23.1.2.2互余兩銳角的三角函數(shù)關(guān)系第23章

解直角三角形【2025-2026學(xué)年】滬科版

數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********23.1.2.2互余兩銳角的三角函數(shù)關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)理解并掌握互余兩銳角的三角函數(shù)關(guān)系，即任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。能夠運(yùn)用互余兩銳角的三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)值的轉(zhuǎn)化和計(jì)算，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，深入體會(huì)互余兩銳角三角函數(shù)關(guān)系的合理性和實(shí)用性。課堂講解一、互余兩銳角的三角函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)在直角三角形中，兩個(gè)銳角之和為\(90^{\circ}\)，即它們互為余角。設(shè)\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，則\(\angleA+\angleB=90^{\circ}\)，即\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\)。根據(jù)正弦和余弦的定義：\(\sinA=\frac{\angleA????ˉ1è?1}{???è?1}=\frac{BC}{AB}\)\(\cosB=\frac{\angleB???é??è?1}{???è?1}=\frac{BC}{AB}\)因此，\(\sinA=\cosB\)，又因?yàn)閈(\angleB=90^{\circ}-\angleA\)，所以\(\sinA=\cos(90^{\circ}-\angleA)\)。同理：\(\cosA=\frac{\angleA???é??è?1}{???è?1}=\frac{AC}{AB}\)\(\sinB=\frac{\angleB????ˉ1è?1}{???è?1}=\frac{AC}{AB}\)因此，\(\cosA=\sinB\)，即\(\cosA=\sin(90^{\circ}-\angleA)\)。綜上，互余兩銳角的三角函數(shù)關(guān)系為：\(\sin\alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)\)\(\cos\alpha=\sin(90^{\circ}-\alpha)\)（其中\(zhòng)(\alpha\)為銳角）二、互余兩銳角三角函數(shù)關(guān)系的驗(yàn)證以特殊角為例進(jìn)行驗(yàn)證：當(dāng)\(\alpha=30^{\circ}\)時(shí)，\(90^{\circ}-\alpha=60^{\circ}\)：\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)，\(\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\)，所以\(\sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}\)。\(\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\cos30^{\circ}=\sin60^{\circ}\)。當(dāng)\(\alpha=45^{\circ}\)時(shí)，\(90^{\circ}-\alpha=45^{\circ}\)：\(\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，所以\(\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}\)。通過(guò)特殊角的驗(yàn)證，進(jìn)一步證明了互余兩銳角三角函數(shù)關(guān)系的正確性。三、互余兩銳角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用（一）利用關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化例1：已知\(\sin35^{\circ}=a\)，求\(\cos55^{\circ}\)的值。解：因?yàn)閈(35^{\circ}+55^{\circ}=90^{\circ}\)，即\(55^{\circ}=90^{\circ}-35^{\circ}\)。根據(jù)互余兩銳角的三角函數(shù)關(guān)系\(\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\)，可得：\(\cos55^{\circ}=\cos(90^{\circ}-35^{\circ})=\sin35^{\circ}=a\)例2：計(jì)算\(\sin70^{\circ}-\cos20^{\circ}\)的值。解：因?yàn)閈(70^{\circ}+20^{\circ}=90^{\circ}\)，所以\(\sin70^{\circ}=\cos(90^{\circ}-70^{\circ})=\cos20^{\circ}\)。則\(\sin70^{\circ}-\cos20^{\circ}=\cos20^{\circ}-\cos20^{\circ}=0\)（二）利用關(guān)系比較三角函數(shù)值大小例3：比較\(\sin50^{\circ}\)和\(\cos40^{\circ}\)的大小。解：因?yàn)閈(\cos40^{\circ}=\sin(90^{\circ}-40^{\circ})=\sin50^{\circ}\)，所以\(\sin50^{\circ}=\cos40^{\circ}\)。例4：比較\(\sin30^{\circ}\)和\(\cos65^{\circ}\)的大小。解：\(\cos65^{\circ}=\sin(90^{\circ}-65^{\circ})=\sin25^{\circ}\)。因?yàn)樵阡J角范圍內(nèi)，正弦值隨角度的增大而增大，且\(30^{\circ}>25^{\circ}\)，所以\(\sin30^{\circ}>\sin25^{\circ}\)，即\(\sin30^{\circ}>\cos65^{\circ}\)。（三）結(jié)合特殊角解決綜合問(wèn)題例5：已知\(\alpha\)為銳角，且\(\sin\alpha=\cos(30^{\circ})\)，求\(\alpha\)的度數(shù)。解：因?yàn)閈(\cos30^{\circ}=\sin(90^{\circ}-30^{\circ})=\sin60^{\circ}\)，又因?yàn)閈(\sin\alpha=\cos30^{\circ}\)，所以\(\sin\alpha=\sin60^{\circ}\)。由于\(\alpha\)為銳角，所以\(\alpha=60^{\circ}\)。四、注意事項(xiàng)互余兩銳角的三角函數(shù)關(guān)系僅適用于銳角，即\(\alpha\)的取值范圍是\(0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\)。在應(yīng)用關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，要準(zhǔn)確判斷哪個(gè)角是已知角的余角，避免出現(xiàn)角度計(jì)算錯(cuò)誤。結(jié)合正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的增減性（正弦值隨銳角增大而增大，余弦值隨銳角增大而減?。?，可以更靈活地運(yùn)用該關(guān)系比較三角函數(shù)值的大小。課堂小結(jié)互余兩銳角的三角函數(shù)關(guān)系：對(duì)于任意銳角\(\alpha\)，有\(zhòng)(\sin\alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)\)，\(\cos\alpha=\sin(90^{\circ}-\alpha)\)。該關(guān)系可以通過(guò)直角三角形中邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系推導(dǎo)得出，且能通過(guò)特殊角進(jìn)行驗(yàn)證。利用該關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)正弦值和余弦值的相互轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化三角函數(shù)值的計(jì)算、比較大小以及求解角度等問(wèn)題。作業(yè)提升已知\(\cos20^{\circ}=b\)，求\(\sin70^{\circ}\)的值。計(jì)算：\(\sin40^{\circ}+\cos50^{\circ}\)比較\(\cos25^{\circ}\)和\(\sin65^{\circ}\)的大小。已知\(\alpha\)為銳角，且\(\cos\alpha=\sin(25^{\circ})\)，求\(\alpha\)的度數(shù)。已知\(\sin(45^{\circ})=\cos(\beta)\)，且\(\beta\)為銳角，求\(\beta\)的度數(shù)。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解新課導(dǎo)入思考觀察結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

新課探究這就是說(shuō)，30°，45°，60°這三個(gè)角的正（余）弦的值，分別等于它們余角的余（正）弦的值.sin30°=cos60°sin60°=cos30°sin45°=cos45°發(fā)現(xiàn)思考：這個(gè)規(guī)律是否適合任意一個(gè)銳角呢？

如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°.ACBabc∵sinA=，cosA=，sinB=，cosB=，acbcbcac∴sinA=cosB，cosA=sinB.

如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°.ACBabc即sinA=cosB=cos（90°–∠A），cosA=sinB=sin（90°–∠A），

任意一個(gè)銳角的正（余）弦的值，等于它的余角的余（正）弦的值.

舉例驗(yàn)證一下6CA10B8sinA=

=sinB=

=cosA=

=cosB=

=Rt△ABC

如圖所示

練習(xí)已知∠A

與∠B

都是銳角.（1）把cos（90°–∠A）寫(xiě)成∠A

的正弦；（2）把sin（90°–∠B）寫(xiě)成∠B

的余弦；sinAcosB

例5

在Rt△ABC

中，∠C=90°，且sinA=，求cosB

的值.解∵∠A+∠B=90°，

∴cosB=cos（90°–∠A）=sinA

=

練習(xí)（1）已知：cosA=，且∠B=90°–∠A，求sinA的值；解

sinA=sin（90°–∠B）=cosA

=

（2）已知：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，求68°的正弦、余弦的值.解

sin68°=sin（90°–22°）=cos22°=0.9272cos68°=cos（90°–22°）=sin22°=0.3746

在Rt△ABC

中，∠C=90°，求證：（1）；（2）sin2

A+cos2

A=1ACBabc

∵sinA=，cosA=，tanA=acbcabACBabcsinAcosA∴===tanA.acbcab解（1）

ACBabcsin2

A+cos2

A

====1.（2）∵∠C=90°，∴a2+b2=c2.

在Rt△ABC

中，∠C=90°，求證：tanA·tanB=1ACBabc證明：tanA·tanB

=·=1

隨堂演練1.在Rt△ABC

中，∠C=90°，sinA=，則cosB=____.cosA=_______.

2.已知α

為銳角，sinα=cos40°，則α

等于（）A.20°B.30°C.40°D.50°D

3.計(jì)算tan1°tan2°…tan88°