認知幾類特殊的函數(shù)高考數(shù)學與高等數(shù)學知識（如高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、歐拉函數(shù)、黎曼函數(shù)等）的接軌，常以小題的形式呈現(xiàn)，意在考查數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng).一、高斯函數(shù)1.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，例如[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函數(shù)f（x）＝2x+11+2x，則函數(shù)y＝[f（xA.{0，1} B.（0，2）C.（0，1） D.{－1，0，1}解析：A法一因為f（x）＝2x+11+2x＝2x+1+2－21+2x＝2－21+2x∈（0，2），所以當f（x）∈（0，1）時，y＝[f（x）]＝0；當f（x）∈[1，2）時，y＝[f（x）]＝1.所以函數(shù)法二因為y＝[f（x）]不可能為小數(shù)，所以排除B、C；又2x＞0，所以f（x）＝2x+11+2x＞0，所以y＝[f（x）]≠－12.高斯函數(shù)y＝[x]，也稱為取整函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù).例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.則下列結(jié)論：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③若[x＋1]＝3，則x的取值范圍是2≤x≤3；④當－1≤x＜1時，[x＋1]＋[－x＋1]的值為1，2.其中正確的結(jié)論有.（寫出所有正確結(jié)論的序號）答案：①④解析：①[－2.1]＋[1]＝－3＋1＝－2，正確；②[x]＋[－x]＝0，錯誤，例如：[2.5]＝2，[－2.5]＝－3，2＋（－3）≠0；③若[x＋1]＝3，則x的取值范圍是2≤x＜3，故錯誤；④當－1≤x＜1時，0≤x＋1＜2，0＜－x＋1≤2，∴[x＋1]＝0或1，[－x＋1]＝0或1或2，當[x＋1]＝0時，[－x＋1]＝1或2；當[x＋1]＝1時，[－x＋1]＝1或0；∴[x＋1]＋[－x＋1]的值為1，2，故正確.二、狄利克雷函數(shù)3.（2024·長安質(zhì)檢）已知著名的狄利克雷函數(shù)f（x）＝1，x∈Q，0，x∈?

RQ，其中R為實數(shù)集，Q為有理數(shù)集，若m∈A.0 B.1C.0或1 D.無法求解析：B若m∈Q，則f（m）＝1，所以f（f（f（m）））＝f（f（1））＝f（1）＝1.若m∈?RQ，則f（m）＝0，所以f（f（f（m）））＝f（f（0））＝f（1）＝1.故選B.4.（多選）（2024·濟寧一模）德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，函數(shù)f（x）＝1，x∈Q，0，x∈?

RQ被稱為狄利克雷函數(shù)A.f（f（x））＝0B.函數(shù)f（x）是偶函數(shù)C.任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x＋T）＝f（x）對任意的x∈R恒成立D.存在三個點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形解析：BCD對于A，當x為有理數(shù)時，f（x）＝1，f（f（x））＝f（1）＝1，A錯誤.對于B，若x∈Q，則－x∈Q；若x∈?RQ，則－x∈?RQ，所以無論x是有理數(shù)還是無理數(shù)，都有f（－x）＝f（x），即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，B正確.對于C，當x為有理數(shù)時，x＋T為有理數(shù)，滿足f（x＋T）＝f（x）＝1；當x為無理數(shù)時，x＋T為無理數(shù)，滿足f（x＋T）＝f（x）＝0，C正確.對于D，當A，B，C三點滿足A（33，0），B（0，1），C（－33，0）時，△ABC為等邊三角形，D三、黎曼函數(shù)5.（2024·渝中模擬）黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學中有著廣泛的應用，其定義為：R（x）＝1若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意x都有f（2＋x）＋f（x）＝0，當x∈[0，1]時，f（x）＝R（x），則f（lg2024）＋f（30＋20245）A.15 B.C.－25 D.－解析：D由f（2＋x）＋f（x）＝0?f（2＋x）＝－f（x）?f（x＋4）＝f（x），可得f（x）的周期為4，又f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（lg2024）＝f（－lg2024）＝f（4－lg2024）＝f（lg100002024）＝R（lg100002024）＝0，f（30＋20245）＝f（2＋45）＝－f（45）＝－R（45）＝－156.黎曼函數(shù)是定義在[0，1]上，解析式為R（x）＝1p，x＝qp（p，q都是正整數(shù)，qp是既約真分數(shù)），0，x=0，1或[0，1]上的無理數(shù)的函數(shù)，若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意的x，都有f（2＋x）＋f（2－x）＝0，當x∈[0，1]答案：－3解析：因為f（2＋x）＋f（2－x）＝0，所以f（2＋x）＝－f（2－x）.因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（2＋x）＝f（x－2），所以f（4＋x）＝f（x），所以f（x）的周期為4.因為f（2＋x）＋f（2－x）＝0，所以令x＝0，可得f（2）＝0，所以f（2022）＝f（2）＝0.因為f（20232）＝f（－12）＝－f（12）＝－12，f（20245）＝f（45）＝15，所以f（2022）＋f四、歐拉函數(shù)7.（2024·鄭州一模）歐拉函數(shù)φ（n）（n∈N*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素（也稱互質(zhì)）的正整數(shù)的個數(shù)，規(guī)定φ（1）＝1，則（）A.數(shù)列{φ（n）}單調(diào)B.φ（5）＜φ（6）C.數(shù)列{φ（2n）}是等比數(shù)列D.φ（6）＝φ（2）＋φ（3）解析：C由題意知，φ（1）＝1，φ（2）＝1，所以A錯誤；由題意知，φ（5）＝4，φ（6）＝2，所以B錯誤；由題意，易知2n與比它小的正奇數(shù)都互素，所以不超過2n且與2n互素的正整數(shù)有2n－1個，所以φ（2n）＝2n－1，數(shù)列{φ（2n）}是等比數(shù)列，C正確；由題意知，φ（6）＝2，φ（2）＝1，φ（3）＝2，所以D錯誤.故選C.五、雙曲函數(shù)8.（多選）意大利畫家列奧納多·達·芬奇（1452～1519）的畫作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上黑色珍珠項鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，達·芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式：f（x）＝acoshxa，其中a為懸鏈線系數(shù)，coshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達式為coshx＝ex＋e－x2，相應地雙曲正弦函數(shù)的表達式為sinhx＝ex－e－x2.若直線x＝m與雙曲余弦函數(shù)C1及雙曲正弦函數(shù)C2的圖象分別相交于點A，B，曲線C1在點A處的切線l1與曲線CA.cosh（x－y）＝coshxcoshy－sinhxsinhyB.y＝sinhxcoshx是偶函數(shù)C.（coshx）'＝sinhxD.若△PAB是以A為直角頂點的直角三角形，則實數(shù)m＝0解析：ACDcoshxcoshy－sinhxsinhy＝ex＋e－x2·ey＋e－y2－ex－e－x2·ey－e－y2＝ex－y＋e－x＋y2＝cosh（x－y），A正確；y＝sinhxcoshx＝e2x－e－2x4，記h（x）＝e2x－e－2x4，則h（－x）＝e－2x－e2x4＝－h(huán)（x），h（x）為奇函數(shù)，即y＝sinhx·coshx是奇函數(shù)，B錯誤；（ex＋e－9.（多選）濟南大明湖的湖邊設有如圖所示的護欄，柱與柱之間是一條均勻懸鏈.數(shù)學中把這種兩端固定的一條（粗細與質(zhì)量分布）均勻、柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線.如果建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，那么懸鏈線可以表示為函數(shù)f（x）＝a2（exa＋e－xa），其中a＞0，則下列關于懸鏈線函數(shù)f（A.f（x）為偶函數(shù)B.f（x）為奇函數(shù)C.f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，0）D.f（x）的最大值是a解析：AC∵f（－x）＝a2（e－xa＋exa）＝f（x），則f（x）為偶函數(shù)，A正確，B錯誤；又∵f'（x）＝12（exa－e－xa）在R上是增函數(shù)，且f'（0）＝0，則當x＞0時，則f'（x）＞0，當x＜0時，則f'（x）＜0，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，＋∞），C正確；則f（x）≥f（0）＝a，即f（六、不動點函數(shù)10.（多選）在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學（一個數(shù)學分支）里一個非常重要的定理，簡單來講就是對于滿足一定條件的圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f（x），如果存在一個點x0，使得f（x0）＝x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動點函數(shù)”.下列為“不動點函數(shù)”的是（）A.f（x）＝x＋1 B.f（x）＝1x－x，x＞C.f（x）＝x2－x＋3 D.f（x）＝log1解析：BD四個選項中的函數(shù)的圖象顯然都是連續(xù)不斷的.對于A，令x0＋1＝x0，該方程無解，故A不是“不動點函數(shù)”.對于B，令1x0－x0＝x0，x0＞0，解得x0＝22，故B是“不動點函數(shù)”.對于C，令x02－x0＋3＝x0，即（x0－1）2＋2＝0，該方程無實數(shù)根，故C不是“不動點函數(shù)”.對于D，畫出y＝log12x與y＝x的圖象，如圖所示，顯然兩圖象有交點，即存在一個點x0，使得f（x0）＝x0，故D是“不動點函數(shù)”11.定義：對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f（x），存在一個點x0，使得f（x0）＝x0的函數(shù)f（x）為“不動點”函數(shù)，滿足條件的x0為函數(shù)f（x）的一個不動點，依據(jù)不動點理論，下列說法正確的是.（填序號）①函數(shù)f（x）＝sinx有三個不動點；②函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）至多有兩個不動點；③若函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）沒有不動點，則方程f（f（x））＝x無實根.答案：②③解析：對于①，令g（x）＝sinx－x，x∈R，則g'（x）＝cosx－1≤0，當且僅當cosx＝1時取“＝”，所以g（x）在R上是減函數(shù)，又g（0）＝0，所以g（x）在R上只有一個零點，函數(shù)f（x）只有一個不動點，①不正確；對于②，因為二次函數(shù)y＝ax2＋（b－1）x＋c（a，b，c為參數(shù)）至多有兩個零點，所以函數(shù)f（x）至多有兩個不動點，②正確；對于③，依題意得，關于x的方程f（x）－x＝ax2＋（b－1）x＋c＝0無實數(shù)根，所以Δ＝（b－1）2－4ac＜0.當a＞0時，二次函數(shù)y＝f（x）－x的圖象開口向上，則f（x）－x＞0恒成立，即?x∈R，恒有f（x）＞x，又f（x）∈R，所以有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，所以方程f（f（x））＝x無實根.當a＜0時，二次函數(shù)y＝f（x）－x的圖象開口向下，則f（x）－x＜0恒成立，即?x∈R，恒有f（x）＜x，又f（x）∈R，所以有f（f（x））＜f（x）＜x恒成立，所以方程f（f（x））＝x無實根.綜上所述，若函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）沒有不動點，則方程f（f（x））＝x無實根，③正確.點評無論是何種特殊函數(shù)，大致可分為兩類進行解決：①以某些特殊函數(shù)為背景考查函數(shù)的基本概念及性質(zhì)：破解關鍵是理解函數(shù)的實質(zhì)，與熟悉的函數(shù)類比，通過賦特殊值或數(shù)形結(jié)合解決；②通過特殊函數(shù)定義某些“新性質(zhì)、新運算”：破解關鍵是認真閱讀題意，分析“新性質(zhì)、新運算”的特點，并與熟悉的知識、方法相聯(lián)系，剝?nèi)ァ靶滦再|(zhì)、新運算”的外衣，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的知識、方法來解決.1.已知a＝log23，b＝log25，則log415＝（）A.2a＋2b B.a＋bC.ab D.12a＋1解析：Dlog415＝12log215＝12（log23＋log25）＝12a＋122.（2024·沈陽二中模擬）已知函數(shù)f（x）＝log5x，f－1（x）是f（x）的反函數(shù)，則f（1）＋f－1（1）＝（）A.10 B.8C.5 D.2解析：C因為函數(shù)f（x）＝log5x，所以f－1（x）＝5x，所以f（1）＝log51＝0，f－1（1）＝51＝5，即f（1）＋f－1（1）＝5.故選C.3.（2024·上饒模擬）函數(shù)f（x）＝log2（x2－x），x∈[2，5]的值域為（）A.[1，2＋log25] B.[1，2]C.[2，log210] D.[2，1＋log25]解析：A令g（x）＝x2－x，x∈[2，5]，則g（x）在[2，5]上單調(diào)遞增，又g（2）＝2，g（5）＝20，所以g（x）∈[2，20]，又y＝log2x在[2，20]上單調(diào)遞增，所以f（x）∈[log22，log220]，即f（x）∈[1，2＋log25]，故選A.4.（2024·華中師大附中模擬）已知a＝log511，b＝log28，c＝e，則a，b，c的大小關系為（）A.a＜c＜b B.b＜c＜aC.c＜a＜b D.a＜b＜c解析：D由對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，可得a＝log511＝log5121＜log5125＝32，b＝log28＝12log28＝32，c＝e＞94＝32，所以c＞5.（多選）（2024·淮安模擬）若實數(shù)a，b滿足log3a＜log3b，則下列各式中一定正確的是（）A.3a＜3b B.（13）a－b＞C.ln（b－a）＞0 D.loga3＜logb3解析：AB因為函數(shù)y＝log3x為增函數(shù)，由log3a＜log3b可得b＞a＞0.對于A選項，函數(shù)y＝3x為增函數(shù)，則3a＜3b，A對；對于B選項，函數(shù)y＝（13）x為減函數(shù)，且a－b＜0，則（13）a－b＞（13）0＝1，B對；對于C選項，b－a＞0，但b－a與1的大小關系不確定，故ln（b－a）與0的大小關系不確定，C錯；對于D選項，取a＝3，b＝9，則log33＝1＞12＝log93，即loga3＞logb3，D錯.6.（多選）設a與b為實數(shù)，a＞0，且a≠1，已知函數(shù)f（x）＝loga（x＋b）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.a＝3B.b＝3C.函數(shù)的定義域為（0，＋∞）D.函數(shù)f（x）＝loga（x＋b）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增解析：ABD由題意可知f（0）＝logab=2，f(-2）＝loga(-2+b）=0，即a2＝b，－2+b=1，a>0，解得a＝3，b=3，A、B選項正確；∴f（x）＝log3（x＋3），則x＋3＞0?x＞－3，7.函數(shù)f（x）＝log2x·log

2（2x）的最小值為答案：－1解析：f（x）＝log2x·log

2（2x）＝12log2x·2log2（2x）＝log2x·（1＋log2x）＝（log2x）2＋log2x＝（log2x＋12）2－14，所以當log2x＝－12，即x＝22時，函數(shù)f（8.已知函數(shù)f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），a＞0且a≠1.（1）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；（2）當a＞1時，求使f（x）＞0的x的取值范圍.解：（1）f（x）是奇函數(shù)，證明如下：因為f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），所以x解得－1＜x＜1，f（x）的定義域為（－1，1）.f（－x）＝loga（－x＋1）－loga（1＋x）＝－[loga（1＋x）－loga（－x＋1）]＝－f（x），故f（x）是奇函數(shù).（2）因為當a＞1時，y＝loga（x＋1）是增函數(shù)，y＝loga（1－x）是減函數(shù)，所以當a＞1時，f（x）在定義域（－1，1）內(nèi)是增函數(shù)，f（x）＞0即loga（x＋1）－loga（1－x）＞0，logax+11－x＞0，x+11－2x（1－x）＞0，解得0＜x＜1，故使f（x）＞0的x的取值范圍為（0，1）.9.已知函數(shù)f（x）＝loga（8－ax）（a＞0，且a≠1），若f（x）＞1在區(qū)間[1，2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（0，1） B.（1，83C.（83，2） D.（2，＋∞解析：B當a＞1時，f（x）＝loga（8－ax）在[1，2]上單調(diào)遞減，由f（x）＞1在區(qū)間[1，2]上恒成立，則f（x）min＝f（2）＝loga（8－2a）＞1，即8－2a>0，8－2a＞a，解得a＜83，故實數(shù)a的取值范圍是（1，83）.當0＜a＜1時，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，由f（x）＞1在區(qū)間[1，2]上恒成立，知f（x）min＝f（1）＝loga（8－a）＞110.設函數(shù)f（x）的定義域為D，若滿足：①f（x）在D內(nèi)是增函數(shù)；②存在[m，n]?D（n＞m），使得f（x）在[m，n]上的值域為[m，n]，那么就稱y＝f（x）是定義域為D的“成功函數(shù)”.若函數(shù)g（x）＝loga（a2x＋t）（a＞0且a≠1）是定義域為R的“成功函數(shù)”，則t的取值范圍是（）A.（0，14） B.（0，1C.（－∞，14） D.（14，＋解析：A因為g（x）＝loga（a2x＋t）是定義在R上的“成功函數(shù)”，所以g（x）為增函數(shù)，且g（x）在[m，n]上的值域為[m，n]，故g（m）＝m，g（n）＝n，即g（x）＝x有兩個不相等的實數(shù)根.又loga（a2x＋t）＝x，即a2x－ax＋t＝0.令s＝ax，s＞0，即s2－s＋t＝0有兩個不相等的正實根，可得t>0，Δ=1－4t11.（多選）已知函數(shù)f（x）＝ln（e2x＋1）－x，則（）A.f（ln2）＝ln5B.f（x）是奇函數(shù)C.f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增D.f（x）的最小值為ln2解析：ACDf（ln2）＝ln（e2ln2＋1）－ln2＝ln52，故A項正確；f（x）＝ln（e2x＋1）－x＝ln（e2x＋1）－lnex＝lne2x+1ex＝ln（ex＋e－x），所以f（－x）＝ln（ex＋e－x），所以f（－x）＝f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，故B項錯誤；當x＞0時，y＝ex＋e－x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，因此y＝ln（ex＋e－x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，故C項正確；由于f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，又f（x）為偶函數(shù)，所以f（x）在（－∞，0]上單調(diào)遞減，所以f（x）的最小值為f（0）＝12.（多選）函數(shù)f（x）＝loga｜x－1｜在（0，1）上單調(diào)遞減，那么（）A.f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增且無最大值B.f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞減且無最小值C.f（x）的圖象關于直線x＝1對稱D.?a＝2025，滿足f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減解析：ACD由題意，函數(shù)f（x）＝loga｜x－1｜在（0，1）上單調(diào)遞減，即f（x）＝loga（1－x）在（0，1）上單調(diào)遞減，因為y＝1－x是減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得a＞1，當x∈（1，＋∞）時，f（x）＝loga｜x－1｜＝loga（x－1），因為y＝x－1是增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，且無最大值，所以A正確，B錯誤；又由f（2－x）＝loga｜2－x－1｜＝loga｜x－1｜＝f（x），所以f（x）的圖象關于直線x＝1對稱，所以C正確；由a＞1可知，當a＝2025時，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，所以D正確.故選A、C、D.13.已知函數(shù)f（x）滿足：①定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞）；②值域為R；③f（－x）＝f（x）.寫出一個滿足上述條件的函數(shù)f（x）＝.答案：ln｜x｜（答案不唯一）解析：f（x）＝ln｜x｜的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），值域為R，且f（－x）＝ln｜－x｜＝ln｜x｜＝f（x），因此f（x）＝ln｜x｜符合題意.14.已知函數(shù)f（x）＝log21+axx－1（a（1）求a的值與函數(shù)f（x）的定義域；（2）若當x∈（1，＋∞）時，f（x）＋log2（x－1）＞m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1）因為函數(shù)f（x）＝log21+axx－1是奇函數(shù)，所以f（－x）＝－所以log21－ax－x－1＝－