學習目標1.掌握分組分解求和法的使用情形和解題要點.2.掌握奇偶并項求和法的使用情形和解題要點.3.掌握裂項相消求和法的使用情形和解題要點.4.進一步熟悉錯位相減法．知識點一分組分解求和法思考求和：1eq\f(1,2)＋2eq\f(1,22)＋3eq\f(1,23)＋…＋(n＋eq\f(1,2n))．梳理分組分解求和的基本思路：通過分解每一項重新組合，化歸為等差數(shù)列和等比數(shù)列求和．知識點二奇偶并項求和法思考求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.梳理奇偶并項求和的基本思路：有些數(shù)列單獨看求和困難，但相鄰項結合后會變成熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列求和．但當求前n項和而n是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定時，往往需要討論．知識點三裂項相消求和法思考我們知道eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，試用此公式求和：eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn＋1).梳理如果數(shù)列的項能裂成前后抵消的兩項，可用裂項相消求和，此法一般先研究通項的裂法，然后仿照裂開每一項．裂項相消求和常用公式：(1)eq\f(1,nn＋k)＝______________________；(2)eq\f(1,\r(n＋k)＋\r(n))＝______________________；(3)eq\f(1,2n－12n＋1)＝____________________________；(4)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)[eq\f(1,nn＋1)－eq\f(1,n＋1n＋2)]．類型一分組分解求和例1求和：Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xn＋\f(1,xn)))2(x≠0)．反思與感悟某些數(shù)列，通過適當分組，可得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和．跟蹤訓練1求數(shù)列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n項和Sn(其中a≠0，n∈N＋)．類型二裂項相消求和例2求和：eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n2－1)，n≥2，n∈N＋.引申探究求和：eq\f(22,22－1)＋eq\f(32,32－1)＋eq\f(42,42－1)＋…＋eq\f(n2,n2－1)，n≥2，n∈N＋.反思與感悟求和前一般先對數(shù)列的通項公式an變形，如果數(shù)列的通項公式可轉(zhuǎn)化為f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂項求和法．跟蹤訓練2求和：1＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,1＋2＋3)＋…＋eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)，n∈N＋.類型三奇偶并項求和例3求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．反思與感悟通項中含有(－1)n的數(shù)列求前n項和時可以考慮用奇偶并項法，分項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)分別進行求和．跟蹤訓練3已知數(shù)列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n項和Sn.1．數(shù)列{1＋2n－1}的前n項和為________．2．數(shù)列{eq\f(2,nn＋1)}的前2016項和為________．3．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，當整數(shù)n>1時，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，則S5＝________.4．已知數(shù)列an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1，n為奇數(shù)，,n，n為偶數(shù)，))則S100＝________.求數(shù)列的前n項和，一般有下列幾種方法．1．錯位相減適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘構成的數(shù)列求和．2．分組求和把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列．3．裂項相消有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和．4．奇偶并項當數(shù)列通項中出現(xiàn)(－1)n或(－1)n＋1時，常常需要對n取值的奇偶性進行分類討論．5．倒序相加例如，等差數(shù)列前n項和公式的推導方法．

答案精析問題導學知識點一思考1eq\f(1,2)＋2eq\f(1,22)＋3eq\f(1,23)＋…＋(n＋eq\f(1,2n))＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n))＝eq\f(nn＋1,2)＋eq\f(\f(1,2)1－\f(1,2n),1－\f(1,2))＝eq\f(nn＋1,2)＋1－eq\f(1,2n).知識點二思考12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050.知識點三思考由eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)得eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn＋1)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1).梳理(1)eq\f(1,k)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋k))(2)eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))(3)eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))題型探究類型一例1解當x≠±1時，Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xn＋\f(1,xn)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2＋\f(1,x2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x4＋2＋\f(1,x4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2n＋2＋\f(1,x2n)))＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋\f(1,x4)＋…＋\f(1,x2n)))＝eq\f(x2x2n－1,x2－1)＋eq\f(x－21－x－2n,1－x－2)＋2n＝eq\f(x2n－1x2n＋2＋1,x2nx2－1)＋2n；當x＝±1時，Sn＝4n.綜上知，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4n，x＝±1，,\f(x2n－1x2n＋2＋1,x2nx2－1)＋2n，x≠±1，x≠0.))跟蹤訓練1Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)，a＝1，,\f(n,1－a)－\f(a1－an,1－a2)，a≠1.))類型二例2解∵eq\f(1,n2－1)＝eq\f(1,n－1n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))，∴原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(,＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋1,2nn＋1)(n≥2，n∈N＋)．引申探究解∵eq\f(n2,n2－1)＝eq\f(n2－1＋1,n2－1)＝1＋eq\f(1,n2－1)，∴原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22－1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,32－1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,42－1)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2－1)))＝(n－1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22－1)＋\f(1,32－1)＋\f(1,42－1)＋…＋\f(1,n2－1)))，以下同例2解法．跟蹤訓練2解∵an＝eq\f(1,1＋2＋…＋n)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴Sn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1).類型三例3解當n為奇數(shù)時，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·eq