2024-2025學(xué)年廣東省深圳外國語學(xué)校高二（下）期末

數(shù)皿「學(xué)，、憶試\_r卷x▲

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知五=（1,2）,b=（m,3）,若41（3--，則實數(shù)m=（）

A.-2B.2C.-1D.1

2.二項式（*一工）6的展開式中/的系數(shù)為（）

A.160B.60C.-160D.-60

3.某智能機(jī)器人公司從某年起7年的利潤情況如表所示，y關(guān)于x的回歸直線方程是y=0.5X+2.3,則該智

能機(jī)器人公司第4年利潤的殘差是（）

第1年1234567

利潤y億元2.93.33.6m4.85.25.9

A.0.1億元B.0.2億元C.-0.1億元D.-0.2億兀

4.已知角a終邊上一點P(2,l),則寰等=()

11

A.-3B.——C.—D.3

5.記為為等差數(shù)列｛時｝的前n項和,若52=3,54=15,則58=（)

A.255B.127C.66D.39

6.“端午節(jié)”是我國四大傳統(tǒng)節(jié)日之一，吃粽子、賽龍舟、掛艾草等均是端午節(jié)的習(xí)俗.今年端午節(jié)，兄妹

兩人一起去超市購買粽子，若他們分別從“鮮肉粽、臘肉粽、蛋黃粽、原味粽、赤豆粽、八寶粽"六種粽

子里各自挑選三種并各購買一個，則購買的6個粽子中至多有一種相同的概率是（）

192a

A.2-5-

20

7.已知F是雙曲線C：五一*=1（。＞0為＞0）的右焦點，直線4%-3y=0與C交于P,Q兩點，若以PQ為

直徑的圓經(jīng)過點F,則C的離心率為（）

A.2B.A＜5C.3D./10

匕2

X

8.已知函數(shù)/(%)=(%+a—l)ex2-+ab%-ab在R上單調(diào)遞增，則ab的取小值為（）

11

A.--B.-C.-1D.1

ee

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列說法正確的是()

A.數(shù)據(jù)2,1,6,3,4,5,4,1,3的下四分位數(shù)是2

B.若數(shù)據(jù)久1，%2>為的標(biāo)準(zhǔn)差為s，則數(shù)據(jù)2久1，2X2,2%n的標(biāo)準(zhǔn)差為2s

C.隨機(jī)變量X?若P(X>0)=*則P(0<X<2)=|

D.隨機(jī)變量丫?B(4,p),若。(丫)=*則E(Y)=1

10.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為/,。為坐標(biāo)原點，點MQo,4)在拋物線C上，直線MO,MF

分別與I交于4B,直線MF與拋物線C交于另一點N,貝女)

A.尸的坐標(biāo)為(2,0)B.\MF\=5

C.\AB\=-D.S^OFM>2S/ABN

11.對于正整數(shù)n,w(n)是小于或等于71的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目(若兩個正整數(shù)的最大公因數(shù)是1,則

稱這兩個正整數(shù)互質(zhì)).函數(shù)3(n)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如以10)=4(10與1,3,

7,9均互質(zhì)),則()

A.0(20)+火25)=28

B.若p為質(zhì)數(shù)，則數(shù)列?(pn)｝為等比數(shù)列

C.數(shù)列｛向｝的前5項和等于青

D.3neN*,使得2[0(3n)+<p(4n)]=<p(5n)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

n-1n

12.已知數(shù)列｛a^｝滿足的+3a2+—F3an=n-3,則CI2025=.

x

13.直線y-kx+b與函數(shù)y=e*-和y=e-1的圖象都相切，貝ijk+b-.

14.一只螞蟻從正四面體a-BCD的頂點a出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點為一次爬行，若它選

擇三個方向爬行的概率相等，則螞蟻爬行5次后仍在頂點力的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在AABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別是a,b,c,且cs譏2B=產(chǎn)鬻

tanB+tanC

(1)求力；

(2)若ac=2,AD平分NB4C交BC于點D,求4。的長.

16.(本小題15分)

DeepSeek是由中國杭州的DeepSeek公司開發(fā)的人工智能模型，其技術(shù)在多領(lǐng)域有著普惠應(yīng)用，為提高

DeepSeek的應(yīng)用能力，某公司組織全體員工參加DeepSeek培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束之后，公司舉行了一次

DeepSeek專業(yè)知識比賽，比賽分為預(yù)賽與決賽，預(yù)賽通過后才能參加決賽，預(yù)賽從8道題中隨機(jī)抽取4道

作答，答對3道及以上則進(jìn)入決賽，否則被淘汰.

(1)若這8道題中甲能答對其中5道，計算甲進(jìn)入決賽的概率；

(2)已知甲進(jìn)入了決賽，決賽需要回答3道題目，若全部答對則獲得一等獎，獎勵300元；若答對2道題目則

獲得二等獎，獎勵150元；若答對1道題目則獲得三等獎，獎勵50元；若全部答錯則沒有獎勵.若甲答對每

道題目的概率均為2且每次答題相互獨立，設(shè)甲獲得獎金為f,求f的分布列及數(shù)學(xué)期望.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(%)=Inx+

(1)若Q=2,求函數(shù)/(%)在(1,/(1))處的切線方程；

(2)若對任意久e(0,+8),f(x)W號恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

18.(本小題17分)

如圖，已知菱形ABC。和等邊三角形BCE有公共邊8C,點B在線段4E上，BC與DE交于點、0,將△BCE沿著

BC翻折成APBC,得到四棱錐P—ABC。，BC=2.

(1)求證：平面P8C_L平面POD；

(2)若DP=，Z,求平面P4B與平面PBC夾角的余弦值；

(3)求直線24與平面P8C夾角正弦值的最大值.

19.(本小題17分)

已知橢圓胃+，=19>6>0)過點(1,苧)，右焦點F(l,0).

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)直線八y=kx(kK0)與橢圓E交于P,2兩點，過點PQofo)作，刀軸，垂足為點C,直線4C交橢

圓E于另一點B.

(i)證明：AP1BP.

(ii)求A4BP面積的最大值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:a=(1,2),b=(m,3),

則方■(b-a)=a2—a-b=l+4—m—6=0,解得m=-1.

故選：C.

結(jié)合向量的坐標(biāo)運算法則，即可求解.

本題主要考查向量的坐標(biāo)運算法則，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

993r—6

【解析】解：二項式（?！?）6的展開式的通項=制C=）6-r（f）r=（一夏,晶x2^-r.,

vXvX

令包產(chǎn)=3,貝Ur=4,

故久3的系數(shù)為60.

故選：B.

結(jié)合二項展開式的通項即可求解.

本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

，々刀4"匚Y々刀-M=i+P-1+2+3+4+5+6+7.-2.9+3.3+3.6+771.+4.8+5.2+5.925.7+TM

【解析】解：根據(jù)題忌，X=------q-------=4,y=----------------------=---,

又y關(guān)于x的回歸直線方程是y=0.5%+2.3,即至分竺=2+2.3,則m=4.4,

當(dāng)x=4時，y=4.3,

則該智能機(jī)器人公司第4年利潤的殘差為4.4-4.3=0.1億元.

故選：A.

根據(jù)線性回歸直線方程相關(guān)知識可解.

本題考查線性回歸直線方程相關(guān)知識，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】解：由題意得|OP|=r=U22+12=，虧,

所以sina=~=cosct=—=

可得sin2a=2sinacosa=cos2a=cos2a—sin2a=|,

1+s譏2a1+1

所以V=3.

cos2a

5

故選：D.

利用三角函數(shù)的定義求出sin*cosa的值，結(jié)合二倍角公式求出sM2a、cos2a,進(jìn)而可得寢等的值.

本題主要考查三角函數(shù)的定義、二倍角的三角函數(shù)公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，｛?｝為等差數(shù)列，設(shè)｛中｝公差為d,

因為:=|,今=澤所以2d=苧一：|=*

=^+4d=y+|=y,所以$8=66.

故選：C.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.

本題主要考查求等差數(shù)列的前71項和，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：購買的6個粽子種類各不相同的概率為:

匕一備。廠20,

購買的6個粽子種類恰有一個相同的概率為:

,cjcjcj_9

%一瑞廠五

他們分別從“鮮肉粽、臘肉粽、蛋黃粽、原味粽、赤豆粽、八寶粽"六種粽子里各自挑選三種并各購買

一個,

購買的6個粽子中至多有一種相同的概率是P=P1+P2=^.

故選：A.

分購買的6個種類粽子各不相同和購買的6個粽子種類恰有一個相同，分別求其概率，再把它們相加即可.

本題考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)P（*i，yi），由雙曲線與直線的對稱性，%），

因為以PQ為直徑的圓過F（c,0）,則而?而=0,

即(第1-C)(—%1—C)+71(—71)=0=好+比=

又P在雙曲線共一技=1和直線%=飆上，將代入好+yf=c2,得賭=受

再代入雙曲線方程：腎2—16c2=1，

25加25/

由/=c2—a2,設(shè)e=化簡得：9e4-50e2+25=0,

a

令〃=。2,解得〃=5(〃=卷舍去，因e>1),故e=怖.

故選：B.

根據(jù)雙曲線與直線的對稱性即可求解.

本題考查了雙曲線與直線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：由題意，函數(shù)f(%)=(x+a-l)ex+1x2+abx一ab的定義域為R,

導(dǎo)函數(shù)為f(%)=ex+(%+a—l)ex+6%+ab=(%+a)(ex+b),

因為函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增，所以/'(%)=(%+a)(ex+h)>0在R上恒成立，

若b>0,則汽<一a時，/'(%)<0矛盾，

所以力<0,(%+a)與(e%+b)同號，

所以—a=ln(—b),即」=一°一。,故ab=-親

令g(a)=一已，則g'(a)=號，

令g'(d)>0,則a>1；令g'(a)<0,則a<1,

所以g(a)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

1

所以ab的最小值為g(a)7n加=g(l)=

故選：X.

利用(0)20恒成立，討論分析得到a、6的關(guān)系式，化簡代入ab,把得到的函數(shù)構(gòu)造為y=g(a),求導(dǎo)得

到最小值點，從而得出答案.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】解：對于4數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1,1,2,3,3,4,4,5,6,

因為9X25%=2.25,

所以下四分位數(shù)是2,故A正確；

對于B,若數(shù)據(jù)乂1，x2>j的標(biāo)準(zhǔn)差為s,

則數(shù)據(jù)2打,2打，…，2出的標(biāo)準(zhǔn)差為2s,故臺正確；

對于C,若隨機(jī)變量X?且p(x>0)=1，

,412

則P(O<X<1)=P(X>0)-P(X>1)=V=竟，

所以尸(0<X<2)=2P(0<X<1)=故。正確；

對于。，若隨機(jī)變量y~B(4,p),

■2

貝皿丫)=4p(l—p)=z，

q

解得p=京易

所以E(y)=4x：1=1或E(y)=4X3a=3,故。錯誤.

故選：ABC.

根據(jù)百分位數(shù)的定義可判斷a,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的定義可判斷B,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可判斷c,根據(jù)二

項分布的期望公式和方差公式可判斷以

本題主要考查了百分位數(shù)的定義，考查了標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)，以及正態(tài)分布曲線的對稱性，和二項分布的期望

公式、方差公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：對于4由拋物線C：>2=4乃可得p=2,所以%1,

且焦點在久軸正半軸上，則焦點尸(1,0),所以A錯誤；

對于8,由拋物線的方程得利=+=4，

由定義可得|MF|=久0+1=5,所以2正確；

對于C,直線MO,MF的方程分別為y=x,x=+1,

分別與y2=4x聯(lián)立得4(一1,一1),

所以|2B|=|,所以C正確；

-=3

對于D,聯(lián)立"—4",得y2—3y—4=0,解得N?,-1),

(y2=4x4

所以當(dāng)?shù)?輔8|.|赤+1|=衾，

1

由SAOFM=\|OF|-4=2<2SA4BN，所以。錯誤.

故選：BC.

由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷4,由拋物線的定義可判斷B,求出直線M。，MF的方程并得到4、B坐標(biāo)可判

斷C,分別計算4。尸用和44BN的面積可判斷D.

本題考查拋物線的方程與簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABD

【解析】解:對于4與20不互質(zhì)的是2的倍數(shù)(10個)以及5的倍數(shù)(4個)，

減去重復(fù)計數(shù)的10的倍數(shù)(2個)，總共12個，0(20)=20-12=8；

與25不互質(zhì)的只有5的倍數(shù)(5個)，所以以25)=25-5=20,

所以3(20)+火25)=28,故A正確；

對于B,設(shè)p為質(zhì)數(shù)(p>2),則小于等于p"的正整數(shù)中與p"不互質(zhì)的數(shù)只有p的倍數(shù)，

所以互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為P”—%=pn-pn-\故"(p71)=(p—l)p"T,

所以用=孑4=「為常數(shù)，

</>(Pn1)(P-l)pn2

所以數(shù)歹!J?(pn)｝為等比數(shù)列，故B正確；

對于C,根據(jù)選項8可知，9(3n)=2-351,

數(shù)歹我高｝的前5項和為2+9沙扛備=簽，故C錯誤；

對于O,<p(3n)=2-371-1,9(5n)=4-5nT,

4不是質(zhì)數(shù)，(p(4n)=(p(22n)=22n-1=2-4n-1,

即判斷是否存在n使得2X2(3或1+4nT)=4-5f

觀察得到九=3時等式成立，故。正確.

故選：ABD.

4選項，利用奴九)的定義即可求解判斷；8選項，利用9(九)的定義寫出w(pn)=(p-1型右1,再利用等比

數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可；C選項，利用B選項的結(jié)論寫出通項公式，進(jìn)而可求前5項和；D選項，利用B選

項的結(jié)論寫出0(3與，0(5")和0(4與，再代入幾=3即可判斷.

本題考查新定義的運用，考查歸納推理能力，屬中檔題.

12.【答案】4051

n-1n

【解析】解:由數(shù)列｛an｝滿足的+3a2+?-?+3an=n-3,

可得a1=3,

當(dāng)nN2時，由的+3a2+…+3nt。"=ri,3”,可得a1+3a2+…+3n菖廝一1=(n-1)?3"一】,

相減可得3n=n-3n-(n-1)-3"-1=(2n+1)-371-1,

化為=2n+1,

上式對71=1也成立，

則。2025=4051.

故答案為:4051.

首先求得首項，再將門換為n-1,相減可得數(shù)列的通項公式，即可得到所求.

本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】竽

【解析】解:因為y=靖-2和y=靖—1的導(dǎo)數(shù)分別為y'=e>2,y=靖，

設(shè)直線y=kx+b與函數(shù)y=e"2圖象的切點為e%1")，

X12X12

所以直線y=kx+b的方程可表示為y-e~=e~(x-xt),

即,=ex「2.久+(1-久力蠟1-2,故b[(]_，

設(shè)直線y=kx+b與函數(shù)y=ex-1圖象的切點為。2,0*2一1),

X2X2

所以直線y=kx+b的方程可表示為y-(e-1)=e(x-x2)f

即y=e^-x+(l-x2)e^-l,故｛:二上”打_「

所以｛；；-1；；：：-2=Q一切靖」r由四-2=.，可得巧―2=犯，

所以(一%2-1)/2=(1-%2)靖2-1,解得蛾2=1,

所以％2=—仇2,

所以匕=(1+ln2)e~ln2—1=I：712—1="jT,

所以k+b=^.

故答案為：竽

設(shè)切點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點斜式方程，方程思想，即可求解.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的公切線問題的求解，屬中檔題.

14.【答案】言

O1

【解析】解；設(shè)“螞蟻爬行幾次后仍在頂點4”為事件2九，“不在頂點4”為事件為,

1

則P(&)=0,P(B])=1,PQ4n)+P(Bn)=l,PG4n+118n)=%

1111

P(A1+1)=P(Bn)-P(An+1\Bn)=ip(Bn)=1[1-P(4")]=-^P(An)+g

則PJn+i)_；=_g[P(Xn)-j,又P(4)—*=—*#0,

所以數(shù)列｛PQ4n)—；｝是等比數(shù)列，首項為—J,公比為—；，

所以PG4”)_；=Jx(—扔T=(一扔，所以P(4J—(—扔-】，

所小以、[Pn/(4)、=41_14乂1近=而20，

所以螞蟻爬行5次后仍在頂點4的概率為言.

O1

故答案為：嘉

O1

設(shè)“螞蟻爬行n次后仍在頂點4”為事件An，“不在頂點a”為事件場,則PQ41)=0,P(BJ=1,

PfAJ+PC")=1,根據(jù)PQln+1)=赳1(%)求出P(A),再代入n=5可得結(jié)果.

本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計算公式即可，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】4=3

A5D=—2/1

【解析】⑴由正弦定理及二倍角公式，得2sinCsinBcosB=,B豐々，C豐之,

t產(chǎn)dTlD鬻-rtCC叱YlL.zz

1

因為sinB>0,所以cosCcosB=右而嬴，

§.PsinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=1,

又4+B+C=TT,所以sim4=1,又46(0,兀)，所以

(2)由a=c=2,知5=Va2—c2=1,

由角平分線得乙EMC=Z-DAB=p

4

因為SdABC=^^ABD+S—co,

2424

11C1

即21/D2+AD

-XX=-XX2-XXV2_

2222,

則4。=學(xué).

(1)由己知結(jié)合正弦定理及二倍角公式進(jìn)行化簡即可求解；

(2)先求出b,然后結(jié)合角平分線性質(zhì)及三角形面積公式即可求解.

本題主要考查了二倍角公式，正弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】

分布列見解析；數(shù)學(xué)期望為弊元.

【解析】(1)記X為甲在預(yù)賽答對的題數(shù)，貝卜的取值為1,2,3,4,

所以P(X=3)=鬻=4P(X=4)W=A

記甲進(jìn)入決賽為事件4則甲進(jìn)入決賽的概率為P(4)=P(X=3)+P(X=4)"+”

(2)由題可知f的取值為0,50,150,300,

所以=0)=髭x(護(hù)=p(f=50)=廢x|x(界=P笆=150)=仁x(|)2x瀉,P(〈=

300)=廢x(|)3=捺,

所以f的分布列如下：

5050150300

1248

P

279927

E(f)=0x—乙/+50X-y+150x-y+300x—4/=―D―(TG),

即甲獲得獎金的數(shù)學(xué)期望為弊元.

(1)由題知X的取值為123.4,而甲進(jìn)入決賽有可能答3或4道題，利用組合數(shù)計算概率即可；

(2)由題可知f的取值為0,50,150,300,再利用二項分布計算概率，寫出分布列，計算期望即可.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題.

17.【答案】x—2y+1=0；(—00,2].

【解析】(l)a=2時，/(%)=Inx+所以[(x)=上口，

x(x+l)

所以f(1)=1,f(1)=I,

所以函數(shù)f(x)在(1,1)處的切線方程為y-1=i1(x-1),即X-2y+1=0；

(2)因為對任意％e(0,+8),/(%)＜詈恒成立,

所以對任意久e(0,+8),)刀+恒成立，又%>o,所以x+i>o,

所以Q<(()——(%+1)仇久在(0,+8)上恒成立，

設(shè)9(%)=——(x+1)ZTIX(X>0),則g'(%)=x~~~Inx,

令九(%)=x---Inx,貝！=1+^—-=x=(%q>0,

所以h(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又%(1)=0,

所以當(dāng)xe{0,1}時，g'(x)=h(x)<h(1)=0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(l,+8］時，g'(x)=h(x)>h(l)=0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x)7n譏=g(i)=2,

所以若a<2,

故實數(shù)的取值范圍是(-8,2].

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點斜式方程，即可求解;

(2)將恒成立問題參變分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，即可求解.

本題考查函數(shù)的切線的求解，恒成立問題的求解，屬中檔題.

18.【答案】證明過程請見解答；~苧.

【解析】(1)證明：連接BD,

因為菱形ABC。和等邊三角形BCE有公共邊BC,點8

在線段4E上，

所以N4BC=120°,且AB=BC=CD=AD=CE=

BE,CD1[BE,

所以四邊形BDCE為菱形,

所以BC1DE,

翻折后BC1DO,BC1PO,

因為。。CPO=。，DO、POc^PffiPOD,所以BC1平面P。。,

又BCu平面PBC,所以平面PBC1平面POD.

(2)解：由(1)知BC1平面P。。，

因為BCu平面ABC。，

所以平面POO1平面4BCD,

又BC1OD,

故以。為原點，OD,0B所在直線分別為x,y軸，作Oz,平面ABCD,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則。(73,0,0),71(/3,2,0),8(0,1,0),C(0,-l,0),

因為DP=0=OD=OP，

所以△POO為等邊三角形，Z.POD=60°,所以p(亨,o,|),

所以說=(6,1,0)，麗=(學(xué),—1,|)，而=(0,2,0),

(m■雨=V_3x+y=0

設(shè)平面P4B的法向量為沅=(x,y,z),則一一6

m-BP=—x—y+3-z=0

ZL

令％=-1,則y=V"^，z=V-3,所以沆=(—

(n-CB=2b=0

設(shè)平面PBC的法向量為元=(a,4c),則—/373八，

n-BP=—a—b-^--c=0

令a=V"^，則b=0,c=—1,所以元=(V"^,0,-1)，

設(shè)平面P4B與平面PBC夾角為仇

而一一\m-n\|-<3-/3|/21

則cos。=|cos</>1=而憫=62=亍

故平面P4B與平面PBC夾角的余弦值為券.

(3)解:由(2)知P在平面%。z上，且。P=C，

不妨設(shè)P(V_5cosa,0,Vasina),cc6(0,九)，

則Q=(V-3cosa-—2,yT^sina)，BP=(V-3cosa,-1,Osina),

設(shè)平面PBC的法向量為可=(XLzi),則1匹,絲=2壯=°,

(m1-BP=yj3cosax1一月+V3sinaz1=0

取=sina,得可=(s譏a,0,—cosa),

設(shè)PZ與平面PBC的夾角為9(9G[0,芻)，

__,—>,_\AP-m{\_y/~3sina_I3sin2a_J3(1-cos2a)

則S譏W=|COS<4P,Ml=I而H時=j3(cosa-l)2+4+3sE2”l=㈠。*曲=三電6cosa，

令t=10—6cosaG[4,16],貝!Jcosa=

所以s出0=質(zhì)＞J-2+肅一64=?xj20_(t+q)W今＞{20_]6=苧'

當(dāng)且僅當(dāng)t=8,即cosa=g時，等號成立，

所以直線P4與平面PBC夾角正弦值的最大值為苧.

(1)連接BD，先說明四邊形BOCE為菱形，可得8C1DE,再根據(jù)翻折前后不變的位置關(guān)系可知8C1D。,

BCVPO,然后結(jié)合線面、面面垂直的判定定理，即可得證；

(2)由BC_L平面P。。，知平面POD_L平面4BCD,再以。為原點建系，利用向量法求面面角即可；

(3)設(shè)Pcosa,0,Cs譏a),aG利用向量法求線面角，可將所求角的正弦值表示成關(guān)于a的函

數(shù)，再結(jié)合換元法和基本不等式，求解即可.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理，利用向量法求線面角、面面角是解

題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

Y2

19.【答案】y+y2=l；

(i)證明見解析；(ii),

【解析】(1)由題意橢圓右焦點F(l,0)可得c=1,

因為橢圓E過點(1,空)，所以$+*=1,

2a2b

fC=1/巾

11a=V2

聯(lián)立，冠+丞=1，解得力=1

<a2=b2+c2c=1