2024-2025學年高一數(shù)學下學期期末模擬卷

(天津專用)

一、單項選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

1.已知向量為=(3,-6),且點3(2,-4),則點/的坐標為()

A.(-1,2)B.(1,-2)C.(5,-10)D.(-5,10)

【答案】A

【解析】因為石=(3,-6),點例2,-4),所以點A的坐標為(2,-4)-(3,-6)=(-1,2).故選A

2.i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=-3-2i在復平面內(nèi)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】復數(shù)z=-3-2i對應的坐標為(-3,-2),在第三象限.故選C.

3.一組數(shù)據(jù)：16,21,23,26,33,33,37,37的第85百分位數(shù)為()

A.34B.35C.36D.37

【答案】D

【解析】因為0.85x8=6.8,所以所求數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為37.故選D.

4.對于兩個事件”,N,則事件MuN表示的含義是()

A.M與N同時發(fā)生B.M與N不能同時發(fā)生

C.〃與N有且僅有一個發(fā)生D.〃與N至少有一個發(fā)生

【答案】D

【解析】兩個事件則事件MuN表示的含義是事件至少有一個發(fā)生，故選D.

5.如圖所示，正方體的棱長為1,則三棱錐。的體積是()

A.-B.—C.1D.；

362

【答案】B

【解析】在正方體ABCD-44G2中，DD}1平面ABCD,

11,1

且該正方體的棱長為1，則S^ACD=-AD-CD=-^=~,

故%TO=為什》g，=Jx;xl=；,即三棱錐的體積是!.

33266

故選B.

6.為了解某校今年準備報考飛行員的學生的體重情況，對所得的體重數(shù)據(jù)(單位：kg)進行分組，區(qū)間為

[50,55),[55,60),[60,65),[65,70),[70,75],將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五

組.畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，已知第一組，第二組和第三組的頻率之比為1:2:3,且第一組的頻

【答案】A

【解析】由題前三組頻率之和為1-(0.013+0.037)x5=0.75,

又第一組、第二組和第三組的頻率之比為1:2:3,

所以第一組的頻率為0.75x—二=°125,又第一組的頻數(shù)為6,

1+2+3

所以報考飛行員的學生人數(shù)為萬總=48人.

故選A.

7.在△4BC中，三個內(nèi)角48,C所對邊分別為a,b,c,若他-c)sin8=2csinC且a=cos/=?,則AABC

8

的面積等于()

A.叵B.V39C.3而D.3

2

【答案】A

【解析】因為僅-c)sin8=2csinC,由正弦定理可得6伍-c)=2c?,b2-bc-2c2=0,解得6=2?；?=—c

(舍).

由余弦定理可得10=/=Z?2+C2-26CCOS/=5C2-4C2X*=*C2,解得C=2,故6=4,

82

因為cos/=：,則角A為銳角，所以，sin4=Jl-cos'=啦^,

88

田NL?彳1/。如如

因上匕,3dM=—bcsm/=—x4x2x------=------.

△AABC2282

故選A.

8.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設事件/="第一次出現(xiàn)2點"，3="第二次的點

數(shù)小于5點”，C="兩次點數(shù)之和為9"，。="兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，則下列說法不正確的是（）

A.8與/不互斥且相互獨立B.8與C互斥且不相互獨立

C.C與N互斥且不相互獨立D.。與/不互斥且相互獨立

【答案】B

【解析】如第一次出現(xiàn)2點，第二次出現(xiàn)1點，此時事件42均發(fā)生，所以4與5不是互斥事件，

依題意尸（/）=：,尸⑻=尸（°）=；x；+；x；=；,尸?=忌弓，

663222226x69

41

又P（4B）=「=xP⑷P⑻,即N與8相互獨立，故A正確；

369

第一次出現(xiàn)5點，第二次出現(xiàn)4點，此時事件C2均發(fā)生，所以C與3不是互斥事件，

71

P（BC）=—=—^P（B）P（C）,即2與C不相互獨立，故B錯誤；

尸（/C）=0wP（⑷尸（C）,即A與C不相互獨立，C與N互斥故C正確；

31

P（AD）=—=—=P（A）P（D）,即/與。相互獨立，第一次出現(xiàn)2點，第二次出現(xiàn)1點，此時事件4D

均發(fā)生，所以/與。不是互斥事件，故D正確；

故選B.

9.在棱長為1的正方體/8。。-4耳。2中，AC0BD=O,￡是線段3。（含端點）上的一動點，

①OE_LBD「

②37/平面4QD；

③三棱錐A-BDE的體積為定值；

④OE與4G所成的最大角為90。.

上述命題中正確的個數(shù)是（）

3

【答案】A

【解析】對于①，因為平面5CG4，4Cu平面5CG4,則/8_L3C，

又因為31cl^_AB^BCA=B,AB,8。'平面/2。&，

得4C,平面4gCQ1,又AD|U平面/BC.,所以用。，瓦九

因為耳8_L平面/BCD,/Cu平面4BCZ）,則q8_L/C,

又因為BD上4C,BjBCBD=BDu平面BBQQ,

所以NC_L平面BBRD,又BQu平面BBRD,

所以NC_L8A，^BlCC\AC=C,B,aACc^-^AB.C,所以8。_L平面44c.

又OEu平面4BC,所以0EL82,正確：

對于②，在正方體48CD-4耳G2中，因為44//CD,=CD,

所以四邊形是平行四邊形，所以4。//4。，

又因為4。</平面48。，4CU平面480,所以4。//平面43C,

同理，4。"/平面/Be,又4De4cl=4,4D，4C]U平面4G。，

所以平面物。//平面4CQ.又OEu平面4B（，所以QE//平面4。。，正確；

對于③，由②知4?！ㄅcc,耳c（z平面4助，4Du平面4AD,

所以與c//平面48。，所以點E到平面48。的距離等于點片到平面4助的距離,

VVX1XX1X1X1

所以A-BDE=°E.4BD=Bt-AlBD=VD-AAB=:S.=77=7為定值，正確;

332o

對于④，當E與4重合時，OE與4G所成的角最大，最大為90。，理由如下：

因為4G1BR,BBi1平面44GA,4G<=平面44G2，

所以4G，8.C8與=瓦，且BR,BBXu平面BBRD,

所以4G，平面"汕）/>,

OEu平面〃?Q。，所以4G，0E,所以OE與4cl所成的最大角為90。，正確.

故正確的命題個數(shù)為4個.

故選A.

填空題(共6小題，滿分30分，每小題5分)

10.i是虛數(shù)單位，復數(shù)37=_____.

2-1

24

【答案】-j+ji

【解析】—=^^=--+-i,

2-i555

24

故答案為：-1+1i.

11.《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，河圖的排

列結構如圖所示，一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八同道居左，四與九為友居右，五與十相守居

中，其中白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陽數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對值為5的概率為.

【答案】1/0.2

【解析】所有的基本事件為&/),其中，=1,3,5,7,9,7=2,4,6,8,10,共25個基本事件.

目標事件為(1,6),(7,2),(3,8),(9,4),(5,10),共5個基本事件.

所以尸=2=0?故答案為：7.

2555

12.若一組樣本數(shù)據(jù)X],…，x“的S2=2,則樣本數(shù)據(jù)2%+4,2X2+4,2%+4的方差為.

【答案】8

【解析】由題意的一組樣本數(shù)據(jù)不，9，…，乙的S2=2,

則樣本數(shù)據(jù)2%+4,2X2+4,2%+4的方差為2?XS2=8.

故答案為：8

13.為迎接我校建校120周年校慶，數(shù)學學科在八角形校徽中生發(fā)靈感，設計了一枚“立體八角形”水晶雕塑,

寓意南開在新時代中國“保持真純初心，駿駿汲汲前行”，以下為該雕塑的設計圖及俯視圖，它由兩個中心重

合的正四棱柱組合而成，其中一個正四棱柱可看作由另一個正四棱柱旋轉45。而成，已知正四棱柱的底面邊

長為1,側棱長為2,設該雕塑的表面積為耳，該雕塑內(nèi)可容納最大球的表面積為邑，該雕塑外接球表面積

為S3,則耳=_____,星：Sj=.

【答案】40-2072

【解析】

如圖，設兩個正方形的中心為0,連接。4。區(qū)。。,53,

因為旋轉了45。，所以NNOC=NCOE=45。，

由對稱性可設AB=BC=CD=DE=x,

BD=42BC=CCD=42x，

所以++后）x=l,貝|尤=1^,

所以H=16x2-拒x2+2xlxl+8xL2-巴2-收=40-20vL

2222

該雕塑底面可容納的最大的圓的半徑.

所以該雕塑可容納的最大的球的半徑也為r=j七咨

S2:S3=4兀/：47tA2=:1=,

23223

故答案為：40-20V2;2一二.

3

―?1—?

14.在梯形/5CQ中，ABIICD,AB=5,/。=4,CD=2,ZDAB=60°,動點0滿足：當力尸二§/5時,

。夕與4C相交于點。.記方=扇同=3,則而=（用口B表示）；當點尸到點A的距離為1時，則

Jc-AP的最小值為.

2-5-.—

【答案】—?-V13

【解析】在梯形N3C。中，以點A為原點，直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖:

由ABIICD,AB=5,AD=4,CD=2,ZDAB=60°,得5(5,0),D(2,273),C(4,273),

由萬=」罰，得P(*,0),AP=-DC,則==

336\QC\\DC\6

—?5—?5—?—?s—?52—?2f5-

因止匕4。=—ZC=—(/。+。。)=一----AB=—a+—b；

1111111151111

就=(―1,26),|方|二1，因止匕前?方二|就11萬|cos<5C,AP>=V13cos〈就,AP)>-V13，

當且僅當前，石反向共線時取等號，所以前?刀的最小值為-而.

故答案為：—；-VT?

15.如圖，中華中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高氣度，先在山腳/處測得山頂C處的

仰角為60。，又利用無人機在離地面高400m的M處（即必）=400）,觀測到山頂C處的仰角為15。，山

腳N處的俯角為45。，則山高m.

【解析】ZAMD=^°,則/M=&A?=400a，Z.CMA=45°+15°=60°,Z.CAB=60°,

?ZWC=180°-60°-45°=75°,ZACM=180°-75°-60°=45°,

4cMAAC400V2

在△M4C中，由正弦定理得

sinZAMCsinZACMsin60°―sin45°

解得4c=4006,則8C=/Csin600=600.

故答案為：600

三.解答題(共5小題，滿分75分)

16.(14分)

某地紅心獅猴桃因富含維生素C及K,Ca,班等多種礦物質(zhì)和18種氨基酸，被譽為“維C之王”，某收購

商為了了解某種植基地的紅心狒猴桃品質(zhì)，從該基地的8000個猱猴桃中隨機抽取100個舜猴桃進行測重,

其重量全部分布在區(qū)間[60,120]內(nèi)(單位：克),將所得數(shù)據(jù)分成6組：[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100),[100,110),[110,120],得到頻率分布直方圖如圖所示.

上頻率/組距

0.030

0.025

0.020

0.010

0.005

C60708090100110120重量/克

(1)估計這8000個舜猴桃中重量不小于90克的祿猴桃個數(shù)，并說明理由；

(2)若該收購商準備收購這批祿猴桃，并提出了以下兩種收購方案：方案一：所有掰猴桃均以10元每千克收

購；方案二：小于90克的狒猴桃以5元每千克收購，不小于90克的狒猴桃以15元每千克收購，請你就這

兩種方案，通過計算為該狒猴桃基地選擇最佳的出售方案.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，視

頻率為概率)

【解析】(1)由頻率分布直方圖可知，重量不小于90克的頻率為：(0.03+0.025+0.005)x10=0.6,

所以估計這8000個粉猴桃中重量不小于90克的貓猴桃個數(shù)為8000*0.6=4800個.

(2)由頻率分布直方圖求出每個猱猴桃的平均重量，

x=65x0.1+75x0.1+85x0.2+95x0.3+105x0.25+115x0.05=91.55^,

故方案一：所有舜猴桃均以10元每千克收購；則收入為：器x9L5xlO=732O元.

由頻率分布直方圖重量小于90克的每個舜猴桃的平均重量為：0.1x65+0.1x75+0.2x85=31克，

重量不小于90克的每個御猴桃的平均重量為：0.3x95+0.25x105+0.05*115=60.5克，

因85007320,故方案二為最佳的出售方案.

17.(15分)

“科學技術是第一生產(chǎn)力”.科技進步能夠更好地推動高質(zhì)量發(fā)展，如人工智能中的DeepSeek.某公司A部門有

員工100名，公司擬開展DeepSeek培訓，分三輪進行，每位員工一輪至三輪培訓達到“優(yōu)秀”的概率分別為

每輪相互獨立，有兩輪及兩輪以上獲得“優(yōu)秀”的員工才能應用DeepSeek.

(1)估計A部門員工經(jīng)過培訓能應用DeepSeek的人數(shù)(去尾法精確到個位)；

（2）已知開展DeepSeek培訓前，員工每人每年為公司創(chuàng)造利潤6萬元；開展DeepSeek培訓后，能應用DeepSeek

的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤10萬元.DeepSeek培訓平均每人每年成本為1萬元.根據(jù)公司發(fā)展需要，

計劃先將A部門的部分員工隨機調(diào)至公司其他部門，然后對其余員工開展DeepSeek培訓.要保證培訓后A部

門的年利潤不低于員工調(diào)整前的年利潤，A部門最多可以調(diào)多少人到其他部門？

【解析】（1）由題意每個員工“優(yōu)秀”的概率

C32112131132117

p=-X—X-----1-----X—X------1-----X—X------1-----X—X—=-------

43243243243224

17

則估計A部門員工經(jīng)過培訓能應用DeepSeek的人數(shù)為100x/名70.83個,

按去尾法取整，有70人；

（2）設調(diào)出x人，

調(diào)整前的利潤為6x100=600（萬元），

調(diào)整后的利潤為（100-x）x[xl0-（100-x）xl=

要保證培訓后A部門的年利潤不低于員工調(diào)整前的年利潤，

73（100-x）600x12一

Wnl--------->600,解得尤4100---------------1.4,

1273

因為x為整數(shù)，所以最大值為1,

即A部門最多可以調(diào)1人到其他部門.

18.（15分）

“四葉回旋鏢”可看作是由四個相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，AB=2,CD=l,N/=45。,

NN3C=90。，點尸在線段48與線段上運動.

（1）若麗=2配+〃麗（4〃eR）,求2+2〃的值;

（2）求麗.麗的取值范圍.

【解析】（1）如圖，以C為原點建立平面直角坐標系,

則C（0,0）,3（0,l）,D（T0）,E（T-2）,〃（l,0）,

則EH=（2,2）,DC=（l,0）,BH=（l,-l）,

因由=ADC+〃麗,貝1|(2,2)=4(1,0)+〃(1,-1)=(/I+〃,一〃)，

故之+〃=2,—〃=2,得之=4,〃=一2,則X+24=0.

(2)①當P在線段上運動，設尸(x,l),其中-2WxW0,

因尸(0,-1),所以麗=(2,2),麗=(x,2),則麗.麗=2X+4,

因為—2WxW0,所以麗?麗e[0,4],

②當P在線段以上運動，設尸(x,用(04x41),

因〃1,2),則麗=(x,y-l),瓦=(1,1),

又麗〃瓦，則》=了-1,故尸(x,x+l)(OWxWl),

則麗=(x,x+2),則麗.所=4x+4,

因為04x41,所以麗?麗44,8],

綜上，麗?市的取值范圍為[0,8].

L

19.(15分)

如圖所示，點尸是平面外一點，8c〃平面尸=點E是線段尸。的中點.

(1)求證:CE7/平面尸4B

⑵問：是否存在線段4D上的一點N,使得對線段CE上的任一動點加，均有“N//平面PAB成立？若存

在，請指出點N的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；

(3)若NPA4=NP5C=60。，二面角尸一48-C為45°,求—4BC的余弦值.

【解析】(1)

p

如圖，取ZP中點/，連接EF,BF,

■■E,F分別是PD,PA的中點，；.EF//AD,EF=^AD.

???8C7/平面尸4D,BCu平面4BCD,平面48CDPl平面PAD=AD,

.-.BC//AD.

■.■BC=-AD,：.BC//EF,BC=EF

2

???四邊形BCEF為平行四邊形，.?.CE//BF,

???(Z平面P48,^^平面力瓦,口“平面取氏

(2)存在，點N為的中點.證明如下：

如圖，取4D的中點N,連接CN,EN.

分別是尸的中點，.?.應V〃刃.

???加?平面均玩R4u平面PA8,.?.及V//平面P/2.

由(1)得，CE7/平面尸48,

?;CECEN=E,C￡u平面CEN,9Vu平面CEN,.?.平面CHV〃平面尸/B,

?:MNu平面CEN,：.MN//平面iPAB.

(3)

如圖，過點P作尸。，平面/BCD,垂足為。，過點。作。G_LN8,0H_L8C,垂足分別為G,〃，連接

PG,PH,OB.

■：POABCD,ABu平面N3C￡>,O8u平面/BCD,.?.尸O_LAS,PO1OB.

???OGrAB,OG^PO=O,OGu平面POG,POu平面POG,二/8,平面POG,

■.-PG^^POG,：.ABLPG,故在GO為二面角P-/8-C的平面角，即NPGO=45。.

設尸3=2,

在AMPG5中，由NP8G=NPBN=60°得，ZBPG=30°,：.BG=1,PG=瓜

在&APG?中，由N尸GO=45。得，OG二也PG二如

2

在心△OGS中，OB=dBG2+OG?=

?.sinzOBG=—=J-f同理得sin/O5”'I,即NO5G=/O5H

OB\5

311

???cos/ABC=1-2sin2ZOBG=l-2x-=--,即NABC的余弦值為一《.

20.(16分)

已知Q,b,。分別為斜△/BC三個內(nèi)角力,B,。的對邊，且滿足6-QCOSC=A/JasinC-VJc.

(1)求角/的值;

(2)記8C邊上的高為

(i)若/2=立〃，求sin5:sinC的值;

14

(ii)求息+t的取值范圍.

bc

【解析】(1)由6-“cosC=J^asinC-JJc及正弦定理可得：sinB-sinAcosC=VJsinsinC-V3s