第二節(jié)球的切、接問題重點解讀球的切、接問題是高中數(shù)學的重點、難點，也是高考命題的熱點，一般是通過對幾何體的割補或尋找?guī)缀误w外接球的球心求解外接球問題，利用等體積法求內切球半徑等.八種常見球的切、接模型1.正方體與球（1）內切球：內切球直徑2R＝正方體棱長a；（2）棱切球：棱切球直徑2R＝正方體的面對角線長2a；（3）外接球：外接球直徑2R＝正方體體對角線長3a.2.長方體的外接球外接球直徑2R＝體對角線長a2＋b2＋c2（3.正四面體的外接球如圖，設正四面體ABCD的棱長為a，將其放入正方體中，則正方體的棱長為22a，顯然正四面體和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為R＝22a·32＝64a，即正四面體外接球半徑為R4.對棱相等的三棱錐的外接球四面體ABCD中，AB＝CD＝m，AC＝BD＝n，AD＝BC＝t，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構造長方體求解這類問題.如圖，設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則b2＋c2＝m2，a2＋c2＝n2，a2＋b2＝t2，三式相加可得a2＋b2＋c2＝

5.直棱柱（圓柱）的外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）.（1）確定球心O的位置，球心O在三棱柱上下底面外接圓圓心連線段O1O2的中點處；（2）求外接球半徑R，設三棱柱下底面外接圓半徑為r，三棱柱的高為h，由圖可知OO1⊥平面ABC.在Rt△AO1O中，OA＝R，AO1＝r，OO1＝h2，所以R＝r6.正棱錐的外接球與內切球（1）內切球：V正棱錐＝13S表·r＝13S底·h（等體積法），r是內切球半徑，h（2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，R2＝（h－R）2＋r2（正棱錐外接球半徑為R，高為h）.7.球內接圓錐如圖1，設圓錐的高為h，底面圓半徑為r，球的半徑為R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程來計算R.如圖2，當PC＞CB時，球心在圓錐內部；如圖3，當PC＜CB時，球心在圓錐外部.由圖2、圖3可知，OC＝h－R或R－h(huán)，故（h－R）2＋r2＝R2，所以R＝h28.球內接圓臺R2＝r22＋（r22－r12－h(huán)22h）2，其中求解與幾何體的外接球有關問題（定向精析突破）考向1定義法（1）在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝22，AC＝4，∠BAC＝45°，則三棱錐P-ABC外接球的表面積是（）A.14π B.16π C.18π D.20π（2）（2022·新高考Ⅱ卷7題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和43，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.100π B.128πC.144π D.192π聽課記錄解題技法到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)球心到其他頂點的距離也是半徑，列關系式求解即可.某建筑的形狀可視為內外兩個同軸圓柱，某愛好者制作了一個實心模型，已知模型內層底面直徑為12cm，外層底面直徑為16cm，且內外層圓柱的底面圓周都在一個直徑為20cm的球面上，則此模型的體積為cm3.考向2補形法數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側面是全等的等腰三角形.將長方體ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1繞著其中心旋轉45°得到如圖2所示的十面體ABCD-EFGH.已知AB＝AD＝2，AE＝7，則十面體ABCD-EFGH外接球的表面積是.聽課記錄解題技法補形法的解題策略（1）側面為直角三角形，或正四面體，或對棱均相等的模型，可以還原到正方體或長方體中去求解；（2）若直棱柱的底面有外接圓，可以補成圓柱求解.1.已知在三棱錐P-ABC中，AC＝2，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，則其外接球體積為（）A.4π3 BC.32π3 D.42.已知三棱錐A-BCD，三組對棱兩兩相等，且AB＝CD＝1，AD＝BC＝3，若三棱錐A-BCD的外接球表面積為9π2，則AC＝考向3截面法兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為32π3，兩個圓錐的高之比為1∶3，則這兩個圓錐的體積之和為（A.3π B.4πC.9π D.12π聽課記錄解題技法與球截面有關的解題策略（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度作出截面，實現(xiàn)空間問題平面化的目的.（2025·南昌四校聯(lián)考）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，M，N分別為AD，BC的中點，該正方體的外接球為球O，則平面A1MN截球O得到的截面圓的面積為（）A.6π5 BC.12π5 D求解與幾何體的內切球有關的問題（師生共研過關）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為.聽課記錄解題技法1.多面體內切球的球心與半徑的確定（1）內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等；（2）正多面體的內切球和外接球的球心重合；（3）正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不重合；（4）體積分割是求內切球半徑的通用做法.2.正四面體的內切球的半徑r＝612a，其半徑是外接球半徑的三分之一（a為該正四面體的棱長1.一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為4π3，那么這個正三棱柱的體積是（A.123 B.23C.63 D.4832.半球內放三個半徑為3的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是（）A.1＋3 B.3＋5C.5＋7 D.3＋7求解與球切、接有關的最值問題（師生共研過關）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）A.13 B.C.33 D.聽課記錄解題技法處理與球切、接有關最值問題的解題策略（1）幾何法：利用幾何體中的特殊點、特殊面構造內含待求目標值的特殊幾何體求解；（2）代數(shù)法：找出問題中的代