齡記為外,出生年月在1965年5月一8

月的人的法定退休年齡記為的,出生年月在1965年9月一12月的人的法定退休年齡記為名，…，分析可

知數(shù)列｛4｝構(gòu)成等差數(shù)列，求出該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求出％7,即可得解；

解法二：利用枚舉法：出生年齡每延后一年，退休年齡延后三個(gè)月，可得結(jié)果.

【詳解】解法一：根據(jù)題意，出生年月在1965年1月一4月的人的法定退休年齡記為可,

出生年月在1965年5月一8月的人的法定退休年齡記為。2，

出生年月在1965年9月―12月的人的法定退休年齡記為的，???）

則｛%｝構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)生=60歲+1個(gè)月，公差d為1個(gè)月，可得%=60歲+〃個(gè)月.

依此規(guī)律，1970年5月出生的男職工，他的退休年齡應(yīng)該是｛%｝的第17項(xiàng)，

即他的退休年齡為%=60歲+17個(gè)月=61歲+5個(gè)月.

解法二：利用枚舉法：出生年齡每延后一年，退休年齡延后三個(gè)月.

出生年

退休年齡

齡

1965.560歲+2個(gè)月

13/42

1966.560歲+5個(gè)月

1967.560歲+8個(gè)月

60歲+11個(gè)

1968.5

月

1969.561歲+2個(gè)月

1970.561歲+5個(gè)月

故選：B.

為偶數(shù)

8.（2025?山東臨沂?三模）在數(shù)列｛%｝中，已知q=1,，貝=（）

??+i1

為奇數(shù)

A333365

A.五B.—C.—D.

6464128

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出41即可求解.

a

【詳解】依題意，2n+\=；（電n—1+;）,則如〃+1一萬(wàn)=；（。2〃一1一；），而“「；二；，

因此數(shù)列｛々1-4是以;為首項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列，

222

則*-;=（；）"，*=1+（；）"，所以當(dāng)”=6時(shí)，?H=1+（|）6=||.

故選：B.

9.（2025?河南三門峽?三模）己知數(shù)列㈤｝的前〃項(xiàng)和是S,,若邑=（-1嚴(yán)%+"（〃22）,〃eN*,貝!1電。25

（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】由數(shù)列的通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系，分別令”=2027,?=2026,解方程可得所求值.

14/42

【詳解】數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和是S",若S"=（-1F4+"（壯2）,〃eN*,

則當(dāng)〃>2時(shí),=+

兩式相減可得?！?(-1)"+%-(-1)ZT+1(?>2),

當(dāng)”=2027時(shí)，^2027="2027+fl2026+1，解得。2026=11，

當(dāng)力=2026時(shí)，％026=—02026102025+1，解得02025=3，

故選：D.

10.（2025?江蘇蘇州三模）已知數(shù)歹滿足%=1,-=1一貝U（）

1

A.a〃+1>%B.an>-

C.1013a2025<1D.202542025<1

【答案】c

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，變形計(jì)算判斷AB；裂項(xiàng)，結(jié)合累加法求通推理判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,由-=1一;?！?，得?！盬0,。“一。用=44>0,貝!1?！?gt;。向，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由％=1,得。2=；，當(dāng)〃23時(shí)，4<：，B錯(cuò)誤;

對(duì)于CD,由資?1，得公_2_,則，=(2-%)+。"=吐+1

2-?！?〃+i％2-4

111111111n-\n+\

即——,則當(dāng)心2時(shí),=——+------+------+…+------——>l+-----=------

4+1ax2—〃]2—42—q122

EU1、〃+121…1013x21

—=1,因此一---1013a2025<二1，

ax%2H+12U2o

2025x2-2025x2,八十爆出、口

2025a2025<———,而…，>1,C正確，D錯(cuò)誤.

20262026

故選：C

11.（2025?重慶?三模）數(shù)列｛%｝滿足%+3=%+%+「4+2n>\,〃￡1^),又％=1,a2=L。3=2,則()

A.^2024=-1011B.^2024——1012

15/42

C.?2025=1013D.。2025=1014

【答案】C

【分析】求出前12項(xiàng)，觀察奇偶項(xiàng)規(guī)律可得，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)

為1公差為-1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝滿足4+3=?！?4+1-%,+2m21,”eN),且%=1,a2=1,%=2,

所以的=q+。2—“3=1+1—2=0;

〃5=%+〃3—〃4=1+2—0=3;

〃6二%+%―%=2+0—3=—1；

%=&+%—4=0+3—1)=4；

為=%+4—%=3+(—1)—4——2;

“9—%+%—"8=(-1)+4—(-2)—5;

。[0=%+/—%=4+(—2)—5=-3；

Q[]=〃8+%—Q]o=(-2)+5—(—3)=6?

a%=為+%0—1=5+(—3)—6=-4?

觀察奇偶項(xiàng)規(guī)律：

奇數(shù)項(xiàng)：％=1,。3=2,。5=3,%=4,旬=5,%1=6,構(gòu)成首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，

+]

令〃=2左一1,貝!!左二;一，通項(xiàng)公式為=。2"1=1+(左T)xl=k=;

偶數(shù)項(xiàng)：4=1，。4=。，“6=-1，。8=-2嗎0=-3嗎2=-4,構(gòu)成首項(xiàng)為1公差為-1的等差數(shù)列，

令〃=2左，貝！)左二1",通項(xiàng)公式為%=a2k=l+(A：-l)x(-l)=2-k=2-^,通項(xiàng)公式為=2—；,

2024

%024=2----=-1010,選項(xiàng)AB錯(cuò)誤；

%。25=202；+1=1013,選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤?

故選：C.

16/42

12.（2025?上海?三模）設(shè)數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為非零的整數(shù)，其前”項(xiàng)和為了“.設(shè)為正整數(shù)，若，一為正

偶數(shù)時(shí)，都有與22%恒成立，且邑=0,則耳。的最小值為（）

A.0B.22C.26D.31

【答案】B

【分析】不妨設(shè)%>。,。2<。，要使得品）取最小值，且各項(xiàng)盡可能小，根據(jù)題意，分別列出。4，?5>&，%,

%,g，%。，滿足的不等式組,，得到外的最小值2%,進(jìn)而求得％=1時(shí)，%有最小值,即可求解.

【詳解】因?yàn)橐?%+出=0,所以用，出互為相反數(shù)，不妨設(shè)4>0,電<0,

要使得凡取最小值，取奇數(shù)項(xiàng)為正值，取偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)值，且各項(xiàng)盡可能小，

由題意知,%滿足的?2%,取生的最小值為2%,

｛a.>2a,

則。5滿足｛、/，因?yàn)橥?gt;0,4%>2%,故取火的最小值4%,

[%22a3-4。]

。722%

%滿足,%>2%>4〃i,因?yàn)椋?gt;0,故取%的最小值8%,

%22a5-4%-齪

同理，取佝的最小值16%,所以％+%+%+%+〃9=%+2%+4%+8%+16%=31%,

〃4滿足。422〃2,取〃4的最小值2。2,

&滿足]“6],因?yàn)殡?lt;0,所以2%>42，取&的最小值2七，

[a6>2a4>4%一一一

（78>2a2

。8滿足,“822%24。2，因?yàn)椤?<°，所以2%〉4出〉82，取外的最小值22，

/22a6-4%-8%

同理，取。10的最力、值2。2，所以〃2+。4+。6+。8+。10=。2+2〃2+2〃2+2〃2+2〃2=9。2，

所以Eo=31%+9a2=31%-9al=22al,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為非零的整數(shù)，％>0,所以當(dāng)q=1時(shí)，耳。有最小值22.

故選:B.

17/42

二、多選題

13.（2025?廣西河池?二模）已知數(shù)列｛4｝滿足。用且％=2,則下列說(shuō)法正確的是（）

4+3

B.數(shù)列｛%｝是周期數(shù)列

C.［占］是等差數(shù)列

D.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為

3〃一1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，依次計(jì)算判斷A；變形給定的遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列定義判斷BCD.

、….,,U,—1111

【詳解】對(duì)于A,由％=2,得。2=不。3=—7Y=_7,A正確；

%+35%+34

2。+2_1_%,+3@+1)+2J?1

對(duì)于BC,由4+1+1得

?！?a

3n+i+1+22(%+1)2an+1

則」77一一1=；，數(shù)歹心占｝是首項(xiàng)為:，公差為;的等差數(shù)列，B錯(cuò)誤，c正確;

+1

??+i%+12%+132

對(duì)于D,六=鴻（"1）=:則氏+1=^，解得.消，口正確.

故選：ACD

14.（2025?四川成都?三模）已知公差為1的等差數(shù)列｛%｝滿足%,%，%成等比數(shù)列，則（）

A.a1=2

B.｛%｝的前〃項(xiàng)和為當(dāng)巴

C.的前8項(xiàng)和為I

J18

D.｛（-1）"一%“｝的前50項(xiàng)和為-25

【答案】ABD

18/42

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及等比中項(xiàng)列方程求解判斷A,由等差數(shù)列求和公式判斷B,利用裂項(xiàng)相

消法求和判斷C,根據(jù)通項(xiàng)公式并項(xiàng)求和可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椋?生，%成等比數(shù)列，所以為。7=。；，即。1（q+6）=（%+2丫，解得。|=2,故A正確;

對(duì)于B,｛%｝的前〃項(xiàng)和為“0；+1）=也曰,故B正確；

、1_1_1_____

對(duì)于C,因?yàn)椤ū?]（〃+1）（〃+2）〃+1〃+2'

所以;一-一|的前8項(xiàng)和為、一;++…+：_[=I'故C錯(cuò)誤；

23349102105

對(duì)于D,因?yàn)椋?1尸。,=（-1嚴(yán)（〃+1）,

所以｛（-1廣%“｝的前50項(xiàng)和為2—3+4—5+…+50-51=-25,故D正確.

故選：ABD

15.（2025?廣東茂名?二模）等差數(shù)列｛%｝中，%+%=-12,%+。7=2.記數(shù)列｛%｝前"項(xiàng)和為國(guó)，下列選

項(xiàng)正確的是（）

A.數(shù)列｛%｝的公差為2B.S“取最小值時(shí)，n=6

C.S4=S7D.數(shù)列M|｝的前10項(xiàng)和為50

【答案】AD

伉=—9

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得關(guān)于％,d的方程，解出'、，則得到S,,最后一一判斷選項(xiàng)即可.

[d=2

、f26/,+3d.=—12

【詳解】對(duì)A,設(shè)等差數(shù)列｛（%｝的公差為d,則由題意知[2；+10d=2，

[a,=—9

解得'c，故A正確；

[d=2

對(duì)B,%=一9+2（〃-=1,S〃=_9"+”《；l）x2=J2_]0〃=R—5戶25,

則當(dāng)〃=5時(shí)，S”取最小值-25,故B錯(cuò)誤；

2

對(duì)C,84=42—10x4=—24,S7=7-10X7=-21,則S"S7，故C錯(cuò)誤；

19/42

對(duì)D,數(shù)列｛㈤｝的前10項(xiàng)和為卜9|+卜7|+|/+|T+|T+l+3+5+7+9=5(,故D正確.

故選：AD.

16.(2025?湖北黃岡三模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，…^1^+3+%-則下列式子的值可以確

定的是()

A.Si。？B.EooC.%+404D.g+4oo

【答案】BCD

1

【分析】推導(dǎo)出。2升1+?2?-i=，a2n+2+a2?=4n+\,其中a2-at=1,a2+%的值不確定,然后利用分組求和

法可判斷AB選項(xiàng)；利用并項(xiàng)求和法可判斷CD選項(xiàng).

【詳解】由題意得，a"cos("兀)+%+]=〃，即=〃，〃eN*,

aa

所以。2“-=2〃-1,2n+l+2n=2”,a2?+2-?2?+1=2/2+1,neN,,

可得的"+1+々"-1=1，%"+2+%=4"+1,

由此可得數(shù)列中相鄰兩奇數(shù)項(xiàng)的和可以確定，相鄰兩偶數(shù)項(xiàng)的和可以確定，

其中%-4=1,%+%的值不確定.

對(duì)于A選項(xiàng)，$102=。1+。2+(%+。5)+(。7+%)+…+(。99+%01)

+(%+g)+(08+%<))+…+(%00+%02)，

其中出+4的值不確定，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，5100=。]+a2+??-+awo=(%+%)+(%+%)+…+(%7+為9)

+(。2+4)+(06+。8)^-----^(098+%00)，

每一組數(shù)都可以確定，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，%+"100=(02+04)+(06+08)+,,,+(“98+"100)

-[(&+%)+(%+%())+…+(。96+陽(yáng))]>

每一組數(shù)都可以確定，故選項(xiàng)D正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椤?“+1+。2”=2〃，故(%+%)+(%+。5)+…+(%02+。103)，

20/42

因?yàn)镾]04=(%+%)+(。5+%)+…+(%01+〃103)

+@+。4）+（。6+為）+…+（。102+。104），每一組數(shù)都可以確定，

則ax+404=$104-［（。2+。3）+（〃4+%）+…+（"102+。103）］為定值，故選項(xiàng)C正確.

故選：BCD.

17.（2025?湖南長(zhǎng)沙?三模）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S〃，6=1,且卜用-“/=/,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.若｛%｝是遞增數(shù)列，且3%、4電、5%成等差數(shù)列，貝蜂=：

B.若0=；，且｛%-｝是遞增數(shù)列，｛%｝是遞減數(shù)列，貝1H=；+3詈

C.若°=1,則存在數(shù)列｛%｝,使得當(dāng)〃=4可左eN*）時(shí)，Sn=n

D.若P=l,則存在數(shù)列｛%｝,使得當(dāng)w="_l,eN*）時(shí)，S"=〃

【答案】ABC

【分析】由｛%｝是遞增數(shù)列，先得到再由3%,4電,5%成等差數(shù)列，q=1,列出方程求出。的

值，即可得出結(jié)果，可判斷A選項(xiàng)；先由題中條件，得到a2n-a2n_x>0,出“+「出。<0，推出。角-%=七歲，

再由累加法，即可求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，可判斷B選項(xiàng)；由|。用-。"|=1,得到°用=2±1；討論〃=4左

或”=4%-3（左eN*）；〃=4左-2或"=4左兩類情況，即可分別得出結(jié)論，可判斷CD選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?｝是遞增數(shù)列，所以。用-%=|。向-?！皘=".

因?yàn)閝=1,所以電=1+。，%=1+P+/.

又因?yàn)?%、4a2、5%成等差數(shù)列，所以8電=3%+5%,

即8（l+p）=3+5（l+p+p2）,即5P2-3P=0,解得P=0或P=|.

當(dāng)p=o時(shí)，an+l=a?,這與｛見(jiàn)｝是遞增數(shù)列相矛盾，所以P=g,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋鲇酢皇沁f增數(shù)列，則有%用-&a>0,

21/42

于是（。2"+1—"2"）+（。24—。①

因?yàn)?<J，所以|%+1-%|-②

由①、②得，a2n~a2n-l>°，

因此。2〃一。2〃-1O,即a2n-42〃-1=til③

又因?yàn)椋?,｝是遞減數(shù)列，則有。2"+2-。2”<°，于是（%+2-%+1）+（%“+1-。20）<°④

因?yàn)榻餽<:，所以|。2〃+2—，2〃+11<|“2〃+1—a2nI⑤

由④、⑤得，?2?+i~a2?<0,

因此出向一%=一［］，即出向一%=式二⑥

由③、⑥可得.“+「g=界〉

于是當(dāng)〃22時(shí)，%=%+(%-％)+Q-％)+…+3〃

1"尸

="」+…+?=l+k工9)

M-1

3323”T31+1443