2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊期末模擬測試卷02

（滬教版）

一、單選題

i.下列說法正確的是（）

苫班是二元二次方程

A.2+,=B.尤2=。是二項方程

y

2

X1r_1廠

c.士=1是分式方程D.—=也是無理方程

3xX

【答案】c

【分析】本題考查二元二次方程，分式方程，無理方程等概念，根據(jù)二元二次方程，分式方程，無理方程

等概念逐項判斷即可.

【解析】解：A、尤2+'=石是分式方程，故本選項說法錯誤；

y

B、x2=0不是二項方程，故本選項說法錯誤；

Y1

C、2=1是分式方程，故本選項說法正確；

3x

2

D、—r-1=&r-是分式方程，故本選項說法錯誤.

X

故選：C

2.下列函數(shù)中，函數(shù)值了隨x的增大而減小的是（）

2

A.y=—B.y=-2xC.y=x+2D.y=2

x

【答案】B

【分析】本題主要是考查了學(xué)生對一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)的理解和掌握情況，解答此題關(guān)

鍵是利用比例系數(shù)左的正負(fù)來判斷圖像的上升與下降即可.根據(jù)一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解

即可.

【解析】解：A.左=2<0,在每個象限內(nèi)，V隨x的增大而減小;

B.左=一2<0,了隨x的增大而減??；

C.笈=1>0J隨x的增大而增大；

D.V=2是平行于x軸的一條直線，了值不變.

故選：B.

3.下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.買一張彩票，沒有中獎

B.平面內(nèi)任意畫一個三角形，內(nèi)角和是180。

C.經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

D.向量方與向量不心是平行向量

【答案】B

【分析】本題考查的是必然事件、隨機(jī)事件的概念理解，要注意到必然事件是在一定條件下一定會發(fā)生的

事件，隨機(jī)事件是在一定條件下可能會發(fā)生的事件.根據(jù)必然事件就是在一定條件下一定會發(fā)生的事件進(jìn)

行判斷即可.

【解析】解：A.、購買一張彩票，沒有中獎是隨機(jī)事件，不符合題意；

B、任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180。是必然事件，符合題意；

C.、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機(jī)事件，不符合題意；

D、向量方與向量反?是平行向量是隨機(jī)事件，不符合題意；

故選：B.

4.下列方程有實數(shù)根的是（）

___x3

A.x?-x+l=0B./+1=0C.Vx+l+2=0D.+-一r=0

x-99-x

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二方程的根的判別式、二次根式的性質(zhì)、乘方運算、解分式方程等知識，熟

練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.根據(jù)一元二方程的根的判別式判斷選項A；根據(jù)乘方運算法則求解方程

/+1=0,即可判斷選項B；根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷選項C；解分式方程并檢驗，即可判斷選項D.

【解析】解：A.f_x+l=0,因為A=（-l）2-4xlxl=-3<0,所以該方程無實數(shù)根，不符合題意；

B.x5+l=0,則有爐=-1,解得x=T,該方程有實數(shù)根，符合題意；

C.471+2=0,整理可得而1=-2,因為而120,故該方程無實數(shù)根，不符合題意；

D.-三+7^=0,解分式方程，可得了=-3,此時可有*-9=0,所以》=-3是該分式方程的增根,

x-99-x

故該方程無實數(shù)根，不符合題意.

故選：B.

5.下列命題中，錯誤的是（）

A.一組對邊平行的四邊形是梯形；

B.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

c.對角線相等的平行四邊形是矩形；

D.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

【答案】A

【分析】根據(jù)梯形，平行四邊形，矩形，菱形的判定進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：A、一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形，故錯誤，符合題意；

B、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，正確，不符合題意；

C、對角線相等的平行四邊形是矩形，正確，不符合題意；

D、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確，不符合題意；

故選：A.

【點睛】主要考查梯形，平行四邊形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定義應(yīng)從兩組對邊的不同位置關(guān)系

分別考慮.

6.如圖，在等腰梯形/BCD中，AD//BC,ZC=60°,AD=6,48=8,則8C=()

【答案】C

【分析】過。作。交3c于E,得出四邊形48瓦？是平行四邊形，推出4)=BE=6,AB=ED,證出

是等邊三角形，得到==即可求出答案.

【解析】解：過。作DE///3交3C于E,

AD//BC,DEUAB,

???四邊形是平行四邊形，

:.AD=BE=6,AB=ED=CD,

?.-ZC=60°,

.,.ADEC是等邊三角形，

：.EC=CD=DE=AB=8,

.?.50=6+8=14.

故選：C.

【點睛】本題主要考查對等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點

的理解和掌握，把等腰梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形是解此題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.方程32=0的根是.

【答案】x=2

【分析】本題主要考查高次方程，由25=32可得x=2,即可得出答案.

【解析】解：；/一32=0,

x5=32,

解得：x=2,

故答案為：x=2.

8.一次函數(shù)V=-2x-l的圖像向下平移2個單位，所得直線的表達(dá)式是.

【答案】＞=-21-3

【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)平移性質(zhì)：上加下減，進(jìn)行作答即可.

【解析】解：???一次函數(shù))=-2式-1的圖像向下平移2個單位，

???所得所得直線的表達(dá)式為y=-2x-l-2,即昨-2x-3.

故答案為：y=-2x-3

9.一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的4倍，則這個多邊形的邊數(shù)是.

【答案】10

【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，設(shè)多邊形的邊數(shù)為"，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和及外角和列得方程,

解得〃的值即可.

【解析】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為"，則該多邊形的內(nèi)角和為("-2)x180。，

依題意得：(?-2)X180°=360°X4,

解得：n=10,

???這個多邊形的邊數(shù)是10.

故答案為：10.

10.如果一次函數(shù)丁=（%-2卜-8的函數(shù)值了隨尤的值增大而增大，那么加的取值范圍是.

【答案】m>2

【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)了=履+6優(yōu)*0）,當(dāng)左>0時，V隨x的增大而增

大；當(dāng)左<0時，V隨X的增大而減小是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意可知加-2>0,解之即可得到答案.

【解析】解：.??一次函數(shù)了=（%-2卜-8的函數(shù)值了隨x的值增大而增大，

m—2>0,

/.m>2,

故答案為：7〃>2.

11.化簡：AB-AC-CB=.

【答案】0

【分析】此題考查了向量的線性運算，根據(jù)向量的運算法則計算即可.

【解析】解：AB-AC-CB=CB-CB=0,

故答案為：0

12.已知。是平行四邊形/BCD的對角線NC與8。的交點.AC=24,BD=38,40=28,那么△O8C的

周長等于—.

【答案】59

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可求得。2、OC,則可求得答案.

【解析】解：???四邊形/BCD為平行四邊形，

：.BO=^-BD=19,CO=^AC=12,BC=AD=28,

.■.BO+CO+BC^19+12+28=59,即△03C的周長為59,

故答案為：59.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對角線互相平分是解題的關(guān)鍵.

13.在菱形48c。中，對角線/C、AD相交于O,若/2=6,NC=4,那么.

【答案】8拒

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，其中菱形的性質(zhì)是關(guān)鍵.根據(jù)題意畫出圖形，由菱形的性質(zhì),

得04=L/C=2,BD=20B,由勾股定理求得。8即可.

2

【解析】解：如圖，在菱形A8CD中，AC1BD,O4=；/C=2,BD=20B,

由俊得OB=^AB2-OA2=V36-4=472，

貝！JBD=20B=8A/2;

故答案為：8日.

14.在4張卡片的正面分別畫上等邊三角形、平行四邊形、矩形和菱形，卡片的質(zhì)地、大小、背面完全相

同.現(xiàn)把它們正面向下隨機(jī)擺放在桌面上，從中任意抽出一張，這張卡片上的圖形既是中心對稱圖形又是

軸對稱圖形的概率是.

【答案】1/0.5

【分析】結(jié)果圖形的性質(zhì)求解，四張卡片中，矩形、菱形即是中心對稱圖形，又是菱形.

21

【解析】隨機(jī)抽取一張，所有可能的結(jié)果有4種，其中滿足要求的結(jié)果有2種，所以概率為二=彳；

42

故答案為：!

【點睛】本題考查概率的計算，確定滿足條件的結(jié)果數(shù)量是解題的關(guān)鍵.

15.某公司產(chǎn)品的銷售收入％元與銷售量x噸的函數(shù)關(guān)系記為必=/(x),銷售成本外與銷售量x的函數(shù)關(guān)

系記為為=g(x),兩個函數(shù)的圖像如圖所示.當(dāng)銷售收入與銷售成本相等時，銷售量尤為噸.

【答案】4

【分析】分別求出乂=/(x),%=g(x)的函數(shù)關(guān)系式，然后聯(lián)立兩關(guān)系式即可求出答案.

【解析】解：^yx=kx,y2=k'x+b,

2F+6=3000

???2k=2000,

6=2000

左'二500

k=1000,

b=2000

必=lOOOx,y2=500x+2000,

y,=1000%\x=4

聯(lián)立解得4

歹2=500X+2000’用甘可［歹=4000'

當(dāng)銷售收入與銷售成本相等時，銷售量X為4噸，

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確求出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，正方形48co中，E為。邊上一點，尸為5c延長線上一點，且CE=C尸，若ZEFD=19°,則

【分析】由正方形的性質(zhì)得出BC=DC,ZBCE=ZDCF=9O°,由SAS證明aBCE三ADCF,得出對應(yīng)角相等即

可求出NBEC的度數(shù).

【解析】解：???四邊形ABCD是正方形，

.-.BC=DC,ZBCE=9O°,

.-.zDCF=90°,

SABCEWADCF中，

BC=DC

<NBCE=ZDCF,

CE=CF

.-.△BCE=ADCF(SAS),

??.ZBEC=ZDFC,

???CE=CF,Z.ECF=90°,

.?.△ECF為等腰直角三角形，

.-.ZEFC=45°,

貝此DFC=NEFD+NEFC=19°+45°=64°,

.?ZBEC=64°,

故答案為：64°.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定

理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵.

17.我們把連接梯形兩底中點的線段叫做梯形的中底線，在梯形N8CD中，AD//BC,AB=8,DC=U,

尸。為梯形N8CD的中底線，那么線段尸。長的范圍為.

【答案】2〈尸。＜10

【分析】連接20,取AD的中點E,利用三角形定中位線定理以及三角形三邊關(guān)系即可求解.

【解析】解：連接3D,取3。的中點E,連接尸E,EQ,

,??點尸，。分別是/D，的中點，

.-.PE=-AB=4,QE=-CD=6,

22

在APE。中，

.??2〈尸。＜10,

???線段尸。長的范圍為2（尸。＜10,

故答案為：2〈尸。＜10.

【點睛】本題考查了三角形中位線定理，三角形三邊的關(guān)系，掌握“三角形的中位線平行于第三邊并且等于

它的一半”是解題的關(guān)鍵.

18.已知矩形4BC。，48=10,將A/CD沿著直線/C翻折，點。落在點￡處，如果點E到直線2C的距

離是6,那么4D的長是.

【答案】5或20

【分析】分為兩種情況分別畫圖計算.①如圖，當(dāng)/5<4D時，AE交BC于點、F,過點、E作EH_LBC交BC

于點〃，則阻=6,根據(jù)四邊形是矩形，得出/8=C￡?=10,N/OC=N/8C=90。，根據(jù)折疊的性質(zhì)

得，ZAEC=NADC=/B=90。,CE=CD=AB=10,證明A^SFdCEF,得出3尸=￡尸，/尸=CF,設(shè)

BF=EF=x,根據(jù)等面積法得出CF=gx,從而得出/尸=C^=gx,在比△初中，根據(jù)勾股定理求出

x,即可求解；

②如圖，AB>AD^,過點E作即交3C的延長線于點X,過點E作瓦F4B交48于點尸，貝U

EH=6,根據(jù)四邊形N2CD是矩形，得出A8=CD=10,44DC=NNBC=90。，證出四邊形E/而是矩形，

得至“BH=EF,BF=EH=6,AF=4,根據(jù)折疊的性質(zhì)得，N4EC=NADC=/B=90。,CE=CD=AB=1。,

BC=AD,在Rt^EHC中,根據(jù)勾股定理算出CH=8,設(shè)BC=AD=AE=x,EF=BH=8-x,在Rt&AEF

中，根據(jù)勾股定理求出無，即可求解；

【解析】解：①如圖，當(dāng)時，交2C于點尸，過點、E作EH人BC交BC于點、H,則￡"=6,

?.?四邊形/3CD是矩形，

=CD=10,NADC=ZABC=90°,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得，N4EC=ZADC=NB=90°,CE=CD=AB=10,

■■■Z1=Z2,

：.4ABF%CEF（AAS）,

：.BF=EF,AF=CF,

設(shè)BF=EF=x,

'：S、CEF=；CE-EF=；CF-EH,

即gxl0.x=gc「6,

-.CF=-x,

3

.-.AF=CF=-x,

3

在出AABF中,AB2+BF2=AF2,

即102+?=(3),

解得：X=平，

4

58

AD=BC=—x+x=—x=20；

33

②如圖，AB>AD^,過點E作皮U8C交3C的延長線于點〃，過點E作斯，45交AB于點尸，則

EH=6,

=CZ)=10,NADC=ZABC=NABH=90°,

???四邊形E/超產(chǎn)是矩形，

:.BH=EF,BF=EH=6,

:-N==用-于=4,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得，NAEC=NADC=NB=90。,CE=CD=AB=1。,BC=AD,

在Rt^EHC中,CH=V102-62=8?

設(shè)BC=AD=AE=x,EF=BH=8-x,

在RMAEF中,AE2=EF2+AF2,

即X2=(8-X)2+42,

解得：x=5,

:.AD=59

綜上，4)=5或20；

故答案為：5或20.

【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形面積等知識

點，熟練掌握折疊的性質(zhì)，正確作出圖形并分類討論是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

19.解方程：15-x-1=x.

【答案】％=1

【分析】將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，求解后，進(jìn)行檢驗即可得出結(jié)論.

【解析】解：15-x-1=x,

?*,J5-x=1+x,

5-x=(l+x)2,

整理，得：x2+3%-4=0,

.,.(%+4)(%-1)=0,

解得：再=-4,%2=1；

1+x=y/5-x>0,5-x>0,

5>x>-1,

x=1.

【點睛】本題考查解無理方程.解題的關(guān)鍵是將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，注意未知數(shù)的取值范圍.

x2-5孫+6y2=0

20.解方程組:

x1+y2+x-\\y-2=Q

2

5

【答案】原方程組的解為

1

%=一

5

【分析】將丁-5中+6/=0因式分解x-2y=0或x-3y=。，再進(jìn)行分類討論即可.

x2-5xy+6y2=0①

【解析】解:\x2+y2+x-Hy-2=0@

由①，得(％-2日(苫-3了)=0,

x-2y=0或x-3>=0.

x-2y=0x-3y=Q

原方程組可化為或者

+y2+x—1ly—2—0%2+歹之+%—1\y-2=0

2

x-2y=0x\=一'7x=4

解方程組得2

%2+y2+x—1ly—2=01_%=2

%=一

5

3

5%=3

解方程組或者

1_”=1

%=一

5

2

7x=4

???原方程組的解為:2

了2=2

M=一’

5

【點睛】本題考查了解二元二次方程組,熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，已知在口N5CD中，AB=AE,求證：AC=ED.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，利用SAS

證明△MC且△胡。可證明結(jié)論;

【解析】證明：???四邊形/BCD為平行四邊形,

AD//BC,AD=BC.

：.ZDAE=ZAEB.

,-AB=AE,

???/AEB=/B.

???AB=/DAE.

在和A4ED中,

AB=AE

<ZB=ZDAE,

AD=BC

AABC注(SAS),

/.AC=ED-

22.如圖，在梯形4BCD中，AD//BC,BC=2/。，點E是BC的中點.

(2)如果把圖中的線段都畫成有向線段，那么在這些有向線段所表示的向量中，與配平行的向量共有

個；

(3)求作：AC+EC-(不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)果)

【答案】(1)就；BC

⑵7

(3)圖形見解析

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，向量的運算，即可；

(2)根據(jù)平行向量的意義求解；

(3)根據(jù)三角形的作圖，即可.

【解析】(1)?點￡是2c的中點，

：.BC=2BE=2EC,

■:BC=2AD,

EC—AD,

-AD//BC,

.?.四邊形ABCD是平行四邊形，

AE=CD,

■■AD+AE=AC^AC-AB=BC，

故答案為：AC;JC.

(2)與沅平行的向量有：BE,反，AD，EB，CE，DA)無共7個，

故答案為：7.

(3)以點。為圓心，EC長為半徑，延長3C,連接/p，

.■.EC=CF,

■-AC+EC=AC+CF=AF-

圖形見下:

【點睛】本題考查向量，平行四邊形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行向量的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì).

23.某學(xué)校為了加強(qiáng)常規(guī)和應(yīng)急消毒工作，計劃購買甲、乙兩種類型的消毒劑，預(yù)計購進(jìn)乙種類型的消毒

劑V(升)與甲種類型的消毒劑x(升)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)求了關(guān)于x的函數(shù)解析式(不需要寫定義域)；

(2)該學(xué)校用2000元選購了甲種類型的消毒劑，用2400元選購了乙種類型的消毒劑，甲種類型消毒劑的單

價比乙種類型消毒劑的單價貴20元，求選購的甲、乙兩種類型的消毒劑分別是多少升？

【答案】⑴了關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-2x+160

(2)甲種類型消毒劑購買了40升，乙種類型消毒劑購買了80升

【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求出解析式是解題的關(guān)鍵.

(1)在圖像上找兩點，利用待定系數(shù)法即可求解;

(2)設(shè)甲種類型消毒劑購買了x升，則乙種類型消毒劑購買了(-2X+160)升，根據(jù)等量關(guān)系：甲種類型消

毒劑的單價比乙種類型消毒劑的單價貴20元，列出分式方程并求解即可.

【解析】(1)解：設(shè)所求函數(shù)解析式為了=h+6,

由圖像知，直線過(30,100)、(50,60)兩點,

30左+6=100

把這兩點坐標(biāo)分別代入了=辰+6中，得:

50左+6=60

k=-2

解得:

6=160

關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-2x+160.

(2)解：設(shè)甲種類型消毒劑購買了x升，則乙種類型消毒劑購買了(-2x+160)升,

z200024002

根據(jù)題思，得R：----=-...——+20,

x-2x+160

整理得：X2-240%+8000=0,

解得：西=40,%=200,

經(jīng)檢驗，x=40,x=200都是原方程的解，但當(dāng)％=200時，-2x+160=-240<0,與題意不符，

???x=40,

?*.-2x+160=-2x40+160-80；

答：甲種類型消毒劑購買了40升，乙種類型消毒劑購買了80升.

24.如圖，已知平行四邊形4BCD,E是邊4B的中點，點廠在邊/。上，連接工E并延長交CB的延長線于

點G,連接5尸、AG.

(1)如果//八?=/。，求證：四邊形/GM是矩形；

(2)如果尸是邊/。的中點，且乙4/G=；//OC,求證：四邊形/BCD是菱形.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，菱形的判定，三角形的中位線，熟練掌握矩形和菱

形的判定是解題的關(guān)鍵.

(1)先證出A/E尸GABEG,再根據(jù)N/BG=NC,得到AS=Gb,即可證明；

(2)連接2。，得到叱是的中位線，從而證得“DBaCDB,得出血)RC,即可證明.

【解析】(1)證明：???四邊形是平行四邊形

：.AD//BC,NFAE=NC

ZEAF=NEBG

■.■E是邊48的中點，

：.EA=EB

又?：ZAEF=ZBEG

??.△AEF%BEG(ASA)

AF=BG,EF=EG

5L-AD//BC

???四邊形ZGB廠是平行四邊形

???AAFG=ZC

??.ZAFG=ZFAE

???EA=EF

??.AB=GF

???四邊形/G時是矩形.

(2)連接BO,如圖，

??.EF是AABD的中位線,

??.EF//BD

.-ZAFE=ZADB

yi-ZAFG=-ZADC

2

,-.ZADB=-ZADC

2

ZADB=ZCDB

又?;/DAB=/C,BD=BD

.MADB知CDB(AAS)

??.AD=DC

???四邊形4BCQ是菱形.

25.如圖，直線y=-Ylx+2與坐標(biāo)軸分別交于48兩點，以線段為一邊向上作等邊三角形a/BC.

（2）已知在y軸上有一點P,且S1MBp=S^BC，求出符合條件的P點坐標(biāo)；

（3）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點°,使得以N,C,O,。為頂點的四邊形為等腰梯形，請直接寫出所有符合條

件的0點坐標(biāo).

【答案】（1）/（0,2）,5（2石,0）,C（2V3,4）

（2）尸（0,6）或（0,-2）

⑶2（2后-2）,&9魚3）

【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求點a8的坐標(biāo)，結(jié)合等邊三角形和含30。直角三角形的

性質(zhì)求得C點坐標(biāo)；

（2）結(jié)合三角形面積公式，利用方程思想計算求解；

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論求解.

【解析】⑴解：在了=-*+2中，當(dāng)x=0時，了=2,

當(dāng)》二0時，x=2A/3，

???/（0,2）,5（26,0）,

??.CU=2,03=25

在中，AB=y/OA2+AB2=4,

0^21

.罰一12，

???乙4BO=30。,AOAB=60°,

???△/5C是等邊三角形，

：.AB=AC=4,/CAB=/CB4=NC=60。,

/.ACAD=60°,N4cz）=30。，ZCBO=90°

在中，AD=^AC=2,CD=^AC2-AD2=273，

OD=OA+AD=4,

.?.C（2A/3,4）；

（2）解：由（1）已證/C5O=90。，

.■.OA//BC,

???四邊形495。為梯形，

設(shè)〉軸上一點尸（0,了）

當(dāng)為BP=S^BC時，|X2V3|2-J；|=1X2A/3X（2+4）-1X2X2V3,

解得弘=6,%=-2,

...尸（0,6）或（0,-2）；

(3)解：當(dāng)OA〃BC,且/C=O0時，四邊形N。0c是等腰梯形,

C=60°,AC=OQ{=4,

在RMOQ]B中,NQQB=30。,

??.BQi=g02=2,

.?.Q（2V3,-2）,

當(dāng)/C〃OQ,且。1=。2時，四邊形工。2c是等腰梯形,

過點Q作軸，

由（1）已證NCMC=NCMB+/aB=120。，

ZAOQ2=ZCQ2O=60°fZCNQ2=ZCQ2O=60°,

...CQ2=OA=CN=2,ZQ2OB=30°

-AC//OQ^OA//BC,

???四邊形4ONC是平行四邊形，

AC=ON=4,

002=6,

在必A。。2M中，02河=；。。2=3,OM=3拒,

.?.029其3）,

綜上，2,（273,-2）,2（3百,3）.

【點睛】本題考查一次函數(shù)與幾何圖形綜合應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)

性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵.

26.在菱形N8CD中，/8=a（a?90。），點E在邊8C上（不與8、C重合），將線段/E繞著點E順時

針旋轉(zhuǎn)口后，點A落在點尸處，連接/F，交邊CD于點P.

圖1圖2

(1)如圖1,如果「=90。，延長EC至點“，使得=連接切.求證：CH=FH；

(2)連接CF,

①如圖2,設(shè)NDCF=J3,求夕與。之間的函數(shù)關(guān)系式：(不寫定義域)

②如果a=120。，DC=4PD.求證：BE=EC.

【答案】(1)見解析

(2)①尸=加-90。；②見解析

【分析】(1)先證明春防絲AEHF(SAS),得至=再根據(jù)菱形NBCD,得到4=3。，又

EH=AB,即可證得C77=2E,從而得出結(jié)論；

(2)①先證明"5E0AEm"SAS),得到BE=FH,NEHF=NABE=a,再根據(jù)菱形4BCD,得到

AB=BC,AB//CD,從而得/BCD=180?！猼z,然后證明S=得到

NHCF=N//FC=g(180O-a)=90O-ga,從而得到180。-1+4+90。-^^=180。，整理即可得出答案；

②延長EC至點〃，使得助'=48,連接尸先由①求得NOC尸=￡=90。，過點/作/G,CD交CD延

長線于G,過點〃作廠于0,設(shè)4B=BC=CD=4D=4>n,利用菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

勾股定理求得GD=2加，AG=2^m,根據(jù)。C=4尸D,求得知=僧，CP=3m,GP=GD+PD=3m,從

面得到GP=CP,再證明A/PG也A尸尸C